第五章 相交线与平行线 讲义 2024--2025学年人教版七年级数学下册

专题一：平行线与相交线 模块一：相交线 2 题型一：垂线定义的理解 4 题型二：画垂线 5 题型三：垂线段最短 6 题型四：点到直线的距离 7 题型五：三线八角的识别 8 巩固练习： 11 模块二：平行线 20 题型一：平行线 23 题型二：平行线的绘制 24 题型三: 平行公理及推论 26 题型四：平行线的判定 29 题型五：平行线的性质 31 题型六：平行线的判定与性质综合 36 题型七：平行线间的距离 40 题型八：平移 45 题型九：平行线性质在生活中的实际应用 47 题型十：命题概念辨析 51 题型十一：证明步骤书写 53 巩固练习： 56 模块三：模型拓展 67 题型一：铅笔模型，M模型与锯齿模型 69 巩固练习： 80 专题一：相交线与平行线 模块一：相交线 考点1： 直线的位置关系: 在同一平面内不重合的两条直线的位置关系只有两种：平行或相交。 垂线：当两条直线相交所成四角中有一个角为直角时，称两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 垂线的画法： 图1.1三角板画法 图2.2量角器画法 垂线性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短。 （注：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离）。 考点2： （1）“三线八角”模型： 如图，直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称为“三线八角”，如图： （2）同位角、内错角、同旁内角的定义： 在“三线八角”中，如上图1， （1）同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角. （2）内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角. （3）同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角. 题型一：垂线定义的理解 例题1：如图，，垂足为O，直线经过点，则_______． 【答案】40 【分析】本题考查了垂线的定义，对顶角相等，解决本题的关键是熟练掌握对顶角相等的性质，垂线的定义． 利用对顶角相等的性质，垂线的定义计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 练习1：如图，点O在直线上，当与满足_______时，． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂直的定义理解，补角的定义，根据当时，则，然后利用补角的定义求出，即可得出答案． 【详解】解：当时，则， ∵， ∴， 即当时，． 故答案为：． 练习2：如图，直线、相交于点O，，． (1)写出图中的余角 ； (2)如果，求的度数． 【答案】(1)、、；(2) 【分析】本题主要考查的是垂线、余角的定义、对顶角、邻补角的定义，掌握相关性质是解题的关键． （1）由垂直的定义可知，，从而可知与是的余角，由对顶角的性质从而的得到是的余角； （2）依据同角的余角相等可知，，从而得到平角． 【详解】（1）解：∵，， ∴，． ∴与是的余角． ∵由对顶角相等可知：， ∴． ∴与互为余角． ∴的余角为，，；故答案为：，，． （2）解：∵，°，， ∴． ∴． 题型二：画垂线 例题1：下列各图中，过直线l外一点P画它的垂线，三角板操作正确的是（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】D 【分析】根据垂线的作法，用直角三角板的一条直角边与l重合，另一条直角边过点P后沿直角边画直线即可；. 【详解】观察各选项图形，可知D的画法正确；故选D． 【点评】本题主要考查了垂线的作法，准确理解是解题的关键． 练习1：下列四个图形中，过点作的垂线，正确的是（         ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了用画垂线，根据画垂线的方法进行判断即可． 【详解】解：过点作的垂线，则垂足在直线上，只有A选项符合题意， 故选：A． 练习2：如图，已知A，B是直线l上两点，C是直线l外一点． (1)画射线AC，线段BC； (2)过点C作l的垂线段． 【答案】见详解 【分析】本题考查了作图复杂作图，射线，线段，垂线段，解决本题的关键是掌握基本作图方法． （1）根据射线、线段的定义即可画出射线，线段即可； （2）根据垂线的定义，画出过点作的垂线段即可． 【详解】（1）解：如图，射线，线段即为所作； （2）如图，垂线段即为所作． 题型三：垂线段最短 例题1：数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（    ） A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段最短，线段的性质．根据垂线段最短，线段的性质分别判断即可． 【详解】解：A、测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故该选项符合题意； B、木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意； C、弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意； D、两钉子固定木条，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意； 故选：A． 练习1：点A是直线l外一点，点B 是直线l上一点，点A到l的距离为，则________．(填“小于”“大于” “不小于”或“不大于”) 【答案】不小于 【分析】据点到直线距离的定义进行解答即可．本题考查了点到直线的距离．解题的关键是明确垂线段最短，即从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短． 【详解】解：为直线外一点，是直线上一点，点到的距离为， 当时，；当不与直线垂直时，． ． 故答案为：不小于． 练习2：如图所示，想在河的两岸搭建一座桥，搭建方式最短的是 ，理由是________________________． 【答案】 垂线段最短 【分析】本题主要考查了垂线段最短，熟练掌握直线外一点到直线的距离最短的是垂线段的长度是解题的关键．根据直线外的点P到直线的距离最短的是垂线段的长度即可得到答案． 【详解】解：∵于M， ∴搭建方式最短的是，理由是垂线段最短，故答案为：；垂线段最短． 题型四：点到直线的距离 例题1：如图，在三角形中，，D为垂足，则下列说法中，错误的是（    ） A．点B到的距离是线段的长 B．点B到的距离是线段的长 C．点C到的距离是线段的长 D．点C到的距离是线段的长 【答案】A 【分析】本题考查的是点到直线的距离．利用点到直线的距离定义判断即可． 【详解】解：A、点B到的距离是线段的长，本选项错误，符合题意； B、点B到的距离是线段的长，本选项正确，不符合题意； C、点C到的距离是线段的长，本选项正确，不符合题意； D、点C到的距离是线段的长，本选项正确，不符合题意， 故选：A． 练习1：若P为直线l外一定点，A为直线l上一点，且，d为点P到直线l的距离，则d的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的直线的距离，根据垂线段最短即可求出答案． 【详解】解：由垂线段最短可知：， 当时，此时,故选：C． 练习2：在已知平面内，点P是直线l上一点，点M，N到直线l的距离分别是，且，则线段的长度是___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段的和差、点到直线的距离等知识点，根据题意正确画出图形以及掌握分类讨论思想成为解题的关键． 分点M，N在直线l的同侧和异侧两种情况，分别画出图形进行计算即可． 【详解】解：①如图：当点M，N在直线l的同侧时，； ②如图：当点M，N在直线l的异侧时，； 综上，线段的长度是或． 故答案为：或． 题型五：三线八角的识别 例题1：如图，直线与直线交于点，此时图中有两对对顶角，若过点再画一条不与直线，重合的直线，则新增加的对顶角有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】C 【分析】此题考查了对顶角，画出图形，再判断增加的对顶角即可. 【详解】解：如图， 直线c与直线相交得到两对对顶角，直线c与直线b相交得到两对对顶角，共增加了4对对顶角， 故选：C 例题2：如图，按各组角的位置，说法正确的是（   ） A． 与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 【答案】B 【分析】本题主要考查了同位角，内错角，对顶角，同旁内角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角,据此求解即可． 【详解】解：A、与不是同旁内角，原说法错误，不符合题意； B、与是内错角，原说法正确，符合题意； C、与不是同旁内角，原说法错误，不符合题意； D、与是内错角，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 练习1：如图，直线a，b，c，d两两相交，图中共有对顶角（　　） A．9对 B．10对 C．11对 D．12对 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角，找出交点的个数与对顶角组数的数量关系是解决此类问题的关键．两条直线相交有一个交点，在交点处有两对对顶角；三条直线交于一点对顶角有六对，根据交点与对顶角的数量关系求解即可． 【详解】解：图中的对顶角有（对），故选D 练习2：如图，当光线从空气射入水中，会发生折射与反射现象，其中与互为对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角，根据对顶角的定义即可求解，掌握对顶角的定义是解题的关键． 【详解】解：由图可得，与互为对顶角的是，故选：． 练习3：由图可知，和是一对（    ） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 【答案】D 【分析】本题考查了同旁内角的概念，两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角．据此即可求解． 【详解】解：和符合同旁内角的定义， 故选：D． 练习4：如图，直线上有一点和是直线被直线_______所截形成的______角；和是直线和被直线_____所截形成的_____角；和是直线______和______被直线______所截形成的_______角． 【答案】 同位 内错 同旁内 【分析】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．根据同位角、内错角、同旁内角的定义解答即可． 【详解】解：直线上有一点和是直线被直线所截形成的同位角；和是直线和被直线所截形成的内错角；和是直线和被直线所截形成的同旁内角． 故答案为：，同位；，内错；，，，同旁内． 巩固练习： 1．数学课上老师用双手表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．从左至右依次表示（ ） A．同旁内角、同位角、内错角 B．同位角、内错角、同旁内角 C．内错角、同旁内角、同位角 D．内错角、同位角、同旁内角 【答案】D 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角，并能区别它们． 两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答即可． 【详解】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知 第一个图是内错角，第二个图是同位角，第三个图是同旁内角． 故选：D． 2．用三角板过点作所在直线的垂线，如图三角板的位置摆放正确的是（     ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查作垂线，根据过点作已知直线的垂线方法进行判断即可． 【详解】解：选项A中三角板过点，但不垂直，故不符合题意； 选项B中三角板过点且垂直，故符合题意； 选项C中三角板不过点，故不符合题意； 选项D中三角板过点但不垂直，故不符合题意， 故选：B． 3．如图，直线相交于点O，于点O，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角相等、垂直的定义等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 根据垂直的定义可得，进而可得，然后根据对顶角相等即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 4．如图所示，直线，，两两相交，，，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，根据对顶角相等得出，根据，求出，根据对顶角相等得出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 键． 5．已知直线相交于点平分． （1）如图①，若，则_____，_____； （2）如图②，若，则_____，与互补的角有_______________． 【答案】 40 50 30 ，， 【分析】（1）根据角平分线的定义可求得的度数，再利用对顶角即可求得的度数； （2）利用角平分线的定义及角的和差即可求得的度数；根据补角的定义即可求得答案． 