16.3 二次根式的加减 -2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

16.3 二次根式的加减 一、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。 二、二次根式的加减法则 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变。 三、二次根式加减的步骤 1.如果有括号，根据去括号法则去掉括号。 2.把不是最简二次根式的二次根式进行化简。 3.合并被开方数相同的二次根式。 四、二次根式的混合运算 二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用。运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的。 巩固课内例1:二次根式的加减(单项合并) 1．计算的结果是（　　） A． B． C． D．2 2．化简的结果是 ． 3．计算：． 巩固课内例2:二次根式的加减(多项合并) 1．一个三角形的三边长分别是，，，则此三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 2．计算：－＋＝ ． 3．计算：． 巩固课内例3:二次根式的混合运算(分配律) 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．计算 ． 3．计算：． 巩固课内例4:二次根式的混合运算(乘法公式) 1．计算的值是（    ） A． B．0 C．1 D．7 2．计算的结果是 ． 3．计算： 类型一、同类二次根式的认识 1．下列能与合并的二次根式是（     ） A． B． C． D． 2．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值等于 ． 3．小明和小亮暑期在家做数学运算游戏，他们在一个密闭不透明的盒子里放入四张大小一样，颜色分别为白色、灰色的圆形卡片，在卡片上分别标有如图所示的数．他们要从盒子中分别摸出卡片，并制定了如下规定：若摸到白色卡片，则加上卡片上的数：若摸到灰色卡片，则减去卡片上的数． (1)（1）若小明摸到如下两张卡片，请计算出结果． （2）若小亮摸出全部的四张卡片，计算结果为x，小明认为x的值与属于同类二次根式，你认为小明的说法对吗？并说明理由． 类型二、简单的比较大小 1．比较大小:4与5的结果是(       ) A．前者大 B．一样大 C．后者大 D．无法确定 2．比较大小 （填“”或“”号） 3．比较与的大小． 类型三、化简求值(已知字母) 1．已知，则代数式的值为（   ） A．2 B．4 C． D． 2．已知，则代数式的值是 ． 3．已知：，求的值． 类型一、二次根式的加法运算 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．下列计算是否正确？ （1）；        （2）；        （3）． 类型二、二次根式的减法运算 1．下列式子中运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算：． 类型三、二次根式的混合运算 1．下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算∶ ． 3．化简计算 (1) (2) (3) 类型四、化简求值(已知等式) 1．已知，则值为（   ） A． B． C． D． 2．已知，则代数式的值为 ． 3．已知，，．求： (1)和的值； (2)求的值． 类型一、二次根式的应用 1．如图，在一个长方形中无重叠的放入面积为和的两个正方形，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．【跨学科】“海阔千江辏，风翻大浪随”．海浪的大小与风速和风压有很大的关系，用风速估计风压的通用公式为，其中为风压（单位：），为风速（单位：）．当风压为时，估计风速为 ． 3．某居民小区有块形状为长方形的绿地（如图），长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为． (1)求长方形的周长． (2)除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为5元/的地砖，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 类型二、复杂的比较大小 1．已知，，则a与b的大小关系是（    ）． A． B． C． D．无法确定 2．比较大小： （1） ； （2） ． 3．在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方． 因为，， 所以，所以． 请利用“平方法”解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)猜想，之间的大小关系，并说明理由； (3)化简：________． 类型三、分母有理化 1．先观察下列的计算，再完成习题： ；；根据你的猜想、归纳，运用规律计算：的结果为（   ） A．1 B．2014 C．2013 D． 2．阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：， （1）将分母有理化可得 ； （2）关于的方程的解是 ． 3．在学习二次根式的过程中，小红发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系．例如：由，可得与互为倒数，即，．类似地，，，，，根据小红发现的规律，解决下列问题： (1) ， ；（为正整数） (2)若，则 ； (3)计算：． 类型四、海伦——秦九韶公式 1．已知三角形的三边长分别为，，，求其面积问题，中外数学家曾经进行深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式，其中，我国南宋时期数学家秦九韶（约）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（      ） A． B． C． D． 2．我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”(三斜求积术)∶ 若 一 个 三 角 形 的 三 边 长 分 别 为 a， b， c， 则 这 个 三 角 形 的 面 积．若一个三角形的三边长，，分别为，则这个三角形的面积为 3．秦九韶（1208年~1268年），字道古，南宋著名数学家．与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，他于1247年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦−秦九韶公式”，它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，S为三角形的面积，那么． (1)如图在中，，，，请用上面的公式计算的面积； (2)一个三角形的三边长分别为a，b，c，，，求的值， 1．