第十六章分式同步练习2024-2025学年华东师大版数学八年级下册

第十六章分式 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．计算的结果是（   ） A．1 B． C． D． 2．若，则中的运算符号是（   ） A． B． C． D． 3．型口罩能过滤空气中95%的粒径约为 m的非油性颗粒．用科学记数法表示是（    ） A． B． C． D． 4．已知关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 5．某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（    ） A． B． C． D． 6．实验中学为拓展学生的文化常识及艺术素养，购进了一批课外书和手工材料，购买课外书的数量和手工材料的数量相同，购买课外书花费了3600元，购买手工材料花费了1300元．已知课外书和手工材料的单价之和为100元，设课外书的单价为x元，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 7．在显微镜下测得“新冠”病毒的直径为0.00000000205米，用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 8．有一道题：“甲队修路150m与乙队修路100m所用天数相同，若，求甲队天修路多少米？”根据图中的解题过程，被遮住的条作是（      ） 解：设甲队每天修x米， 依题意得： …… A．甲队每天修路比乙队2倍还多30m B．甲队每天修路比乙队2倍还少30m C．乙队每天修路比甲队2倍还多30m D．乙队每天修路比甲队2倍还少30m 9．下列运算正确的是（   ） A．（a－3）－2＝a+5 B．＝ C．＝－1 D．＝ 10．下列分式中，无论x取何值，分式总有意义的是（    ） A． B． C． D． 11．在科幻小说《三体》中，制造太空电梯的材料是由科学家汪淼发明的一种具有超高强度纳米丝的“飞刃”，已知“飞刃”的直径为，则“飞刃”的直径（dm）用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 12．设，则的整数部分等于( ). A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题 13．为落实“乡村振兴计划”的工作要求，某区政府计划对乡镇道路进行改造，安排甲、乙两个工程队完成，已知乙队比甲队每天少改造20米，甲队改造400米的道路与乙队改造300米的道路所用时间相同，甲工程队每天改造的道路长度是 米． 14．化简： ． 15．分式与的最简公分母为 ． 16．计算：（3﹣π）0＋＝ ． 17．若分式的值为0，则实数x的值为 ． 三、解答题 18．计算： (1) (2) (3) (4) (5) 19．某班组织20位同学去帮助某果园的果农采摘柑橘，任务是完成720千克柑橘的采摘、运送、包装三项工作，根据实际情况将三项工作的人员分配制成统计图，每人每小时完成某项工作量制作如下统计图： （1）按照如图的人员分配方案，已知各项工作完成的时间相等，那么问每人每小时运送、包装各多少千克柑橘并补全条形统计图； （2）若他们一起完成采摘任务后，小明同学将20人分成两组，一组运送，一组去包装，结果当负责运送的一组完成了任务时，另一个组在相等的时间内还有80千克的柑橘还没有包装，试问小明是怎样将人员分配的？ 20．（1）某公司到北京参加会议，给员工购买重庆到北京的高铁票．该公司计划花费43600元一次性购买一等座票，二等座票共50张．已知一等座票的价格为950元/张，二等座票的价格为820元/张，求该公司原计划购买两种高铁票各多少张？ （2）已知重庆到北京的高铁全长2200公里，高铁提速后重庆到北京的时间比高铁提速前缩短3小时40分钟，该高铁提速后的速度比提速前的速度提升了，求提速后该高铁从重庆到北京的速度是多少公里/小时？（高铁在站点停留时间忽略不计） 21．依据最新出台的宁夏初中体育与健康学业水平考试方案，自2024年起，宁夏中考体育成绩将以70分计入总成绩中．必考项目包括1000米跑（男生）、800米跑（女生）、1分钟跳绳，每项满分15分．男生选考项目包括立定跳远、50米跑、单杠引体向上、前掷实心球，女生选考项目包括立定跳远、50米跑、1分钟仰卧起坐、前掷实心球．为适应学生体育课学习（课时数、考勤等）、日常参与体育锻炼．我校用3000元购买大、小跳绳共110根，且购买大跳绳与小跳绳的费用相同，大跳绳的单价是小跳绳单价的1.2倍． (1)求大、小两种跳绳的单价各是多少？ (2)若学校计划用不超过7000元的资金再次购买这两种跳绳共260根，已知两种跳绳的价格不变，求大跳绳最多可购买多少根？ 22．赣南脐橙果大形正，橙红鲜艳，肉质脆嫩化渣，风味浓甜芳香．2023年赣南脐橙需求量猛增，某水果批发商用40000元购进一批赣南脐橙后，供不应求，该水果批发商又用90000元购进第二批这种赣南脐橙，所购数量是第一批数量的2倍，但每箱贵了10元． (1)该水果批发商购进的第一批赣南脐橙每箱多少元？ (2)水果批发商销售这种赣南脐橙时，每箱定价为100元，最后300箱按9折销售，售完这两批赣南脐橙后批发商共获利多少元？ 23．我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”．如分式   则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅中值” (2)已知分式 P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值之和． 24．设，其中全不为0，求证：． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《第十六章分式》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D C C D D D C D 题号 11 12 答案 D A 1．