本题考查对顶角相等，补角，角平分线的定义，补角及角的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）∵平分， ∴； ∵， ∴． ∵与是对顶角， ∴； 故答案为：40，50； （2）∵平分， ∴； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ，，，， ， 与互补的角为：，，． 故答案为：，，， 6．在△ABC中，，点D是边上的动点（除点外），则线段的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，三角形的面积，根据垂线段最短可知，当时，的长度最小，利用三角形的面积求出的最小值，再根据当点D与点A重合时，取的最大值为4，即可得出的取值范围． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，的长度最小，如下图∶ ∵ ∴， ∴， ∴， 当点D与点A重合时，取的最大值为4， ∴的取值范围为：． 故答案为：． 7．如图，直线相交于点O，平分，，则等于_____． 【答案】 【分析】本题考查了与角平分线有关的角的运算，互补关系等知识；由及互补关系可求得，再由平分及对顶角相等即可求得结果． 【详解】解：∵，， ∴； ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：． 8．噪声对环境的影响与距离有关，与噪声来源距离越近，噪声越大．如图，一辆汽车在笔直的公路上由点向点行驶，是位于一侧的某所学校．通过画图回答下列问题，并说明理由． (1)汽车行驶到什么位置时，学校受噪声影响最严重？ (2)在什么范围内，学校受噪声影响越来越大？在什么范围内，学校受噪声影响越来越小？ 【答案】(1)汽车行驶到点；(2)汽车行驶在段时，学校受噪声影响越来越大；汽车行驶在段时，学校受噪声影响越来越小 【分析】此题主要考查了应用与设计作图，以及垂线段的性质． （1）过点作的垂线，垂足为，根据垂线段最短可得汽车行驶到此处时，对学校影响最大； （2）根据图象得出点P左侧和右侧对学校影响情况． 【详解】（1）解：如图，根据“垂线段最短”，过点作的垂线，垂足为，所以汽车行驶到点时，与学校距离最近，学校受噪声影响最严重； ； （2）解：如图，汽车行驶在段时，与学校的距离越来越近，学校受噪声影响越来越大；汽车行驶在段时，与学校的距离越来越远，学校受噪声影响越来越小． 9．如图，直线相交于点O，平分，． (1)证明：平分； (2)如果，过点O作射线，请在备用图中画出射线，并求的度数． 【答案】(1)见解析；(2)或 【分析】本题考查了角平分线的定义及证明、垂直的定义等知识点，掌握各个角之间的和差关系是解题关键． （1）由可得、，结合即可求证； （2）由题意得，可推出 ，；进而得，从而得，分类讨论在上方和下方两种情况即可求解； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴ ∵ ∴， ∴平分 （2）解：由（1）得， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ 如图： 则； 如图： 则； 综上所述：的度数为或 10．如图，直线与相交于O，，分别是，的平分线． (1)写出的补角； (2)若，求和的度数； (3)试问射线与之间有什么特殊的位置关系？为什么？ 【答案】(1)；(2)，；(3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线，熟练掌握角平分线定义，对顶角相等，补角定义，垂线的定义，是解决问题的关键． （1）根据角平分线定义得，根据补角定义得，， 根据对顶角性质得，即得的补角； （2）先根据角平分线的定义得出和的度数，再由邻补角定义可得；先根据邻补角定义可得，再由角平分线定义即得度数； （3）运用角平分线的定义，得，根据平角的定义得，即得直线的位置关系． 【详解】（1）∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ 的补角有； （2）∵平分，， ∴ ∴，， ∴， 又∵平分， ∴； （3）射线与互相垂直．理由如下： ∵，分别是，的平分线， ∴， ∴， ∴． 即射线的位置关系是互相垂直． 11．如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，点M在射线上，射线在直线的下方，且． (1)将图1中的绕点O逆时针旋转至图2，使射线在的内部并恰好平分，求的度数． (2)在（1）的条件下，反向延长射线得到射线，如图3所示，判断射线是否平分，请说明理由． (3)将图1中的绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，边所在的直线恰好平分锐角，则t的值为__________秒．（直接写出答案） 【答案】(1)；(2)射线平分，理由见解析；(3)6或15 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，垂线的定义： （1）先由平角的定义得到，再由角平分线的定义得到，由垂线的定义得到，据此根据角的和差关系可得答案； （2）由平角的定义得到，则可得，据此可得射线平分； （3）当旋转到图3中和时都满足题意，求出对应的旋转角度即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：射线平分，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴射线平分； （3）解：由（1）（2）可知当开始旋转使得到第一次到达图3中的位置时，此时直线恰好平分， ∴旋转角度为， ∴； 当继续旋转到到图3中的位置时，此时直线恰好平分， ∴此时旋转的角度为， ∴； 综上所述，t的值为6或15． 模块二：平行线 考点3： 平行：同一平面内的两条直线的位置有两种：平行或相交．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线． 注意: （1）在同一平面内； （2）不相交，即没有公共点； （3）两条直线，而不是线段或射线． 平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 平行线的画法： （1） 一“落”：把三角尺一边落在已知直线上 （2） 二“靠”：用直尺紧靠在三角尺的另一边 （3） 三“移”：沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点 （4） 四“画”：沿三角尺过已知点的边画直线 平行的判定： （1） 定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） （2） 定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行． 几何语言： ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） （3） 定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行． 几何语言： ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 补充判定方法： （1）两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． （2）在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 平行线性质： 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。即两直线平行，同位角相等。 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。即两直线平行，内错角相等。 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。即两直线平行，同旁内角互补。 平行线间的距离：在两平行线中，其中一直线上任意一点到另外一直线的距离， 成为平行线间的距离，平行线间距离处处相等。 平移：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移。 平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。 平移的性质： （1）对应点的连线平行(或共线)且相等 （2）对应线段平行(或共线)且相等； （3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。 平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法 （1）找关键点； （2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点 （3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形 考点4： 命题：判断一件事情的语句，叫做命题。许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 注意： （1）真命题：题设成立，结论一定成立的命题称为真命题 （2）假命题：题设成立，结论不一定成立的命题称为假命题 （3）真假命题判断方法：说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证；而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 定理：有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．（注意：定理是真命题，但真命题不一定是定理．） 证明：一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明。 题型一：平行线 例题1：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线相交，那么这两条直线　　 A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．重合 【分析】在同一平面内，两条直线只有相交和平行两种位置关系，垂直是一种特殊的相交；据此解答即可． 【解答】解：因为在同一平面内，两条直线只有相交和平行两种位置关系． 故选：． 【点评】此题主要考查在同一平面内，两条直线的位置关系． 练习1：下列结论正确的是　　 A．不相交的直线互相平行 B．不相交的线段互相平行 C．不相交的射线互相平行 D．有公共端点的直线一定不平行 【分析】根据平行线的定义及直线、射线、线段的定义即可判断． 【解答】解：在同一平面内，不相交的直线互相平行，故选项、、错误；选项正确． 故选：． 【点评】本题考查了平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意：①前提是在同一平面内；②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线． 练习2：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是 　　． 【分析】根据两直线的位置关系解答即可． 【解答】解：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是平行和相交， 故答案为：平行和相交． 【点评】此题主要考查了平行线，关键是掌握在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． 变式1：平面上有7条不同的直线，如果其中任何三条直线都不共点． （1）请画出满足上述条件的一个图形，并数出图形中各直线之间的交点个数； （2）请再画出各直线之间的交点个数不同的图形（至少两个）； （3）你能否画出各直线之间的交点个数为的图形，其中分别为6，21，15？ （4）请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形，从中你能发现什么规律？ 【分析】从平行线的角度考虑，先考虑六条直线都平行，再考虑五条、四条，三条，二条直线平行，都不平行作出草图即可看出． 从画出的图形中归纳规律即可得到答案． 【解答】解：（1）如图1所示；交点共有6个， （2）如图2，3． （3）当时，必须有6条直线平行，都与一条直线相交．如图4， 当时，必须使7条直线中的每2条直线都相交（即无任何两条直线平行）如图5， 当时，如图6， （4）当我们给出较多答案时，从较多的图形中，可以总结出以下规律： ①当7条直线都相互平行时，交点个数是0，这时交点最少， ②当7条直线每两条均相交时，交点个数为21，这是交点最多． 【点评】此题主要考查了平行线与相交线，关键是根据一定的规律画出图形，再再根据图形归纳规律． 题型二：平行线的绘制 例题1：如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（    ） ①沿直尺下移三角尺；  ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①② 【答案】B 【分析】本题考查了画平行线，根据同位角相等两直线平行判断即可． 【详解】解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是④②③①， 故选：B． 练习1：下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查的是用三角板和直尺判定判定平行线，将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板即可判定． 