第11讲导数在研究函数中的应用（3大知识点+6大题型+分层练习）-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019选修二）

第11讲 导数在研究函数中的应用 目录 题型归纳 1 题型01 利用导数证明不等式 1 题型02 利用导数研究不等式恒成立问题 6 题型03 利用导数研究能成立问题 10 题型04 利用导数研究函数的零点 15 题型05 利用导数研究方程的根 20 题型06 利用导数研究双变量问题 24 分层练习 31 夯实基础 31 能力提升 40 知识点01导数与不等式的证明 规律方法　利用导数证明不等式问题的方法 (1)直接构造函数法：证明不等式f(x)>g(x)(或f(x)<g(x))转化为证明f(x)－g(x)>0(或f(x)－g(x)<0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)． (2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论． (3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同结构变形，根据相似结构构造辅助函数． 知识点02恒成立问题与能成立问题 规律方法　(1)由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略 ①求最值法：将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题． ②分离参数法：将参数分离出来，进而转化为a>f(x)max或a<f(x)min的形式，通过导数的应用求出f(x)的最值，即得参数的范围． (2)不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别． 知识点03零点问题 规律方法　(1)求解函数零点(方程根)个数问题的步骤 ①将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题． ②利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质． ③结合图象求解． (2)已知零点求参数的取值范围 ①结合图象与单调性，分析函数的极值点． ②依据零点确定极值的范围． ③对于参数选择恰当的分类标准进行讨论． 隐零点的处理思路 第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数； 第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次. 题型01利用导数证明不等式 【例1】（21-22高二上·陕西榆林·期中）已知命题；命题.则（    ） A．是假命题 B．是真命题 C．是假命题 D．是真命题 【答案】D 【知识点】根据或且非命题的真假判断命题的真假、利用导数证明不等式 【分析】构造函数，证明对恒成立得命题为真命题，再根据命题为假命题，判断各选项即可得答案. 【详解】解：令，， 所以，当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，，故对恒成立， 所以，命题为真命题； 由于，故命题为假命题. 所以，，，为真命题，为假命题. 故选：D 【变式1】（22-23高二上·福建福州·期末）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用导数证明不等式、比较函数值的大小关系 【分析】令，，利用导数说明函数的单调性，即可得到，，从而判断、的关系，再令，利用导数说明，，即可判断、的关系，即可得解. 【详解】解：令，，则， 所以在上单调递增，又，所以，， 即，， 所以，即， 令，则，当时，即在上单调递减，又， 所以当时，即，所以，即， 综上可得. 故选：C 【变式2】（23-24高二上·山西·期末）若存在实数使得，则的值为 . 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、利用导数证明不等式 【分析】利用同构法将不等式转化为，再利用导数证得，进而得到，从而求得的值，由此得解. 【详解】因为，所以， 令，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 所以，可得， 所以，即， 当且仅当，即时等号成立， 又，所以， 故，此时的值为. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：两个常见的重要不等式： （1）；（2） 【变式3】（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知函数，有两个不相等的正实数，使得． (1)求函数的单调区间； (2)证明：． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为； (2)证明见解析. 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）求出得出的单调性； （2）不妨设,先分析出,再构造函数函数，,利用导数分别完成对左右的证明即可. 【详解】（1）函数的定义域为， ，令，解得， 当时，；当时，, 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）,当时，且, 当时, , 结合(1)可知,函数有两个不相等的正实数,使得, 又, 不妨设,则必有, 要证: ,即证明, 由于， 因为函数在上单调递增,所以即证: . 又因为,所以即证：. 构造函数， 有， 易知 当且仅当时取等, 所以在上恒成立,即函数在上单调递减， 那么, 由，可得. 因为，所以， 所以. 设， 则. 当时，恒成立， 所以在上单调递减， 所以时，, 于是有时. 因为，所以，则. 又因为,所以， 故. 因为，所以， 所以，即. 综上所述，. 【点睛】方法点睛:利用导数证明或判定不等式问题: 1.通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值)，从而得出不等关系; 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系; 3．适当放缩构造法:根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系; 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 题型02 利用导数研究不等式恒成立问题 【例2】（22-23高二上·陕西咸阳·期末）已知对于恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】对于恒成立转化为，求出即可得出答案. 