精品解析：湖北省枣阳市2024-2025学年九年级上学期数学期末模拟试题

2024-2025学年度九年级上册期末模拟试题 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可，在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选B． 2. 抛物线的对称轴为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式解答即可．本题考查二次函数的性质，顶点式，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线，熟练掌握二次函数的顶点式的是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为， 故选：． 3. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（   ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，掌握根的判别式的相关性质是解题的关键． 根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式的值等于，即可求出的值． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴．   故选： C． 4. 若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴为轴，根据对称性可得时的函数值与时的函数值相等，等于，由解析式可知开口向上，则时，随的增大而减小，即可判断，，的大小关系． 【详解】解：由二次函数可得，对称轴轴， 时的函数值与时的函数值相等，等于， 时，随的增大而减小， ∵， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 5. 如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（　　） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 【答案】C 【解析】 【分析】过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，根据垂径定理可得，然后勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA， ∵OD⊥AB， ， 设OA=r，则OD=r-2， 在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=（r-2）2+42， 解得：r=5cm． ∴该输水管的半径为5cm； 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 6. 反比例函数经过点，则下列说法错误的是（ ） A. B. 函数图象分布在第一、三象限 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，随的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】将点（2,1）代入中求出k值，再根据反比例函数的性质对四个选项逐一分析即可． 【详解】将点（2,1）代入中，解得：k=2， A．k=2，此说法正确，不符合题意； B．k=2﹥0,反比例函数图象分布在第一、三象限，此书说法正确，不符合题意； C．k=2﹥0且x﹥0，函数图象位于第一象限，且y随x的增大而减小，此说法错误，符合题意； D．k=2﹥0且x﹥0，函数图象位于第一象限，且y随x的增大而减小，此说法正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，理解函数图象上的点与解析式的关系是解答的关键． 7. 如图，四边形为的内接四边形，已知为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，根据圆内接四边形对角互补求得，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵四边形为的内接四边形， 为， ∴， ∴， 故选：B． 8. 在平面直角坐标系中，将抛物线先沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向下平移4个单位长度，则平移后得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，根据二次函数顶点式的平移口诀：左加右减，上加下减，即可解答． 【详解】解：先沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度， 可得：， 即， 故选：D． 9. 平面直角坐标系内有一点，将点P绕坐标原点逆时针旋转得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是利用旋转的性质求坐标.过点作轴，垂足为，过作轴，垂足为，证即可得到答案. 【详解】解：过点作轴，垂足为，过作轴，垂足为， ∵将点P绕坐标原点逆时针旋转得到的点， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点在第二象限， ∴点的坐标为， 故选：B. 10. 抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图像与系数的关系．根据二次函数的解析式结合二次函数的性质，画出草图，逐一分析即可得出结论． 【详解】解：根据题意画出函数的图像，如图所示： ∵开口向上，与轴的交点位于轴上方， ∴，， ∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∵抛物线的顶点为， ∴， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C． 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 已知点与点关于原点对称，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案． 【详解】解：由题意，得： ，． ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查点的坐标关于原点对称，熟练掌握点的坐标关于原点对称的特征是解题的关键． 12. 一元二次方程的一个根是，则另一个根是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程根的知识，把代入方程，求出，再根据解一元二次方程，解出方程的根，即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根是， ∴， 解得：， ∴方程为：， ∴， 解得：，， 故答案为：． 13. 如图，在中，，若，，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形相似的判定和性质的应用，根据，可得：，得到，然后根据，，求出的值即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，若二次函数的图象与轴有交点，则一元二次方程有实数根，利用根的判别式求解即可． 【详解】解：二次函数的图象与轴有交点， 一元二次方程有实数根， ，， 且． 故答案为：且． 15. 如图，点是等边三角形内的一点，且，，，则的度数为______． 【答案】##150度 【解析】 【分析】将绕点逆时针旋转后得到的，由旋转的性质可得，，可得为等边三角形，由勾股定理的逆定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转后得到的． ≌， ，， 为等边三角形， ，， ，， ， 为直角三角形， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理的逆定理，利用旋转的性质和勾股定理的逆定理得到为直角三角形是解题的关键． 