实数的倒数（   ） A． B．5 C． D． 2．估计的值应在（   ） A．和之间 B．7和8之间 C．1和2之间 D．2和3之间 3．如图，一个面积为（）的正方形边在数轴上，且O是数轴的原点，该正方形沿着数轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，t秒后运动到正方形的位置，此时正方形和正方形重叠部分的面积为．给出下面三个结论： ①长方形的面积为； ②； ③点对应的数为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．写出一个能与合并的最简二次根式： ． 5．分母有理化： ； 6．已知，，则的算术平方根为 ． 7．计算： (1)； (2)． 8．先化简，再求值：，其中． 9．观察下列算式： …………………………………………① ………………………………② ………………………………③ … (1)由上述三个算式，可得________； (2)请直接用含（正整数）的代数式表示上述规律； (3)请借助探究中获得的经验判断是否正确，并说明理由． 10．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其三角形的面积公式为： ①（海伦公式）， ②（秦九韶公式）． 已知在中，，且a，b，c满足． (1)直接写出a，b，c的值； (2)请从①、②中选择一个合适的公式，求出的面积； (3)如图，若于点D，的平分线交于点E，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 16.3 二次根式的加减 一、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。 二、二次根式的加减法则 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变。 三、二次根式加减的步骤 1.如果有括号，根据去括号法则去掉括号。 2.把不是最简二次根式的二次根式进行化简。 3.合并被开方数相同的二次根式。 四、二次根式的混合运算 二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用。运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的。 巩固课内例1:二次根式的加减(单项合并) 1．计算的结果是（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，掌握运算法则是解本题的关键；直接合并同类二次根式即可． 【详解】解： ， 故选：C． 2．化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的减法运算，先化简，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：； 故答案为：． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的加减法．先化简，再进行减法运算即可． 【详解】解： ． 巩固课内例2:二次根式的加减(多项合并) 1．一个三角形的三边长分别是，，，则此三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次根式的加法运算，牢记法则是解题关键，先化简再进行加法计算即可． 【详解】解：三角形的周长为， 故选：A． 2．计算：－＋＝ ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的减法运算，分母有理化及负整数幂，先化简二次根式，计算负整数幂，再加减即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：2． 3．计算：． 【答案】0 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 巩固课内例3:二次根式的混合运算(分配律) 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键．直接利用二次根式混合运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 2．计算 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握运算顺序是关键，先计算二次根式的乘法运算，再合并即可． 【详解】解：； 故答案为： 3．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是将二次根式进行化简，成为最简二次根式． 先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可． 【详解】解： ． 巩固课内例4:二次根式的混合运算(乘法公式) 1．计算的值是（    ） A． B．0 C．1 D．7 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算．了利用平方差公式计算，即可求解． 【详解】解：． 故选：A． 2．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算和完全平方公式，根据公式计算即可． 【详解】 故答案为：． 3．计算： 【答案】 【分析】利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并计算． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 类型一、同类二次根式的认识 1．下列能与合并的二次根式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同类二次根式，以及二次根式的化简，先利用二次根式的性质化简各项，再根据同类二次根式的概念进行判断，即可解题． 【详解】解：A、不能与合并，不符合题意； B、不能与合并，不符合题意； C、能与合并，符合题意； D、不能与合并，不符合题意； 故选：C． 2．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查同类二次根式，根据同类二次根式的定义得到，，然后求解即可，即可得出答案．解题的关键是掌握同类二次根式的定义：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．也考查了二元一次方程组的应用． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， ∴的值等于． 故答案为：． 3．小明和小亮暑期在家做数学运算游戏，他们在一个密闭不透明的盒子里放入四张大小一样，颜色分别为白色、灰色的圆形卡片，在卡片上分别标有如图所示的数．他们要从盒子中分别摸出卡片，并制定了如下规定：若摸到白色卡片，则加上卡片上的数：若摸到灰色卡片，则减去卡片上的数． (1)（1）若小明摸到如下两张卡片，请计算出结果． （2）若小亮摸出全部的四张卡片，计算结果为x，小明认为x的值与属于同类二次根式，你认为小明的说法对吗？