第十六章 二次根式 （A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（重庆专用，人教版）

第十六章 二次根式 （A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．化简的正确结果是（   ） A．2 B． C． D．3 4．若，则x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 5．实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为（    ） A．7 B． C． D．无法确定 6．估计的值在哪两个数之间（    ） A．4与5 B．5与6 C．6与7 D．7与8 7．若，则代数式的值为（　　） A． B． C． D． 8．在学习二次根式过程中，对代数式定义新运算：，在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”．实数，在数轴上的位置如图所示．例如：，．下列说法： ①； ②至少存在一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式相等； ③不存在任何“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0； ④所有可能的“新运算操作”共有5种不同运算结果． 其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 9．定义运算“★”：对于任意实数a，b，都有a★b=．若，则★的值为（    ） A．0 B． C． D．5 10．计算的结果为（    ） A． B． C．1 D．3 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．比较大小： （填“”，“”或“”）． 12．计算的结果为 ． 13．设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是 ． 14．已知实数x，y满足，则 ． 15．计算的结果等于 ． 16．任意一个四位正整数，如果它的各个数位上的数字均不为零，千位与十位上的数字之和是，百位与个位上的数字之和是9，则这个数称为“十拿九稳数”．将m的千位与十位对调、百位与个位对调后的四位数记为，其中，则 ；若为整数，则满足条件的“十拿九稳数”的最大值为 ． 3、 解答题：共9题，共86分，其中第17~18题每小题8分，第19~25题每小题10分。 17．计算： (1)； (2)． 18．先化简，再求值，其中 ，． 19．已知，求下列各式的值． (1) (2) 20．已知，，求下列代数式的值： (1) (2)先化简，再求值：． 21．已知与最简二次根式可以加减合并，b是27的立方根． (1)求a，b的值； (2)求的平方根； (3)若，求的值． 22．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将减去其整数部分，差就是其小数部分．请解答： (1)请写出的整数部分和小数部分各是多少？ (2)如果的小数部分为a，的整数部分是b，求的值； (3)已知：，其中x是整数部分，y是小数部分，且，求的相反数． 23．先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； … (1)请你利用上述规律计算（仿照上式写出过程）； (2)请你按照上面各等式反映的规律，写出一个用n（n为正整数）表示的等式__________； (3)请你利用发现的规律，计算： 24．2024年上半年磊磊家的草莓大丰收．为了运输方便，磊磊的爸爸打算把一批长为 宽为的长方形纸板制成有底无盖的盒子．如图，在长方形纸板的四个角各截去一个边长为 的小正方形，然后沿折线折起即可．现将盒子的外表面贴上彩纸，用来盛放草莓． (1)制作一个这样的盒子至少需要彩纸的面积是多少？ (2)当，时，制作一个这样的盒子至少需要彩纸的面积是多少？ 25．阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简：______，______，______，______． (2)已知：，求的值． (3)计算：． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十六章 二次根式 （A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解不等式以及二次根式有意义的条件等知识点，根据二次根式有意义的条件，解不等式即可得解，熟练掌握二次根式有意义的条件是解决此题的关键． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根数的运算法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A．和不是同类二次根式，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意， B．和不是同类二次根式，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意， C．，故该选项计算正确，符合题意， D．，故该选项计算错误，不符合题意． 故选：C． 3．化简的正确结果是（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，解题的关键在于能够熟练掌握二次根式的乘法运算法则． 利用二次根式的乘法进行计算即可得到答案． 【详解】解：， 故选：A． 4．若，则x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 【答案】B 【分析】此题考查了二次根式性质化简，掌握二次根式的性质是关键．根据二次根式的性质得出不等式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故选：B． 5．实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为（    ） A．7 B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质和绝对值，首先根据数轴得到a的范围，从而得到与的符号；然后利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求解． 【详解】解：根据数轴得：， ∴， ∴ ． 