24.2.2 垂径分弦-（配套课件）【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（沪科版）

第24章 圆 九年级数学沪科版·下册 24.2.2 垂径分弦 授课人：XXXX 1 教学目标 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一 些简单的计算、证明和作图问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点） 问题引入 赵州桥主桥拱的半径是多少？ 问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 复习导入 新知探究 垂径定理及其推论 一 互动探究 可以发现：圆是轴对称图形.任何一条直径所在直线都是它的对称轴． 问题1 剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明这个结论吗？ 新知探究 问题2 如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧? 为什么? 线段: AE=BE 弧: AC=BC, AD=BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 理由如下： 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ · O A B D E C 新知探究 垂径定理 · O A B C D E 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧. ∵ CD是直径，CD⊥AB， ∴ AE=BE, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. 推导格式： 知识要点 新知探究 · O A B D C E 已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为E. 求证：AE=BE， ⌒ ⌒ AD =DB, ⌒ ⌒ AC =CB. 证明：连接OA，OB，则OA=OB，△OAB为等腰三角形. ∴OE所在的直线CD是AB的垂直平分线，因此点A，B关于直线CD对称. 试一试 新知探究 P Q · O A B D C E 同理，如果点P是☉O上任意一点，过点P作PQ⊥CD， 则点P，Q关于直线CD也对称. 将圆沿着直径CD折叠，CD两侧的两个半圆重合，AE与BE重合，点A与点B重合， 与 重合， 与 重合. 新知探究 垂径定理的几个基本图形： A B O C D E A B O E D A B O D C A B O C 新知探究 · O A B D C P 已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦（不是直径），与CD交于点P，且P是AB的中点. 求证：AB⊥CD， ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. 证明：连接OA，OB，CA，CB，则OA=OB. 即△AOB是等腰三角形. ∵P是AB的中点， ∴AB⊥CD. 即AP=BP， ∵ CD是直径，AB⊥CD， ∴ ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. （垂径定理） 新知探究 思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理的推论 · O A B C D 特别说明： 圆的两条直径是互相平分的. 知识要点 新知探究 · O A B 例1 如图，☉O中的半径为5cm,弦AB是为6cm,求圆心O到弦AB的距离. 解：连接OA，过圆心O作OE⊥AB，垂足为E. E ∵OA=5cm, 在Rt△OEA中，有 答：圆心O到弦AB的距离为4cm. 圆心到弦的距离叫做弦心距 弦心距 新知探究 例2 如图， ⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长. · O A B E C D 解：连接OA，∵ CE⊥AB于D， ∴ 设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得 解得 x=5， 即半径OC的长为5cm. x2=42+(x-2)2， 新知探究 垂径定理的应用 二 例3 赵州桥建于1400年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥梁.桥的下部呈圆弧形,桥的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，求赵州桥桥拱所在圆的半径.(精确到0.1m) 新知探究 A B O C D 解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R. 经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高. ∴ AB=37.4m，CD=7.2m. ∴ AD= AB=18.7m，OD=OC-CD=R-7.2. 新知探究 解得R≈27.9（m）. 答：赵州桥桥拱所在圆的半径约为27.9m. R2=18.72+(R-7.2)2 ∵ 新知探究 在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解. 涉及垂径定理时辅助线的添加方法 弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系： 弓形中重要数量关系 A B C D O h r d d+h=r O A B C · 新知探究 如图a，b,一弓形弦长为 　 cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为_____________. C D C B O A D O A B 图a 图b 2cm或12cm 练一练 课堂小结 垂径定理 内容 推论 辅助线 一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论.（“知二推三”） 垂直于弦的直径平分这条弦, 并且平分这条弦所对的两条弧. 两条辅助线： 连半径，作弦心距 构造直角三角形利用勾股定理计算或建立方程. 基本图形及变式图形 课堂小测 1.已知☉O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 . 5cm 2.☉O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°,则弦AC= . 3.（分类讨论题）已知☉O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 . 14cm或2cm 课堂小测 4．如图，在⊙O中，AB，AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE是正方形． · O A B C D E 证明： ∴四边形ADOE为矩形， 又∵AC=AB， ∴ AE=AD. ∴ 四边形ADOE为正方形. ， ， ， ， . 课堂小测 5.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径. 解:连接OC. ● O C D E F ┗ 设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m. 根据勾股定理，得 解得R=545. ∴这段弯路的半径为545m. ∵CD⊥OE， $$