并说明理由． 【答案】(1) (2)小明的说法对，理由见解析 【分析】本题主要考查二次根式，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的计算法则进行计算即可； （2）四张卡片均与是同类二次根式，只需判断与是否是同类二次根式即可得到答案． 【详解】（1）解：依题意，得； （2）解：小明的说法对． 理由：依题意，得． ， 与是同类二次根式， x的值与属于同类二次根式， 故小明的说法对． 类型二、简单的比较大小 1．比较大小:4与5的结果是(       ) A．前者大 B．一样大 C．后者大 D．无法确定 【答案】C 【详解】∵(4)2=48, (52=50, ∴4<5. 故选C. 2．比较大小 （填“”或“”号） 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的比较大小，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的性质，把跟号外的移到根号内，即可进行比较． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 3．比较与的大小． 【答案】 【详解】． 因为， 所以，即． 类型三、化简求值(已知字母) 1．已知，则代数式的值为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次根式的运算，熟练掌握完全平方公式，二次根式的运算法则是解题的关键． 先把化成，再把代入计算即可． 【详解】解：， 当时，原式． 故选：A． 2．已知，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，完全平方公式的应用，代数式求值，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键．将代数式变形为，再将代入求值即可． 【详解】， 将代入得， ． 故答案为：． 3．已知：，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式的应用， 先将整理为，再将待求式配方，然后整体代入求值． 【详解】解：∵， ∴． ∴， ， ， ， ． 类型一、二次根式的加法运算 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的性质，二次根式的运算，根据二次根式的性质，二次根式的运算逐项判断即可． 【详解】解：A、与的被开方数不同，不能合并，，本选项的计算错误； B、，本选项的计算错误； C、，本选项的计算错误； D、，本选项的计算正确． 故选：D 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式加减法，熟练掌握相关运算法则是解题关键．首先将化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．下列计算是否正确？ （1）；        （2）；        （3）． 【答案】（1）不正确；（2）不正确；（3）不正确． 【分析】（1）由合并同类二次根式的法则进行判断，即可得到答案； （2）由合并同类二次根式的法则进行判断，即可得到答案； （3）由二次根式的性质进行化简，即可进行判断． 【详解】解：（1）与不是同类二次根式，不能合并，故不正确； （2）2与不是同类二次根式，不能合并，故不正确； （3），故不正确； 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，二次根式的性质，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行判断． 类型二、二次根式的减法运算 1．下列式子中运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的加法、减法、乘法、除法四则运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可． 根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断． 【详解】A、，所以A选项错误； B、，所以B选项错误； C、，所以C选项正确； D、，所以D选项错误． 故选：C． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，先化简二次根式，再合并即可． 【详解】解：； 故答案为： 3．计算：． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是化为最简二次根式、二次根式的加减运算，解题关键是熟练掌握二次根式的加减运算． 先都化为最简二次根式，再根据二次根式的加减运算法则进行运算即可． 【详解】解：， ， ． 类型三、二次根式的混合运算 1．下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据二次根式的运算法则计算各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：A. ，计算错误，故不符合题意； B. ，计算错误，故不符合题意； C. ，计算正确，故符合题意； D. ，计算错误，故不符合题意； 故选：C． 2．计算∶ ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先进行括号内减法，再根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为： ． 3．化简计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）先根据立方根和算术平方根的性质化简，再计算，即可求解； （2）先根据算术平方根的性质化简，再计算，即可求解． （3）根据平方差公式和二次根式的混合运算法则计算即可求解； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 类型四、化简求值(已知等式) 1．已知，则值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简求值，根据推出，再将化为，最后代入计算即可．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴值为． 故选：A． 2．已知，则代数式的值为 ． 【答案】11 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是运用代入法和合并同类项的方法进行计算． 将原式进行变形，再将代入式子中，进行计算，整理；再将代入式子中进行计算即可． 【详解】 ． 故答案为： 11． 3．已知，，．求： (1)和的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)9 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，平方差公式．熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先将已知和的值进行分母有理化，得到，，再分别根据二次根式的加法法则和乘法法则即可求出答案； （2）根据完全平方公式将原式变为，再代入（1）的值即可求出答案． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：由（1）可知，，， ． 类型一、二次根式的应用 1．如图，在一个长方形中无重叠的放入面积为和的两个正方形，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算的应用，先求出阴影部分的长和宽，再根据长方形的面积公式计算即可得解． 【详解】解：由图可得，阴影部分的长为， 阴影部分的宽为：， ∴图中阴影部分的面积为， 故选：A． 2．【跨学科】“海阔千江辏，风翻大浪随”．海浪的大小与风速和风压有很大的关系，用风速估计风压的通用公式为，其中为风压（单位：），为风速（单位：）．当风压为时，估计风速为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据题中的通用公式表示出风速的表达式，求解即可得出答案． 【详解】解：由题中给出的公式可知， 当风压为时，风速为， 故答案为：16． 3．某居民小区有块形状为长方形的绿地（如图），长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为． (1)求长方形的周长． (2)除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为5元/的地砖，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查二次根式运算的实际应用．熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键． （1）根据长方形的周长计算即可； （2）用长方形的面积减去长方形花坛（图中阴影部分）面积差乘以地砖的单价，列式计算即可． 【详解】（1）解：． 长方形的周长是． （2）解： 元． 答：购买地砖需要花费元． 类型二、复杂的比较大小 1．已知，，则a与b的大小关系是（    ）． A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】将，进行分母有理化，再比较即可． 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了分母有理化，不等式的性质，实数比较大小等知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 2．比较大小： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式比较大小，分母有理化： （1）分母有理数后比较大小即可； （2）比较两数的倒数，进而得出两数的大小关系即可． 【详解】解：（1）∵，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 3．在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方． 因为，， 所以，所以． 请利用“平方法”解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)猜想，之间的大小关系，并说明理由； (3)化简：________． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了实数的大小比较，二次根式的大小比较和化简二次根式，解题的关键是熟练运用题干中“平方法”，第（3）题注意分情况讨论． （1）根据题干中“平方法”比较实数大小； （2）根据题干中“平方法”比较二次根式的大小； （3）根据题干中“平方法”找出，，再利用二次根式的性质结合完全平方公式进而开平方分类讨论得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：， 理由如下：∵，， ∴， ， ∵， ∴， ∴； （3）解： ， 当时，即， ， 当时，即， ， 综上，的值为或， 故答案为：或． 类型三、分母有理化 1．先观察下列的计算，再完成习题： ；；根据你的猜想、归纳，运用规律计算：的结果为（   ） A．1 B．2014 C．2013 D． 【答案】C 【分析】此题考查了分母有理化，由题意得出规律，再根据得出的规律将原式化简即可得到结果． 【详解】解：∵；；， ∴得出规律， ∴ ， 故选：C． 2．阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：， （1）将分母有理化可得 ； （2）关于的方程的解是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查二次根式分母有理化，及其规律探索，解方程，掌握二次根式分母有理化，发现规律，解方程方法，找到有理化分母是解题关键． （1）根据材料进行分母有理化即可． （2）先分母有理化，再根据式子的规律化简，解方程即可求解． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．在学习二次根式的过程中，小红发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系．例如：由，可得与互为倒数，即，．类似地，，，，，根据小红发现的规律，解决下列问题： (1) ， ；（为正整数） (2)若，则 ； (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值、分母有理化，掌握二次根式的混合运算法则、平方差公式是解题的关键． （1）根据上述规律，进行解答，即可； （2）根据题意，则，可得，，再根据平方差公式，即可求出； （3）根据上述规律，则，，，……，进行解答，即可． 【详解】（1）解：由题意可得， ∴，， 故答案为：，． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （3）解：∵，，，……， ∴ ． 类型四、海伦——秦九韶公式 1．已知三角形的三边长分别为，，，求其面积问题，中外数学家曾经进行深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式，其中，我国南宋时期数学家秦九韶（约）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的应用，设，，，则，再根据计算即可得出答案． 【详解】解：设，，， ∴， ∴， 故选：D． 2．我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”(三斜求积术)∶ 若 一 个 三 角 形 的 三 边 长 分 别 为 a， b， c， 则 这 个 三 角 形 的 面 积．若一个三角形的三边长，，分别为，则这个三角形的面积为 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，掌握二次根式的性质是解题的关键．