故选：A． 6．估计的值在哪两个数之间（    ） A．4与5 B．5与6 C．6与7 D．7与8 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的估算，掌握利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算是解题的关键． 先估算的范围，然后再确定的范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选C． 7．若，则代数式的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，求代数式的值，解题的关键是掌握：在二次根式中，要求字母必须满足条件，即被开方数是非负的，则当时，二次根式有意义，当时，二次根式无意义．据此得到关于的不等式组，继而得到、的值，再代入计算即可．也考查了负整数指数幂． 【详解】解：根据题意，得， 解得：， ∴， ∴， ∴代数式的值为． 故选：A． 8．在学习二次根式过程中，对代数式定义新运算：，在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”．实数，在数轴上的位置如图所示．例如：，．下列说法： ①； ②至少存在一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式相等； ③不存在任何“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0； ④所有可能的“新运算操作”共有5种不同运算结果． 其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义运算“新运算操作”，正确理解“新运算操作”是解题关键．根据数轴可知，，则有，结合“新运算操作”可得，即可判断说法①；结合可得，即可判断说法②；推导，易得，可知，即可判断说法③；根据“新运算操作”可知所有可能的“新运算操作”共有5种不同运算结果，即可判断说法④． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴，故说法①正确； ∵， ∴，故说法②正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴存在“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0，说法③错误； 可能的“新运算操作”有， ， ， ， ， ， ， ∴所有可能的“新运算操作”共有5种不同运算结果，说法④正确． 故选：B． 9．定义运算“★”：对于任意实数a，b，都有a★b=．若，则★的值为（    ） A．0 B． C． D．5 【答案】B 【分析】根据被开方数和完全平方式的非负性求得x，y的值，然后根据定义运算列式求解． 【详解】解：由，得 ∴， 解得：x=-2，y=2 由题意可得★= 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式和完全平方式的性质及二次根式的化简，掌握二次根式和完全平方式的非负性，理解题意正确计算是解题关键． 10．计算的结果为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的运算，积的乘方的逆用，平方差公式，将原式变形为，再利用积的乘方的逆运算和平方差公式求解即可． 【详解】解： ， 故选：A． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．比较大小： （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是两个无理数的大小比较，二次根式的性质；比较两个无理数的大小，进行恰当的转化可以较直观的比较． 【详解】解：∵， 而， ∴， 故答案为：． 12．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键． 直接利用二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13．设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了无理数的估算，平方差公式，由于，可求出a，进而求出b，代入计算即可求得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴整数部分为，小数部分为， ∴． 故答案为：． 14．已知实数x，y满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的被开方数是非负数得出x、y的值是解题关键．根据二次根式有意义的条件，列出不等式组，可得x、y的值，最后代入再进行计算即可． 【详解】解：∵实数x，y满足， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 15．计算的结果等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，平方差公式，熟练运用平方差公式是解题的关键． 运用平方差公式计算即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为： ． 16．任意一个四位正整数，如果它的各个数位上的数字均不为零，千位与十位上的数字之和是，百位与个位上的数字之和是9，则这个数称为“十拿九稳数”．将m的千位与十位对调、百位与个位对调后的四位数记为，其中，则 ；若为整数，则满足条件的“十拿九稳数”的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，利用二次根式的性质进行化简．理解题意，熟练掌握利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． 由题意知，，，则，当时，，则，计算求解即可；由题意知，，，则，，，由为整数，可知，由题意知，当值最大时，的值最大，然后求出两种情况的最大值，最后比较大小即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴， 当时，， ∴， 由题意知，，， ∴， ∴， ∴， ∵为整数， ∴或， 由题意知，当值最大时，的值最大， 当时，最大的值为5，此时，的最大值为； 当时，最大的值为9，此时，的最大值为； ∵， ∴满足条件的“十拿九稳数”的最大值为， 故答案为：，． 3、 解答题：共9题，共86分，其中第17~18题每小题8分，第19~25题每小题10分。 