高二数学开学摸底考（北京专用，人教A版2019）-2024-2025学年高中下学期开学摸底考试卷

2024-2025学年高二数学下学期开学摸底考 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得直线的斜率，进而求得直线的倾斜角. 【详解】依题意，直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率为，对应倾斜角为. 故选：D 2．已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则实数（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【分析】根据空间位置关系的向量法判断，再根据向量平行的坐标运算，即可求解. 【详解】由题意可知，， 所以，即，解得：. 故选：A 3．如图，空间四边形中，，，，点M在线段上，且，点N为中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算，结合空间向量的基本定理运算求解. 【详解】由题意可得： 故选：D. 4．已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用倾斜角与斜率的关系，利用赋值法可得结论. 【详解】因为直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，， 所以，， 取，，满足，可求得，，此时， 所以“”是“”的不充分条件； 取，，满足，但，此时， 所以“”是“”的不必要条件； 所以“”是“”的既不充分又不必要条件. 故选：D. 5．设等差数列的前项和为，且，则的最大值为（    ） A． B．3 C．9 D．36 【答案】C 【分析】根据等差数列求和公式得到，即可得到，再由基本不等式计算可得. 【详解】因为，所以， 又，所以， 当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故选：C 6．已知圆，过点的直线与圆交于两点．当取最小值时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出弦长最短时直线的斜率，利用点斜式即可求得方程. 【详解】由题意知，当点为弦的中点时，即时， 取最小值，因为，所以, 此时直线方程为，即 故选：C 7．已知空间向量满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可知，然后两边同时平方，代入已知数据计算即可. 【详解】因为， 所以, 得. 故选：D 8．临夏被誉为中国“彩陶之乡”，彩陶以造型独特，花纹别致而闻名于世.如图，一落地彩陶摆件外形为单叶旋转双曲面的形状，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.其横截面圆的最小半径为，底座和上口的半径均为，双曲线的离心率为，则该彩陶摆件的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据横截面圆的最小半径得到的值，再根据离心率以及之间的关系得到双曲线的标准方程，最后将代入即可求得结果. 【详解】因为彩陶摆件横截面圆的最小半径为，所以，则， 又双曲线的离心率为，所以，即，则， 所以，可得双曲线的方程为， 将代入可得，所以该彩陶摆件的高为， 故选：D. 9．已知一条光线从点发出被直线反射，若反射光线过点，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出发光点关于直线的对称点，再借助光的反射定律求出反射光线所在直线的方程. 【详解】设点关于直线的对称点为，则，解得， 因此反射光线所在直线过点，方程为，即. 故选：A 10．如图，正方体中，，当直线与平面所成的角最大时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用坐标法，利用线面角的向量求法，得到线面角正弦值的表达式，再利用三角函数的性质及二次函数的性质即得. 【详解】如图建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为. 则，，，，，. 所以，，，． 设平面的法向量为， 则 令，则，，可得. 又，设直线与平面所成的角为，则 ， 从而当时，取到最大值，又，故时直线与平面所成的角最大． 故选：C 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11．双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】利用双曲线的性质求解即可. 【详解】由双曲线方程得：， 所以渐近线方程为：， 故答案为：. 12．设直线，若，则实数 . 【答案】/-0.5 【分析】由两直线垂直的充要条件求解即可. 【详解】直线， 若，则，所以， 故答案为： 13．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上.若，则点的横坐标为 ，的面积为 . 【答案】 【分析】根据焦半径公式可求的横坐标，求出纵坐标后可求. 【详解】因为抛物线的方程为，所以，，准线方程为， 因为，，即，解得， 故，解得， 所以， 故答案为：；. 14．已知等比数列满足：，，，则公比 ，的最小值为 . 【答案】 【分析】由，可得，再代入，即可得第一空答案；求得，从而得，求出以的最小值，即可得第二空答案. 【详解】由，可得， 又因为，所以， 又因为， 即，解得； 因为，， 所以， 所以， 因为当或时，取小值， 所以取最小值， 即的最小值为. 故答案为：2； 15．1202年，斐波那契在《算盘全书》中从“兔子繁殖问题”得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，…，该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和．记为该数列的前n项和，则下列结论正确的有 ①． ②．为偶数 ③． ④． 【答案】①③④ 【分析】由题意可得，再根据递推公式逐一分析判断即可. 