【详解】解：将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板，可判定三个图形中的有①②③， 故答案为：①②③． 练习2：如图，F是直线上一点，按要求画图： (1)过点F作直线的垂线段，垂足为E； (2)过点W作直线的平行线，交线段于点M． (3)过点A作线段的垂线，垂足为N； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查过一点作已知线段的垂线段，和过一点作已知直线的平行线，掌握作图方法是解题的关键． （1）过直线外一点F作已知直线的垂线画出即可； （2）过直线外一点W作已知直线的平行线画出即可； （3）过直线外一点A作已知直线的垂线画出即可； 【详解】（1） （2） （3） 题型三: 平行公理及推论 例题1：下列说法正确的是　　 A．同位角相等 B．在同一平面内，如果，，则 C．相等的角是对顶角 D．在同一平面内，如果，，则 【分析】根据平行线的性质和判定以及对顶角的定义进行判断． 【解答】解：、只有在两直线平行这一前提下，同位角才相等，故选项错误； 、在同一平面内，如果，，则，故选项错误； 、相等的角不一定是对顶角，因为对顶角还有位置限制，故选项错误； 、由平行公理的推论知，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，故选项正确． 故选：． 【点评】本题考查了平行线的性质、判定，对顶角的性质，注意对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角． 练习1：下列说法中正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．有一个公共顶点和一组公共边，并且和为的两个角互为邻补角 C．直线外一点到这条直线的垂线段的叫做点到直线的距离 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】D 【分析】分别根据对顶角，邻补角，点到直线的距离和平行公理进行判断即可． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，原说法错误，不符合题意； B、两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫作互为邻补角，原说法错误，不符合题意； C、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离，故不符合题意； D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了对顶角和邻补角的定义，点到直线的距离，平行公理，熟知相关知识是解题的关键． 变式1：“对于有理数a，b，c，若，，则”，我们称这命题的关系具有“传递性”，下列命题中，具有“传递性”的是（    ） A．m，n，l是直线，若，，则 B．m，n，l是直线，若，，则 C．若与互余，与互余，则与互余 D．若与互补，与互补，则与互补 【答案】A 【分析】根据平行线的判定、垂直和互余、互补进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 【详解】解：A、m，n，l是直线，若，，则，具有“传递性” B、m，n，l是直线，若，，则与不一定垂直也可能是平行；不具有“传递性” C、若与互余，与互余，则与相等，不具有“传递性” D、若与互补，与互补，则与相等，不具有“传递性” 故选：A． 变式2：【操作】在如图的方格纸中（网格线的交点叫格点），按要求画图、填空． (1)过点A作的垂线，垂足为点D，该垂线经过的一个格点记为点E． (2)过点E作的平行线，该平行线经过的一个格点记为F；过点B作的平行线，该平行线经过的一个格点记为G． 【发现】与的位置关系为___________． 【概括】根据你的发现，概括一条事实或结论：____________． 【发现】线段的长度是点A到直线_____的距离；线段的大小关系为_______（用“<”连接）． 【概括】根据你的发现，概括一条事实或结论：_______________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析；平行；平行于同一条直线的两条直线平行；；；垂线段最短 【分析】本题考查了网格作图，涉及了平行线的 （1）作出的矩形的对角线即可； （2）根据平移特点即可完成作图； 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： ，故平行于同一条直线的两条直线平行； 线段的长度是点A到直线的距离； ，故垂线段最短 故答案为：平行；平行于同一条直线的两条直线平行；；；垂线段最短 题型四：平行线的判定 例题1：如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是　　 A． B． C． D． 【分析】结合图形分析两角的位置关系，根据平行线的判定方法进行判断． 【解答】解：，，故选项不符合题意； ，，故选项符合题意； 由，不能判断，故选项不符合题意； ，，故选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查了平行线的判定，解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放型题目，能有效地培养“执果索因”的思维方式与能力． 练习1：如图，下列说法正确的是　　 A．由，可得 B．由，可得 C．由，可得 D．由，可得 【分析】首先确定各选项中所给两个角的关系，根据平行线的判定定理进行分析，即可得出正确选项． 【解答】解：．与不属于三线八角的范畴，即得不到，故本选项不符合题意； ．与的对顶角是同位角，即，故本选项符合题意； ．与不属于三线八角的范畴，即得不到，故本选项不符合题意； ．与不属于三线八角的范畴，即得不到，故本选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查的是平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 练习2：如图所示，在四边形中，已知，平分交于点，平分交于点． （1）求证：； （2）求证：． 【分析】（1）根据四边形的内角和是及即可求出； （2）由（1）及角平分线的定义证明出，再根据及余角的性质得出即可证平行． 【解答】证明：（1）四边形中，，， ． （2）平分交于点，平分交于点， ，， ， ， 中， ， ． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等，熟记平行线的判定和性质定理是解题的关键． 练习3：如图，在正五边形中，连接，求证：． 【分析】本题考查了正多边形的内角和公式以及等边对等角，平行线的判定，先根据正五边形得出，，则，再结合，即可作答． 【解答】证明：五边形是正五边形， ，， ， ， ， ． 【点评】本题考查了正多边形的内角和公式以及等边对等角，平行线的判定，关键是根据正五边形得出解答． 题型五：平行线的性质 例题1：光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线与表示水底的直线平行，光线从空气射入水中，改变方向后射到水底处，是的延长线，若，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】由平行线的性质推出，由平角定义得到，于是得到． 【解答】解， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出． 例题2： 如图，是△的角平分线，，交于点，，交于点，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】由题意得，，，即可求解． 【解答】解：，， 由平行线的性质得，，， 是△的角平分线， ， ， 所以的度数为． 故选：． 【点评】本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质定理的应用． 例题3：如图，，可以判断（    ） A． B． C． D．与相交 【答案】A 【分析】本题考查邻补角的定义及平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键．如图，根据邻补角的定义，利用等量代换得出，根据同位角相等，两直线平行可得，即可得答案． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴． 故选：A． 练习1：如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的度数为 　　． 【分析】由平行线的性质推出，求出，由三角形的外角性质得到，由对顶角的性质得到． 【解答】解：光线与主光轴平行， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出． 练习2：如图，，平分，，求的度数． 【分析】根据平行线性质和角平分线定义可推出． 【解答】解：，平分， ．． ． ， ． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟记性质并灵活运用是解题的关键，两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，内错角相等． 练习3：一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同．则两次拐弯的角度可以是（　　） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向左拐，第二次向左拐 C．第一次向左拐，第二次向右拐 D．第一次向左拐，第二次向左拐 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，解题的关键是利用数形结合解决问题．根据题意画出第一次左拐的图形，再画出第二次拐弯后与第一次方向相同的图形，即可判断． 【详解】解：根据各选项，第一次都是向左拐，即如图，从原来的方向，左转（）变为方向， 要使两次拐弯后，和原来的方向相同，即第二次拐弯后与方向相同， 即要使图中， 所以只需满足即可， 即第二次向右拐， 故选：C． 变式1：在同一平面内，有直线，已知，，，，…，按此规律下去，若，则的值可以是（　　） A．42 B．47 C．63 D．85 【答案】D 【分析】本题考查平面内直线位置关系中的规律探究，根据题意，得到（为自然数），，，，再进行判断即可． 【详解】解：∵，，，，…， ∴ ∴从直线开始每条直线与的位置关系依次：两条与垂直，两条与平行，再两条与垂直，两条与平行，…，即每两条变化一次位置关系，4条一个循环， ∴（为自然数），，，， 因为，，，， ∴若，则的值可以是85， 故选D． 变式2：探索与发现（在同一平面内）： (1)若直线，，判断直线与的位置关系，请说明理由； (2)若直线，，，则直线与的位置关系是______；（直接填结论，不需要证明） (3)现在有2023条直线，，，…，，且有，，，，…，请你探索直线与的位置关系． 【答案】(1)．理由见解析 (2) (3)直线与的位置关系是 【分析】（1）根据垂直定义和平行线的性质求解即可； （2）根据垂直定义和平行线的性质求解即可； （3）根据垂直定义和平行线的性质，找到变化规律即可求解． 【详解】（1）解：．理由如下： 如图，∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）知，又，根据垂直于同一条直线的两条直线平行可得 ， 故答案为：； （3）解：直线与，的位置关系分别是，，直线与，的位置关系分别是，，从开始，直线，，…，与直线的位置关系以，，，为一次循环， ∴，， ∴直线与的位置关系是． 【点睛】本题考查垂直定义和平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，得到变化规律是解答的关键． 题型六：平行线的判定与性质综合 例题1：如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；④，其中正确的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由得到，，则可对③进行判断；再由平行线的性质得，由角平分线定义得，则，而，所以，则可对①进行判断；接着由平分得到，所以，根据平行线的判定即可得到，于是可对②进行判断；当，，，，利用平行线的性质得到，又因为，，于是可得，当则可对④进行判断． 【解答】解：， ， ， 所以③正确； ， ， 平分， ， ， ，， ， ， ， ， 平分， 所以①正确； 平分， ， ， ，所以②正确； 当时，， ， ， ， 而， ， ， ．故④错误． 故正确的结论有3个． 故选：． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． 练习1：如图，，，，那么的度数是　　度． 【分析】先证明，然后利用平行线的性质求出，在结合垂直的定义求解即可． 【解答】解：， ， ， 又， ， ， ， ， 故答案为：35． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，垂直的定义等，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 练习2：某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图．其中、都与地面平行，，，当为 　　度时．与平行． 【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可． 