专题02 平面直角坐标中面积、变换、规律、新定义型的四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（北京版）

专题02 平面直角坐标中面积、变换、规律、新定义型的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、平面直角坐标系中的新定义型问题 2 类型二、平面直角坐标系中的动点面积问题 5 类型三、平面直角坐标系中点的规律探究问题 10 类型四、平面直角坐标系中与几何证明的综合问题 13 压轴能力测评（14题） 23 解题知识必备 1.点到坐标轴的距离 坐标平面内的点的横坐标的绝对值表示这点到纵轴（y轴）的距离，而纵坐标的绝对值表示这点到横轴（x轴）的距离. 注: ①已知点的坐标求距离，只有一个结果，但已知距离求坐标，则因为点的坐标有正有负， 可能有多个解的情况，应注意不要丢解. ②坐标平面内任意两点A（x₁，y₁）、B(x₂，y₂)之间的距离公式为：d = 2.坐标平面内对称点坐标的特点 ①一个点A（a,b）关于x轴对称的点的坐标为A＇（a,-b）,特点为：x不变，y相反； ②一个点A（a,b）关于y轴对称的点的坐标为A＇（-a,b）,特点为：y不变，x相反； ③一个点A（a,b）关于原点对称的点的坐标为A＇（-a,-b），特点为：x、y均相反. 3.平行于坐标轴的直线的表示 ①平行于横轴（x轴）的直线上的任意一点，其横坐标不同，纵坐标均相等，所以，可表示为：y=a（a为纵坐标）的形式，a的绝对值表示这条直线到x轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点横坐标之差的绝对值； ②平行于纵轴（y轴）的直线上的任意一点，其纵坐标不同，横坐标均相等，所以，可表示为：x=b（b为横坐标）的形式，b的绝对值表示这条直线到y轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点纵坐标之差的绝对值. 4.象限角平分线的特点 ①第一、三象限的角平分线可表示为y=x的形式，即角平分线上的点的纵坐标与横坐标相等（同号） ②第二、四象限的角平分线可表示为y=-x的形式，即角平分线的点的纵坐标与横坐标互为相反数(异号) 压轴题型讲练 类型一、平面直角坐标系中的新定义型问题 例题：（23-24七年级下·河北保定·期末）点是平面直角坐标系中的一点，若点Q的坐标为（其中k为常数且），则称点Q为点P的“k拓点”，例如：点的“2拓点”Q为，即点Q为． (1)求点的“3拓点”Q的坐标； (2)若点的“4拓点”Q的坐标是，求的值． 【答案】(1)点Q的坐标为 (2) 【知识点】新定义下的实数运算、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题主要考查点的坐标，根据题目中的新定义正确列出式子是解题的关键． （1）根据题目中的新定义，求出横坐标和纵坐标即可； （2）根据新定义列出式子，求出的值，即可求出． 【详解】（1）解：由定义可知： ∴点Q的坐标为 （2） 解得 ∴ 【变式训练】 1．（22-23七年级下·重庆·期末）在学习了“数形结合”讨论问题后，某校数学兴趣小组开展“你命我解”互助学习活动．其中有一组的同学给出了这样一个问题：在平面直角坐标系中，点中x，y的值若满足，则称点Q为“直线点”，请你来解答这位同学提出的问题： (1)判断点是否为“直线点”，并说明理由； (2)若点是“直线点”，请通过计算判断点M在第几象限？ 【答案】(1)是，理由见解析 (2)点M在第一象限 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、写出直角坐标系中点的坐标、新定义下的实数运算 【分析】（1）由，可得，，解得，，，由，满足，进而可知点是“直线点”； （2）由是“直线点”，可知，，解得，，，由，可得，解得，，即，然后判断点M所在的象限即可． 【详解】（1）解：点是“直线点”，理由如下： ∵， ∴，， 解得，，， ∵， ∴点是“直线点”； （2）解：∵是“直线点”， ∴，， 解得，，， ∵， ∴， 解得，， ∴，即点M在第一象限． 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，点坐标，一元一次方程的应用．解题的关键在于理解题意． 2．（22-23七年级下·黑龙江佳木斯·期末）已知是平面直角坐标系中的一点，若，是关于，的二元一次方程组的解，则称为该方程组的“梦想点”例如：是二元一次方程组，的“梦想点”根据以上定义，回答下列问题： (1)求关于，的二元一次方程组的“梦想点”． (2)若关于，的方程组与的“梦想点”相同，求，的值． 【答案】(1) (2)的值为，的值为 【知识点】加减消元法、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】（1）解方程组，可得出关于，的二元一次方程组的解为，进而可得出关于，的二元一次方程组的“梦想点”为； （2）解方程组，可得出关于，的方程组的解为，进而可得出关于，的方程组的“梦想点”为，再将代入中，解之即可求出，的值． 【详解】（1）解：， 得：， 将代入得：， 解得：， 关于，的二元一次方程组的解为， 关于，的二元一次方程组的“梦想点”为； （2）， 得：， 将代入得：， 解得：， 关于，的方程组的解为， 关于，的方程组的“梦想点”为． 将代入得：， 解得：， 的值为，的值为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组以及点的坐标，熟练掌握用加减法解二元一次方程组的一般步骤是解题的关键． 类型二、平面直角坐标系中的动点面积问题 例题：（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于两点，若点，，满足． (1)求的值； (2)若点的坐标为，连接，．则的面积为 ； (3)点在直线上，且．数学活动小组的同学发现：当点在线段上时，可连接，的面积是面积的，根据两者间的面积关系，即可求出点坐标．请你根据活动小组的思路，直接写出满足条件点的坐标． 【答案】(1) (2)9 (3)或 【知识点】坐标与图形、绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题主要考查了非负数的性质、坐标系中的面积问题、中点坐标公式等，解题的关键是根据题意熟练应用上述知识． （1）依据题意，由，可得，进而计算可以得解； （2）作轴于点，由三点的坐标可知，再根据代入计算即可； （3）依据题意，可分为当点在线段上时、点在的延长线上和点在的反向延长线上三种情况，分别进行讨论即可得解． 