24.3.1 圆周角定理及其推论-（配套课件）【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（沪科版）

第24章 圆 九年级数学沪科版·下册 24.3.1圆周角定理及其推论 授课人：XXXX * 教学目标 1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简单的几何问题.（重点、难点） 3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.（难点） 复习导入 3.下列命题是真命题的是( ) ①在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等； ②相等的圆心角所对的弧相等； ③圆既是轴对称图形,又是中心对称图形 A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 1.圆心角的定义? 答：相等. 答:顶点在圆心的角叫圆心角. 2.圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系? B 新知探究 如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图,人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物,同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角(∠AOB和∠ACB)有什么关系?如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角（ ∠ADB和∠AEB）和同学乙的视角相同吗？ 观察图中∠ACB,∠ADB和∠AEB与我们学过的圆心角有什么区别？ 新知探究 互动探究 问题1 圆心角顶点发生变化时,我们得到几种情况? 思考：三个图中的∠BAC的顶点A各在圆的什么位置？ 角的两边和圆是什么关系？ 圆周角的概念 一 新知探究 定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. （两个条件必须同时具备，缺一不可） 知识要点 新知探究 · C O A B · C O B · C O B A A · C O A B · C O B · C O B A A 判一判：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由. （2） （1） （3） （5） （6） 顶点不在圆上 顶点不在圆上 边AC没有和圆相交 √ √ √ 新知探究 合作探究 问题1 如图，点A，B，C，D都是☉O 上的点，请问图中哪些是圆周角？哪些是圆心角? 圆心角：∠BOC 圆周角：∠BAC，∠BDC 问题2 分别量出这些角的度数，你有什么发现？ ∠BAC=∠BDC, ∠BOC=2∠BAC=2∠BDC. 圆周角定理 二 D 新知探究 问题3 变动点D的位置，看看弧BC所对的圆周角的度数有没有变化？你能得出什么结论？ 变动点D的位置，圆周角的度数没有变化，并且圆周角的度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半. D D D 新知探究 圆心O在∠BAC的内部 圆心O在∠BAC的一边上 圆心O在∠BAC 的外部 推导验证 新知探究 圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形） OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C 新知探究 圆心O在∠BAC的内部 D O A B O A C D O A B C D O A C D D O A B 新知探究 圆心O在∠BAC的外部 D O A B C O A D C O A B D C O A D D O A B C O A D D O A B 新知探究 知识要点 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 圆周角定理 几何语言： 如图，点A，B，C是☉O 上的点，连接AB，AC，OB，OC，则 新知探究 典例精析 ∴∠ACB=2∠BAC. 证明： 例1 如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB= 2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC. ∠AOB=2∠BOC， A O B C 新知探究 问题1 如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A ,D 是圆上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相等吗？请说明理由. 互动探究 ∴∠BAC=∠BDC. 相等. 理由： 圆周角定理的推论 三 D 新知探究 相等. (2)若CD是直径，你能求出∠A的度数吗？ D A B O C E F 问题2 如图，若 ∠A与∠B相等吗？ 想一想：(1)反过来，若∠A=∠B，那么 成立吗？ 新知探究 推论1 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等. 知识要点 圆周角定理推论 几何语言 D A B O C E F 新知探究 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. ∵ AB是直径， ∴∠AC1B=90°. ∵ ∠AC1B=90°， ∴ AB是直径. 几何语言 A O B C1 C2 C3 新知探究 典例精析 例2 如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点P,∠ACD=60°, ∠ADC=70°.求∠APC的度数. 解:连接BC,则∠ACB=90°, ∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝ 90°－60°=30°. 又∵∠BAD=∠DCB=30°, ∴∠APC=∠BAD＋∠ADC＝30°＋70°＝100°. O A D C P B 新知探究 例3 如图，☉O直径AC为10cm，弦AD为6cm. （1）求DC的长； （2）若∠ADC的平分线交☉O于B, 求AB,BC的长． B 解：(1)∵AC是直径， ∴ ∠ADC=90°. 在Rt△ADC中， 新知探究 在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2， (2)∵ AC是直径, ∴ ∠ABC=90°. ∵BD平分∠ADC, ∴∠ADB=∠CDB. 又∵∠ACB=∠ADB , ∠BAC=∠BDC . ∴ ∠BAC=∠ACB, ∴AB=BC. B 新知探究 解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，通常考虑构造直角三角形来求解. 方法归纳 课堂小结 圆 周 角 定义 定理 推论 1.顶点在圆上； 2.两边都与圆相交的角. 二者必须同时具备 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 半圆或直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径. 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等. 课堂小测 1.判断 （1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 . （ ） （2）相等的弦所对的圆周角也相等 . （ ） （3）90°的角所对的弦是直径 .（ ） （4）同弦所对的圆周角相等 .（ ） √ × × × 课堂小测 2.如图，AB是☉O的直径, C , D是圆上的两点,∠ABD=40°,则∠BCD=_________. 50° 3.已知△ABC的三个顶点在☉O上,∠BAC=50°,∠ABC=47°, 则∠AOB= ． 166° A B O C D 第2题图 B A C O 第3题图 课堂小测 4.如图，点B，C在⊙O上，且BO=BC，则圆周角∠BAC等于（ ） D A.60° B.50° C.40° D.30° A B C O 课堂小测 5.如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（ ） A.30° B.40° C.50° D.60° A 【规律方法】解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理. 课堂小测 6.如图，分别求出图中∠x的大小. 60° x 30° 20° x 解：(1)∵同弧所对圆周角相等，∴∠x=60°. A D B E C (2)连接BF， F ∵同弧所对圆周角相等， ∴∠ABF=∠D=20°，∠FBC=∠E=30°. ∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°. 课堂小测 ∵AB是圆的直径，点D在圆上， ∴∠ADB=90°， ∴AD⊥BC， ∵AB=AC， ∴BD=CD, AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD， （同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等）. 解:BD=CD.理由:连接AD, 拓展提升：7.如图，在△ABC中，AB=AC, 以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E, (1)BD与CD的大小有什么关系?为什么? (2)求证： . . A B C D E $$