【解答】解：，都与地面平行， ， ， ， ，， ， 当时，， 故答案为：66． 【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 练习3：如图，已知，垂足为点，，．求证：． 【分析】根据平行线的判定和性质，解答即可． 【解答】证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了平行线的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 练习4：如图，已知，相交于点，，，分别在、、上，且，，，求证：． 【分析】由可证明，得，由得，从而证明，得，由可得，从而可证明． 【解答】证明：， ， ， ， ， ， ， ， 【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，熟记平行线的性质与判定定理是解题的关键． 题型七：平行线间的距离 例题1：已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离是，与之间的距离是，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查平行线间的距离，分直线在直线，外，直线在直线，之间两种情况讨论求解，熟练掌握平行线间的距离及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】如图，直线在直线，外时，      ∵与之间的距离是，与之间的距离是， ∴与之间的距离为； 如图，直线在直线，之间时，      ∵与之间的距离是，与之间的距离是， ∴与之间的距离为； 综上所述，与之间的距离为或， 故选：． 练习1：已知直线，点到直线的距离是，到直线的距离是，那么直线和直线之间的距离为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线之间的距离的应用，由于点M的位置不确定，应分两种情况讨论（）当在和的同侧时，（）当在之间时两种情况分析即可，掌握平行线之间的距离及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：当在和的同侧时，距离为； 当在之间时，距离为， 故答案为：或． 练习2：如图，，平分，平分，． (1)问：与平行吗？试说明理由． (2)过点作于点，如图若，，，求，所在的直线之间的距离． 【答案】(1)平行，见解析 (2)8 【分析】本题考查平行线的判定和性质，等积法求平行线间的距离： （1），得到，角平分线推出，进而得到，即可得证； （2）先证明四边形是平行四边形，设，所在的直线之间的距离为，等积法求出的值即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 设，所在的直线之间的距离为， ， 即， ， 即，所在的直线之间的距离为． 变式1: 课题学习：平行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用 阅读理解：如图1，已知直线，直线a，b的距离为h，则三角形的面积为．    (1)【问题探究】如图2，若点C平移到点D，求证：； (2)【深化拓展】如图3，记、、、，根据图形特征，试证明：； (3)【灵活运用】如图4，在平行四边形中，点E是线段上的一点，与相交于点O，已知，且，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查平行线间的距离，三角形的面积，掌握转化思想是解题的关键． （1）根据“等底等高”可得，从而，即可得证结论； （2）分别过点C、B作边的垂线，记高分别、，根据三角形的面积可得出，从而得证结论； （3）连接，由得到，从而，进而得到，，由（1）可得，由（2）可得，因此，，进而，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴（等底等高）， ∴， ∴ （2）证明：如图3分别过点C、B作边的垂线，记高分别、，    则， ∴， ∴． （3）解：连接，    ∵， ∴， ∴（两个三角形等高，面积之比等于底边之比）， ∵， ∴， ∵， ∴由（1）可知， ∵由（2）可知，，即， ∴， ∴ ∴． 题型八：平移 例题1：“飞流直下三千尺”、“坐地日行八万里（只考虑地球自转）”如果只从数学角度看，它们分别蕴含的图形变换是（    ） A．平移、对称 B．对称、旋转 C．平移、旋转 D．旋转、对称 【答案】C 【分析】本题考查学生对平移和旋转的理解能力．要理解：“飞流直下三千尺”是指水的平移关系；“坐地日行八万里”是指人绕地心旋转．根据平移和旋转定义来判断． 【详解】解：根据平移和旋转定义可知：“飞流直下三千尺”是平移，“坐地日行八万里”是旋转． 故本题选：C． 练习1：如图，将沿的方向平移到的位置，，平移距离为8，则阴影部分的面积为（   ） A．35 B．40 C．56 D．64 【答案】D 【分析】本题主要考查了平移的性质，由平移的性质可得，，则，再根据进行求解即可． 【详解】解：由平移的性质可得，， ∴， ∴ ， 故选：D． 练习2：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．已知，点D为边上一点，在方格纸内将经过两次平移后得到，图中标出了平移后点D的对应点． (1)画出平移后的并写出平移方式； (2)写出与的位置和数量关系． 【答案】(1)图见解析，平移方式：将先向右平移6个单位长度，再向下平移3个单位长度（或将先向下平移3个单位长度，再向右平移6个单位长度）． (2) 【分析】本题主要考查了平移变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用平移的性质得出各对应点位置进而得出答案； （2）利用平移的性质得出对应点连线的关系． 【详解】（1）解：如图，即为所画， 平移方式：将先向右平移6个单位长度，再向下平移3个单位长度（或将先向下平移3个单位长度，再向右平移6个单位长度）． （2）解：由平移的性质得，． 练习3：和是两个形状、大小完全相同的直角三角形，如图①所示，三条边、、的长分别是、、，且、、、在同一条直线上． (1)如果朝着某个方向平移后得如图②所示，则平移的方向是什么？平移的距离是多少？ (2)平移至图③所示的位置，如果，则的面积是多少？ 【答案】(1)平移的方向沿方向，平移距离是； (2) 【分析】本题考查了平移的性质，相似三角形的判定与性质， （1）根据平移的性质结合图形即可确定平移方向为沿方向，对应点之间的距离为平移距离； （2）由面积法求出的长度，然后根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：由图可知，平移的方向沿方向，平移距离是长， ， 平移距离是； （2）解：∵， ∴， ∵， ， 的面积． 题型九：平行线性质在生活中的实际应用 例题1: 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气射向水时，要发生折射．由于折射率相同，所以在空气中平行的光线， 在水中也是平行的．如图，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线性质的实际应用，根据平行线的性质可得，，再结合计算即可． 【详解】如图， ∵在空气中平行的光线， 在水中也是平行的 ∴，， ∵ ∴，， ∴， 故选：B． 练习1：为打造生态湿地滨水景观，园林绿化局在永定河两岸笔直且互相平行的景观道，上分别放置，两盏激光灯．如图，灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，两灯不间断照射，灯每秒转动，灯每秒转动，灯先转动2秒，灯才开始转动，当灯光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时灯旋转的时间是（     ）    A．3或21秒 B．3或19.5秒 C．1或19秒 D．1或17.5秒 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的几何应用等知识点，设A灯旋转时间为t妙，B灯光束第一次到达要则，分两种情况，分别画出图形利用平行线的性质列出关于t的一元一次方程求解即可． 【详解】解：设A灯旋转时间为t妙，B灯光束第一次到达要， ∴， 由题意满足以下条件时，两灯的光束互相平行，如图1： ，即， 解得：， 如图2 此时， 即， 解得：， 综上：当灯光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时灯旋转的时间是1或17.5秒， 故选：D． 练习2：如图，的一边为平面镜，，一束与水平线平行的光线（入射光线）从点C射入，经平面镜上的点D后，反射光线落在上的点E处（反射光线与平面镜的夹角等于入射光线与平面镜的夹角），则的度数是 ，的度数为 ． 【答案】 /36度 /72度 【分析】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．由，得到，，得到，又由得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，． 练习3：阅读材料，解决问题： 【阅读材料】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，且，这就是光的反射定律． （1）在图1中，证明； 【解决问题】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，，是平行放置的两面平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由（1）可知，光线经过平面镜反射时，有，． （2）请问和有什么关系？并说明理由； （3）小明尝试制作一如示意图的简易潜望镜，但发现光线无法顺利通过，请思考应如何调整平面镜，的位置，并给出建议（合理即可）． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）调整平面镜，使得两面镜子达到平行（合理即可） 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． （1）根据等角的余角相等解答即可； （2）根据平行线的性质求解即可； （3）根据潜望镜的原理，平行线的性质进行分析即可． 【详解】（1）证明：， ，， ； （2），理由如下： ，，， ， ， ； （3）因为潜望镜它是根据光的折射，而潜望镜是要改变光的传播方向的，光线无法顺利通过，说明没有与光线平行，需要调整平面镜，的位置，使得两面镜子，达到平行（合理即可）． 题型十：命题概念辨析 例题1：对于命题“若，则”，小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【解答】解：命题“若，则”，小明想举一个反例说明它是一个假命题， 当，时，若，则，不符合题意， 当，时，若，则，不符合题意， 当，时，若，则，符合题意， 当，时，不符合若，不符合题意， 故选：． 【点评】本题考查命题与定理的知识．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 练习1: 下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是　　 A． B． C． D． 【分析】由，，可知是说明命题“若，则”是假命题的反例，然后作答即可． 【解答】解：，， 是说明命题是假命题的反例， 故选：． 【点评】本题考查命题与定理，绝对值，熟练掌握举例说明假命题是解题的关键． 练习2：用三个不等式中的两个不等式作为题设条件，余下的一个不等式作为结论，组成一个命题，可以组成真命题的个数为　　个，请同学们写出一个真命题　　． 【分析】由题意得出3个命题，由不等式的性质再判断真假即可． 【解答】解：①若，，则；真命题： 理由：，， ， ； ②若，，则，真命题； 理由：， ， ． ③若，，则，真命题； 理由：， ， 即， ， ， 组成真命题的个数为3个； 故答案为：3；若，，则（答案不唯一）． 【点评】本题考查了命题与定理、不等式的性质、命题的组成、真命题和假命题的定义，熟练掌握命题的组成和不等式的性质是解题的关键． 练习3：给出命题：“如果，那么．” （1）写出命题的条件和结论并判断命题是真命题还是假命题． （2）请直接判断命题的逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例（只举例，不必详细说明理由）． 【分析】（1）“如果”后面的部分为条件，“那么”后面的部分为结论； （2）交换题目中命题的结论和题设的位置并进行判断；再举出反例即可． 【解答】解：（1）命题的条件为：，结论为：； ， ， 该命题是真命题； （2）命题：“如果，那么”的逆命题为：如果，那么； 此命题的逆命题是假命题， 当，为相反数时，它们的平方相等，但本身不相等， 如，时，，而． 【点评】本题考命题与定理，掌握真假命题的判断，逆命题的含义是解题的关键． 题型十一：证明步骤书写 例题1：如图，直线，，求的度数． 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：∵（已知）， ∴（______）（______）． 又∵（已知）， ∴（等式的性质）． ∴（______）． ∴（______）（______）（______）． ∴（______）（______）． ∴． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定方法和性质，进行作答即可． 【详解】解：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）． 