三、解答题(共75分) 16. 解一元二次方程： （1） ； （2）． 【答案】（1） （2）方程无实数根 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）先化为一般式，再由因式分解法求解即可； （2）先判断根的判别式的值，由得到方程无实数根． 【小问1详解】 解： 或 解得：； 【小问2详解】 解： ， ∴方程无实数根． 17. 2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，传承红色基因”主题教育学习活动，井冈山是此次活动重要的研学活动基地．据了解，今年7月份该基地接待参观人数100万，9月份接待参观人数增加到121万． （1）求这两个月参观人数的月平均增长率． （2）按照这个增长率，预计10月份的参观人数是多少？ 【答案】（1）；（2）万人． 【解析】 【分析】（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为，根据9月份该基地接待参观人数等于月份该基地接待参观人数（增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用10月份该基地接待参观人数等于月份该基地接待参观人数（增长率），即可求出结论． 【详解】解：（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：这两个月参观人数的月平均增长率为． （2）（万人）． 答：预计10月份的参观人数为万人． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用增长率的问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 18. 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，四边形是平行四边形，若，则的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，根据旋转的性质可得，，再由平行四边形的性质可得，得到，最后由三角形内角和定理进行计算即可，熟练掌握旋转的性质及平行四边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ． 19. 如图，函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C． （1）已知一次函数的图象过点B，C，求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于x的每一个值，函数（b为常数）的值大于函数的值，直接写出b的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令，则，可求，当，则，可求，待定系数法求一次函数解析式即可； （2）由题意知，的图象与直线平行，如图，结合图象求解作答即可． 【小问1详解】 解：令，则， 解得，或， ∴， 当，则，即， 设一次函数解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由题意知，的图象与直线平行， 如图， ∵当时，对于x的每一个值，， ∴由图可知：． 【点睛】本题考查了二次函数与轴的交点坐标，一次函数解析式，一次函数图象的平移，二次函数与不等式．熟练掌握二次函数与轴的交点坐标，一次函数解析式，一次函数图象的平移，二次函数与不等式是解题的关键． 20. 如图，已知双曲线与直线交于两点，点的坐标为． （1）求的值及点的坐标； （2）若点在第一象限的双曲线上，试求出的值及点的坐标． 【答案】（1），， （2）， 【解析】 【分析】（1）把的坐标代入反比例函数的解析式,再根据反比例函数的对称性即可解答； （2）把点代入，得，解方程即可．本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求函数的解析式的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 ∵双曲线与直线交于两点，点的坐标为， ∴，， ∵双曲线和正比例函数的交点关于原点对称， ， ∴的值为，的值为，； 【小问2详解】 ∵点在第一象限的双曲线上， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵点在第一象限， ∴，， ∴， ∴． 21. 如图，在中，，点D是边的中点，点O在边上，经过点C且与边相切于点E，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径长． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】（1）作，垂足为点H，连接，根据直角三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，然后根据角平分线的性质，即可求证； （2）根据勾股定理求出的长，可得，设的半径为r，在中，根据勾股定理，即可求解． 小问1详解】 证明：如图，作，垂足为点H，连接， ∵，D是的中点， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， 即是的平分线， ∵点O在上，与相切于点E， ∴，且是的半径， ∴，是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：在中，， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， 设的半径为r，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴． ∴的半径长为3． 【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理等知识是解题的关键． 22. 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某旅游商店以每件50元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件80元的价格出售，每日可售出200件．从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，日销售量就会增加20件． （1）设定价为x元，日销售量为y件．试用含x的式子表示y， ； （2）当该吉祥物售价为多少元时，日销售利润达7500元？ （3）请你测算一下，该商场如何定价，可使日销售利润最多？ 【答案】（1） （2）元 （3）每件售价为元时 【解析】 【分析】（1）销售量降价前每日销售量降价所增加的销售量，据此即可求解； （2）每件所获利润日销售量元，据此即可求解； （3）设日销售利润为元，日销售利润每件所获利润日销售量，据此即可求解． 【小问1详解】 解： ， 故答案：； 【小问2详解】 解：由题意得 ， 整理得：， 解得：，， 降价促销， 舍去 ， 答：该吉祥物售价为元时，日销售利润达7500元． 【小问3详解】 解：设日销售利润为元，由题意得 ， ， 当时，（元）； 答：每件售价为元时，可使日销售利润最多． 【点睛】本题考查一次函数在销售问题的应用，一元二次方程在销售问题中应用，二次函数在销售问题中的应用，找出等量关系式是解题的关键． 23. 在中，．将绕点A顺时针旋转得到，旋转角小于，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，交于点O，延长交于点P． （1）如图1，求证：； （2）当时， ①如图2，若，求线段的长； ②如图3，连接，延长交于点F，判断F是否为线段的中点，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）①；②F是线段的中点．