A 【解析】略 2．A 【分析】本题考查了分式的加减乘除运算，利用分式的加减法法则，即可求解． 【详解】解：． 故选A． 3．D 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选D． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 4．C 【分析】先把分式方程转化为整式方程求出用含有a的代数式表示的x，根据x的取值求a的范围． 【详解】解：原分式方程可化为， 方程两边同乘得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得， ∵原分式方程的解为非负数， ∴， 即， 解得且， 故选：C． 【点睛】此题考查了分式方程的解，分式方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，本题注意这个隐含条件． 5．C 【分析】根据每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书得到每个B型包装箱可以装书（x+15）本，再利用数量=总数÷每个包装箱可以装书数量，即可得出关于x的分式方程． 【详解】∵每个A型包装箱可以装书x本，每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书，则每个B型包装箱可以装书（x+15）本，依题意得： 故选：C． 【点睛】考查了由实际问题抽象出分式方程，解题关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 6．D 【分析】本题考查了列分式方程，设课外书的单价为x元，则手工材料的单价为元，根据“购买课外书的数量和手工材料的数量相同” 建立方程即可得．找准等量关系是解题关键． 【详解】解：设课外书的单价为x元，则手工材料的单价为元， 由题意可得：， 故选：D． 7．D 【分析】绝对值小于1的小数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为整数．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂． 【详解】解：0.00000000205=2.05×10-9． 故选：D． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 8．D 【分析】根据图中的方程，可以写出被遮住的条件，本题得以解决． 【详解】解：由图表可得方程：， 故被遮住的条件是乙队每天修路比甲队2倍还少30m， 故选：D． 【点睛】此题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，写出被遮住的条件． 9．C 【详解】试题分析：选项A中（a－3）－2＝a-3-2=a-5，所以A错误；选项B中＝成立的条件是c 不等于0，所以B错误；选项C中，所以C正确；选项D中＝，当m=0时它才成立，所以D不正确 考点：分式 点评：本题考查分式，熟悉分式的运算性质，利用分式的运算性质来进行计算，此类题难度都不大 10．D 【分析】根据分式有意义的条件对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．当x＝0时，分式无意义，故本选项不符合题意； B．当x＝0，分式无意义，故本选项不符合题意； C．当x＝﹣1，分式无意义，故本选项不符合题意； D．∵x2≥0， ∴x2+1＞0， ∴无论x取何值，分式总有意义，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键． 11．D 【分析】根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：， 故选D． 【点睛】本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义(将一个数表示成的形式，其中，n为整数，这种记数的方法叫做科学记数法)是解题关键．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 12．A 【分析】由于＜=[-]， 由此可以得到1＜S=1+＜1+(-)＜， 然后即可求出4S的整数部分． 【详解】解：当k=2，3…99， 因为＜=[-] 所以1＜S=1+＜1+(-)＜． 于是有4＜4S＜5， 故4S的整数部分等于4． 故选A． 【点睛】此题主要考查了部分分式的计算，解题的关键是利用了＜=[-] 13．80 【分析】设甲工程队每天改造的道路长度是x米，则乙工程队每天改造的道路长度是（x﹣20）米，由题意：甲队改造400米的道路与乙队改造300米的道路所用时间相同，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设甲工程队每天改造的道路长度是x米，则乙工程队每天改造的道路长度是（x﹣20）米， 由题意得：＝， 解得：x＝80， 经检验，x＝80是所列方程的解，且符合题意， 则x﹣20＝60． 即甲工程队每天改造的道路长度是80米， 故答案为：80． 【点睛】此题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 14． 【分析】先转化为同分母（x﹣2）的分式相加减，然后约分即可得解： 【详解】． 15． 【分析】本题考查的是最简公分母，当各分母都是单项式时，即有最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．由题意直接根据最简公分母的定义，即可得出答案． 【详解】解：∵分式的分母，都是单项式， ∴分式与的最简公分母是． 故答案为：． 16．3 【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简即可得出答案． 