复习篇 09 抛物线 2024-- 2025学年高二数学寒假复习讲义（人教A版2019）

09 抛物线 【题型1】 抛物线的定义 【基础知识】 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线，定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线. 如图在抛物线上. 【经典例题】 角度1 抛物线的轨迹 【例1】（2024高三·全国·专题练习）若点P到点的距离比它到直线的距离小2，则点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义即可写出点P的轨迹方程. 【详解】由题意，知P到的距离比它到的距离小2， 因此P到的距离与到直线的距离相等， 故P的轨迹是以F为焦点，为准线的抛物线， 所以P的轨迹方程为． 故选：C 【巩固练习】 1（23-24高二上·江西景德镇·期末）动圆经过定点，且与轴相切，则圆心的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】根据圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识确定正确答案. 【详解】由于动圆经过定点，且与轴相切， 所以到定点的距离，等于到轴的距离， 根据抛物线的定义可知，的轨迹为抛物线. 故选：D 2（24-25高二上·重庆·期中）已知为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据抛物线定义求. 【详解】由题设，抛物线准线为，结合题设及抛物线定义，则有. 故选：C 角度2 抛物线上点到定点和焦点距离和、差的最值 【例1】（24-25高三上·北京东城·阶段练习）已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据给定条件，将问题转化为点P到点的距离与点P到准线距离之和的最小值，再利用抛物线的定义求解即得. 【详解】抛物线的焦点，准线， 过作于，交于点，则，， 记点为，于是， 当且仅当为线段与抛物线的交点时取等号， 所以点P到点的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为2. 故选：2    【巩固练习】 1（24-25高二上·广东·期中）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，定点，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】利用抛物线的定义、性质及数形结合判定选项即可. 【详解】因为等于点到准线的距离，作垂直于准线于,根据抛物线的定义可知， 所以当PQ垂直于准线时交准线于,，有最小值，,最小值为. 当且仅当在与抛物线的交点时取得等号. 故选：C. 2（24-25高二上·宁夏吴忠·阶段练习）已知，为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，当取最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】点在抛物线的内部，要求的最小值，利用抛物线的定义，过点直接作准线的垂线，与抛物线的交点即为所求. 【详解】，所以点在抛物线的内部， 设点在准线上的射影为，由抛物线的定义可知， 要求的取最小值，即求的最小值， 只有当三点共线时最小， 令，，得，所以取最小值时点的坐标为. 故选：D.    【题型2】抛物线的简单几何性质 【基础知识】 标准方程 图象 顶点 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点 准线方程 离心率 【经典例题】 角度1 抛物线的焦点坐标与准线方程 【例1】（24-25高二上·广西河池·阶段练习）已知抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线准线方程确定双曲线焦点坐标，进而得到，即可求解. 【详解】已知抛物线的准线为， 所以双曲线的一个焦点为， 所以，解得， 所以双曲线的渐近线方程为． 故选：D． 【巩固练习】 1（24-25高二上·广东东莞·期中）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将抛物线方程化为标准方程，再求焦点坐标即可. 【详解】抛物线化为标准方程可得， 故，焦点坐标为. 故选:C. 2（24-25高二上·山西·期中）抛物线的焦点到准线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将抛物线方程化成标准方程求出，得解. 【详解】由抛物线的标准方程为，有，得， 所以抛物线的焦点到准线的距离为. 故选：B. 3（23-24高二下·河南漯河·阶段练习）已知椭圆的离心率，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的焦点可知，且焦点在y轴上，再结合离心率求，即可得方程. 【详解】因为抛物线，即为，其焦点坐标为， 即椭圆的一个焦点为，可知，且焦点在y轴上， 又因为，即，可得， 所以椭圆方程为. 故选：D. 角度2 求抛物线方程 【例1】（24-25高二上·河南南阳·期中）已知O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，点在C上，且，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线定义及可得，进而将点代入抛物线方程即可求得，进而求解C的方程. 【详解】由抛物线的定义，可知，又，， 则，即， 由点在C上，得，结合，解得. 所以C的方程为. 故选：B. 【巩固练习】 1（24-25高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期中）设为抛物线的焦点，若上的点到焦点的距离为5，则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线定义可得答案. 【详解】抛物线的准线方程为， 因为点到焦点的距离为5， 所以，解得， 可得准线方程为. 