第01讲 二次根式（3个知识清单+4类热点题型讲练+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（沪科版）

第01讲 二次根式 课程标准 学习目标 ① 二次根式的定义 ② 二次根式有意义的条件 ③ 二次根式的性质与化简 1.经历探究二次根式概念的过程，了解二次根式的概念，能够判断一个式子是不是二次根式. 2.理解二次根式有意义的条件，能够用简单的一元一次不等式解决求二次根式中字母的取值范围问题. 3.理解二次根式的性质,并能运用这个性质化简 二次根式. 4.掌握公式与(≥0)的区别，并能够在 二次根式的化简或计算中正确运用. 重点：二次根式的概念及其性质. 难点：正确理解二次根式的性质,并准确地进行计算. 知识点01二次根式的定义 二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． ①“”称为二次根号 ②a（a≥0）是一个非负数； 学习要求： 理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围． 【即学即练1】 1．（2024春•蚌山区月考）下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 知识点02二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 学习要求： 能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题． 【规律方法】二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【即学即练1】 2．（2023春•蒙城县期末）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2 【即学即练2】 3．（2024春•淮北期末）已知，则的值为（　　） A． B． C．2024 D．2025 知识点03 二次根式的性质与化简 （1）二次根式的基本性质： ①≥0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③＝|a|＝（算术平方根的意义） （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0） （3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 【即学即练1】 4．（2024•蚌山区校级开学）若7＜m＜9，则化简的结果是（　　） A．15﹣2m B．2m﹣15 C．5 D．﹣5 【即学即练2】 5．（2024•蚌山区校级开学）有理数a，b，c在数轴上的位置如图：化简：＝（　　） A．a﹣b﹣2c B．﹣a﹣b C．a+c D．a﹣b 【即学即练3】 6．（2023秋•萧县期末）如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）（用含n的代数式表示）（　　） A． B． C． D． 题型01 求二次根式的值 1．（21-22八年级下·期末）下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22八年级下·全国·课后作业）已知关于x的方程有实数解，那么m的取值范围是 ． 题型02 求二次根式中的参数 3．（八年级下·安徽·阶段练习）若是正整数，最小的正整数n是(   ) A．2 B．3 C．4 D．5 4．（八年级下·安徽淮南·期中）已知最简二次根式与能合并，则a＝ ． 5．（23-24八年级下·期中）已知是整数，求自然数n的值． 题型03 利用二次根式的性质化简 6．（22-23八年级下·安徽亳州·阶段练习）在式子：中，二次根式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（23-24八年级下·期中）若，则 ． 8．（八年级下·安徽合肥·期中）观察下列等式： ①   ②   ③ （1）写出式⑤：___________________； （2）试用含n（n为自然数，且）的等式表示这一规律，并加以验证． 题型04 复合二次根式的化简 9．（八年级下·安徽合肥·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（八年级下·期末）已知是整数，则正整数n的最小值为 ． 一、单选题 1．下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．下列式子一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．使式子有意义的的范围是（         ） A． B． C． D． 5．当a＜0时，化简|2a－ |的结果是………（　　） A．a B．－a C．3a D．－3a 6．下列各式中，无意义的是（　　） A．﹣ B．﹣ C．﹣ D． 7．若，则xy值为(   ) A． B． C． D． 8．若有意义，则=（    ）_______． A． B． C．1 D．3 9．如果二次根式有意义，那么a的取值范围是（ ） A．a＞5 B．a≥5 C．a＜5 D．a≤5 10．式子有意义，x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．代数式有意义，那么x应满足的条件是 12．已知a为有理数；求的值为 ． 13．函数的自变量的取值范围是 ． 14．化简：= ；= ；= ；= ． 三、解答题 15．若，求的值． 16．已知满足，求的平方根． 17．若，都是实数，且满足，试化简代数式：． 18．二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为______； (2)若x，y为实数，且，求的值． 19．先化简，再求值：（﹣）•，其中x＝． 20．（1）已知、为实数，且，求的平方根． （2）已知实数满足，求的值． 