【详解】令，， 令，解得：， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为对于恒成立，所以，即. 故选：B. 【变式1】（22-23高二上·陕西商洛·期末）已知函数，若恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】根据构造，从而恒成立等价于，分离参数后转化求最值即可求解. 【详解】因为，令 所以恒成立等价于. 当时，成立. 当时，令 当时，等价于，而在上恒成立， 所以. 当时，等价于， 而， 当时，单调递减；当时，单调递增. 所以， 所以. 综上，. 故选：B 【点睛】方法点睛： 不等式恒成立问题常见方法： ①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； ②数形结合( 图象在 上方即可)； ③分类讨论参数. 【变式2】（22-23高二上·云南·期末）若不等式恒成立，则实数的最小值为 . 【答案】 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】利用在上单调递增，将不等式恒成立，转化为恒成立，构造函数，利用导数求出其最大值得的取值范围，再得的最小值. 【详解】令，则，所以在上单调递增， 由恒成立，得恒成立，得恒成立， 即恒成立，因为在上单调递增， 所以恒成立，即恒成立， 令，则， 由，得；由，得， 所以在上为增函数，在上为减函数， 所以， 所以，所以的最小值为. 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知函数，. (1)当时，求的值域； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求导得到函数的单调性，即可求解端点以及极值点处的函数值求解， （2）构造，求导，结合分类讨论，根据函数的单调性求解最值即可求解. 【详解】（1）当时，， 则， 令，由于，解得； 令，解得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，故的值域为. （2）若对任意，不等式恒成立， 则，故， 当时，，显然不满足题意，舍去， 当时，记， 则， 由于，令，则； 令，则或； 故在上单调递增，在上单调递减， 由于， 当时，即，此时在上单调递增， 故满足题意， 当时，即，此时在上单调递增，在上单调递减， 要使恒成立，则且， 解得， 综上可得 【点睛】方法点睛： 1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 题型03 利用导数研究能成立问题 【例3】（23-24高二上·福建福州·期末）已知关于的不等式解集中恰有3个不同的正整数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用导数研究能成立问题 【分析】由题意可得的解集中恰有3个不同的正整数解，设 ，，作出两函数的图象，结合图象分，分别求解即可. 【详解】因为，所以. 设，，则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 又因为是过点的直线，如图所示：    由此可得当时，的解集中有若干个不同的正整数解，不满足题意； 当时，要使不等式的解集中恰有3个不同的正整数解，    当过点时，取最小值， 因为，此时， 当过点时，取最大值， 因为，此时， 所以的取值范围为. 故选：D. 【变式1】（22-23高二上·北京·期末）已知函数，，若成立，则n－m的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】令，得到关于t的函数式，进而可得关于t的函数式，构造函数利用导数研究单调性并确定最值，即可求的最小值. 【详解】令，则，， ∴，，即， 若，则， ∴，有， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； ∴，即的最小值为. 故选：A. 【点睛】关键点睛：令确定关于t的函数式，构造函数并利用导数求函数的最小值. 【变式2】（22-23高二上·陕西西安·期末）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围 ． 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】根据题意转化为可转化为在上有解，令，求得，得出函数的单调性，求得最大值，即可求解. 【详解】若存在，使得不等式成立， 可转化为在上有解， 令，可得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 又由时，；当时，， 因为， 所以函数的最大值为，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 14．（21-22高二上·广西玉林·期末）已知函数有三个零点，则正实数a的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】求导易得函数有两个极值点和，根据题意，由求解. 【详解】由， 可得函数有两个极值点和， ， ， 若函数有三个零点， 必有 解得或． 故答案为： 【变式3】（22-23高二上·河南·期末）已知函数在处取得极值． (1)求a，b的值； (2)若存在，使得成立，求实数t的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【知识点】利用导数研究能成立问题、根据极值求参数 【分析】（1）根据已知条件可知得求解即可. （2）运用分离参数求最值解决存在性问题，再运用导数研究函数的最值即可. 【详解】（1）， 因为函数在处取到极值， 所以，即，解得． 经检验，当，时，在处取到极值，所以，． （2）因为存在，使得成立，所以， 由（1）知，， 令，得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 当时，，单调递增． 所以． 又，所以，所以． 所以实数t的取值范围是． 题型04 利用导数研究函数的零点 【例4】（21-22高二上·江苏扬州·期末）设函数，，函数有两个零点的m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】对求导，得到的解析式，令，分参得到，转化为函数与的图象有两个交点，求m范围. 【详解】因为，所以，， 所以， 因为有两个零点，所以有两个大于0的根， 化简得：，令函数，， 所以， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 因为，， 所以函数与的图象有两个交点， 所以. 故选：B. 