又∵（已知）， ∴（等式的性质）． ∴（等量代换）． ∴（同旁内角互补，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）． ∴． 练习1：如图，，，，将求的过程填写完整． 解：∵（已知） ∴（ ） 又∵（ ） ∴ （ ） ∴（ ） ∴ （ ） ∵ （已知） ∴（垂直定义） ∴ ° 【答案】两直线平行，内错角相等；已知；∠3；等量代换；同位角相等，两直线平行；∠EFB；两直线平行，同位角相等；；90． 【分析】根据平行线的性质与判定及垂线的定义可进行求解． 【详解】解：解：∵（已知） ∴（两直线平行，内错角相等） 又∵（已知） ∴∠3（等量代换） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等） ∵（已知） ∴（垂直定义） ∴； 故答案为两直线平行，内错角相等；已知；∠3；等量代换；同位角相等，两直线平行；∠EFB；两直线平行，同位角相等；；90． 【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定及垂线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定及垂线的定义是解题的关键． 练习2：学着说点理：补全证明过程： 如图， 于点，若 ，求 的度数． 解：过点作 ． ， （________________）① ________．②（两直线平行，内错角相等） ， ．（________________）③ ________________．④（等量代换） ， ．（________________）⑤ ， ． 则________________ ．⑥ 【答案】平行于同一条直线的两条直线平行；EDC；垂直的定义；90°；两直线平行，内错角相等；130°． 【分析】过点C作CG∥AB．依据平行线的性质，即可得到∠DCG=90°，∠BCG=40°，进而得到∠BCD的度数． 【详解】解：如图，过点C作CG∥AB． ∵AB∥EF， ∴CG∥EF．（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴∠GCD=∠EDC．（两直线平行，内错角相等） ∵CD⊥FF， ∴∠CDE=90°．（垂直的定义） ∴∠GCD=90°．（等量代换） ∵CG∥AB， ∴∠B=∠BCG．（两直线平行．内错角相等） ∵∠B=40°． ∴∠BCG=40°， 则∠BCD=∠BCG+∠GCD=130°． 故答案为平行于同一条直线的两条直线平行；EDC；垂直的定义；90°；两直线平行，内错角相等；130°． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，作出正确辅助线是解题关键． 巩固练习： 1．下列说法中：①若，，则；②若与相交，与相交，则与相交；③相等的角是对顶角；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．不正确的有（   ）． A．①② B．②③ C．②③④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查平行公理，对顶角相等，两条直线的位置关系，熟练掌握两条直线位置关系的相关概念是解题的关键． 根据平行公理，对顶角，两条直线的位置关系，逐个进行判断即可． 【详解】解：①若，，则，故本项符合题意； ②若与相交，与相交，则与不一定相交，故本项不符合题意； ③相等的角不一定是对顶角，故本项不符合题意； ④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本项不符合题意； 故选：C． 2．如图，下列选项不能得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．直接利用平行线的判定定理分析得出答案． 【详解】解：A．∵， ∴（内错角相等，两直线平行），故此选项不符合题意； B． ∵， ∴（内错角相等，两直线平行），不能判定，故此选项符合题意； C．∵， ∴（同位角相等，两直线平行），故此选项不符合题意； D． ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行），故此选项不符合题意； 故选：B． 3．如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质和平行线的性质，二者有机结合，难度较大，需要作出辅助线，对能力要求较高．根据角平分线的性质和平行线的性质解答．延长，交于I，构造出直角三角形，利用直角三角形两锐角互余解答． 【详解】解：，交于I． ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴①正确；②2正确， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 可见，的值未必为，未必为，只要和为即可， ∴③平分，④平分不一定正确． 故选：B． 4．近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质．过作，得到，由，推出，由垂直的定义得到，由平行线的性质得出，即可求出结果． 【详解】解：过作， ∵， ∴， ， ， ， ∵， ， ， 故选：C． 5．如图，已知，记，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是平行线的判定和性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．过点F作，则，依据平行线的性质可证明，同理可证明，然后结合已知条件可得到问题的答案． 【详解】解：如图所示：过点F作． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 同理：． ∴ ∵， ∴． 故选：B． 6．下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是 ．（填序号） 【答案】①②/②① 【分析】本题考查平行线的性质和判定、相交线．利用同一个平面内，两条直线的位置关系依次对各选项进行判断即可．掌握平行线的性质和判定是解题的关键． 【详解】解：①在同一平面内，若直线，，则；故此说法正确； ②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交，故此说法正确； ③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线也有可能平行，故此说法错误； ④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故此说法错误． ∴说法正确的是①②． 故答案为：①②． 7．如图，直线分别与直线相交于点平分，交直线于点G．若，射线，交于点P，则的度数为 ． 【答案】/121度 【分析】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握准确计算是解题的关键． 根据，得，根据平行线的判定与性质和角平分线定义即可求出． 【详解】∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 8．健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，某品牌的自行车的平面示意图如图，自行车的前轴与后轴所在直线与地面平行，车架与地面平行，自行车的中轴处与座位处在一条直线上，若，，则的度数是 ． 【答案】/105度 【分析】本题考查了平行线的性质，角度和差，三角形的内角和定理，由得，即，由得，则有，又，最后用角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．如图，在四边形中，为上一点，为上一点，连接，，若，． (1)求证：； (2)若平分，，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了平行线的性质和判定、角平分线的性质等知识点，理解题意学会分析是解决此类问题的关键． （1）要证明，可通过与互补求得，利用平行线的性质说明可得结论； （2）要求的度数，可通过平角和求得，利用（）的结论及角平分线的性质求出及的度数即可． 【详解】（1）证明：∵， ， ． ∵， ． ∴； （2）解：， ， 平分，， ． ∵，， ， ． ． 11．把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，已知直线a，b，c，d，e，且 ，，试说明：． 解：因为， 所以　　　 　　　　　　　（       ） 又因为， 所以　　　　　　　　　　　 （        ） 所以（   　　　 ） 【答案】；内错角相等，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【分析】本题考查平行线的判定和性质以及平行公理．根据平行线的性质得出，，即可推出答案． 【详解】解：∵， ∴ (内错角相等，两直线平行)， ∵， ∴ (同旁内角互补，两直线平行)， ∴ (如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)， 故答案为：；内错角相等，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 12. 已知：平分， （本题不能直接用三角形内角和） (1)如图1， 求证：； (2)如图2， 点K、F分别在 的延长线上， 点C在线段上， 且满足，求证：； (3)如图3， 在（2）的条件下，，且平分，求 的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由角平分线的定义可得，等量代换得出，根据内错角相等、两直线平行，可得结论； （2）过点F作，则，由平行线的性质得出，，等量代换可得结论； （3）作，，由平行线的性质推出，设，则，进而得出，结合（2）中结论得出，将代入，可得，进而可得． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ； （2）证明：如图，过点F作， ，， ， ， ， ， 又， ， 即； （3）解：如图，作，， 由（1）知， ， 平分，平分， ，， ， 又， ， ， ； ， ， ， ， 设，则， ， ， ，， ； 由（2）知， ， 即， 又， ， 整理得， ． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，角的和差关系，第3问难度较大，解题的关键是正确作出辅助线，利用平行线的性质熟练进行等量代换． 模块三：模型拓展 平行基本模型之M模型： 【结论1】若AB∥CD，则∠B0C=∠B+∠C 【结论2】若∠BOC=∠B+∠C，则AB∥CD. 【结论3】如图所示，AB∥EF，则∠B＋∠D=∠C十∠E 朝向左边的角的和=朝向右边的角的和 结论3的模型也称为锯齿模型； 锯齿模型的变换解题思路 拆分成猪蹄模型和内错角 拆分成2个猪蹄模型 平行基本模型之铅笔模型： 【结论1】如图所示，AB∥CD，则∠B+∠BOC+∠C=360° 【结论2】如图所示，∠B+∠BOC+∠C=360°，则AB∥CD. 变异的铅笔头：拐点数n,∠A+...+∠C=180°×（n+1） 拐点数：1 拐点数：2 拐点数：n 题型一：铅笔模型，M模型与锯齿模型 例题1：如图所示，如果 AB ∥ CD ，则∠α、∠β、∠γ之间的关系为（   ） A．∠α+∠β+∠γ＝180° B．∠α－∠β+∠γ＝180° C．∠α+∠β－∠γ＝180° D．∠α－∠β－∠γ＝180°[ 【答案】C 【分析】过E作EF∥AB，由平行线的质可得EF∥CD，∠α+∠AEF=180°，∠FED=∠γ，由∠β=∠AEF+∠FED即可得∠α、∠β、∠γ之间的关系． 【详解】解：过点E作EF∥AB， ∴∠α+∠AEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠FED=∠EDC（两直线平行，内错角相等）， ∵∠β=∠AEF+∠FED， 又∵∠γ=∠EDC， ∴∠α+∠β-∠γ=180°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键． 例题2：如图，，则下列说法中一定正确的是　　    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题要作辅助线，过点作，则根据平行线的传递性，得．先利用，可得，即，再利用，可得，而，整理可得：． 【详解】解：过点作，    ， ， ，， 又， ， ． 故选：B． 【点睛】注意此类题要作的辅助线：构造平行线．根据平行线的性质即可找到三个角之间的关系． 练习1：已知直线 ，直线分别交 于A，B两点，直线分别交于C，D 两点，点 P 在直线上（点 P 和C，D 不重合）． (1)如图，当点 P 在线段上时，试找出 之间的关系并说出理由； (2)当点 P 不在线段上时，试探究 之间的关系．（只写出结论，不说明理由） 【答案】(1)，理由见解析 (2)当点 P 在线段的延长线上时，；当点 P 在线段的延长线上时， 【分析】本题主要考查了平行线的性质： （1）过点作，根据平行线的性质即可得到，，根据，可得； （2）分当点 P 在线段的延长线上时，当点 P 在线段的延长线上时，两种情况根据（1）的方法，过点作，根据平行线的性质，可得，再由角的和差关系可得结论． