江苏省苏州市职业学校2024-2025学年高三上学期单招期末调研测试数学试题

苏州市职业学校三年级单招《数学》试卷 第 1 页 共 4 页 2024-2025 学年苏州市职业学校三年级单招期末调研测试卷 数学 试卷 2025.1 试卷共 4 页；满分 150 分.考试时间 120 分钟 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，每小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求） 1．已知全集U R ,集合  1,3A   ,    ,1 4,UC B    ,则 A B  （ ） A．  1,1 B．  1,3 C．  1,3 D． 1,4 2．命题 P: 2x x  ,命题 Q: x x ,则命题 P是命题 Q的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．已知复数 z满足 i iz z  ，则 z （ ） A． 12 B．1 C． 2 2 D． 2 4．已知非零向量 a， b  ，若 2a b  ，  2a a b    ，则 a与b的夹角是（ ） A． 6  B． 3  C． 4  D． 5 6  5．已知圆锥的一条母线的中点与圆锥底面圆的圆心间的距离为 2，母线与底面所成的角为 60°，则该圆锥 的体积为（ ） A． 8 3 3  B．8 3 C．16 3 3  D．16 3 6．某高中安排 4 名同学（不同姓）到甲、乙、丙 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，若每名同学只去一个 小区，每个小区至少安排 1 名同学，其中张同学不去乙小区，则不同的分配方案种数为（ ） A．36 B．24 C．48 D．12 7．已知直线 l过双曲线 2 2 1 9 3 x y   的左焦点，且与双曲线的一条渐近线平行，若 l过抛物线  2 2 0x py p  的焦点，则 p的值为（ ） A．12 B． 2 2 C．2 D．4 8．函数�(�) = ���(�� + �6 )(�＞0)的图象与 x轴正半轴两交点之间的最小距离为 � 2 ，若要将函数�(�) = ���(�� + �6 )的图象向左平移 � 12 个单位得到 g（x）的图象，则 g（x）的单调递增区间为（ ） A．(�6 + ��， 2� 3 + ��)(� ∈ �) B．( � 12 + ��， 7� 12 + ��)(� ∈ �) C．( − 5�12 + ��， � 12+ ��)(� ∈ �) D．( − � 6 + ��， � 6 + ��)(� ∈ �) 苏州市职业学校三年级单招《数学》试卷 第 2 页 共 4 页 9．定义在 R上的奇函数    , 5 0,f x f  且对任意不等的正实数 1 2,x x 都满足      1 2 1 2 0,f x f x x x     则 不等式   0xf x  的解集为（ ） A．    5,0 5,  B．    , 5 5,   C．    , 5 0,5   D．    5,0 0,5  10．对于函数  f x ，若 1 2,x x 满足      1 2 1 2f x f x f x x  ，则称 1 2,x x 为函数  f x 的一对“类指数”.若正实 数 a与b为函数    0f x kx k  的一对“类指数”， 4a b 的最小值为18，则 k的值为（ ） A． 12 B．1 C． 4 3 D．2 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分，请将答案填写在题中横线上） 11．已知 5(1 )ax 的展开式的所有项系数之和为 1 ，则展开式中含 x的项的系数是 ． 12．已知等比数列 na 的前 n项和为 nS ，若 3 7S  ， 6 63S  ，则 7 8 9a a a   . 13．直线 l： 1 0mx y   截圆 2 2 4 6 4 0x y x y     的弦为MN，当 MN 取最小值时m的值为 ． 14．已知 为第二象限角，且满足 1 cos 1 sin 7sin cos 1 cos 1 sin 5            ，则 3πcos 2 2       . 15．设函数       max ,F x f x g x ，即  F x 表示函数  f x ，  g x 中的较大者.已知函数   2f x x  ，   2 1g x x ax   ，若  F x 的值域为  1,  ，则 a  . 三、解答题(本大题共 8 小题, 共 90 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．（本题满分 8 分）已知函数 ( ) lg(2 ) 1f x x x    的定义域为 A. （1）求 A； （2）设集合  3 5 42 2x x aB x    ，若 A B   ，求实数 a的取值范围. 17．（本题满分 10 分）已知二次函数  f x 的最大值为-2，且    0 2 3f f   . （1）求  f x 的解析式； （2）若  f x 在区间 , 1a a  上的最大值为-6，求实数 a的值. 苏州市职业学校三年级单招《数学》试卷 第 3 页 共 4 页 18．（本题满分 10 分）如图，四棱锥 S ABCD ，底面是边长为 2 的正方形，侧棱长相等均为 4，E为棱 SC的中点． （1）求证： SA∥平面 BDE； （2）求异面直线 SA与 BE所成角的余弦值． （第 18 题图） 19．