【变式1】（22-23高二上·江苏南京·期末）设为实数，若函数有且仅有一个零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】利用导数分析函数的单调性，利用零点存在定理可知函数在上只有一个零点，则函数在上无零点，并利用导数分析函数在上的单调性，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】当时，，则且不恒为零， 所以，函数在上单调递增，所以，， 又因为，所以，函数在上只有一个零点； 因为函数只有一个零点，则函数在上无零点， 则当时，，则， 由可得，由可得. 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，只需，解得. 故选：C. 【变式2】（22-23高二上·江苏苏州·期末）已知函数存在三个零点、、，且满足，则的值为 . 【答案】 【知识点】利用导数研究方程的根 【分析】由可得，令，可得出，构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可知关于的方程有两个不等的实根、，设，且有，，利用韦达定理可求得所求代数式的值. 【详解】函数的定义域为，由可得， 令，可得，即， 构造函数，其中，则. 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，当时，，且， 作出函数的图象如下图所示： 若使得方程由三个不等的实根、、，且满足， 则关于的方程有两个不等的实根、，设， 由韦达定理可得，则， 由图可知，， 因此，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数的零点求代数式的值，解题的关键在于通过换元，通过分析函数的单调性，利用数形结合思想将问题转化为一元二次方程根与系数的关系进行求解. 【变式3】（21-22高二上·江西南昌·期末）已知函数（） (1)求的单调区间； (2)当有3个零点时，求的取值范围． 【答案】(1)增区间，，减区间 (2) 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）直接根据导数与单调性的关系即可得结果； （2）首先求出函数的极值，根据题意得到，再解不等式组即可. 【详解】（1）因为， 令，得或1； 令，得或； 令，得， 所以的增区间为，，减区间为. （2）由（1）易得的极大值为，极小值为 因为有3个零点，所以，解得. 即的取值范围为. 题型05 利用导数研究方程的根 【例5】（22-23高二上·陕西渭南·期末）函数的零点个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【知识点】利用导数研究方程的根 【分析】利用导数求出函数的单调区间和极值，再证明即得解. 【详解】，故， 解得或；解得. 故函数在和上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极大值，函数的极小值，又， 因为， 故函数共有1个零点，且这个零点在区间内. 故选：C 【变式1】（21-22高二上·江西景德镇·期末）若指数函数（且）与三次函数的图象恰好有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用导数研究方程的根 【分析】分析可知直线与曲线在上的图象有两个交点，令可得出，令，问题转化为直线与曲线有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】当时，，，此时两个函数的图象无交点； 当时，由得，可得， 令，其中，则直线与曲线有两个交点， ，当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减，则， 且当时，，作出直线与曲线如下图所示： 由图可知，当时，即当时， 指数函数（且）与三次函数的图象恰好有两个不同的交点. 故选：A. 【变式2】（22-23高二上·江苏苏州·期末）已知函数存在三个零点、、，且满足，则的值为 . 【答案】 【知识点】利用导数研究方程的根 【分析】由可得，令，可得出，构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可知关于的方程有两个不等的实根、，设，且有，，利用韦达定理可求得所求代数式的值. 【详解】函数的定义域为，由可得， 令，可得，即， 构造函数，其中，则. 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，当时，，且， 作出函数的图象如下图所示： 若使得方程由三个不等的实根、、，且满足， 则关于的方程有两个不等的实根、，设， 由韦达定理可得，则， 由图可知，， 因此，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数的零点求代数式的值，解题的关键在于通过换元，通过分析函数的单调性，利用数形结合思想将问题转化为一元二次方程根与系数的关系进行求解. 【变式3】（21-22高二上·河南·期末）已知函数. (1)当时，证明：函数的图象恒在函数的图象的下方； (2)讨论方程的根的个数. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究方程的根 【分析】（1）构造函数，利用导数判断单调性，并求出函数的最大值小于零，即，即可得证； （2）将方程根的个数转化为函数图象与交点的问题，大致画出函数的图象，即可求解. 【详解】（1）设，其中， 则， 在区间上，单调递减， 又∵，即时，，∴， ∴在区间上函数的图象恒在函数的图象的下方. （2）由得，即， 令，则，令，得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， ∴在处取得最小值，∴， 又∵当时，，当时，，有零点存在性定理可知函数有唯一的零点， ∴的大致图象如图所示， ∴当时，方程的根的个数为0； 当或时，方程的根的个数为1； 当时，方程的根的个数为2. 题型06 利用导数研究双变量问题 【例6】（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知函数，若，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究双变量问题 【分析】由得，，令，利用导函数研究其单调性和最值即可得到结果. 【详解】因为，若，则， 令，则 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ，所以， 故的最小值为. 故答案为：. 【变式1】（23-24高二上·陕西西安·期末）已知函数. (1)若 ，求 的单调区间； (2)若，，且 有两个极值点，分别为和，求的最大值. 【答案】(1)单调递增区间是和，单调递减区间是； (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究双变量问题、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数与函数单调性的关系，即可求解； （2）首先利用极值点与导数的关系，得到，，并通过变形得到，利用换元构造函数，利用导数判断函数的单调性，并求的最值，即可求解函数的最大值. 