理由见解析 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得到，，，根据证明，即可证明； （2）①连接，由勾股定理求得，利用全等三角形的性质和平行线的性质求得，推出，据此求解即可； ②连接，延长和交于点G，证明，求得，得到，再证明，据此即可证明F是线段的中点． 【小问1详解】 证明：连接， 由旋转的性质知，，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①连接， ∵，， ∴， 由旋转的性质知，，， 由（1）知， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②F是线段的中点．理由如下， 连接，延长和交于点G，如图， 由（1）知，， ∴是垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即F是线段的中点． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 24. 如图1，抛物线与轴交于、两点，点的坐标为，与轴交于点 （1）求抛物线的关系式； （2）是第四象限抛物线上一点，当四边形的面积最大时，求点的坐标和四边形的最大面积； （3）如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），面积最大为 （3）存在，点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）将B，C两点坐标代入，利用待定系数法求解； （2）连接，过M作x轴的垂线交于点N，，其中为定值，设M点坐标为，则，化为顶点式，即可求出最值； （3）取中点D，过点D作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，由直角三角形斜边中线的性质可得，设点P坐标为，利用勾股定理解，求出n的值即可． 【小问1详解】 解：把B，C两点坐标代入抛物线解析式可得， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：如图，连接，过M作x轴的垂线交于点N， 在中，令， 解得或， ∴A点坐标为． ∴，且， ∴， ∵， ， ∴直线BC解析式为， 设M点坐标为，则N点坐标为， ∵M在第四象限， ∴， ∴， ∴当时，，， ∴当M为时，四边形的面积有最大值， 最大值． 【小问3详解】 解：存在．如图，取中点D，过点D作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q， 在中，由勾股定理得， 由题意，当时，， 易求，抛物线的对称轴为直线， 设点P坐标为， ∴， ， 由，得， 解得， ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查求二次函数解析式，铅垂法求三角形面积，二次函数最值，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等，解题的关键是正确作出辅助线，熟练运用数形结合思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度九年级上册期末模拟试题 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A. B. C D. 2. 抛物线的对称轴为（ ） A. B. C. D. 3. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（   ） A. B. C. 或 D. 4. 若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A B. C. D. 5. 如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（　　） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 6. 反比例函数经过点，则下列说法错误的是（ ） A. B. 函数图象分布在第一、三象限 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，随的增大而减小 7. 如图，四边形为的内接四边形，已知为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，将抛物线先沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向下平移4个单位长度，则平移后得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 9. 平面直角坐标系内有一点，将点P绕坐标原点逆时针旋转得到点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 已知点与点关于原点对称，则_____． 12. 一元二次方程的一个根是，则另一个根是________． 13. 如图，在中，，若，，则的值为_________． 14. 若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是__________． 15. 如图，点是等边三角形内的一点，且，，，则的度数为______． 三、解答题(共75分) 16. 解一元二次方程： （1） ； （2）． 17. 2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，传承红色基因”主题教育学习活动，井冈山是此次活动重要的研学活动基地．据了解，今年7月份该基地接待参观人数100万，9月份接待参观人数增加到121万． （1）求这两个月参观人数的月平均增长率． （2）按照这个增长率，预计10月份的参观人数是多少？ 18. 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，四边形是平行四边形，若，则的度数． 19. 如图，函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C． （1）已知一次函数图象过点B，C，求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于x每一个值，函数（b为常数）的值大于函数的值，直接写出b的取值范围． 20. 如图，已知双曲线与直线交于两点，点的坐标为． （1）求的值及点的坐标； （2）若点在第一象限的双曲线上，试求出的值及点的坐标． 21. 如图，在中，，点D是边的中点，点O在边上，经过点C且与边相切于点E，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径长． 22. 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某旅游商店以每件50元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件80元的价格出售，每日可售出200件．从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，日销售量就会增加20件． （1）设定价为x元，日销售量为y件．试用含x的式子表示y， ； （2）当该吉祥物售价为多少元时，日销售利润达7500元？ （3）请你测算一下，该商场如何定价，可使日销售利润最多？ 23. 在中，．将绕点A顺时针旋转得到，旋转角小于，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，交于点O，延长交于点P． （1）如图1，求证：； （2）当时， ①如图2，若，求线段的长； ②如图3，连接，延长交于点F，判断F是否为线段的中点，并说明理由． 24. 如图1，抛物线与轴交于、两点，点的坐标为，与轴交于点 （1）求抛物线的关系式； （2）是第四象限抛物线上一点，当四边形的面积最大时，求点的坐标和四边形的最大面积； （3）如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$