21． ______ ， ______ ， ______ ， ______ ， ______ ， 根据计算结果，回答：一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你把得到规律描述出来． 利用你总结的规律，计算：． 22．有这样一个问题：探究函数y=-+|x|的图象与性质． 小军根据学习函数的经验，对函数y=-+|x|的图象与性质进行了探究． 下面是小军的探究过程，请补充完整： （1）函数y=-+|x|的自变量x的取值范围是 ； （2）表是y与x的几组对应值. x -2 -1.9 -1.5 -1 -0.5 0 1 2 3 4 … y 2 1.60 0.80 0 -0.72 -1.41 -0.37 0 0.76 1.55 … 在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； （3）观察图象，函数的最小值是 ； （4）进一步探究，结合函数的图象，写出该函数的一条性质（函数最小值除外）： ． 23．在平面直角坐标系中，有点，，且m，n满足． (1)如图1，A、B两点坐标为A　 　，B　 　； (2)如图2，点D为y轴负半轴上一点，过点D作，E为线段上任意一点，以O为顶点作，交于点F． ①写出、∠DFO、∠EOF的数量关系并给出证明． ②如图3，若，点G为线段与线段之间一点，连接，且， ，求的度数． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 二次根式 课程标准 学习目标 ① 二次根式的定义 ② 二次根式有意义的条件 ③ 二次根式的性质与化简 1.经历探究二次根式概念的过程，了解二次根式的概念，能够判断一个式子是不是二次根式. 2.理解二次根式有意义的条件，能够用简单的一元一次不等式解决求二次根式中字母的取值范围问题. 3.理解二次根式的性质,并能运用这个性质化简 二次根式. 4.掌握公式与(≥0)的区别，并能够在 二次根式的化简或计算中正确运用. 重点：二次根式的概念及其性质. 难点：正确理解二次根式的性质,并准确地进行计算. 知识点01二次根式的定义 二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． ①“”称为二次根号 ②a（a≥0）是一个非负数； 学习要求： 理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围． 【即学即练1】 1．（2024春•蚌山区月考）下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】形如的代数式叫做二次根式，其中a叫做被开方数，据此逐项判断即可． 【解答】解：A、中的被开方数﹣5＜0，不符合题意； B、是三次根式，不符合题意； C、中的a不一定大于等于0，不符合题意； D、是二次根式， 故选：D． 【点评】本题考查二次根式的定义，掌握其定义是解决此题的关键． 知识点02二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 学习要求： 能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题． 【规律方法】二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【即学即练1】 2．（2023春•蒙城县期末）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2 【分析】直接根据二次根式有意义的条件作答即可． 【解答】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴2x﹣4≥0． 解得x≥2． 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，直接根据二次根式有意义的条件是被开方数非负作答即可． 【即学即练2】 3．（2024春•淮北期末）已知，则的值为（　　） A． B． C．2024 D．2025 【分析】根据二次根式有意义的条件求得x＝2，则y＝2024，然后代入求值即可． 【解答】解：根据题意知：． 所以x＝2． 所以y＝2024， 所以＝＝2024． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数． 知识点03 二次根式的性质与化简 （1）二次根式的基本性质： ①≥0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③＝|a|＝（算术平方根的意义） （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0） （3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 【即学即练1】 4．（2024•蚌山区校级开学）若7＜m＜9，则化简的结果是（　　） A．15﹣2m B．2m﹣15 C．5 D．﹣5 【分析】根据7＜m＜9判断出5﹣m＜0，m﹣10＜0，再根据二次根式的性质化简即可． 【解答】解：∵7＜m＜9， ∴5﹣m＜0，m﹣10＜0， ∴ ＝m﹣5+10﹣m ＝5， 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握：当a≥0时，；当a＜0时，． 【即学即练2】 5．（2024•蚌山区校级开学）有理数a，b，c在数轴上的位置如图：化简：＝（　　） A．a﹣b﹣2c B．﹣a﹣b C．a+c D．a﹣b 【分析】根据有理数a，b，c在数轴上的位置可得c＜a＜0＜b，且|c|＞|b|＞|a|，进而可得a+c＜0，b﹣c＞0，再根据绝对值、二次根式的性质进行化简即可． 【解答】解：由有理数a，b，c在数轴上的位置可知，c＜a＜0＜b，且|c|＞|b|＞|a|， 所以a+c＜0，b﹣c＞0， 所以原式＝﹣a﹣c﹣b+c＝﹣a﹣b． 故选：B． 【点评】本题考查实数与数轴，二次根式的性质与化简，掌握数轴表示数的方法以及二次根式的性质是正确解答的关键． 【即学即练3】 6．