【详解】（1）若，， 令，得或， 当或时，， 当时，， 所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是； （2）， 令，可得， 由题意可得，是关于方程的两个实根， 所以，， 由，有， 所以， 将代入上式，得， 同理可得， 所以， ，①， 令,①式化为， 设，即， ， 记，则， 记，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，在上单调递增，所以， 所以，在上单调递减， 又， ， 当时，的最小值为4，即的最小值为2， 因为在上单调递减，的最大值为， 所以的最大值为. 【点睛】思路点睛：本题第二问的关键是 ，并利用换元构造函数，转化为利用导数求函数的最值问题，第二个关键是求的最值. 【变式2】（20-21高二上·江苏盐城·期末）已知函数在和时取极值，且. （1）已知，求的值； （2）已知，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】根据极值点求参数、利用导数研究双变量问题 【解析】（1）求出，由的两根是可求得； （2）由韦达定理得，，同时注意，化简，从而转化为的函数，由及有两不等实根得的范围，再利用导数求得函数的取值范围． 【详解】解：⑴∵，∴， ∵在和时取极值，∴， ∴，是的两个不等实根， ∴ ，，解得， 经检验，符合题意. ⑵由⑴知，， ∴ ∵，是的两个不等实根， ∴，， ∴，， ∴ 设， ∵，∴，① 又，是的两个不等实根， ∴△=，得，② 由①②知， 而，设，则，， 由二次函数的性质可知在上恒成立， 则在上恒成立，则在上单调递减， 而，，故的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查极值与导数的关系，考查与极值点有关的性质证明．实际上中三个变量，解题关键是消去两个变量化为一元函数，本题中即利用了韦达定理，又利用是方程的解，从而简化函数．同时要注意参数的取值范围，除由得出外，还有有两个不等实根也蕴藏着的范围，否则会出错 【变式3】（23-24高二上·江苏淮安·期末）已知函数，为实数. (1)若在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若. ①证明：既有极大值又有极小值； ②若，分别为函数的极大值和极小值，求的取值范围. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究双变量问题、由函数在区间上的单调性求参数、求已知函数的极值 【分析】（1）求导，则恒成立，转化为在上恒成立，求的最小值即可； （2）①求导，然后研究导函数对应的二次函数的零点情况即可；②，令，利用韦达定理，将转化为关于的函数，构造函数求范围即可. 【详解】（1）由已知， 在上单调递增， 在上恒成立， 即在上恒成立， 又， ； （2）①， 令， 当时，， 设的零点为，且， 则，即， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 在处取极大值，在处取极小值， 既有极大值又有极小值； ②若，分别为函数的极大值和极小值， 则， ， 又由①中 得， 令，则， ，得， ， ，解得， ， 令， 则， 在上单调递增， ，， 的取值范围是. 【点睛】方法点睛：对于有双变量的问题，如，时常通过换元或，达到消元，转换变量的目的，构造关于新变量的函数来求解问题. 【夯实基础】 一、单选题 1．（22-23高二上·重庆渝中·期末）已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数的几何意义设切点坐标，求解切线方程为，代入点，得到关于的含参方程，孤立参数，构造函数利用导数确定函数的取值情况，满足方程的根又两个，从而可得实数的取值范围. 【详解】解：设切点是，，即，而 故切线斜率，切线方程是， 又因为切线经过点，故，显然， 则，在上有两个交点， 令，设，则，令得，， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 又，，且时，，时，，时，，时，， 所以有两个交点，则或，故实数的取值范围是. 故选：C. 2．（22-23高二上·山西太原·期末）已知函数，若有三个不等零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】函数有三个不等零点转化为方程有三个不等实根. 分两种情况讨论：当时，，令，结合的单调性讨论根的情况；当时，得，当时，显然方程无实根；当时，，令，利用导数研究函数的性质，作出函数图象，数形结合得答案． 【详解】由有三个不等零点，等价于有三个不等实根， 当时，， 由，得， 即， 令， 当时，单调递增，故， 故当时，方程无实根； 当时，方程在上有一实根． 当时，，由，得 当时，显然方程无实根； 当时，，令，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 即当时，函数取得极大值 ；；当时，；当时，， 作出函数的图象如图， 要使有三个不等实根，需满足：在上有一实根，在上有两个实根． 由图可知与的图象有两个交点时，，即， 综上，，即实数的取值范围是． 故选：C. 3．（21-22高二上·江西南昌·期末）已知，若对于且都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意转化为对于且时，都有恒成立，构造函数，转化为时，恒成立，求得 的导数，转化为在上恒成立，即可求解. 【详解】由题意，对于且都有成立， 不妨设，可得恒成立， 即对于且时，都有恒成立， 构造函数， 可转化为，函数为单调递增函数， 所以当时，恒成立， 又由，所以在上恒成立， 即在上恒成立， 又由，所以， 即实数的取值范围为. 故选：D. 4．（22-23高二上·湖南长沙·期末）已知不等式恰有2个整数解，求实数k的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】原不等式等价于，设，，然后转化为函数的交点结合图象可求. 【详解】原不等式等价于，设，，所以，得．当时，， 所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减，当时，取极大值. 又，且时，，因此与的图象如下，直线恒过点. 当时，显然不满足条件；当时，只需要满足，即，解得． 故选：D. 二、多选题 5．（23-24高二上·河南开封·期末）已知函数，则（    ） A．曲线在点处的切线方程是 B．函数有极大值，且极大值点 C． D．函数只有1个零点 【答案】BD 【分析】求出函数的导数,根据导数的几何意义可求得曲线在点处的切线方程,判断A；根据导数与函数单调性以及极值的关系，可判断B；利用函数的单调性可判断C；利用函数的单调性，结合零点存在定理可判断D. 