故选：C. 2（2024·浙江金华·一模）已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且，则抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义，结合已知条件，求得，即可求得抛物线方程. 【详解】根据题意，连接，过作垂直于抛物线的准线，垂足为，作图如下：    由抛物线定义可知，解得， 故抛物线方程为：. 故选：C. 角度3 抛物线简单几何性质的运用 【例1】（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于两点，若为等边三角形，则的值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据抛物线的几何性质可得准线方程为：，即可与双曲线联立得，即可根据等边三角形的性质求解. 【详解】解：抛物线的焦点坐标为，准线方程为：， 准线方程与双曲线联立可得：，解得，故, 因为为等边三角形，所以， 即有，解得 故选：C   【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线，过的焦点的直线交于两点，交的准线于，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意记的准线与轴交点为，过分别作准线的垂线，垂足为，再结合和及抛物线定义知识可求得，即可求解. 【详解】记的准线与轴交点为，过分别作准线的垂线，垂足为， 因为，所以，即， 由于，所以， 由可知，所以，而， 由可知，即的方程为．故C正确. 故选：C. 【巩固练习】 1（24-25高二上·黑龙江·期中）若正三角形的一个顶点是原点，另外两个顶点在抛物线上，则该正三角形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设等边三角形的边长为，由对称性可得在抛物线上，代入，即可求. 【详解】设等边三角形的边长为， 则由等边三角形和抛物线的对称性可得等边三角形一个顶点的坐标为， 代入抛物线方程得，解得. 故选：B 2（24-25高二上·河北·期中）已知点在抛物线上，若点到抛物线的对称轴的距离是6，到焦点的距离是10，则的值是（   ） A．2或4 B．6或12 C．4或16 D．2或18 【答案】D 【分析】设，根据抛物线的定义求解； 【详解】 设，代入抛物线，解得：， 又因为点到焦点的距离是10，根据抛物线的定义，得： 化简得： 解得：或18. 故选：D. 3（24-25高三上·青海西宁·期中）已知过抛物线的焦点作斜率为的直线，与的一个交点位于第四象限，且与的准线交于点，若，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】作出几何图形，结合抛物线定义列式计算即得. 【详解】如图，过点作准线的垂线，垂足为，则，， 由，得，则， 因此，所以. 故选：B 4（23-24高二下·湖南·期末）设为抛物线的焦点，点为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，进而可得，由求解. 【详解】因为为抛物线的焦点，所以，所以抛物线的焦点的坐标为， 由抛物线定义可知2， 又，所以，解得，故， 所以为原点， 从而. 故选：D. 5（2024·湖南邵阳·三模）已知抛物线：的焦点为，点在的准线上，点在上且位于第一象限，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点在抛物线 的准线上，可得 ，得出斜率关系求出点B,最后应用两点间距离结合勾股定理计算即可. 【详解】 由点在抛物线 的准线上，可得 ，即 ， 所以抛物线 C 的方程为，焦点 ，准线方程为 ， 设则，由 ，可得，即， 整理得，又，所以，解得或， 点B位于第一象限，所以， ，且，显然不满足垂直， 所以， 所以，所以. 故选:D. 【题型3】直线与抛物线 【基础知识】 (1)直线与圆锥曲线相交于，则 或 ， (，注意对公式推导的理解，其本质是两点距离公式) (2) 抛物线的焦点弦长 为弦所在直线的倾斜角.(其他形式的抛物线类似) 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·重庆铜梁·阶段练习）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且. (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线与抛物线交于、两点，若点满足，求直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用抛物线的定义可求出的值，由此可得出抛物线的方程； （2）根据题意，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积的坐标运算以及韦达定理可求得的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）抛物线的准线方程为， 因为点在抛物线上，且， 由抛物线的定义可得，解得， 因此，抛物线的方程为. （2）若直线轴，则直线与抛物线有且只有一个交点，不合乎题意， 故可设直线的方程为，设点、， 由，整理得，则， 由韦达定理可得，， 因为，， 所以， 即，即， 即，解得， 因此，直线的方程为，即. 【巩固练习】 1（23-24高二上·河南南阳·期中）已知直线l：与抛物线C：交于A，B两点，且，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 设出和两点的坐标，把与联立得到，经过点的焦点，进而根据的长度求出. 【详解】设，，把l与C的方程联立， 得，消去y并整理，得， 则，，又l经过C的焦点， ∴，∴， ∴C的方程为. 故选：C. 2（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，且，直线与抛物线交于另一点，点在抛物线的准线上，且轴. (1)求抛物线的方程； (2)若线段中点的纵坐标为，求直线的方程； (3)求证：直线经过原点. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据抛物线定义求出得解； （2）设出直线方程，与抛物线联立，利用根与系数的关系及中点坐标得解； （3）由根与系数的关系及直线的两点式方程，化简可得出直线在轴截距为0得证. 【详解】（1）由抛物线的定义知：， 所以，解得， 所以抛物线的方程为； （2）由（1）知，， 因为的斜率不为，设方程为，， 由，化简的， 所以， 又由，得， 所以方程为，即； （3）由（2）知：， 因为，所以方程为， 即：， 又因为， 所以，， 所以直线经过原点. 3（24-25高二上·河南·期中）已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且. (1)求和的值； (2)过点的直线与交于A，B两点，记直线OA，OB的斜率分别为，其中为坐标原点，求证：为定值. 【答案】(1)，； (2)证明见解析 【分析】（1）由焦半径公式求得，得抛物线方程，点坐标代入抛物线方程可得； （2）设直线的方程为，设，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得，再利用在抛物线上求得，然后计算可得． 【详解】（1）由题意，，抛物线方程为， 在抛物线上，因此，所以； （2）由（1）知焦点为，显然直线与不重合， 设直线的方程为，设， 由得，因此， 又，， 所以 所以． 【A组---基础题】 1（2023高三·全国·专题练习）点P到点的距离比它到直线l：的距离大4，则点P的轨迹是（    ） A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线 D．以上都不对 【答案】D 【分析】根据给定条件，按点在直线及左侧、右侧两种情况分类讨论，结合抛物线定义判断即得. 【详解】由点P到点的距离比它到直线的距离大4，知点P既可以在直线的左侧，也可以在直线的右侧， 当点P在直线及左侧时，点P到点的距离等于它到直线的距离， 则点P的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线在直线及左侧部分； 当点P在直线的右侧时，点P到点的距离等于它到直线的距离， 则点P的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线在直线的右侧部分， 所以点P的轨迹包含以上两部分，选项ABC错误，D正确. 故选：D 2（2024·广东河源·模拟预测）已知点到抛物线的准线的距离为3，则的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出准线方程，由题意建立等式，求得的值，从而得到焦点坐标. 【详解】抛物线的准线方程为， 由题意可知，解得， 所以的焦点坐标为， 故选：B． 3（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线上一点到焦点的距离为，则的中点到轴的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线定义可知点的横坐标，进而可得中点横坐标. 【详解】由已知抛物线， 则焦点，准线， 又点到焦点的距离为， 结合抛物线定义可知， 点到准线的距离， 则， 所以中点横坐标， 即中点到轴的距离为， 故选：A. 4（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知抛物线C：过点，则抛物线C的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得抛物线的方程，结合抛物线的几何性质，即可求解. 【详解】由抛物线C：过点，可得，解得， 即抛物线的方程为，可得抛物线的准线方程为. 故选：B. 5（2024·福建莆田·三模）已知抛物线）的焦点为F，点在抛物线C上，且，则抛物线C的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合抛物线的定义，列出方程组，求得的值，得出抛物线的方程，即可求解. 【详解】因为点在抛物线 上，且， 可得，解得，即抛物线， 所以抛物线C的准线方程是. 故选：D. 6（24-25高二上·吉林长春·期中）已知抛物线的焦点为，为上的一点且在第一象限，以为圆心，为半径的圆交的准线于，两点，且，，三点共线，则（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【分析】根据题意可知AD⊥BD，利用抛物线的定义，可得∠ABD＝30°，所以|AF|＝|BF|＝2×6＝12. 【详解】因为A，F，B三点共线，所以AB为圆F的直径，AD⊥BD. 由抛物线定义知，所以∠ABD＝30°. 因为F到准线的距离为6， 所以|AF|＝|BF|＝2×6＝12. 故选：B.   7（24-25高三上·四川·开学考试）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于点、，与直线交于点，若且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设准线与轴的交点为，作，，垂足分别为，，可得，可求，进而可得，求解即可． 【详解】设准线与轴的交点为，作，，垂足分别为，， 则．根据抛物线定义知，， 又若，且， 因为，设， 则， ，又，解得，， 所以， 因为， 所以， ，解得． 故选:C 8（多选）（24-25高三上·四川南充·阶段练习）已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（    ） A．的坐标为 B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据抛物线的定义和标准方程，以及抛物线的几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由抛物线，可得，所以，且焦点在y轴正半轴上， 则焦点，所以A错误； 由抛物线的定义,可得，解得，所以B正确； 由，可得，所以，则，所以C不正确； 由，所以D正确． 故选：BD． 9（24-25高二上·广西·期中）已知点的坐标为，过点的直线与抛物线：交于两点，且， 连接，直线斜率与直线的斜率之积为.    (1)求的值； (2)若线段的垂直平分线与抛物线交于，两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得直线的方程为，联立方程，利用韦达定理结合向量垂直的坐标表示运算求解即可； （2）由（1）可得直线的方程为，联立方程利用韦达定理求弦长，进而可得面积. 【详解】（1）设，直线斜率为， 由题可知：点，则直线的斜率为：； 因为直线斜率与直线的斜率之积为， 则，解得， 又因为点，过点的直线与抛物线交于两点， 故直线的方程为，即， 联立方程，消去可得， 则，可得， 因为，则， 整理可得，即，解得. （2）由题可知，直线垂直平分线段，    设线段的中点为，直线的斜率为， 由（1）知，则，即， 且，所以直线的方程为，即， 联立方程，消去可得， 可得， 设，则， 所以， 且点到直线的距离为， 所以的面积为. 【B组---提高题】 1（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，垂直l于点Q，直线与C相交于M、N两点．若M为靠近点F的的三等分点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点M作于点H，设准线l与x轴的交点为K，结合抛物线定义可得，可得为等边三角形，即，求出直线的方程与抛物线C的方程联立，求得点N的横坐标为，可得垂直x轴，在中，利用运算得解. 【详解】   如图，过点M作于点H，设准线l与x轴的交点为K， 因为M为靠近点F的的三等分点，所以， 因为，所以，由抛物线定义知，， 所以，在中，因为， 所以，因为，所以， 由抛物线定义知，，所以为等边三角形， 所以，可得点P的横坐标为， 设与x轴的交点为G，由及， 因为直线的斜率为，点， 所以直线的方程为， 联立，消去y化简并整理得，， 解得或，则点N的横坐标为，又点P的横坐标为， 可得垂直x轴，且垂足为G，在中，由， 所以． 故选：D． 2（24-25高三上·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，过的直线与抛物线及圆的四个交点依次为、、、． (1)若点的纵坐标为，求； (2)证明为定值，并求出该定值； (3)过、分别作抛物线的切线、，且、交于点，求与的面积之和的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析；定值为 (3) 【分析】（1）根据抛物线定义即可求得； （2）根据题意，，再根据韦达定理可证； （3）利用点的坐标求出切线的方程，可得点的坐标，再得到弦长和点到直线的距离，可得面积代数式，根据二次函数求得最值. 【详解】（1）根据已知抛物线的焦点，准线方程为：， 则. （2）证明：由已知直线的斜率存在，设其方程为：， 设，则， 则，， 由可得： 则，， 即为定值. （3） 由可得， 则切线的方程为：   ① 切线的方程为：   ② ②①可得：，则， 由①可得：，    同理由②可得： 联立可得：，则， 点到直线的距离为， 则与的面积之和为： 令，则， 在恒成立，即函数单调递增， 则当即当时，即直线的方程为时， 则与的面积之和的最小值为. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 09 抛物线 【题型1】 抛物线的定义 【基础知识】 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线，定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线. 如图在抛物线上. 【经典例题】 角度1 抛物线的轨迹 【例1】（2024高三·全国·专题练习）若点P到点的距离比它到直线的距离小2，则点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（23-24高二上·江西景德镇·期末）动圆经过定点，且与轴相切，则圆心的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 2（24-25高二上·重庆·期中）已知为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 角度2 抛物线上点到定点和焦点距离和、差的最值 【例1】（24-25高三上·北京东城·阶段练习）已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【巩固练习】 1（24-25高二上·广东·期中）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，定点，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 2（24-25高二上·宁夏吴忠·阶段练习）已知，为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，当取最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型2】抛物线的简单几何性质 【基础知识】 标准方程 图象 顶点 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点 准线方程 离心率 【经典例题】 角度1 抛物线的焦点坐标与准线方程 【例1】（24-25高二上·广西河池·阶段练习）已知抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25高二上·广东东莞·期中）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 2（24-25高二上·山西·期中）抛物线的焦点到准线的距离为（   ） A． B． C． D． 