（2023秋•萧县期末）如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）（用含n的代数式表示）（　　） A． B． C． D． 【分析】观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n﹣1行的数字个数，再加上从左向右的第n﹣3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的形式即可． 【解答】解：由图中规律知，前（n﹣1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n﹣1）＝n（n﹣1）， 所以第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数的被开方数是 n（n﹣1）+n﹣3＝n2﹣3， 所以第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是． 故选：C． 【点评】本题考查了算术平方根．根据数据排列规律，计算前（n﹣1）行数据的个数是解决本题的关键． 题型01 求二次根式的值 1．（21-22八年级下·期末）下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求二次根式的值 【分析】根据二次根式的定义判断即可； 【详解】A.，无意义，故A错误； B.是二次根式，故B正确； C.是三次根式，故C错误； D.没有说明a的取值范围，故D错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义应用，准确分析判断是解题的关键． 2．（21-22八年级下·全国·课后作业）已知关于x的方程有实数解，那么m的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】二次根式有意义的条件、求二次根式的值 【分析】根据二次根式的非负性，即可求解． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查二次根式的非负性，解题的关键是掌握二次根式值的特点． 题型02 求二次根式中的参数 3．（八年级下·安徽·阶段练习）若是正整数，最小的正整数n是(   ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】先将所给的二次根式化为最简二次根式，然后再判定n的最小正整数值. 【详解】，由于是正整数，所以最小的正整数n是3， 故选：B. 【点睛】此题考查二次根式的化简，二次根式的定义，正确化简二次根式为最简二次根式是解题的关键. 4．（八年级下·安徽淮南·期中）已知最简二次根式与能合并，则a＝ ． 【答案】3 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】先化简二次根式，根据题意可知二次根式与是同类二次根式，可得到a-1=2，从而可求得a的值． 【详解】∵最简二次根式与能合并， ∴a-1=2, ∴a=3. 故答案是:3. 【点睛】考查的是同类二次根式的定义，解题关键是抓住最简二次根式和依据同类二次根式的定义得到关于a的方程． 5．（23-24八年级下·期中）已知是整数，求自然数n的值． 【答案】10，9，6，1 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】本题考查二次根式的性质，利用二次根式的性质、化简法则及自然数指大于等于0的整数，分析求解． 【详解】由题意得， 又n为自然数， ∴， ∵是整数 ， ∴，，，， ∴自然数n所有可能的值为10，9，6，1． 题型03 利用二次根式的性质化简 6．（22-23八年级下·安徽亳州·阶段练习）在式子：中，二次根式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式的定义对各式分析判断即可得解． 【详解】解：，是二次根式， 无意义， 是二次根式， 是三次根式， 是二次根式， 无意义， 综上所述，是二次根式的有3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件，被开方数是非负数． 7．（23-24八年级下·期中）若，则 ． 【答案】8 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是化简 ． 【详解】解：， ， ， 故答案为：8． 8．（八年级下·安徽合肥·期中）观察下列等式： ①   ②   ③ （1）写出式⑤：___________________； （2）试用含n（n为自然数，且）的等式表示这一规律，并加以验证． 【答案】（1） （2）规律：（为自然数，且 ），验证见解析． 【知识点】与实数运算相关的规律题、利用二次根式的性质化简 【分析】（1）根据规律解答即可； （2）根据完全平方公式以及二次根式的性质解答即可． 【详解】解：（1） ①   ②    ③ 式⑤：   故答案为： （2）规律： 理由如下： ∵n为自然数，且n≥1， ∴ 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握完全平方公式是解答（2）的关键． 题型04 复合二次根式的化简 9．（八年级下·安徽合肥·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案． 【详解】解：A. 故A错误； B. 故B正确； C. ，故C错误 ； D与不是同类二次根式，不能合并，故D错误. 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键． 10．（八年级下·期末）已知是整数，则正整数n的最小值为 ． 【答案】3. 【分析】根据二次根式的性质，对进行化简，只要是整数即可 【详解】解：由题意可知：48n⩾0， ∴n⩾0， ∵是整数， 故是整数， ∴n的最小值为3， 故答案为3. 【点睛】本题考查二次根式的定义，解决此题时要先对根式进行化简将能开方的先开出来，再进行分析比较简单. 一、单选题 1．