【详解】对A，由，得，则， 故曲线在点处的切线方程是，即，故A错误； 对B，令，则，所以在上单调递减， 又， 所以存在，使得，即， 即时,,时,, 则在上单调递增，在上单调递减， 所以有极大值，且极大值点，故B正确； 对C，由以上分析知在上单调递减，故，故C错误； 对D，当时，单调递增，又在内有唯一一个零点， 当时，,则，则在上无零点， 即只有一个零点，故D正确． 故选:BD． 6．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知函数，则（    ） A．曲线在点处的切线方程为 B．有两个极值点 C．，都能使方程有三个实数根 D．曲线是中心对称图形 【答案】BCD 【分析】对于A，根据曲线在某点处切线的计算，可得答案；对于B，根据极值点的定义，结合其导数，可得答案；对于C，根据函数与方程的关系，利用函数的单调性，求得值域，可得答案；对于D，根据中心对称的性质，利用公式，可得答案. 【详解】对于A：，，曲线在点处的切线方程为，故A错误； 对于B：令，得或；令，得， 在和上单调递增，在上单调递减， 有两个极值点，故B正确； 对于C：结合B选项，，， 且当时，；当时，， 对于，都能使方程有三个实数根，故C正确； 对于D：解法一：， ， . ∴曲线关于点中心对称. 解法二：， 令，则是R上的奇函数，且， 曲线关于点中心对称，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 7．（20-21高二上·广西钦州·期末）已知函数在上存在极值点，则实数a的取值范围是 . 【答案】或 【解析】计算，然后转化为有解，可得的范围，最后进行简单检验可得结果. 【详解】由题可知：， 因为函数在上存在极值点，所以有解 所以，则或 当或时，函数与轴只有一个交点，即 所以函数在单调递增，没有极值点，故舍去 所以或，即或 故答案为：或 8．（20-21高二上·浙江温州·期末）已知，对于任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】当时，证明出，由题意可得出，可得出，结合函数的单调性可求得实数的取值范围. 【详解】当时，先证明出，构造函数， 则，则函数在区间上单调递增， 所以，，所以，函数在区间上单调递增， 当时，，所以，. 由，可得，所以，. 当时，，即， 令，则，所以，函数在区间上单调递增， 当时，，所以，. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 四、解答题 9．（23-24高二上·山西大同·期末）已知函数在时取得极值． (1)求实数的值； (2)若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由极值点定义可得，解得，经检验符合题意； （2）结合（1）中结论可得出函数在上的单调性，求出最小值解不等式可求得实数的取值范围． 【详解】（1）易知， 依题意，解得， 此时， 当或时，；当时，， 即函数在，上单调递增，在上单调递减， 因此函数在时取得极值， 所以． （2）由（1）得函数在上单调递减，在上单调递增； 所以， 由题意可得，解得， 所以的取值范围为． 10．（20-21高二上·安徽宿州·期末）已知函数在点处的切线为． （1）求函数的解析式： （2）若存在实数m，使得在x时成立，求m的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由条件可知，代入求解，得到函数的解析式；（2）根据不等式能成立，转化为，利用导数求函数的最大值，再求的取值范围. 【详解】（1）由题意知：的定义域为， ∵∴，解得 故． （2）令，， ∴，故在时，单调递增，． 要存在实数m，使得在时成立， 只要即可，解得：． 11．（21-22高二上·安徽蚌埠·期末）已知函数，其中为常数，且 (1)求证：时，； (2)已知a，b，p，q为正实数，满足，比较与的大小关系. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据导数判断出函数的单调性求出其最大值，即可证出； （2）由（1）知：，再变形即可得出． 【详解】（1）因为， ∴在上单调递减，又因为， 故当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以. （2）由（1）知：，两边同乘以a得：， ∴，即. 12．（23-24高二上·山西·期末）已知函数. (1)证明：； (2)设，求证：对任意的，都有成立. 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【分析】（1）构造新函数，根据导数的性质判断新构造函数的单调性，利用单调性进行运算证明即可； （2）根据对数的运算性质，结合分析法、构造函数法进行运算证明即可. 【详解】（1）设， 当时，单调递增， 当时，单调递减，所以， 于是有，即. （2）要证明成立， 即证明成立， 即证明成立， 也就是证明成立， 因为，所以原问题就是证明成立， 由，设， 即证明，也就是证明成立， 设， 所以当时，函数单调递增，即有， 从而成立. 【点睛】关键点睛：本题的关键是构造新函数，利用导数的性质判断其单调性，运用函数的单调性进行证明. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数a的最小值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据题意，恒成立，分离参数结合二次函数的性质求得答案. 【详解】因为函数在上单调递增，所以对恒成立， 即恒成立，设，， 当时，，所以，则， 所以实数a的最小值为. 故选：B. 2．（23-24高二上·福建莆田·期末）已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导数，由求出的范围即可. 【详解】函数，求导得， 由在上单调递增，得，当时，， 因此，令，求导得， 当时，，当时，，即函数在上递减，在上递增， 于是，则，即， 所以实数的取值范围是. 故选：B 3．（21-22高二上·河南洛阳·期末）下列结论中正确的个数为（    ） ①，；②；③． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】构造函数利用导数说明函数的单调性，即可判断大小，从而得解； 【详解】解：令，，则，所以在上单调递增，所以，即，即，，故①正确； 令，，则，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即恒成立，所以，故②正确； 令，，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以，当且仅当时取等号，故③错误； 故选：C 4．（22-23高二上·湖南长沙·期末）已知,若,则的最小值等于(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先变形为，证明，再把问题转化为求直线上的动点到圆上动点距离的最小值. 