【详解】对于①，记该数列为，由题意知，，，，， ，，，， ，，故①正确； 对于②，因为该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和， 此数列中数字以奇数、奇数、偶数的规律循环出现，每3个数一组， 而，故为奇数，故②错误； 对于③，由题意知，所以， ，故③正确； 对于④，， 故④正确． 三、解答题：本题共5小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（满分13分） 已知圆与x轴相切． (1)求圆C的圆心坐标及半径； (2)直线与圆C交于A，B两点，求线段的长． 【答案】(1)圆心坐标为，半径长为2 (2) 【分析】（1）首先化为圆的标准方程，再根据半径与圆心坐标的关系，即可求解； （2）首先计算圆心到直线的距离，再代入弦长公式，即可求解. 【详解】（1）配方得， 由此可得圆心坐标为． 因为圆C与x轴相切， 所以圆心到x轴的距离为． 所以半径长为2．................................6分 （2）因为直线与圆C交于A，B两点， 所以圆心C到直线l的距离为． 由（Ⅰ）可知， 所以．....................................13分 17．（满分14分）如图，在长方体中，，． (1)求证：平面； (2)若点P是线段的中点，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用正方形及长方体的几何特征可证线线垂直，由此可得线面垂直. （2）以D为原点建立空间直角坐标系，写出各点坐标，计算两个平面的法向量，利用两平面夹角的向量公式计算可得结果. 【详解】（1）由题意得，四边形为正方形，∴． ∵平面，平面，∴， ∵，平面，， ∴平面．..............6分 （2） 如图，以D为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，． ∴，，． 由（1）得，是平面的一个法向量． 设平面的一个法向量为， 则即 令，得，，故． 设平面与平面的夹角为，则． ∴平面与平面的夹角的余弦值为．.......................14分 18．（满分13分）已知数列为等差数列，首项，公差，. (1)证明是等比数列； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先得到数列的通项公式，利用等比数列的定义证明数列是等比数列； （2）由（1）得数列的通项公式，再利用分组求和可得. 【详解】（1）因为数列为等差数列，首项，公差，所以， 当时，，且， 所以数列是以9为首项，以9为公比的等比数列..........6分 （2）由（1）得：， 所以 .............................13分 19．（满分15分）如图，正方体的棱长为，为的中点，点在上.再从下列三个条件中选择一个作为已知，使点唯一确定，并解答问题.条件①：；条件②：；条件③：平面. (1)求证：为的中点； (2)求点到平面的距离. (3)求直线与平面所成角的大小； 【答案】(1)选择条件②或③，证明见解析；(2)；(3). 【分析】（1）分别选条件①②③，结合线面平行位置关系的判定定理和性质定理，即可得证. （2）以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，再利用点到平面距离的向量求法求解. （3）求出向量，再利用向量的夹角公式求解. 【详解】（1）选条件①，，由正方体的对称性，知点可为上的任意一点，不唯一. 选条件②，，连接，在正方体中， 由平面，平面，得， 又，， 则， 而平面，于是，又为的中点， 所以为的中点. 选择条件③：平面，连接，平面， 平面平面，则，而为的中点， 所以为的中点． ......................................7分 （2）在正方体中，直线两两互相垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 设平面的法向量为，则， 令，得， 所以点到平面的距离. （3）由（2）知，平面的法向量，， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的大小为..........................................15分 20．（满分15分）已知椭圆的离心率为，右顶点为． (1)求椭圆的方程； (2)过原点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点．已知点，直线与椭圆的另一个交点分别为．证明：直线过定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据离心率及椭圆参数关系求参数，即可得方程； （2）设点，进而可得，联立椭圆方程并应用韦达定理求出坐标，同理得坐标，进而写出直线，即可证结论. 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆的方程为．.........................................5分 （2）设点，则，且． 直线，即． 由，得． 所以，则． 所以． 所以．同理． 依题意，所以．.........................................12分 所以直线的方程为，整理得． 所以直线过定点．.........................................15分 21．（满分15分）已知数集（），若对任意的（），与两数中至少有一个属于A，则称数集A具有性质P． (1)分别判断数集B=与数集C=是否具有性质，并说明理由； (2)若数集A具有性质P． ①当时，证明，且成等比数列； ②证明：． 【答案】(1)数集具有性质，不具有性质，理由见解析 (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）根据性质P的定义带入数值判断即可； （2）①根据题意分析可得，即可得结果；②采用构造对应的方法构造一个新的相等的集合，对其元素进行排序后对应相等可解. 【详解】（1）数集具有性质，不具有性质，理由如下： 因为，，，，，都属于数集，所以具有性质； 因为，都不属于数集，所以不具有性质．....................................4分 （2）①当时，，． 