一元二次方程根的分布 课件-2025届高三数学一轮复习

二次函数根的分布可以充分体现二次 函数的特点，这也是二次函数的难点，本 节课我们主要讨论一下如何判断二次函数 根的分布问题。 课题导入 一元二次方程根的分布 一不怕苦 二不怕累 风雨同舟 追求卓越 授课教师：高复数学 授课时间：2025届 2025届高复 2 1、学会如何确定二次函数的根； 2、会利用端点值、判别式、韦达定理等知识求解二次函数的根问题。 3、掌握解决数学问题的两大思想方法（代数法、几何法） 课题导入 回顾三个二次间关系及恒成立处理方法 1、如何求解二次函数的根； 2、判别式、韦达定理、端点值、对称轴在二次函数中的作用是什么？ 3、二次函数中三个参数a、b、c分别有怎样的作用。 独立自学 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 方程ax2+bx +c=0的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 有两不等实根x1, x2 {x|x<x1, x>x2} 有两相等 实根x1=x2 无实根 {x|x≠x1} R 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系 {x|x1<x<x2} Ø Ø 涉及方程 f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)的实根分布问题, 一般情况下要从四个方面考虑: ① f(x) 图象的开口方向; ②方程 f(x)=0的判别式; ④区间端点处函数值的符号.　 ③ f(x) 图象的对称轴与区间的关系; 二次方程 ax2+bx+c=0(a>0) 实根分布问题 引导探究 ①方程 f(x)=0 有两正根  ②方程 f(x)=0 有两负根  ③方程 f(x)=0 有一正根一负根  记 f(x)=ax2+bx+c(a>0) 二次方程 ax2+bx+c=0(a>0) 实根分布问题 引导探究 根的分布 图象 充要条件 引导探究 根的分布 图象 充要条件 引导探究 引导探究 引导探究 引导探究 引导探究 引导探究 引导探究 引导探究 引导探究 引导探究 引导探究 目标升华 当堂诊学 当堂诊学 当堂诊学 当堂诊学 当堂诊学 当堂诊学 强化补清 强化补清 一不怕苦 二不怕累 风雨同舟 追求卓越 2025届高复数学 坚持就是胜利 30 若关于x的一元二次方程（m－1）x2＋2（m＋1）x－m＝0分别满足下列条件时，求m的取值范围. （1）两根都大于0； （2）一根大于－1，另一根小于－1； （3）一根在（1，2）内，另一根在（－1，0）内； （4）一根在（－1，1）内，另一根不在（－1，1）内； （5）一根小于1，另一根大于2； （6）两根都在区间[－1，3）内； （7）两根都小于1； （8）在（1，2）内有解. 若关于x的一元二次方程（m－1）x2＋2（m＋1）x－m＝0分别满足下列条件时，求m的取值范围. （1）两根都大于0； 【答案】　（0，1）　 【解析】　设f（x）＝（m－1）x2＋2（m＋1）x－m，Δ＝4（m＋1）2＋4m（m－1）＝8m2＋4m＋4＝8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(1,4)))eq \s\up22(2)＋eq \f(7,2). 两根都大于0，应满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,－\f(2（m＋1）,m－1)>0，,\f(－m,m－1)>0，))解得0<m<1. （2）一根大于－1，另一根小于－1； 【答案】　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))∪（1，＋∞） 【解析】　一根大于－1，另一根小于－1，应满足（m－1）f（－1）<0，即（m－1）（－2m－3）<0， 解得m>1或m<－eq \f(3,2). （3）一根在（1，2）内，另一根在（－1，0）内； 【答案】　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))　 【解析】　一根在（1，2）内，另一根在（－1，0）内，应满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（1）f（2）<0，,f（－1）f（0）<0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（2m＋1）7m<0，,（－2m－3）（－m）<0.)) 解得－eq \f(1,2)<m<0. （4）一根在（－1，1）内，另一根不在（－1，1）内； 【答案】　eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))∪（1，＋∞）　 【解析】　一根在（－1，1）内，另一根不在（－1，1）内，应满足f（－1）f（1）<0或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（－1）＝0，,（m－1）f（1）>0，,－1<－\f(m＋1,m－1)<1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（1）＝0，,（m－1）f（－1）>0，,－1<－\f(m＋1,m－1)<1，))∴m≥－eq \f(1,2)或m≤－eq \f(3,2)，又∵m－1≠0，∴m≠1. ∴m的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))∪（1，＋∞）. （5）一根小于1，另一根大于2； 【答案】　（0，1）　 【解析】　一根小于1，另一根大于2，应满足 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（m－1）f（1）<0，,（m－1）f（2）<0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（m－1）（2m＋1）<0，,（m－1）7m<0，)) 