（本题满分 12 分）某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校 3000 名学生进行一次安全意识 测试，根据测试成绩评定“优秀”、“良好”、“及格”、“不及格”四个等级，现随机抽取部分学生的答卷，统计 结果及对应的频率分布直方图如下所示. 等级 不及格 及格 良好 优秀 得分  70,90  90,110  110,130  130,150 频数 6 a 24 b （1）求 , ,a b c的值； （2）试估计该校安全意识测试评定为“优秀”的学生人数； （3）已知已采用分层抽样的方法，从评定等级为“优秀”和“良好”的学生中任选 6 人进行强化培训；现再从 这 6 人中任选 2 人参加市级校园安全知识竞赛，求选取的 2 人中有 1 人为“优秀”的概率. 20．（本题满分 12 分）某机床厂 2024 年年初用 98 万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用．计划第 一年维修、保养费用 12 万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加 4 万元；该机床使 用后，每年的总收入为 50 万元．设使用 x年后数控机床的盈利额为 y万元． （1）写出 y与 x之间的函数关系式； （2）使用若干年后，对机床的处理方案有两种： 方案一：当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床； 方案二：当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床； 请你研究一下哪种方案处理较为合理？并说明理由． 苏州市职业学校三年级单招《数学》试卷 第 4 页 共 4 页 21．（本题满分 12 分）已知 (2cos 2 3 sin ,1)a x x   ， ( , cos )b y x  ，且 / /a b  ． （1）将 y表示成 x的函数 ( )f x ，并求 ( )f x 的最小正周期； （2）记 ( )f x 的最大值为M ，a、b、c分别为 ABC 的三个内角 A、B、C对应的边长，若 ( ) , 2 Af M 且 2a  ， 求bc的最大值． 22．（本题满分 12 分）已知数列 na 和 nb ，其中 na 的前项和为 nS ，且 2 2n na S  ，  2log 2n nb S  . （1）分别求出数列 na 和 nb 的通项公式； （2）记 1 2 1 2 n n n bb bT a a a     ，求证： 3nT  . 23．（本题满分 14 分）已知椭圆   2 2 2 2 1 0    x y a b a b 和直线 l： 1 x y a b   ，椭圆的离心率 6 3 e  ，坐标原 点到直线的距离为 3 2 . （1）求椭圆的方程； （2）已知定点  1,0E  ，若直线  2 0y kx k   与椭圆相交于 C，D两点，试判断是否存在实数 k，使以 CD为直径的圆过定点 E？若存在，求出 k的值，若不存在，说明理由. 2024-2025学年苏州市职业学校三年级单招期末 调研测试卷数学答题卡 17.(10分) 19.(12分】 学校： 姓名： 花级：一书场/床位号： 正晚填涂 ][0] 能考标电 It] 21 [21 021 121 1 21 1a] B] 1 [01 7 [oi [0 [ Iw] ] 祚意有项 L养的前的降新家。痛域，考场。准写世停情时请地 2,容是养道：心编伦月妇笔箱读，修风檬皮推下净， 1多隔A通号南的齐酒域肩作养，短由养烟域无效 一、进开理（本大想共10小图。据小盟4分。共0分） 1TA1a1e1月 s【a1【B时【C】1 ,1Ict回 2A11 6【AHB) #11I目日tD团 1发(10分) 20(12分) aAJn]【c】1(A[旺c1mj IAJ I8T ICI D 8【ATBC中ID 填空把（本大您共5小选，每小愿4分，其2分） 12. ha 15 三、解容题本大图共8小道，共的分) 16《8分1 ■ 囚▣■ 囚▣■ ■ 第1划其后四 第2到其6夷 第阳有其6到 ■ ■ 21《12分) 22(12分) ▣ 23.(14分) I I I ■ 囚■囚 囚■囚 ■ 前4喇其后卖 前6刻其后史 第后黄其后到苏州市职业学校三年级单招《数学》答案 第 1 页 共 5 页 2024-2025 学年苏州市职业学校三年级单招期末调研测试卷 数学参考答案 2025.1 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C C A B D C D A 二、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 11． 10 12．448 13．1 14． 24 25 /0.96 15．3 或 3 三、解答题（共 90 分） 16．(本题满分 8分) 解：（1）由 2 0 1 0 x x      ，得 1 2x   ， ……………………………………2分 ∴函数 ( ) lg(2 ) 1f x x x    的定义域为[ 1, 2) ，………………………3分 即 [ 1, 2)A   .…………………………………………………………………4分 （2）∵集合      3 5 42 2 3 5 4 5x x aB x x x x a x x a          ， …5 分 又 A B   ， [ 1, 2)A   ， ∴ 5 1a    ，即 4a  ， ……………………………………………………7 分 ∴实数 a的取值范围 4a  . …………………………………………………8 分 17．