【详解】由题设， 设,则， 当单调递减， 当单调递增， 所以，即， 综上，，即，所以， 设是直线上的点，是圆上的点， 而目标式为， 由，故. 故选：B. 二、多选题 5．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知函数，则（    ） A．在处取得极小值 B．有3个零点 C．在区间上的值域为 D．曲线的对称中心为 【答案】ABD 【分析】求出函数的导数，利用导数研究函数的单调性，极值，零点，值域，可判断A，B，C选项，根据函数奇偶性及图象变换可判断D. 【详解】由， 令，解得，令，解得或， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，故A正确； 又，，，， ，所以函数在有且仅有一个零点， 同理函数在有且仅有一个零点，在上有且仅有一个零点， 即函数共有3个零点，故B正确； 由前面得在上值域为，故C错误； 设，，， 所以函数是奇函数，图象关于对称， 又是向下平移1个单位得到，所以函数的对称中心为，故D正确. 故选：ABD. 6．（21-22高二上·江苏宿迁·期末）关于函数，，下列说法正确的是（    ） A．对任意的， B．对任意的， C．函数的最小值为 D．若存在使得不等式成立，则实数a的最大值为 【答案】ACD 【分析】A：构造函数，利用导数的性质进行判断即可； B：利用特殊值法，进行判断即可； C：利用导数的性质进行判断即可； D：利用转化法，根据特称命题与它的否命题的真假关系，结合构造函数法、导数进行判断即可. 【详解】A：设， ，当时，单调递增， 当时，单调递减，所以当时，函数有最小值，即，所以有，即，所以本选项正确； B： ，，显然，所以本选项不正确； C：由， 设当时，，所以函数单调递增， 所以当时，， 因此当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，函数有最小值，最小值为，因此本选项正确； D：命题：存在使得不等式成立， 它的否命题为：，不等式恒成立， ， 构造函数，， 当时，单调递增， 当时，单调递减，当时，函数有最小值， 最小值为：， ， 当时，而，所以， 当时，要想恒成立，只需恒成立 当，， 也成立， 即成立，也就是成立， 构造新函数， 当时，单调递减，当时，单调递增， 当时，函数有最大值，即，要想不等式恒成立， 只需， 当时，，而的值域为全体实数集，显然不可能恒成立， 因此当时，对于，不等式恒成立， 因此当时，存在使得不等式成立，所以实数a的最大值为， 因此本选项结论正确， 故选：ACD 【点睛】关键点睛：构造函数，利用导数的性质，结合存在性和任意性的定义是解题的关键. 三、填空题 7．（21-22高二上·江西南昌·期末）设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称与在上是“关联函数”.若与在上是“关联函数”，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】令得，设函数，则直线与函数在区间上的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，利用数形结合思想可求得实数的取值范围. 【详解】令得，设函数， 则直线与函数在区间上的图象有两个交点， ，令，可得，列表如下： 极小值 ，，如图所示： 由图可知，当时，直线与函数在区间上的图象有两个交点， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 8．（21-22高二上·河南平顶山·期末）已知函数有零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用导数可求得函数的最小值，要使函数有零点，只要，求得函数的最小值，即可得解. 【详解】解：， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以， 因为函数有零点， 所以，解得. 故答案为：. 四、解答题 9．（23-24高二上·安徽·期末）已知函数，其最小值为． (1)求的值； (2)若关于的方程恰有一个实根，求实数的范围． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）先求导函数再求出最值求参即可； （2）先把函数转化为函数的交点问题，构造函数再结合单调性及值域求参即可. 【详解】（1）因为，所以， 当，则，可知单调递增； 当，则，可知单调递减； 则最小值在处取到，可得，解得， 所以的值为1. （2）因为，所以， 显然不是方程的根，则. 令，则， 当，则，可知在和上单调递增； 当，则，可知在和上单调递减； 可知，，，， 且， ， 若有1个不同实根，即使与有一个交点即可， 可知或或， 所以实数的范围为. 10．（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知， (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程； （2）求导，分类讨论求单调区间； （3）根据题意整理可得在区间内有唯一实数解，构建，利用导数求的单调性，数形结合分析运算. 【详解】（1）当时，则，可得， 故， 即切点坐标为，切线斜率， 故函数在点处的切线方程为． （2）由题意可知：函数定义域为，且， 注意到，令，解得或， ①当，即时，与在上的变化情况如下 1 + 0 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为； ②当时，在定义域内恒成立， 所以函数的单调递增区间为； 综上所述：当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为． （3）当时，则， 因为方程在区间内有唯一实数解， 即，整理得， 原题意等价于在区间内有唯一实数解， 设，则， 注意到， 当时，；当时，； 故在上单调递增，在上单调递减， 且， 则在上的图像如图所示， 若在区间内的唯一实数解，则或， 解得或， 故实数的取值范围． 【点睛】方法定睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是： （1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； （2）求导数，得单调区间和极值点； （3）画出函数草图，数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解． 11．（21-22高二上·山西吕梁·期末）已知函数． (1)若在上单调递减，求实数a的取值范围． (2)若是方程的两个不相等的实数根，证明：． 