【详解】（1）解：， ， 解得． （2）如图，作轴于点， 由（1）可得，，， ， ， ． （3）由题意，①如图，当点在线段上时， ， ， ， 边上的高是边上的高的3倍， ， 的纵坐标为2， ， ， ， 边上的高是边上的高的， ， 的横坐标为2， ； ②如图，当点在的延长线上时， ， 是线段的中点， 设， ，， ，， ，， ； ③当点在的反向延长线上时， 不成立，不合题意； 综上所述，或． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于A，B两点，若线段与的长满足等式． (1)求线段，的长； (2)若点C的坐标为，连接，则的面积为______； (3)若点D在线段上，且，点Q在x轴上且，请直接写出点D的坐标______，点Q的坐标______．（数学活动小组的同学发现：可连接，的面积是面积的，的面积是面积的，利用其面积即可求出点D坐标． 【答案】(1) (2)9 (3)；或 【知识点】坐标与图形、利用算术平方根的非负性解题 【分析】（1）根据非负数的性质得，据此可得出，的长； （2）过点C作轴于E，则，进而得，然后根据可得出答案； （3）连接，过点D作于M，于N，根据点D在线段AB上，且，可得，从而可求出，进而可得点D的坐标；根据点Q在x轴上且，可分为两种情况讨论，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）解：过点C作轴于E，如图1所示： ∵点C的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：9． （3）解：连接，过点D作于M，于N，如图2所示： ∵点D在线段上，且， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由（2）可知：， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； ∵点Q在x轴上且， ∴有以下两种情况： 设， ①当点Q在x轴的负半轴上时，过点D作轴于P，如图3所示： ∵点D的坐标为，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得： ∴点Q的坐标为； ①当点Q在x轴的正半轴上时，过点D作轴于P，如图4所示： ∴， ， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴点Q的坐标为， 综上所述：点Q的坐标为或． 类型三、平面直角坐标系中点的规律探究问题 例题：（23-24七年级下·云南大理·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，沿着循环爬行，其中点坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，当蚂蚁爬了2024个单位时，它所处位置的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了点坐标规律探索，根据蚂蚁的运动规律找出“蚂蚁每运动12个单位长度是一圈”是解题的关键．先求出的长，再用2024除以上述长度，利用余数来确定蚂蚁的位置. 【详解】解：点坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ， ， 则，余数为8， 故可判断蚂蚁爬了168个循环后，停在了点， 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·湖北随州·期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，，…．若点的坐标为，则点的坐标为 ；若点的坐标为，对于任意的正整数n，点均在轴上方，则a，b应满足的条件为 ． 【答案】 且 【知识点】点坐标规律探索、求不等式组的解集 【分析】本题是对点的变化规律的考查，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键． 根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2015除以4，根据商和余数的情况确定点的坐标即可；再写出点的“伴随点”，然后根据x轴上方的点的纵坐标大于0列出不等式组求解即可． 【详解】因为的坐标为，依题意可得，，，，…， 依此类推，每4个点为一个循环节依次循环． 因为余1， 所以点的坐标与的坐标相同，即为； 点的坐标为， ，，，，…， 依此类推，每4个点为一个循环组依次循环， 对于任意的正整数，点均在轴上方， ，， 解得，． 故答案为：；且． 2．（23-24七年级下·北京·期末）如图，点，点，点，点，…，按照这样的规律下去，点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查点的坐标规律；熟练掌握平面内点的坐标，能够根据图形的变化得到点的坐标规律是解题的关键．根据题意得： ，，，，……，由此发现：脚标为偶数的点的坐标的规律，即可求解． 【详解】解：根据题意得： ，，，，……， 由此发现：脚标为偶数的点的坐标的规律为， ∵， ∴点的坐标为． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·安徽淮南·期末）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度．其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标：（______，______），（______，______）； (2)写出点的坐标（n是正整数）：（______，______）； (3)求出的坐标． 【答案】(1)2，0，4，0 (2)，0 (3) 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了点的坐标规律求解，旨在考查学生的抽象概括能力． （1）由图即可求解； （2）根据点的坐标规律可知，即可求解； （3）根据即可求解； 【详解】（1）解：根据题意可直接写出，， 故答案为2，0，4，0． （2）解：根据点的坐标规律可知，， 故答案为，0． （3）解：∵， ∴． 