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，过点作， ， ， ， ， ， ∴； （2）解：当点 P 在线段的延长线上时，如图所示，过点P作，   ， ， ， ， ， ， 当点 P 在线段的延长线上时，如图所示，过点作，   ， ， ， ， ， 即； 综上，当点 P 在线段的延长线上时，；当点 P 在线段的延长线上时， 练习2：（1）问题发现：如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现，请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点作． ，， ． __________． ， __________． __________． 即； （2）拓展探究： 如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：； （3）解决问题： 如图③，，，，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能正确过拐点作出辅助线是解此题的关键，注意：①两直线平行，内错角相等；②两直线平行，同位角相等；③两直线平行，同旁内角互补；④平行于同一直线的两直线平行． （1）过点E作，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出即可； （2）过点E作，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出即可； （3）过点E作，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出即可． 【详解】（1）证明：如图①， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：； （2）证明：如图②，过点E作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图③，过点E作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 变式1：已知直线，为平面内一点，连接、． (1)如图，已知，，求的度数； (2)如图，判断、、之间的数量关系为 ． (3)如图，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用． （1）过点作，根据平行线的性质可得，，即可求出的度数； （2）过点作，则，根据平行线的性质可得，，又，即可得出； （3）交于点，由，得出，由得出，由，得出，由对顶角相等得出，由角平分线的性质得出，即，由（2）得：，代入计算即可求出的度数． 【详解】（1）解：如图1，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图2，过点作，则， ，， ， ， ， 故答案为：； （3）如图3，设交于点， ， ， ∵ ∴， ， ， ， ， 平分， ， ， 由（2）得：， ， ． 变式2：（1）如图，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度数； （2）如图，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数． （3）如图，P为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数． 【答案】（1）∠ABE=40°；（2）∠ABE=30°；（3）∠MGN=15°． 【分析】（1）过E作EMAB，根据平行线的判定与性质和角平分线的定义解答即可； （2）过E作EMAB，过F作FNAB，根据平行线的判定与性质，角平分线的定义以及解一元一次方程解答即可； （3）过P作PLAB，根据平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义解答即可． 【详解】解：（1）过E作EMAB， ∵ABCD， ∴CDEMAB， ∴∠ABE＝∠BEM，∠DCE＝∠CEM， ∵CF平分∠DCE， ∴∠DCE＝2∠DCF， ∵∠DCF＝30°， ∴∠DCE＝60°， ∴∠CEM＝60°， 又∵∠CEB＝20°， ∴∠BEM＝∠CEM﹣∠CEB＝40°， ∴∠ABE＝40°； （2）过E作EMAB，过F作FNAB， ∵∠EBF＝2∠ABF， ∴设∠ABF＝x，∠EBF＝2x，则∠ABE＝3x， ∵CF平分∠DCE， ∴设∠DCF＝∠ECF＝y，则∠DCE＝2y， ∵ABCD， ∴EMABCD， ∴∠DCE＝∠CEM＝2y，∠BEM＝∠ABE＝3x， ∴∠CEB＝∠CEM﹣∠BEM＝2y﹣3x， 同理∠CFB＝y﹣x， ∵2∠CFB+（180°﹣∠CEB）＝190°， ∴2（y﹣x）+180°﹣（2y﹣3x）＝190°，   ∴x＝10°， ∴∠ABE＝3x＝30°； （3）过P作PLAB， ∵GM平分∠DGP， ∴设∠DGM＝∠PGM＝y，则∠DGP＝2y， ∵PQ平分∠BPG， ∴设∠BPQ＝∠GPQ＝x，则∠BPG＝2x， ∵PQGN， ∴∠PGN＝∠GPQ＝x， ∵ABCD， ∴PLABCD，   ∴∠GPL＝∠DGP＝2y， ∠BPL＝∠ABP＝30°， ∵∠BPL＝∠GPL﹣∠BPG， ∴30°＝2y﹣2x， ∴y﹣x＝15°， ∵∠MGN＝∠PGM﹣∠PGN＝y﹣x， ∴∠MGN＝15°． 【点睛】此题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，解题关键在于作辅助线和掌握判定定理． 巩固练习： 1．已知：如图，直线分别交，于点E，F，的平分线与的平分线相交于点P． (1)若，则 °； (2)若已知直线，求的度数． 【答案】(1)50 (2) 【分析】本题考查了利用平行线的性质求角度，有关角平分线求角度； （1）由邻补角的定义得，由角平分线定义即可求解； （2）由平分线的性质得，由角平分线定义得，，代入即可求解； 掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， 故答案：； （2）解：， ， 的平分线与的平分线相交于点P， ，， ， ， ． 2．已知：如图，直线与分别相交于点E，F． (1)如图1，若，则和的位置关系为 ． (2)在（1）的情况下，若点P是平面内的一个动点，连接，探索三个角之间的关系． ①当点P在图2的位置时，可得请阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）： 解：如图2，过点P作， 则（         ） ∵（已知），（作图）， ∴（         ） ∴ ∴（         ） 即； ②当点P在图3的位置时，求三个角之间有何数量关系； ③当点P在图4的位置时，请直接写出三个角之间的关系． 【答案】(1) (2)①见解析；②；③ 【分析】本题考查了对顶角相等，平行线的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）对顶角得到，，则，进而可得结果； （2）①根据解题过程进行作答即可；②如图3，过点P作，求解过程同①；③如图4，过点P作，求解过程同①． 【详解】（1）解：由题意得， ∵， ∴， 故答案为：平行； （2）①解：如图2、过点P作， 则（两直线平行，内错角相等）． ∵（已知），（作图）， ∴（平行于同一条直线的两直线平行）． ∴． ∴（等式的性质）． 即； 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两直线平行；等式的性质； ②解：； 如图3，过点P作， 则． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴； ③解：， 如图4，过点P作， 则． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴， ∴． 3．同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． (1)提出问题：如图1，若，点P在内部，求证：； (2)探索发现：将图1中直线绕点B逆时针方向转一定角度得，交直线于点Q（如图2），结合（1）中的结论，直接写出之间的数量关系； (3)拓展应用：如图3，交于点M，交于点N．已知，结合（2）中的结论计算，＿＿＿． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质： （1）过点P作，则，进而得，则，由此即可得出结论； （2）根据得，则，再根据由（1）的结论得，由此可得之间的数量关系； （3）由（2）的结论得，由得①，由得，再由（2）的结论得，则②，然后由即可得出的值． 【详解】（1）证明：过点P作，如图1所示： ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：，理由如下： 如图2所示： ∵， ∴， ∴， 由（1）的结论得：， ∴； （3）解：如图3所示： 由（2）的结论得：， ∵， ∴①， ∵， ∴， 由（2）的结论得：， ∴②， 得：． 4．如图，已知直线，点、分别在直线和直线上的点，点在直线与直线之间（其中和均为钝角）． (1)求证：． 小明同学做法如下，请同学们帮助小明同学将以下①②③处补充完整 证明：如图，过点作直线， （① ） ② （平行于同一条直线的两条直线平行） ③ 又 (2)若，请直接写出与的数量关系： ． (3)若的度数为，且，则与的数量关系为 （用含的式子表示）． (4)如图，若，点为平面内一动点，点为射线上一动点，连接，的长为定值，，当的值最小时，请直接写出的度数． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；； (2) (3) (4) 【分析】此题考查平行线的判定和性质，关键是添加辅助线得出平行线解答． （1）根据平行线的性质和判定，两直线平行，内错角相等解答即可； （2）根据平行线的性质和判定，两直线平行，同旁内角互补解答即可； （3）根据平行线的性质和判定，两直线平行，同旁内角互补解答即可； （4）当时，的值最小，进而利用结论解答即可． 【详解】（1）证明：如图，过点作直线， ， 两直线平行，内错角相等， ， 平行于同一条直线的两条直线平行， ， 又， ； 故答案为：两直线平行，内错角相等；；； （2）如图，过点作直线， ， 两直线平行，同旁内角互补， ， 平行于同一条直线的两条直线平行， ， 又， ， ； 故答案为：； （3）如图，过点作直线， ， 两直线平行，同旁内角互补， ， 平行于同一条直线的两条直线平行， ， 又， ， ； 故答案为：； （4）当时，的值最小， ，， ， ， ， ． 5．已知直线，点A是上的动点，点B在上，点C、D在上，，的平分线交于点E（不与点B，D重合）． (1)若点A在点B的左侧，，，过点E作，如图① 所示，求的度数． (2)若点A在点B的左侧，，，如图② 所示，求的度数： (3)若点A在点B的右侧，，，如图③ 所示，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了平行线的性质和判定、角平分线的相关计算． （1）根据角平分线得到的度数，再由平行线的性质得到、的度数，根据角的和即可得到的度数； （2）根据角平分线得到的度数，再由平行线的性质得到、的度数，根据角的和即可得到的度数； （3）过点E作，根据角平分线得到的度数，再由平行线的性质得到、的度数，根据角的和即可得到的度数． 【详解】（1）解： ∵，的平分线交于点E（不与点B，D重合） ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵，的平分线交于点E（不与点B，D重合） ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）过点E作， ∵，的平分线交于点E（不与点B，D重合） ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题一：相交线与平行线 第1讲 相交线与平行线 2 模块一：相交线 2 题型一：垂线定义的理解 4 题型二：画垂线 4 题型三：垂线段最短 5 题型四：点到直线的距离 6 题型五：三线八角的识别 6 巩固练习： 8 模块二：平行线 12 题型一：平行线 14 题型二：平行线的绘制 15 题型三: 平行公理及推论 16 题型四：平行线的判定 17 题型五：平行线的性质 18 题型六：平行线的判定与性质综合 20 题型七：平行线间的距离 21 题型八：平移 23 题型九：平行线性质在生活中的实际应用 24 题型十：命题概念辨析 26 题型十一：证明步骤书写 26 巩固练习： 28 模块三：模型拓展 32 题型一：铅笔模型，M模型与锯齿模型 34 巩固练习： 37 专题一：相交线与平行线 模块一：相交线 考点1： 直线的位置关系: 在同一平面内不重合的两条直线的位置关系只有两种：平行或相交。 垂线：当两条直线相交所成四角中有一个角为直角时，称两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 垂线的画法： 图1.1三角板画法 图2.2量角器画法 垂线性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短。 （注：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离）。 考点2： （1）“三线八角”模型： 如图，直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称为“三线八角”，如图： （2）同位角、内错角、同旁内角的定义： 在“三线八角”中，如上图1， （1）同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角. （2）内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角. （3）同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角. 