【答案】(1)； (2)详见解析 【分析】（1）首先求函数的导数，结合函数的导数与函数单调性的关系，参变分离后，转化为求函数的最值，即可求得实数的取值范围； （2）将方程的实数根代入方程，再变形得到，利用分析法，转化为证明，通过换元，构造函数，转化为利用导数证明，恒成立. 【详解】（1）， ，在上单调递减， 在上恒成立，即， 即在， 设，，， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 所以函数的最大值是，所以； （2）若是方程的两个不相等的实数根， 即又2个不同实数根，且，， 得，即 ， 所以， 不妨设，则， 要证明， 只需证明， 即证明，即证明， 令，， 令函数， 所以， 所以函数在上单调递减， 当时，，所以，， 所以 ，即，即得 【点睛】本题考查利用导数的单调性求参数的取值范围，以及证明不等式，属于难题，导数中的双变量问题，往往采用分析法，转化为函数与不等式的关系，通过构造函数，结合函数的导数，即可证明. 12．（22-23高二上·北京·期末）已知函数． (1)若a＜1且仅存在两个的整数，使得，求的取值范围； (2)讨论零点的个数； (3)证明，，有． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性与极值，分析可知满足不等式的整数只有两个，数形结合可得出关于实数的不等式，解之即可； （2）考查直线与函数图象相切时实数的值，数形结合可得出实数在不同取值下函数的零点个数； （3）构造函数，其中，利用导数分析函数在上的单调性，由以及函数的单调性可证得所证不等式成立. 【详解】（1）解：令，其中，则， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，，且当时，；当时，. 由可得，作出函数、的图象如下图所示： 因为有且只有两个整数，使得， 则满足不等式的整数只有两个，所以， 解得. （2）解：考查当直线与函数相切时，实数的值， 设切点坐标为，则切线斜率为， 所求切线方程为， 即， 所以，，解得或， 当时，；当时，. 如下图所示：当时，直线与函数的图象只有一个公共点； 当或时，直线与函数的图象有个公共点； 当或时，直线与函数的图象只有个公共点； 当时，直线与函数的图象无公共点. 综上所述，当时，函数无零点； 当或或时，函数只有个零点； 当或时，函数只有个零点. （3）证明：不妨设，构造函数，其中， 因为， ， 令，其中，则且不恒为零， 故函数在上为增函数， 因为，故， 所以，，故， 所以，函数在上为减函数， 故当时，， 因为，则， 因此，、且，有. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 导数在研究函数中的应用 目录 题型归纳 1 题型01 利用导数证明不等式 1 题型02 利用导数研究不等式恒成立问题 2 题型03 利用导数研究能成立问题 3 题型04 利用导数研究函数的零点 4 题型05 利用导数研究方程的根 4 题型06 利用导数研究双变量问题 5 分层练习 6 夯实基础 6 能力提升 8 知识点01导数与不等式的证明 规律方法　利用导数证明不等式问题的方法 (1)直接构造函数法：证明不等式f(x)>g(x)(或f(x)<g(x))转化为证明f(x)－g(x)>0(或f(x)－g(x)<0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)． (2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论． (3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同结构变形，根据相似结构构造辅助函数． 知识点02恒成立问题与能成立问题 规律方法　(1)由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略 ①求最值法：将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题． ②分离参数法：将参数分离出来，进而转化为a>f(x)max或a<f(x)min的形式，通过导数的应用求出f(x)的最值，即得参数的范围． (2)不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别． 知识点03零点问题 规律方法　(1)求解函数零点(方程根)个数问题的步骤 ①将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题． ②利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质． ③结合图象求解． (2)已知零点求参数的取值范围 ①结合图象与单调性，分析函数的极值点． ②依据零点确定极值的范围． ③对于参数选择恰当的分类标准进行讨论． 隐零点的处理思路 第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数； 第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次. 题型01利用导数证明不等式 【例1】（21-22高二上·陕西榆林·期中）已知命题；命题.则（    ） A．是假命题 B．是真命题 C．是假命题 D．是真命题 【变式1】（22-23高二上·福建福州·期末）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·山西·期末）若存在实数使得，则的值为 . 【变式3】（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知函数，有两个不相等的正实数，使得． (1)求函数的单调区间； (2)证明：． 题型02 利用导数研究不等式恒成立问题 【例2】（22-23高二上·陕西咸阳·期末）已知对于恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高二上·陕西商洛·期末）已知函数，若恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高二上·云南·期末）若不等式恒成立，则实数的最小值为 . 【变式3】（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知函数，. (1)当时，求的值域； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 题型03 利用导数研究能成立问题 【例3】（23-24高二上·福建福州·期末）已知关于的不等式解集中恰有3个不同的正整数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高二上·北京·期末）已知函数，，若成立，则n－m的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高二上·陕西西安·期末）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围 ． 