下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的概念，形如的式子是二次根式，依据定义即可判断． 【详解】解：A、根指数是3，不是二次根式； B、当时，不是二次根式； C、， ∴是二次根式； D、当时，不是二次根式． 故选：C． 【点睛】本题考查的是二次根式的定义，熟记概念是解决此题的关键． 2．下列式子一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、当时，二次根式无意义，所以不一定是二次根式，选项A不符合题意； B、是二次根式，故选项B符合题意； C、当时，此时二次根式无意义，所以不一定是二次根式，选项C不符合题意； D、，二次根式无意义，所以一定不是二次根式，选项D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式的定义，掌握二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式是解题的关键． 3．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， ， 解得． 故选：A． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键． 4．使式子有意义的的范围是（         ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得：1﹣a≥0， 解得：a≤1． 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件．二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 5．当a＜0时，化简|2a－ |的结果是………（　　） A．a B．－a C．3a D．－3a 【答案】D 【详解】试题分析：∵a＜0，∴|a|=-a， 则原式=|2a-|a||=|2a+a|=-3a． 故选D 考点：二次根式的性质与化简． 6．下列各式中，无意义的是（　　） A．﹣ B．﹣ C．﹣ D． 【答案】A 【详解】试题解析：A、 ∴无意义，故本选项符合题意； B、有意义，故本选项不符合题意； C、，有意义，故本选项不符合题意； D、有意义，故本选项不符合题意． 故选A． 7．若，则xy值为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的非负性可得，代入即可得到，即可求出xy的值． 【详解】根据二次根式的非负性可得 解得 将代入中 ∴ 故答案为：C． 【点睛】本题考查了代数式的运算问题，掌握二次根式的非负性是解题的关键． 8．若有意义，则=（    ）_______． A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】根据题目给出的有意义，可得x=3，代入即可得到结果. 【详解】有意义，所以x=3，则=1，故选C. 【点睛】本题考查的二次根式被开方数的性质，掌握二次根式被开方数为非负数这个性质是解决此题的关键. 9．如果二次根式有意义，那么a的取值范围是（ ） A．a＞5 B．a≥5 C．a＜5 D．a≤5 【答案】B 【详解】试题分析：因为当a-5≥时，二次根式有意义，解得a≥5，故选B． 考点：二次根式有意义的条件， 10．式子有意义，x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质：被开方数大于或等于0，列不等式求解． 【详解】解：依题意有 当时，原二次根式有意义； 解得：； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的基本性质（被开方数大于或等于0）；解一元一次不等式，在解一元一次不等式的过程中要用到不等式的基本性质（1．不等式两边同时加上或同时减去一个数，不等号的方向不变；2．不等式两边同时乘以或同时除以一个正数，不等号的方向不变；3．不等式两边同时乘以或同时除以一个负数，不等号的方向改变．）熟记并灵活运用不等式的基本性质是解本题的关键． 二、填空题 11．代数式有意义，那么x应满足的条件是 【答案】 【分析】直接利用二次根式有意义的条件，被开方数是非负数，进而得出答案． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得：． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键． 12．已知a为有理数；求的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据题意得出，，求出，再代入求值即可． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， ∴原式 ， 故答案为：． 13．函数的自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为是解题的关键． 14．化简：= ；= ；= ；= ． 【答案】 3 【详解】试题解析： 三、解答题 15．若，求的值． 【答案】4 【分析】结合题意，根据二次根式的性质，可分别得到x和y的方程，经计算从而完成求解． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了二次根式、一元一次方程、等式等知识；解题的关键是熟练掌握平方根、一元一次方程、等式的性质，从而完成求解． 16．已知满足，求的平方根． 【答案】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，可以列出关于a的不等式组，解出a的值，舍去分母为0的值后，代入的表达式，求出值，然后将代入所求式子化简整理即可． 【详解】由题意得 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵2的平方根为 ∴ 【点睛】本题考查了二次根式的被开方数是非负数，列不等式组求解的问题，解不等式注意要验证取值是否符合题意，求平方根时注意平方根有两个． 