题型一：垂线定义的理解 例题1：如图，，垂足为O，直线经过点，则_______． 练习1：如图，点O在直线上，当与满足_______时，． 练习2：如图，直线、相交于点O，，． (1)写出图中的余角 ； (2)如果，求的度数． 题型二：画垂线 例题1：下列各图中，过直线l外一点P画它的垂线，三角板操作正确的是（    ） A．  B．  C．  D．   练习1：下列四个图形中，过点作的垂线，正确的是（         ） A．B．C．D． 练习2：如图，已知A，B是直线l上两点，C是直线l外一点． (1)画射线AC，线段BC； (2)过点C作l的垂线段． 题型三：垂线段最短 例题1：数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（    ） A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条 练习1：点A是直线l外一点，点B 是直线l上一点，点A到l的距离为，则________．(填“小于”“大于” “不小于”或“不大于”) 练习2：如图所示，想在河的两岸搭建一座桥，搭建方式最短的是 ，理由是________________________． 题型四：点到直线的距离 例题1：如图，在三角形中，，D为垂足，则下列说法中，错误的是（    ） A．点B到的距离是线段的长 B．点B到的距离是线段的长 C．点C到的距离是线段的长 D．点C到的距离是线段的长 练习1：若P为直线l外一定点，A为直线l上一点，且，d为点P到直线l的距离，则d的取值范围为（   ） A． B． C． D． 练习2：在已知平面内，点P是直线l上一点，点M，N到直线l的距离分别是，且，则线段的长度是___________． 题型五：三线八角的识别 例题1：如图，直线与直线交于点，此时图中有两对对顶角，若过点再画一条不与直线，重合的直线，则新增加的对顶角有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 例题2：如图，按各组角的位置，说法正确的是（   ） A. 与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 练习1：如图，直线a，b，c，d两两相交，图中共有对顶角（　　） A．9对 B．10对 C．11对 D．12对 练习2：如图，当光线从空气射入水中，会发生折射与反射现象，其中与互为对顶角的是（    ） A． B． C． D． 练习3：由图可知，和是一对（    ） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 练习4：如图，直线上有一点和是直线被直线_______所截形成的______角；和是直线和被直线_____所截形成的_____角；和是直线______和______被直线______所截形成的_______角． 巩固练习： 1．数学课上老师用双手表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．从左至右依次表示（ ） A．同旁内角、同位角、内错角 B．同位角、内错角、同旁内角 C．内错角、同旁内角、同位角 D．内错角、同位角、同旁内角 2．用三角板过点作所在直线的垂线，如图三角板的位置摆放正确的是（     ） A．   B．   C．   D．   3．如图，直线相交于点O，于点O，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图所示，直线，，两两相交，，，则_____． 5．已知直线相交于点平分． （1）如图①，若，则_____，_____； （2）如图②，若，则_____，与互补的角有_______________． 6．在△ABC中，，点D是边上的动点（除点外），则线段的取值范围是__________． 7．如图，直线相交于点O，平分，，则等于_____． 8．噪声对环境的影响与距离有关，与噪声来源距离越近，噪声越大．如图，一辆汽车在笔直的公路上由点向点行驶，是位于一侧的某所学校．通过画图回答下列问题，并说明理由． (1)汽车行驶到什么位置时，学校受噪声影响最严重？ (2)在什么范围内，学校受噪声影响越来越大？在什么范围内，学校受噪声影响越来越小？ 9．如图，直线相交于点O，平分，． (1)证明：平分； (2)如果，过点O作射线，请在备用图中画出射线，并求的度数． 10．如图，直线与相交于O，，分别是，的平分线． (1)写出的补角； (2)若，求和的度数； (3)试问射线与之间有什么特殊的位置关系？为什么？ 11．如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，点M在射线上，射线在直线的下方，且． (1)将图1中的绕点O逆时针旋转至图2，使射线在的内部并恰好平分，求的度数． (2)在（1）的条件下，反向延长射线得到射线，如图3所示，判断射线是否平分，请说明理由． (3)将图1中的绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，边所在的直线恰好平分锐角，则t的值为__________秒．（直接写出答案） 模块二：平行线 考点3： 平行：同一平面内的两条直线的位置有两种：平行或相交．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线． 注意: （1）在同一平面内； （2）不相交，即没有公共点； （3）两条直线，而不是线段或射线． 平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 平行线的画法： （1） 一“落”：把三角尺一边落在已知直线上 （2） 二“靠”：用直尺紧靠在三角尺的另一边 （3） 三“移”：沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点 （4） 四“画”：沿三角尺过已知点的边画直线 平行的判定： （1） 定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） （2） 定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行． 几何语言： ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） （3） 定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行． 几何语言： ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 补充判定方法： （1）两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． （2）在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 平行线性质： 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。即两直线平行，同位角相等。 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。即两直线平行，内错角相等。 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。即两直线平行，同旁内角互补。 平行线间的距离：在两平行线中，其中一直线上任意一点到另外一直线的距离， 成为平行线间的距离，平行线间距离处处相等。 平移：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移。 平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。 平移的性质： （1）对应点的连线平行(或共线)且相等 （2）对应线段平行(或共线)且相等； （3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。 平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法 （1）找关键点； （2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点 （3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形 考点4： 命题：判断一件事情的语句，叫做命题。许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 注意： （1）真命题：题设成立，结论一定成立的命题称为真命题 （2）假命题：题设成立，结论不一定成立的命题称为假命题 （3）真假命题判断方法：说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证；而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 定理：有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．（注意：定理是真命题，但真命题不一定是定理．） 证明：一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明。 题型一：平行线 例题1：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线相交，那么这两条直线　　 A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．重合 练习1：下列结论正确的是　　 A．不相交的直线互相平行 B．不相交的线段互相平行 C．不相交的射线互相平行 D．有公共端点的直线一定不平行 练习2：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是 　　． 变式1：平面上有7条不同的直线，如果其中任何三条直线都不共点． （1）请画出满足上述条件的一个图形，并数出图形中各直线之间的交点个数； （2）请再画出各直线之间的交点个数不同的图形（至少两个）； （3）你能否画出各直线之间的交点个数为的图形，其中分别为6，21，15？ （4）请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形，从中你能发现什么规律？ 题型二：平行线的绘制 例题1：如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（    ） ①沿直尺下移三角尺；  ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①② 练习1：下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有 （填序号）． 练习2：如图，F是直线上一点，按要求画图： (1)过点F作直线的垂线段，垂足为E； (2)过点W作直线的平行线，交线段于点M． (3)过点A作线段的垂线，垂足为N； 题型三: 平行公理及推论 例题1：下列说法正确的是　　 A．同位角相等 B．在同一平面内，如果，，则 C．相等的角是对顶角 D．在同一平面内，如果，，则 练习1：下列说法中正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．有一个公共顶点和一组公共边，并且和为的两个角互为邻补角 C．直线外一点到这条直线的垂线段的叫做点到直线的距离 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 变式1：“对于有理数a，b，c，若，，则”，我们称这命题的关系具有“传递性”，下列命题中，具有“传递性”的是（    ） A．m，n，l是直线，若，，则 B．m，n，l是直线，若，，则 C．若与互余，与互余，则与互余 D．若与互补，与互补，则与互补 变式2：【操作】在如图的方格纸中（网格线的交点叫格点），按要求画图、填空． (1)过点A作的垂线，垂足为点D，该垂线经过的一个格点记为点E． (2)过点E作的平行线，该平行线经过的一个格点记为F；过点B作的平行线，该平行线经过的一个格点记为G． 【发现】与的位置关系为___________． 【概括】根据你的发现，概括一条事实或结论：____________． 【发现】线段的长度是点A到直线_____的距离；线段的大小关系为_______（用“<”连接）． 【概括】根据你的发现，概括一条事实或结论：_______________． 题型四：平行线的判定 例题1：如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是　　 A． B． C． D． 练习1：如图，下列说法正确的是　　 A．由，可得 B．由，可得 C．由，可得 D．由，可得 练习2：如图所示，在四边形中，已知，平分交于点，平分交于点． （1）求证：； （2）求证：． 练习3：如图，在正五边形中，连接，求证：． 题型五：平行线的性质 例题1：光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线与表示水底的直线平行，光线从空气射入水中，改变方向后射到水底处，是的延长线，若，，则的度数是　　 A． B． C． D． 例题2： 如图，是△的角平分线，，交于点，，交于点，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 例题3：如图，，可以判断（    ） A． B． C． D．与相交 练习1：如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的度数为 　　． 练习2：如图，，平分，，求的度数． 