函数的单调性和最值2 课件-2025届高三数学一轮复习

课题导入 回顾一下函数单调性的定义，最值的定义以及单调性的常见证明方法有哪些？这节课我们来探究一下函数单调性的应用. 函数的单调性和最值2 一不怕苦 二不怕累 风雨同舟 追求卓越 授课教师：高复数学 授课时间：2025届 2025届高复 2 目标引领 1.利用单调性比较大小 2.利用单调性求最值 3.利用单调性解不等式 4.利用单调性求参数 独立自学 (1)单调函数的定义是什么？ (2)单调区间的定义的定义是什么？ 书写有什么注意 事项？ （3）函数最值的定义是什么？ 题型三　函数单调性的应用(微专题) √ 3 (0，1) (1，2) √ 目标升华 1.利用单调性比较大小 2.利用单调性求最值 3.利用单调性解不等式 4.利用单调性求参数 a≤2 当堂诊学 2 强化补清 请做：题组层级快练（八） 坚持就是胜利！ 一不怕苦 二不怕累 风雨同舟 追求卓越 2025届高复 18 微专题1　利用单调性比较大小 (2024·山东济宁模拟)设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))的大小关系为_____________． f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) 【解析】　由题设知，当x<1时，f(x)单调递减；当x≥1时，f(x)单调递增，x＝1为图象的对称轴，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))， 又eq \f(1,3)<eq \f(1,2)<eq \f(2,3)<1，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))>feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))>feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))，即feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))>feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))>feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))). A．x＋y≥0　　　　　 B．x＋y≤0 C．x－y≤0 D．x－y≥0 【解析】　设函数f(x)＝2x－5－x，易知f(x)为增函数．又f(－y)＝2－y－5y，由已知得f(x)≤f(－y)，所以x≤－y，所以x＋y≤0. 微专题2　利用单调性求最值 函数f(x)＝eq \f(2－x·2x,2x)在区间[1，2]上的最小值为________． －eq \f(3,2) 【解析】　f(x)＝eq \f(1,x)－2x－1.由于y＝eq \f(1,x)，y＝－2x－1在[1，2]上均单调递减，故f(x)在[1，2]上单调递减，∴f(x)min＝f(2)＝eq \f(1,2)－2＝－eq \f(3,2). (1－2x)INCLUDEPICTURE"RT.TIF" 思考题4　(1)求函数y＝x－的最大值． 【答案】　eq \f(1,2) 【解析】　∵定义域为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))， 而y＝x－eq \r(1－2x)在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))上为增函数． ∴当x＝eq \f(1,2)时，ymax＝eq \f(1,2). (2)函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up22(x)－log2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________． 【解析】　由于y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up22(x)在[－1，1]上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f(x)在[－1，1]上单调递减，故f(x)在[－1，1]上的最大值为f(－1)＝3. 微专题3　利用单调性解不等式 已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是___________________________． (－eq \r(5)，－2)∪(2，eq \r(5)) 【解析】　因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2＝2，所以由f(x2－4)<2得，f(x2－4)<f(1)，所以0<x2－4<1，解得－eq \r(5)<x<－2或2<x<eq \r(5). 【解析】　由题意可得－1<a2－1<1－a<1，解得0<a<1，故a的取值范围是(0，1)． 微专题4　利用单调性求参数 已知函数y＝loga(2－ax)(a＞0，且a≠1)在[0，1]上单调递减，则实数a的取值范围是________． 【解析】　设u＝2－ax，∵a>0，且a≠1， ∴函数u＝2－ax在[0，1]上单调递减． 由题意可知函数y＝logau在[0，1]上单调递增， ∴a>1.又∵u＝2－ax在[0，1]上要满足u>0，∴2－a×1>0，得a<2. 综上得1<a<2. \lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－ax＋\f(a,2)，x≥1，,（2a＋2）x－5，x<1))INCLUDEPICTURE"RT.TIF" 思考题6　(2024·辽宁沈阳二中模拟)若函数f(x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围为(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(8,5))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(8,5))) C．(－1，2] D．(－1，2) 【解析】　由题意eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)≤1，,2a＋2>0，,1－\f(a,2)≥2a－3，))解得－1<a≤eq \f(8,5).故选B. 4．(2024·哈尔滨市联考)函数f(x)＝|x－a|＋1在[2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________． 解析　函数f(x)＝|x－a|＋1的单调递增区间是[a，＋∞)，当f(x)在[2，＋∞)上单调递增时，[2，＋∞)⊆[a，＋∞)，所以a≤2. 5．函数y＝eq \r(x)＋eq \r(x＋4)的最小值是________． 解析　由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋4≥0，))得x≥0. 又函数y＝eq \r(x)＋eq \r(x＋4)在[0，＋∞)上是增函数， 所以函数的最小值为eq \r(0)＋eq \r(4)＝2. $$