因为，所以，，所以与都不属于A， 因此，，所以． 因为，且，所以， 且，所以，所以成等比数列．....................................8分 ②因为具有性质，所以，至少有一个属于A， 因为，所以，，因此，． 因为，所以（）， 故当时，，，（）， 又因为， 则，，，，， 可得， 所以.........................................15分 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期开学摸底考 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则实数（    ） A． B． C．1 D．4 3．如图，空间四边形中，，，，点M在线段上，且，点N为中点，则（    ） A． B． C． D． 4．已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．设等差数列的前项和为，且，则的最大值为（    ） A． B．3 C．9 D．36 6．已知圆，过点的直线与圆交于两点．当取最小值时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知空间向量满足，且，则（   ） A． B． C． D． 8．临夏被誉为中国“彩陶之乡”，彩陶以造型独特，花纹别致而闻名于世.如图，一落地彩陶摆件外形为单叶旋转双曲面的形状，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.其横截面圆的最小半径为，底座和上口的半径均为，双曲线的离心率为，则该彩陶摆件的高为（    ） A． B． C． D． 9．已知一条光线从点发出被直线反射，若反射光线过点，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 10．如图，正方体中，，当直线与平面所成的角最大时，（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11．双曲线的渐近线方程为 . 12．设直线，若，则实数 . 13．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上.若，则点的横坐标为 ，的面积为 . 14．已知等比数列满足：，，，则公比 ，的最小值为 . 15．1202年，斐波那契在《算盘全书》中从“兔子繁殖问题”得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，…，该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和．记为该数列的前n项和，则下列结论正确的有 ①． ②．为偶数 ③． ④． 三、解答题：本题共5小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（满分13分） 已知圆与x轴相切． (1)求圆C的圆心坐标及半径； (2)直线与圆C交于A，B两点，求线段的长． 17．（满分14分）如图，在长方体中，，． (1)求证：平面； (2)若点P是线段的中点，求平面与平面的夹角的余弦值． 18．（满分13分）已知数列为等差数列，首项，公差，. (1)证明是等比数列； (2)求数列的前n项和. 19．（满分15分）如图，正方体的棱长为，为的中点，点在上.再从下列三个条件中选择一个作为已知，使点唯一确定，并解答问题.条件①：；条件②：；条件③：平面. (1)求证：为的中点； (2)求点到平面的距离. (3)求直线与平面所成角的大小； 20．（满分15分）已知椭圆的离心率为，右顶点为． (1)求椭圆的方程； (2)过原点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点．已知点，直线与椭圆的另一个交点分别为．证明：直线过定点． 21．（满分15分）已知数集（），若对任意的（），与两数中至少有一个属于A，则称数集A具有性质P． (1)分别判断数集B=与数集C=是否具有性质，并说明理由； (2)若数集A具有性质P． ①当时，证明，且成等比数列； ②证明：． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学下学期开学摸底考 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共25分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学下学期开学摸底考 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则实数（    ） A． B． C．1 D．4 3．如图，空间四边形中，，，，点M在线段上，且，点N为中点，则（    ） A． B． C． D． 4．已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．设等差数列的前项和为，且，则的最大值为（    ） A． B．3 C．9 D．36 6．已知圆，过点的直线与圆交于两点．当取最小值时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知空间向量满足，且，则（   ） A． B． C． D． 8．临夏被誉为中国“彩陶之乡”，彩陶以造型独特，花纹别致而闻名于世.如图，一落地彩陶摆件外形为单叶旋转双曲面的形状，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.其横截面圆的最小半径为，底座和上口的半径均为，双曲线的离心率为，则该彩陶摆件的高为（    ） A． B． C． D． 9．已知一条光线从点发出被直线反射，若反射光线过点，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 10．如图，正方体中，，当直线与平面所成的角最大时，（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11．双曲线的渐近线方程为 . 12．设直线，若，则实数 . 13．