练习3：一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同．则两次拐弯的角度可以是（　　） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向左拐，第二次向左拐 C．第一次向左拐，第二次向右拐 D．第一次向左拐，第二次向左拐 变式1：在同一平面内，有直线，已知，，，，…，按此规律下去，若，则的值可以是（　　） A．42 B．47 C．63 D．85 变式2：探索与发现（在同一平面内）： (1)若直线，，判断直线与的位置关系，请说明理由； (2)若直线，，，则直线与的位置关系是______；（直接填结论，不需要证明） (3)现在有2023条直线，，，…，，且有，，，，…，请你探索直线与的位置关系． 题型六：平行线的判定与性质综合 例题1：如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；④，其中正确的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 练习1：如图，，，，那么的度数是　　度． 练习2：某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图．其中、都与地面平行，，，当为 　　度时．与平行． 练习3：如图，已知，垂足为点，，．求证：． 练习4：如图，已知，相交于点，，，分别在、、上，且，，，求证：． 题型七：平行线间的距离 例题1：已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离是，与之间的距离是，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 练习1：已知直线，点到直线的距离是，到直线的距离是，那么直线和直线之间的距离为 ． 练习2：如图，，平分，平分，． (1)问：与平行吗？试说明理由． (2)过点作于点，如图若，，，求，所在的直线之间的距离． 变式1: 课题学习：平行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用 阅读理解：如图1，已知直线，直线a，b的距离为h，则三角形的面积为．    (1)【问题探究】如图2，若点C平移到点D，求证：； (2)【深化拓展】如图3，记、、、，根据图形特征，试证明：； (3)【灵活运用】如图4，在平行四边形中，点E是线段上的一点，与相交于点O，已知，且，求四边形的面积． 题型八：平移 例题1：“飞流直下三千尺”、“坐地日行八万里（只考虑地球自转）”如果只从数学角度看，它们分别蕴含的图形变换是（    ） A． 平移、对称 B．对称、旋转 C．平移、旋转 D．旋转、对称 练习1：如图，将沿的方向平移到的位置，，平移距离为8，则阴影部分的面积为（   ） A．35 B．40 C．56 D．64 练习2：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．已知，点D为边上一点，在方格纸内将经过两次平移后得到，图中标出了平移后点D的对应点． (1)画出平移后的并写出平移方式； (2)写出与的位置和数量关系． 练习3：和是两个形状、大小完全相同的直角三角形，如图①所示，三条边、、的长分别是、、，且、、、在同一条直线上． (1)如果朝着某个方向平移后得如图②所示，则平移的方向是什么？平移的距离是多少？ (2)平移至图③所示的位置，如果，则的面积是多少？ 题型九：平行线性质在生活中的实际应用 例题1: 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气射向水时，要发生折射．由于折射率相同，所以在空气中平行的光线， 在水中也是平行的．如图，，则等于（   ） A． B． C． D． 练习1：为打造生态湿地滨水景观，园林绿化局在永定河两岸笔直且互相平行的景观道，上分别放置，两盏激光灯．如图，灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，两灯不间断照射，灯每秒转动，灯每秒转动，灯先转动2秒，灯才开始转动，当灯光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时灯旋转的时间是（     ）    A．3或21秒 B．3或19.5秒 C．1或19秒 D．1或17.5秒 练习2：如图，的一边为平面镜，，一束与水平线平行的光线（入射光线）从点C射入，经平面镜上的点D后，反射光线落在上的点E处（反射光线与平面镜的夹角等于入射光线与平面镜的夹角），则的度数是 ，的度数为 ． 练习3：阅读材料，解决问题： 【阅读材料】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，且，这就是光的反射定律． （1）在图1中，证明； 【解决问题】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，，是平行放置的两面平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由（1）可知，光线经过平面镜反射时，有，． （2）请问和有什么关系？并说明理由； （3）小明尝试制作一如示意图的简易潜望镜，但发现光线无法顺利通过，请思考应如何调整平面镜，的位置，并给出建议（合理即可）． 题型十：命题概念辨析 例题1：对于命题“若，则”，小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是　　 A．， B．， C．， D．， 练习1: 下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是　　 A． B． C． D． 练习2：用三个不等式中的两个不等式作为题设条件，余下的一个不等式作为结论，组成一个命题，可以组成真命题的个数为　　个，请同学们写出一个真命题　　． 练习3：给出命题：“如果，那么．” （1）写出命题的条件和结论并判断命题是真命题还是假命题． （2）请直接判断命题的逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例（只举例，不必详细说明理由）． 题型十一：证明步骤书写 例题1：如图，直线，，求的度数． 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：∵（已知）， ∴（______）（______）． 又∵（已知）， ∴（等式的性质）． ∴（______）． ∴（______）（______）（______）． ∴（______）（______）． ∴． 练习1：如图，，，，将求的过程填写完整． 解：∵（已知） ∴（ ） 又∵（ ） ∴ （ ） ∴（ ） ∴ （ ） ∵ （已知） ∴（垂直定义） ∴ ° 练习2：学着说点理：补全证明过程： 如图， 于点，若 ，求 的度数． 解：过点作 ． ， （________________）① ________．②（两直线平行，内错角相等） ， ．（________________）③ ________________．④（等量代换） ， ．（________________）⑤ ， ． 则________________ ．⑥ 巩固练习： 1．下列说法中：①若，，则；②若与相交，与相交，则与相交；③相等的角是对顶角；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．不正确的有（   ）． A．①② B．②③ C．②③④ D．③④ 2．如图，下列选项不能得到的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知，记，则m的值为（    ） A． B． C． D． 6．下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是 ．（填序号） 7．如图，直线分别与直线相交于点平分，交直线于点G．若，射线，交于点P，则的度数为 ． 8．健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，某品牌的自行车的平面示意图如图，自行车的前轴与后轴所在直线与地面平行，车架与地面平行，自行车的中轴处与座位处在一条直线上，若，，则的度数是 ． 10．如图，在四边形中，为上一点，为上一点，连接，，若，． (1)求证：； (2)若平分，，，求的度数． 11．把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，已知直线a，b，c，d，e，且 ，，试说明：． 解：因为， 所以　　　 　　　　　　　（       ） 又因为， 所以　　　　　　　　　　　 （        ） 所以（   　　　 ） 12. 已知：平分， （本题不能直接用三角形内角和） (1)如图1， 求证：； (2)如图2， 点K、F分别在 的延长线上， 点C在线段上， 且满足，求证：； (3)如图3， 在（2）的条件下，，且平分，求 的度数． 模块三：模型拓展 平行基本模型之M模型： 【结论1】若AB∥CD，则∠B0C=∠B+∠C 【结论2】若∠BOC=∠B+∠C，则AB∥CD. 【结论3】如图所示，AB∥EF，则∠B＋∠D=∠C十∠E 朝向左边的角的和=朝向右边的角的和 结论3的模型也称为锯齿模型； 锯齿模型的变换解题思路 拆分成猪蹄模型和内错角 拆分成2个猪蹄模型 平行基本模型之铅笔模型： 【结论1】如图所示，AB∥CD，则∠B+∠BOC+∠C=360° 【结论2】如图所示，∠B+∠BOC+∠C=360°，则AB∥CD. 变异的铅笔头：拐点数n,∠A+...+∠C=180°×（n+1） 拐点数：1 拐点数：2 拐点数：n 题型一：铅笔模型，M模型与锯齿模型 例题1：如图所示，如果 AB ∥ CD ，则∠α、∠β、∠γ之间的关系为（   ） A．∠α+∠β+∠γ＝180° B．∠α－∠β+∠γ＝180° C．∠α+∠β－∠γ＝180° D．∠α－∠β－∠γ＝180°[ 例题2：如图，，则下列说法中一定正确的是　　 A． B． C． D． 练习1：已知直线 ，直线分别交 于A，B两点，直线分别交于C，D 两点，点 P 在直线上（点 P 和C，D 不重合）． (1)如图，当点 P 在线段上时，试找出 之间的关系并说出理由； (2)当点 P 不在线段上时，试探究 之间的关系．（只写出结论，不说明理由） 练习2：（1）问题发现：如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现，请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点作． ，， ． __________． ， __________． __________． 即； （2）拓展探究： 如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：； （3）解决问题： 如图③，，，，求的度数． 变式1：已知直线，为平面内一点，连接、． (1)如图，已知，，求的度数； (2)如图，判断、、之间的数量关系为 ． (3)如图，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数． 变式2：（1）如图，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度数； （2）如图，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数． （3）如图，P为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数． 巩固练习： 1．已知：如图，直线分别交，于点E，F，的平分线与的平分线相交于点P． (1)若，则 °； (2)若已知直线，求的度数． 2．已知：如图，直线与分别相交于点E，F． (1)如图1，若，则和的位置关系为 ． (2)在（1）的情况下，若点P是平面内的一个动点，连接，探索三个角之间的关系． ①当点P在图2的位置时，可得请阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）： 解：如图2，过点P作， 则（         ） ∵（已知），（作图）， ∴（         ） ∴ ∴（         ） 即； ②当点P在图3的位置时，求三个角之间有何数量关系； ③当点P在图4的位置时，请直接写出三个角之间的关系． 3．同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． (1)提出问题：如图1，若，点P在内部，求证：； (2)探索发现：将图1中直线绕点B逆时针方向转一定角度得，交直线于点Q（如图2），结合（1）中的结论，直接写出之间的数量关系； (3)拓展应用：如图3，交于点M，交于点N．已知，结合（2）中的结论计算，＿＿＿． 4．如图，已知直线，点、分别在直线和直线上的点，点在直线与直线之间（其中和均为钝角）． (1)求证：． 小明同学做法如下，请同学们帮助小明同学将以下①②③处补充完整 证明：如图，过点作直线， （① ） ② （平行于同一条直线的两条直线平行） ③ 又 (2)若，请直接写出与的数量关系： ． (3)若的度数为，且，则与的数量关系为 （用含的式子表示）． (4)如图，若，点为平面内一动点，点为射线上一动点，连接，的长为定值，，当的值最小时，请直接写出的度数．， 5．已知直线，点A是上的动点，点B在上，点C、D在上，，的平分线交于点E（不与点B，D重合）． (1)若点A在点B的左侧，，，过点E作，如图① 所示，求的度数． (2)若点A在点B的左侧，，，如图② 所示，求的度数： (3)若点A在点B的右侧，，，如图③ 所示，求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$