解得0<m<1. （6）两根都在区间[－1，3）内； 【答案】　eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3,14)))　 【解析】　两根都在[－1，3）内，应满足 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,－1<－\f(m＋1,m－1)<3，,（m－1）f（－1）≥0，,（m－1）f（3）>0，))解得－eq \f(3,2)≤m<eq \f(3,14). （7）两根都小于1； 【答案】　（－∞，－eq \f(1,2)）∪（1，＋∞）　 【解析】　两根都小于1，应满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,－\f(m＋1,m－1)<1，,（m－1）f（1）>0，)) 解得m>1或m<－eq \f(1,2). （8）在（1，2）内有解. 【答案】　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) 【解析】　在（1，2）内有解，应满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,1<－\f(m＋1,m－1)<2，,（m－1）f（1）>0，,（m－1）f（2）>0))或f（1）f（2）＜0或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（1）＝0，,（m－1）f（2）>0，,1<－\f(m＋1,m－1)<2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（2）＝0，,（m－1）f（1）>0，,1<－\f(m＋1,m－1)<2，))解得－eq \f(1,2)＜m＜0. （2024·河北石家庄藁城一中模拟）设函数f（x）＝－eq \f(3,2)cos 2x＋asin x＋a＋eq \f(9,2)，若方程f（x）＝0在（0，π）上有4个不相等的实数根，则实数a的取值范围是　　　　　　. －3<a<6－6eq \r(2) 【解析】　f（x）＝－eq \f(3,2)（1－2sin2x）＋asin x＋a＋eq \f(9,2)＝3sin2x＋asin x＋a＋3，令sin x＝t，当x∈（0，π）时，t∈（0，1]，令h（t）＝3t2＋at＋a＋3，当0<t<1时，sin x＝t有两个不相等的实数根，当t＝1时，sin x＝t有且仅有一个实数根，因为方程f（x）＝0在（0，π）上有4个不相等的实数根，所以原问题等价于h（t）＝3t2＋at＋a＋3＝0在区间（0，1）上有两个不相等的实数根，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<－\f(a,6)<1，,Δ＝a2－12（a＋3）>0，,h（0）＝a＋3>0，,h（1）＝2a＋6>0，))解得－3<a<6－6eq \r(2). 1.一元二次方程根的分布 2.一元二次方程的根的非零分布——k分布 （1）有两个正根； （2）一个根大于1，一个根小于1； （3）一个根在（－2，0）内，另一个根在（0，4）内； （4）一个根小于2，一个根大于4； （5））两个根都在（0，2）内. （1）有两个正根； 【答案】　0<m≤1　 【解析】　令f（x）＝x2＋（m－3）x＋m， 由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝（m－3）2－4m≥0，,3－m>0，,m>0，))解得0<m≤1. （2）一个根大于1，一个根小于1； 【答案】　m<1　 【解析】　若方程x2＋（m－3）x＋m＝0的一个根大于1，一个根小于1，则f（1）＝2m－2<0，解得m<1. （3）一个根在（－2，0）内，另一个根在（0，4）内； 【答案】　－eq \f(4,5)<m<0　 【解析】　若方程x2＋（m－3）x＋m＝0的一个根在（－2，0）内，另一个根在（0，4）内，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（－2）＝－m＋10>0，,f（0）＝m<0，,f（4）＝5m＋4>0，))解得－eq \f(4,5)<m<0. （4）一个根小于2，一个根大于4； 【答案】　m<－eq \f(4,5)　 【解析】　若方程x2＋（m－3）x＋m＝0的一个根小于2，一个根大于4，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（2）＝3m－2<0，,f（4）＝5m＋4<0，))解得m<－eq \f(4,5). （5）两个根都在（0，2）内. 【答案】　eq \f(2,3)<m≤1 【解析】　若方程x2＋（m－3）x＋m＝0的两个根都在（0，2）内，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（2）＝3m－2>0，,f（0）＝m>0，,0<－\f(m－3,2)<2，,Δ＝（m－3）2－4m≥0，))解得eq \f(2,3)<m≤1. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,9)，\f(1,4))) 【解析】　令t＝2x，当x∈（－∞，1）时，t∈（0，2）. 显然m≠0，问题转化为方程mt2＋（2m－1）t＋m＝0在（0，2）上有两个不相等的实数根，其充要条件为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝（2m－1）2－4m2>0，,m2>0，,m（9m－2）>0，,0<\f(2m－1,－2m)<2，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m<\f(1,4)，,m≠0，,m<0或m>\f(2,9)，,\f(1,6)<m<\f(1,2)，))解得eq \f(2,9)<m<eq \f(1,4)，即实数m的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,9)，\f(1,4))). $$