【详解】（3﹣π）0＋ ＝1＋2 ＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质，任何不等于0的数的0次幂都等于1，(2)任何不等于零的数的-p（p是正整数）次幂，等于这个数的p次幂的倒数． 17． 【分析】本题考查了分式值为零的条件，根据分式值为的条件①分母不为，②分子等于计算即可． 【详解】解：由题意得且 由解得； 由解得或（舍去） 所以实数的值为． 故答案为：． 18．(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了分式的四则混合运算，乘法公式，掌握相关运算法则是解题关键． （1）将除法化为乘法计算即可； （2）将除法化为乘法，再结合平方差约分化简即可； （3）根据同分母减法法则计算即可； （4）先通分，再根据同分母减法法则计算即可； （5）将除法化为乘法约分化简，再根据同分母减法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： 19．（1）运送每人每小时45千克，包装每人每小时60千克 （2）小明安排了12人运送，8人包装． 【详解】试题分析：（1）用总人数乘以分别所占的百分比得采摘、运送、包装的具体人数，再用720千克除以6人采摘的总个数360，可得采摘的时间，即可每人每小时运送、包装的千克数； （2）负责包装的人数为y，则运送人数为20-y，根据题意，运用分式方程求解． （1）采摘20×30%=6人，运送20×40%=8人，包装20×30%=6人； 设采摘了x小时，则，解得 每人每时包装（千克） 每人每时运送（千克） （2）负责包装的人数为y，则运送人数为20-y，由题意得 解得y=8 经检验：y=8是原方程的根． 答：（1）运送每人每小时45千克，包装每人每小时60千克，（2）小明安排了12人运送，8人包装． 考点：条形统计图和扇形统计图的综合运用，分式方程的应用 点评：读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 20．（1）原计划购买20张一等座票，30张二等座票；（2）300公里/小时 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，分式方程的实际应用， （1）设该公司原计划购买x张一等座票，y张二等座票，利用总价单价数量，结合“该公司计划花费43600元一次性购买一等座票，二等座票共50张”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设提速前该高铁从重庆到北京的速度是m公里/小时，则提速后该高铁从重庆到北京的速度是（1+50%）m公里/小时，利用时间路程速度，结合高铁提速后重庆到北京的时间比高铁提速前缩短3小时40分钟（即小时），可列出关于m的分式方程，解之经检验后，可得出提速前该高铁从重庆到北京的速度，再将其代入m中，即可求出结论． 【详解】解：（1）设该公司原计划购买x张一等座票，y张二等座票， 根据题意得： 解得：； 答：该公司原计划购买20张一等座票，30张二等座票； （2）3小时40分钟小时． 设提速前该高铁从重庆到北京的速度是m公里/小时，则提速后该高铁从重庆到北京的速度是公里/小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴． 答：提速后该高铁从重庆到北京的速度是300公里/小时． 21．(1)小跳绳单价是元，大跳绳单价是元； (2)大跳绳最多可购买根． 【分析】本题考差了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，根据题意找出数量关系是解题关键． （1）由题意可知，购买大跳绳与小跳绳的费用均为元，设小跳绳单价是元，则大跳绳单价是元，根据题意列分式方程求解，检验后即可得到答案； （2）设大跳绳购买根，则小跳绳购买根，根据题意列一元一次不等式求解，最大整数解即为答案． 【详解】（1）解：由题意可知，购买大跳绳与小跳绳的费用相同，均为元， 设小跳绳单价是元，则大跳绳单价是元， 则， 解得：， 经检验，是原方程的解， ， 答：小跳绳单价是元，大跳绳单价是元； （2）解：设大跳绳购买根，则小跳绳购买根， 由题意得：， 解得：， 可取的最大整数为， 答：大跳绳最多可购买根． 22．(1)该水果批发商购进的第一批赣南脐橙每箱80元 (2)售完这两批赣南脐橙后批发商共获利17000元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，有理数混合运算的实际应用： （1）设该水果批发商购进的第一批赣南脐橙每箱x元，找准等量关系，列分式方程，解方程即可； （2）根据进价、售价、数量、利润之间的关系列式求解即可． 【详解】（1）解：设该水果批发商购进的第一批赣南脐橙每箱x元， 依题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：该水果批发商购进的第一批赣南脐橙每箱80元． （2）解： （元） 答：售完这两批赣南脐橙后批发商共获利17000元． 23．(1)不是，理由见解析 (2)27 【分析】（1）先化简，再计算，再根据“雅中值”的定义可得答案； （2）由定义可得：整理可得：的表达式，再化简 根据为整数，且“雅中式”的值也为整数，得到：是的因数，从而可得答案； 【详解】（1），， 不是的“雅中式”． （2）关于的“雅中值”是， ， ， 为整数，且“雅中式”的值也为整数， 是的因数， 可能是： 的值为： 的值为： 【点睛】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，分式方程等知识，掌握以上知识是解题的关键． 24．见解析 【分析】利用先求出，再利用作商法证明即可． 【详解】∵ ， ， 同理：，， ，， 所以： ． 所以． 【点睛】本题考查分式的混合运算，用表示出，并用作商法证明结论是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$