14．（21-22高二上·广西玉林·期末）已知函数有三个零点，则正实数a的取值范围为 ． 【变式3】（22-23高二上·河南·期末）已知函数在处取得极值． (1)求a，b的值； (2)若存在，使得成立，求实数t的取值范围． 题型04 利用导数研究函数的零点 【例4】（21-22高二上·江苏扬州·期末）设函数，，函数有两个零点的m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高二上·江苏南京·期末）设为实数，若函数有且仅有一个零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高二上·江苏苏州·期末）已知函数存在三个零点、、，且满足，则的值为 . 【变式3】（21-22高二上·江西南昌·期末）已知函数（） (1)求的单调区间； (2)当有3个零点时，求的取值范围． 题型05 利用导数研究方程的根 【例5】（22-23高二上·陕西渭南·期末）函数的零点个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式1】（21-22高二上·江西景德镇·期末）若指数函数（且）与三次函数的图象恰好有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高二上·江苏苏州·期末）已知函数存在三个零点、、，且满足，则的值为 . 【变式3】（21-22高二上·河南·期末）已知函数. (1)当时，证明：函数的图象恒在函数的图象的下方； (2)讨论方程的根的个数. 题型06 利用导数研究双变量问题 【例6】（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知函数，若，则的最小值为 . 【变式1】（23-24高二上·陕西西安·期末）已知函数. (1)若 ，求 的单调区间； (2)若，，且 有两个极值点，分别为和，求的最大值. 【变式2】（20-21高二上·江苏盐城·期末）已知函数在和时取极值，且. （1）已知，求的值； （2）已知，求的取值范围. 【变式3】（23-24高二上·江苏淮安·期末）已知函数，为实数. (1)若在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若. ①证明：既有极大值又有极小值； ②若，分别为函数的极大值和极小值，求的取值范围. 【夯实基础】 一、单选题 1．（22-23高二上·重庆渝中·期末）已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·山西太原·期末）已知函数，若有三个不等零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高二上·江西南昌·期末）已知，若对于且都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二上·湖南长沙·期末）已知不等式恰有2个整数解，求实数k的取值范围（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二上·河南开封·期末）已知函数，则（    ） A．曲线在点处的切线方程是 B．函数有极大值，且极大值点 C． D．函数只有1个零点 6．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知函数，则（    ） A．曲线在点处的切线方程为 B．有两个极值点 C．，都能使方程有三个实数根 D．曲线是中心对称图形 三、填空题 7．（20-21高二上·广西钦州·期末）已知函数在上存在极值点，则实数a的取值范围是 . 8．（20-21高二上·浙江温州·期末）已知，对于任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 四、解答题 9．（23-24高二上·山西大同·期末）已知函数在时取得极值． (1)求实数的值； (2)若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围． 10．（20-21高二上·安徽宿州·期末）已知函数在点处的切线为． （1）求函数的解析式： （2）若存在实数m，使得在x时成立，求m的取值范围． 11．（21-22高二上·安徽蚌埠·期末）已知函数，其中为常数，且 (1)求证：时，； (2)已知a，b，p，q为正实数，满足，比较与的大小关系. 12．（23-24高二上·山西·期末）已知函数. (1)证明：； (2)设，求证：对任意的，都有成立. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数a的最小值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24高二上·福建莆田·期末）已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高二上·河南洛阳·期末）下列结论中正确的个数为（    ） ①，；②；③． A．0 B．1 C．2 D．3 4．（22-23高二上·湖南长沙·期末）已知,若,则的最小值等于(    ) A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知函数，则（    ） A．在处取得极小值 B．有3个零点 C．在区间上的值域为 D．曲线的对称中心为 6．（21-22高二上·江苏宿迁·期末）关于函数，，下列说法正确的是（    ） A．对任意的， B．对任意的， C．函数的最小值为 D．若存在使得不等式成立，则实数a的最大值为 三、填空题 7．（21-22高二上·江西南昌·期末）设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称与在上是“关联函数”.若与在上是“关联函数”，则实数的取值范围是 . 8．（21-22高二上·河南平顶山·期末）已知函数有零点，则的取值范围是 . 四、解答题 9．（23-24高二上·安徽·期末）已知函数，其最小值为． (1)求的值； (2)若关于的方程恰有一个实根，求实数的范围． 10．（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知， (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围． 11．（21-22高二上·山西吕梁·期末）已知函数． (1)若在上单调递减，求实数a的取值范围． (2)若是方程的两个不相等的实数根，证明：． 12．（22-23高二上·北京·期末）已知函数． (1)若a＜1且仅存在两个的整数，使得，求的取值范围； (2)讨论零点的个数； (3)证明，，有． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$