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上.若，则点的横坐标为 ，的面积为 . 14．已知等比数列满足：，，，则公比 ，的最小值为 . 15．1202年，斐波那契在《算盘全书》中从“兔子繁殖问题”得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，…，该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和．记为该数列的前n项和，则下列结论正确的有 ①． ②．为偶数 ③． ④． 三、解答题：本题共5小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（满分13分） 已知圆与x轴相切． (1)求圆C的圆心坐标及半径； (2)直线与圆C交于A，B两点，求线段的长． 17．（满分14分）如图，在长方体中，，． (1)求证：平面； (2)若点P是线段的中点，求平面与平面的夹角的余弦值． 18．（满分13分）已知数列为等差数列，首项，公差，. (1)证明是等比数列； (2)求数列的前n项和. 19．（满分15分）如图，正方体的棱长为，为的中点，点在上.再从下列三个条件中选择一个作为已知，使点唯一确定，并解答问题.条件①：；条件②：；条件③：平面. (1)求证：为的中点； (2)求点到平面的距离. (3)求直线与平面所成角的大小； 20．（满分15分）已知椭圆的离心率为，右顶点为． (1)求椭圆的方程； (2)过原点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点．已知点，直线与椭圆的另一个交点分别为．证明：直线过定点． 21．（满分15分）已知数集（），若对任意的（），与两数中至少有一个属于A，则称数集A具有性质P． (1)分别判断数集B=与数集C=是否具有性质，并说明理由； (2)若数集A具有性质P． ①当时，证明，且成等比数列； ②证明：． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期开学摸底考 高二数学·参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A A D D C B B D A C 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11． 12． /-0.5 13． 14． 15．①③④ 三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（满分13分） 【详解】（1）配方得， 由此可得圆心坐标为． 因为圆C与x轴相切， 所以圆心到x轴的距离为． 所以半径长为2．................................6分 （2）因为直线与圆C交于A，B两点， 所以圆心C到直线l的距离为． 由（Ⅰ）可知， 所以．....................................13分 17．（满分14分） 【详解】（1）由题意得，四边形为正方形，∴． ∵平面，平面，∴， ∵，平面，， ∴平面．..............6分 （2） 如图，以D为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，． ∴，，． 由（1）得，是平面的一个法向量． 设平面的一个法向量为， 则即 令，得，，故． 设平面与平面的夹角为，则． ∴平面与平面的夹角的余弦值为．.......................14分 18．（满分13分） 【详解】（1）因为数列为等差数列，首项，公差，所以， 当时，，且， 所以数列是以9为首项，以9为公比的等比数列..........6分 （2）由（1）得：， 所以 .............................13分 19．（满分15分） 【详解】（1）选条件①，，由正方体的对称性，知点可为上的任意一点，不唯一. 选条件②，，连接，在正方体中， 由平面，平面，得， 又，， 则， 而平面，于是，又为的中点， 所以为的中点. 选择条件③：平面，连接，平面， 平面平面，则，而为的中点， 所以为的中点． ......................................7分 （2）在正方体中，直线两两互相垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 设平面的法向量为，则， 令，得， 所以点到平面的距离. （3）由（2）知，平面的法向量，， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的大小为..........................................15分 20．（满分15分） 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆的方程为．.........................................5分 （2）设点，则，且． 直线，即． 由，得． 所以，则． 所以． 所以．同理． 依题意，所以．.........................................12分 所以直线的方程为，整理得． 所以直线过定点．.........................................15分 21．（满分15分） 【详解】（1）数集具有性质，不具有性质，理由如下： 因为，，，，，都属于数集，所以具有性质； 因为，都不属于数集，所以不具有性质．....................................4分 （2）①当时，，． 因为，所以，，所以与都不属于A， 因此，，所以． 因为，且，所以， 且，所以，所以成等比数列．....................................8分 ②因为具有性质，所以，至少有一个属于A， 因为，所以，，因此，． 因为，所以（）， 故当时，，，（）， 又因为， 则，，，，， 可得， 所以.........................................15分 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$