17．若，都是实数，且满足，试化简代数式：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和分式的加减法．先根据二次根式有意义的条件求出，再把代入求出的取值范围，最后进行化简即可． 【详解】解：由题可知， ， 解得， 将代入求得， 则 ． 18．二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为______； (2)若x，y为实数，且，求的值． 【答案】(1) (2)7或3 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，绝对值的非负性，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件，绝对值的非负性求得a，b的值，然后代入中计算即可； （2）根据二次根式有意义的条件求得x，y的值后代入中计算即可． 【详解】（1）解：， ∴，， 解得：，， 那么， 故答案为：； （2）解：由题意可得，， 则， 那么， 则或， 那么或， 即的值是7或3． 19．先化简，再求值：（﹣）•，其中x＝． 【答案】 【分析】根据分式的减法和乘法运算法则，结合完全平方公式、平方差公式进行化简题目中的式子，然后将x的值化简后代入计算即可解答本题． 【详解】解：∵x＝＝ ∴原式＝ ＝ ＝ ＝， 当x＝﹣1时，原式＝﹣＝． 【点睛】本题考查了分式的运算，二次根式的非负性，完全平方公式和平方差公式的应用，本题容易出现这样的错误：，没有考虑的正负性． 20．（1）已知、为实数，且，求的平方根． （2）已知实数满足，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据和均有意义，得出，则，求出b的值，即可求解； （2）根据有意义，得出，推出，则，即可求解． 【详解】解：（1）∵和均有意义， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴的平方根为； （2）∵有意义， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式中被开方数为非负数． 21． ______ ， ______ ， ______ ， ______ ， ______ ， 根据计算结果，回答：一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你把得到规律描述出来． 利用你总结的规律，计算：． 【答案】 4 0 3 ;(1)不一定，当a>0时，a<0时；（2）3.15－ 【详解】试题分析：原式各项计算得到结果； （1）不一定等于a，=|a|； （2）原式利用得出规律计算即可得到结果． 试题解析：4，0.8，0，3，. （1）不一定等于a； 其中的规律是：当a≥0时，＝a；当a＜0时，＝−a； （2）=3.15-π． 22．有这样一个问题：探究函数y=-+|x|的图象与性质． 小军根据学习函数的经验，对函数y=-+|x|的图象与性质进行了探究． 下面是小军的探究过程，请补充完整： （1）函数y=-+|x|的自变量x的取值范围是 ； （2）表是y与x的几组对应值. x -2 -1.9 -1.5 -1 -0.5 0 1 2 3 4 … y 2 1.60 0.80 0 -0.72 -1.41 -0.37 0 0.76 1.55 … 在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； （3）观察图象，函数的最小值是 ； （4）进一步探究，结合函数的图象，写出该函数的一条性质（函数最小值除外）： ． 【答案】（1）x≥-2；（2）见解析；（3）-；（4）当-2≤x＜0时，y随x的增大而减小． 【分析】（1）根据二次根式的性质即可得到结论； （2）用描点法画出函数的图象即可； （3）根据函数的图象即可得到结论； （4）根据函数的图象得到函数的性质即可． 【详解】（1）由x+2≥0，得，x≥-2， ∴函数y=-+|x|的自变量x的取值范围是x≥-2， 故答案为x≥-2； （2）该函数的图象如图所示； （3）由图象得，函数的最小值是-； 故答案为-； （4）该函数的其它性质：当-2≤x＜0时，y随x的增大而减小； 故答案为当-2≤x＜0时，y随x的增大而减小． 【点睛】本题考查了函数的图象，函数自变量的取值范围，正确的理解题意是解题的关键． 23．在平面直角坐标系中，有点，，且m，n满足． (1)如图1，A、B两点坐标为A　 　，B　 　； (2)如图2，点D为y轴负半轴上一点，过点D作，E为线段上任意一点，以O为顶点作，交于点F． ①写出、∠DFO、∠EOF的数量关系并给出证明． ②如图3，若，点G为线段与线段之间一点，连接，且， ，求的度数． 【答案】(1)，； (2)①，证明见解析；② 【分析】（1）根据二次根式的被开方数的非负性可求出，从而可得，由此即可得； （2）①过点O作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据角的和差、等量代换即可得出结论； ②先根据（2）①的结论可得，从而可得，过点G作，根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据角的和差、等量代换即可得． 【详解】（1）由题意得：， 解得：， ∵， ∴， ∴，， 故答案为：，； （2）①，证明如下： 如图2，过点O作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②由（2）①得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 如图3，过点G作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了平行线的性质，角的和差、等量代换，解题的关键是熟悉平行线的性质和角的计算． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$