（本题满分 10 分） 解：（1）由    0 2 3f f   ，可知函数的对称轴为 1x  ，……………………………2分 设 2( ) ( 1) 2f x m x   ， 0m  ，因为 (0) 3f   ，所以 2 3m    ， 1m   ， …………4分 所以 2 2( ) ( 1) 2 2 3f x x x x        ；……………………………………………………5分 （2）因为  f x 在区间 , 1a a  上的最大值为-6，最大值没有在顶点处取到， 所以① 1a  时，  f x 在区间 , 1a a  上递减， 2max( ) ( ) 2 3f x f a a a     ， 所以 2 2 3 6a a     ， 3a  ， 1a   （舍），得 3a  ；…………………………………7 分 ② 1 1a   时即 0a  时，  f x 在区间 , 1a a  上递增， 2max( ) ( 1) 2f x f a a     ， 所以 2 2 6a    ， 2a   ， 2a  （舍），得 2a   ； 0 1a  时 max( ) (1) 2f x f   ，不适合条件.………………………………………………9 分 综上 2a   或 3a  .…………………………………………………………………………10 分 苏州市职业学校三年级单招《数学》答案 第 2 页 共 5 页 18．（本题满分 10 分） 解：（1）连接 AC交 BD点O，连接OE， 底面是边长为 2 的正方形，E为棱 SC的中点，………………………1分 则 / /SA OE，因为 SA平面 BDE ，OE 平面 BDE ，………………3 分 所以 SA∥平面 BDE.………………………………………………………4 分 （2）（本小题方法不唯一，不同方法可参照酌情给分） 由（1）可知异面直线 SA与 BE所成角为 OEB ， 因为底面是边长为 2 的正方形，侧棱长相等均为 4， 所以 2 21 2 2 2 2 OB    ， 1 2 2 OE SA  ，……………………………6 分 取 BC的中点 F ，连接 SF， 1cos 4 SCB  ，……………………………7分 在 BCE 中， 2 22 2 2 2 2cos 6BE SCB       ，…………………8 分 在 BEO△ 中， 2 226 2 2 6cos 32 6 2 OEB        . ………………………9 分 所以异面直线 SA与 BE所成角的余弦值为 6 3 .…………………………10 分 19．（本题满分 12 分）（本题方法不唯一，不同方法可参照酌情给分） 解：（1）由频率分布直方图可知，得分在 70,90 的频率为0.005 20 0.1  ， 再由  70,90 内的频数 6，可知抽取的学生答卷数为 60 人， 则6 24 60a b    ，得 30a b  ； 又由频率分布直方图可知，得分在  130,150 的频率为 0.2，即 0.2 60 b  ， 解得 12, 18b a  . …………………………………………………………………………2分 进而求得 18 0.015 60 20 c    .………………………………………………………………3分 （2）由频率分布直方图可知，得分在  130,150 的频率为 0.2， 由频率估计概率，可估计从全校答卷中任取一份，抽到“优秀”的概率为 0.2，………4 分 设该校测试评定为“优秀”的学生人数为 n，则 0.2 3000 n  ，解得 600n  ， 所以该校测试评定为“优秀”的学生人数约为 600. ………………………………………6 分 （3）“良好”与“优秀”的人数比例为 24 :12 2 :1 ， 故选取的 6 人中“良好”有 4 人，“优秀”有 2 人， 苏州市职业学校三年级单招《数学》答案 第 3 页 共 5 页 “良好”抽取 4 人，记为 a b c d, ,, ，“优秀”抽取 2 人，记为 ,A B， 则从这 6 人中任取 2 人，所有基本事件如下： , , , , , , , , , ab,ac,ad, bc, bd,cdAB Aa Ab Ac Ad Ba Bb Bc Bd 共 15 个， ………………8 分 事件A :“所抽取的 2 人中有人为‘优秀’”含有 8 个基本事件，…………………10 分 所以所求概率   8 15 P A  .…………………………………………………………12 分 20．（本题满分 12 分） 解：（1）有题意可知：每年所需的保养维修费用成等差数列，首项为 2，公差为 4，故 2( 1)50 [12 4] 98 2 40 98 2 x xy x x x x         （ 0x  ）…………………………………4 分 （2）方案一： 98 982 40 40 (2 )y x x x x x        ……………………………………………5分 98 982 2 2 28x x x x     ，所以 9840 (2 ) 12y x x x     ． 