把题中的三角形三边长代入公式，计算得出答案即可． 【详解】解：根据题意，该三角形的三边长，，分别为， ∴该三角形的面积 ． 故答案为：． 3．秦九韶（1208年~1268年），字道古，南宋著名数学家．与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，他于1247年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦−秦九韶公式”，它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，S为三角形的面积，那么． (1)如图在中，，，，请用上面的公式计算的面积； (2)一个三角形的三边长分别为a，b，c，，，求的值， 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，熟悉掌握海伦－秦九韶公式求三角形的面积． （1）根据题意，了解海伦-秦九昭公式，根据具体的数字先计算p的值，然后再代入公式，计算三角形的面积即可； （2）根据得以得到，再根据面积可以得到，计算即可． 【详解】（1）由题意，， ∴． 即的面积为； （2）由题意，， ∴， ∵， ∴ ∴． ∴，即 ∴． 1．实数的倒数（   ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查倒数定义．根据题意利用倒数定义直接计算即可． 【详解】解：∵的倒数：， 故选：D． 2．估计的值应在（   ） A．和之间 B．7和8之间 C．1和2之间 D．2和3之间 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，及无理数的估算，先根据二次根式的混合运算得出结果，再估计无理数的值即可． 【详解】解：原式． ∵， ∴， 所以这个值在2和3之间． 故选：D． 3．如图，一个面积为（）的正方形边在数轴上，且O是数轴的原点，该正方形沿着数轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，t秒后运动到正方形的位置，此时正方形和正方形重叠部分的面积为．给出下面三个结论： ①长方形的面积为； ②； ③点对应的数为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了平移的性质，实数与数轴上点的对应关系，二次根式的运算．解题关键是正确进行分类，把每条线段的长度与实数对应再计算．由题意得，再计算可判断①；先求得，可得，从而计算出，再判断③；再诈，再计算出时间可判断出②． 【详解】解：正方形和正方形重叠部分的面积为， ， ， ，故①正确； 正方形面积为（）， ， ， ， 点对应的数为，故③错误； ， ，故②正确； 故选：A 4．写出一个能与合并的最简二次根式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，正确理解其概念是解题的关键． 同类二次根式的定义：把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式；根据定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴能与其合并的最简二次根式可以是． 故答案为：（答案不唯一） ． 5．分母有理化： ； 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的分母有理化．利用了平方差公式分母有理化即可． 【详解】解：， 故答案为：． 6．已知，，则的算术平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件．根据，，可以求得x、y的值，然后即可求得的平方根． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴，，， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 7．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键： （1）根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 8．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，完全平方公式，分母有理化等知识点，熟练掌握分式的化简求值是解题的关键． 先通分计算括号内的部分，然后将除法运算转化为乘法运算，约分化简得出结果后，再代入的值求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 9．观察下列算式： …………………………………………① ………………………………② ………………………………③ … (1)由上述三个算式，可得________； (2)请直接用含（正整数）的代数式表示上述规律； (3)请借助探究中获得的经验判断是否正确，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了与实数相关的规律探究，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键． （1）利用前三个式子的规律解答即可； （2）利用式子的规律解答即可； （3）利用上面的规律得，据此计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴， 故答案为：； （2）解：依据上述运算的规律可得：； （3）解：正确，理由如下， 由（2）的结论得， ∴． 10．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其三角形的面积公式为： ①（海伦公式）， ②（秦九韶公式）． 已知在中，，且a，b，c满足． (1)直接写出a，b，c的值； (2)请从①、②中选择一个合适的公式，求出的面积； (3)如图，若于点D，的平分线交于点E，求的长． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题主要考查了非负数的性质、完全平方公式、角平分线的性质、二次根式的混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）根据非负数的性质得到，然后解一次方程得到a、b、c的值即可； （2）选择公式①，先计算出，再把a、b、c、p的值代入公式①，然后利用平方差公式和二次根式的性质计算即可；选择公式②，把a、b、c的值代入公式②计算即可； （3）如图：过E点作于H点，先利用为等腰三角形得到，再根据角平分线的性质得到，然后利用面积法得到，从而可求出的长． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴． （2）解：选择公式①：∵， ∴ ； 选择公式②：∵， ∴ ． （3）解：如图：过E点作于H点， ∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：． 学科网（北京）股份有限公司 $$