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的乘法及加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先算乘方，算术平方根，立方根，化简绝对值，再算加减法即可； （2）利用平方差和完全平方公式展开，再计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．先化简，再求值，其中 ，． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先进行括号内化简，再合并同类二次根式，最后再代入求值即可． 【详解】原式 ， 当 ， 时， 原式 ． 19．已知，求下列各式的值． (1) (2) 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，正确对所求的式子进行变形是关键． （1）首先把已知的式子进行变形，变形成的形式，然后代入数值计算即可求解； （2）首先把所求的式子通分后利用完全平方公式变形，然后代入数值计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ． 20．已知，，求下列代数式的值： (1) (2)先化简，再求值：． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了二次根式的化简求值、分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先求出、的值，再将式子变形为，代入计算即可得解； （2）根据分式的混合运算法则进行化简，再代入的值计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解： ， 由（1）可得：，故原式． 21．已知与最简二次根式可以加减合并，b是27的立方根． (1)求a，b的值； (2)求的平方根； (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)6 【分析】本题考查最简二次根式，平方根和立方根，化简求值： （1）根据题意，得到和是同类二次根式，求出的值，立方根的定义求出的值即可； （2）先求出代数式的值，再根据平方根的定义进行求解即可； （3）求出的值，将转化为，再代值计算即可． 【详解】（1）解：，由题意，得：， ∴， ∵b是27的立方根， ∴； （2）解：当，时， ， ∴的平方根； （3）， ∴ ． 22．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将减去其整数部分，差就是其小数部分．请解答： (1)请写出的整数部分和小数部分各是多少？ (2)如果的小数部分为a，的整数部分是b，求的值； (3)已知：，其中x是整数部分，y是小数部分，且，求的相反数． 【答案】(1)整数部分是3，小数部分是 (2) (3) 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值、无理数的大小比较、相反数的概念，正确进行无理数的估算是解题的关键． （1）根据无理数的估算解答即可； （2）根据无理数的估算求出a、b，计算即可； （3）根据无理数的估算求出x、y，根据相反数的概念解答即可． 【详解】（1）， ， 的整数部分是3，小数部分是； （2）， 的小数部分为： ， 的整数部分是； ． （3），其中x是整数，且， 为的整数部分，y为的小数部分， ， ， ，， ， 的相反数是． 23．先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； … (1)请你利用上述规律计算（仿照上式写出过程）； (2)请你按照上面各等式反映的规律，写出一个用n（n为正整数）表示的等式__________； (3)请你利用发现的规律，计算： 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】考查了二次根式的性质与化简，此题是一个阅读题目，通过阅读找出题目隐含条件．总结：找规律的题，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来． （1）从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n，第三个分数的分母就是，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．由此可求解即可； （2）根据（1）找的规律进行计算即可； （3）根据规律把所求式子先化简二次根式，最后计算期间即可； 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得， （3）解： ． 24．2024年上半年磊磊家的草莓大丰收．为了运输方便，磊磊的爸爸打算把一批长为 宽为的长方形纸板制成有底无盖的盒子．如图，在长方形纸板的四个角各截去一个边长为 的小正方形，然后沿折线折起即可．现将盒子的外表面贴上彩纸，用来盛放草莓． (1)制作一个这样的盒子至少需要彩纸的面积是多少？ (2)当，时，制作一个这样的盒子至少需要彩纸的面积是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的混合运算的应用，二次根式的混合运算． （1）根据图形表示出彩纸的面积即可； （2）把与的值代入，利用二次根式的混合运算法则计算即可求出值 ． 【详解】（1）解：根据题意，需要彩纸的面积为 ； （2）解：当，时． ． 25．阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简：______，______，______，______． (2)已知：，求的值． (3)计算：． 【答案】(1) (2)16 (3)2022 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，分母有理化，解题关键是熟练掌握如何把二次根式分母有理化． （1）各个算式分别把分子和分母乘以分母的有理化因式，把分母中的根号去掉进行化简即可； （2）先根据已知条件，把x，y化简，再利用完全平方公式把所求代数式分解因式，然后直接把化简后的x，y代入进行计算即可； （3）把括号内的每个分式进行分母有理化，然后进行简便计算，最后再根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ； （3）解： ． / 学科网（北京）股份有限公司 $$