当且仅当 982x x  ，即 7x  时等号成立； ……………………………………………………7分 故到 2031 年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12 7 30 114   （万元）…………8 分 方案二： 2 22 40 98 2( 10) 102y x x x        ， 当 10x  时， y有最大值102；…………………………………………………………………10 分 故到 2034 年，盈利额达到最大值，工厂共获利102 12 114  （万元）． …………………11 分 盈利额达到的最大值相同，而方案一所用的时间较短，故方案一较为合理． ……………12 分 21．（本题满分 12 分） 解：试题分析：（1）由 / /a b  得 22cos 2 3sin cos 0x x y   ……………………………………1 分 即 22cos 2 3 sin cos x cos 2 3 sin 2 1 2sin(2 ) 1 6 y x x x x x         所以 ( ) 2sin(2 ) 1 6 f x x    ， ……………………………………………………………………4分 又 2 2 2 T        …………………………………………………………………………………5 分 所以函数 ( )f x 的最小正周期为 . …………………………………………………………………6 分 （2）由（1）易得 3M  于是由 ( ) 3, 2 Af M  即 2sin( ) 1 3 sin( ) 1 6 6 A A       ， 因为A为三角形的内角，故 3 A  ………………………………………………………………9 分 由余弦定理 2 2 2 2 cosa b c bc A   得 2 24 2b c bc bc bc bc      解得 4bc  …………………………………………………………………………………………11 分 苏州市职业学校三年级单招《数学》答案 第 4 页 共 5 页 于是当且仅当 2b c  时，bc的最大值为 4．…………………………………………………12 分 22．（本题满分 12 分） 解：（1）当 1n  时， 1 1 1 12 2 2a S a a    ，所以 1 2a  ， ………………………………1分 2n  时， 2 2n na S  ①， 1 12 2n na S   ②， ①-②得    1 12 2 0n n n na a S S     ， 即  12 2 0n n na a a   ， 12n na a  ，………3分 所以 na 是以首项为 2，公比为 2 的等比数列，所以 2nna  ， …………………………4分 所以     12 2 2log 2 log 2 2 log 2 1n nn nb a n      ；………………………………………6 分 （2） 1 2 1 2 n n n bb bT a a a     ，即 1 2 2 3 1 2 2 2n n nT     ③， ……………………………7分 1 1 2 3 12 1 2 2n n nT       ④， ④-③，得 1 1 1 1 12 2 2 2n n n nT       11 11 2 2 12 1 21 2 n n n             11 1 33 3 2 2 2 n n n n n           ， ……………………………………………………………11 分 因为 1 0 2 n       ， 3 0 2n n   ，所以 3nT  .……………………………………………………12 分 23.（本题满分 14 分） 解：（1）直线 l方程为 0bx ay ab- - = ， 依题意可得： 2 2 6 3 3 2 c a ab a b        ，又 2 2 2a b c  ，…………………………………………2 分 解得： 2 3a  ， 2 1b  ， ……………………………………………………………………4 分 ∴椭圆的方程为 2 2 1 3 x y  ； ………………………………………………………………5分 （2）假设存在实数 k，使以 CD为直径的圆过定点 E， 苏州市职业学校三年级单招《数学》答案 第 5 页 共 5 页 联立 2 2 2 1 3 y kx x y       得  2 21 3 12 9 0k x kx    ， ……………………………………………6 分 ∴  2 2(12 ) 36 1 3 0k k     ，∴ 1k  或 1k   ①，………………………………………7分 设  1 1,C x y ，  2 2,D x y ，则 1 2 2 1 2 2 12 1 3 9 1 3 kx x k x x k            ②， ………………………………………9分 而      21 2 1 2 1 2 1 22 2 2 4y y kx kx k x x k x x        ，………………………………………10 分  1 11,EC x y   ，  2 21,ED x y   ， 要使以 CD为直径的圆过点  1,0E  ，当且仅当CE DE ，故 0EC ED   ，……………11 分 则    1 2 1 21 1 0y y x x    ， ∴     2 1 2 1 21 2 1 5 0k x x k x x      ，③………………………………………………………12 分 将②代入③得    22 2 0 9 12 1 3 1 3 1 2 1 5k k k k k              ， 解得 7 1 6 k   ，经验证使得①成立，…………………………………………………………13 分 综上可知，存在 7 6 k  使得以 CD为直径的圆过点 E. ………………………………………14 分