3（23-24高二下·河南漯河·阶段练习）已知椭圆的离心率，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 角度2 求抛物线方程 【例1】（24-25高二上·河南南阳·期中）已知O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，点在C上，且，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期中）设为抛物线的焦点，若上的点到焦点的距离为5，则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 2（2024·浙江金华·一模）已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且，则抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 角度3 抛物线简单几何性质的运用 【例1】（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于两点，若为等边三角形，则的值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线，过的焦点的直线交于两点，交的准线于，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25高二上·黑龙江·期中）若正三角形的一个顶点是原点，另外两个顶点在抛物线上，则该正三角形的边长为（   ） A． B． C． D． 2（24-25高二上·河北·期中）已知点在抛物线上，若点到抛物线的对称轴的距离是6，到焦点的距离是10，则的值是（   ） A．2或4 B．6或12 C．4或16 D．2或18 3（24-25高三上·青海西宁·期中）已知过抛物线的焦点作斜率为的直线，与的一个交点位于第四象限，且与的准线交于点，若，则（    ） A． B．2 C． D．3 4（23-24高二下·湖南·期末）设为抛物线的焦点，点为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若，则（    ） A． B． C． D． 5（2024·湖南邵阳·三模）已知抛物线：的焦点为，点在的准线上，点在上且位于第一象限，，则（    ） A． B． C． D． 【题型3】直线与抛物线 【基础知识】 (1)直线与圆锥曲线相交于，则 或 ， (，注意对公式推导的理解，其本质是两点距离公式) (2) 抛物线的焦点弦长 为弦所在直线的倾斜角.(其他形式的抛物线类似) 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·重庆铜梁·阶段练习）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且. (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线与抛物线交于、两点，若点满足，求直线的方程. 【巩固练习】 1（23-24高二上·河南南阳·期中）已知直线l：与抛物线C：交于A，B两点，且，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 2（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，且，直线与抛物线交于另一点，点在抛物线的准线上，且轴. (1)求抛物线的方程； (2)若线段中点的纵坐标为，求直线的方程； (3)求证：直线经过原点. 3（24-25高二上·河南·期中）已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且. (1)求和的值； (2)过点的直线与交于A，B两点，记直线OA，OB的斜率分别为，其中为坐标原点，求证：为定值. 【A组---基础题】 1（2023高三·全国·专题练习）点P到点的距离比它到直线l：的距离大4，则点P的轨迹是（    ） A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线 D．以上都不对 2（2024·广东河源·模拟预测）已知点到抛物线的准线的距离为3，则的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 3（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线上一点到焦点的距离为，则的中点到轴的距离为（    ） A． B． C． D． 4（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知抛物线C：过点，则抛物线C的准线方程为（   ） A． B． C． D． 5（2024·福建莆田·三模）已知抛物线）的焦点为F，点在抛物线C上，且，则抛物线C的准线方程是（    ） A． B． C． D． 6（24-25高二上·吉林长春·期中）已知抛物线的焦点为，为上的一点且在第一象限，以为圆心，为半径的圆交的准线于，两点，且，，三点共线，则（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 7（24-25高三上·四川·开学考试）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于点、，与直线交于点，若且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8（多选）（24-25高三上·四川南充·阶段练习）已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（    ） A．的坐标为 B． C． D． 9（24-25高二上·广西·期中）已知点的坐标为，过点的直线与抛物线：交于两点，且， 连接，直线斜率与直线的斜率之积为.    (1)求的值； (2)若线段的垂直平分线与抛物线交于，两点，求的面积. 【B组---提高题】 1（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，垂直l于点Q，直线与C相交于M、N两点．若M为靠近点F的的三等分点，则（   ） A． B． C． D． 2（24-25高三上·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，过的直线与抛物线及圆的四个交点依次为、、、． (1)若点的纵坐标为，求； (2)证明为定值，并求出该定值； (3)过、分别作抛物线的切线、，且、交于点，求与的面积之和的最小值． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$