类型四、平面直角坐标系中与几何证明的综合问题 例题：（24-25八年级上·河南开封·期中）如图，，，以A点为顶点、为腰在第三象限作等腰直角三角形． (1)点C的坐标为______． (2)如图②，，P为y轴负半轴上一个动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为直角顶点，为腰向右作等腰直角三角形，过D作轴于E点，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的定义 【分析】（1）过点作轴于点，于是可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由是等腰直角三角形可得，，进而可得，于是可得，利用可证得，于是可得，，进而可得，据此即可得出点的坐标； （2）过点作轴于点，于是可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由是等腰直角三角形可得，，进而可得，于是可得，利用可证得，于是可得，由轴可得，根据题意可知，再结合，进而可得，则，于是得解． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 轴， ， ∴； 根据题意可知：， 又， ∴， ， ， 即：的值为． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的定义，等式的性质，全等三角形的判定与性质，已知两点坐标求两点距离，线段的和与差，写出直角坐标系中点的坐标等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在直角坐标系中，B点的坐标为，且a、b满足． (1)求B点的坐标； (2)点A为y轴上一动点，过B点作，交x轴正半轴于点C，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、代入消元法、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、坐标与图形综合 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，非负数的性质，坐标与图形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据非负数的性质建立关于的方程组，求出的值，进而得出点的坐标； （2）过点作轴于点，作轴于点，易证，即可证明，即可解题． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴点坐标为； （2）证明：如图，过点作轴于点，作轴于点， ， ， ∵在和中， ， ， ． 2．（24-25八年级上·湖北黄冈·阶段练习）如图1，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，平分交于点C，点D为线段上一点，过点D作交y轴于点E，已知，，且m、n满足． (1)求A、B两点的坐标； (2)若点D为中点，延长交x轴于点F，在的延长线上取点G．使，连接． ①与y轴的位置关系怎样？说明理由； ②求的长； (3)如图2，若点为直线在x轴下方的一点，点M是y轴的正半轴上一动点，以M为直角顶点作等腰直角，使点F在第一象限，且F点的横、纵坐标始终相等，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)①轴，理由见解析 ② (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查了非负数的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等列方程求解是解题的关键． （1）根据非负数的性质可得方程、，解得，，即可得到、两点的坐标； （2）①由题意可得，进而可得，再证，于是可得，则，于是可得结论； ②设，则，由全等三角形的性质可知，，进而可得，列方程求解即可； （3）分别过点F、P作轴于点，轴于点，设点为，构造全等三角形，再根据点的横坐标与纵坐标相等，得出方程，解方程即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∵ ，， ∴ ，， ∴ ，， ，； （2）解：①轴，理由如下： ∵平分， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵点D为中点， ∴， 在和中， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴轴； ②设，则， ∵， ∴ ，， ∴ ， ∴ ， ∴， 解得：， ∴； （3）解：如图，分别过点F、P作轴于点，轴于点， 设点为， ∵ 点P的坐标为， ∴，， ∵，， ∴ ， ∵轴， ∴ ， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴ ，， ∴ 点F的坐标为， ∵ F点的横坐标与纵坐标相等， ∴ ， 解得：， 则， ∴ 点P的坐标为． 3．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． (1)求的面积； (2)如图1，以为斜边构造等腰直角，当点在直线上方时，请直接写出点的坐标； (3)如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 【答案】(1) (2) (3)①证明见解析②的大小不变，总为，理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的判定定理、等腰三角形的定义、坐标与图形综合 【分析】（1）根据绝对值的非负性及平方的非负性可得，，进而可得，，再利用三角形的面积公式即可求解． （2）当点C在上方时，作为等腰直角三角形，过点作轴于F，轴于E，利用全等三角形的判定及性质即可求解． （3）①延长，，它们相交于点，利用全等三角形的判定及性质及等腰三角形的性质即可求解； ②作，，垂足分别是，，利用全等三角形的判定及性质及角平分线的性质即可求解． 【详解】（1）解：， ，， 解得：，． ，， 的面积． （2）解：当点C在上方时： 作为等腰直角三角形，过点作轴于F，轴于E，如图：    ∴， ∵， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ，即：， 解得：， ，， ． （3）解：①延长，，它们相交于点，如图：   等腰直角中，，，且， ， 又， ， 在和中， ， ， ． 是的角平分线， ， ， ， 在和中， ， ， 即， ． ②的大小不变，总为，理由如下： 作，，垂足分别是，，如图：   ， 由①可知：，， 在和中， ， ， ， 是的角平分线， ． 【点睛】本题考查了坐标与图形、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质及绝对值和平方的非负性，熟练掌握基础知识，借助适当的辅助线解决问题是解题的关键． 压轴能力测评（14题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知点的坐标为，其中a，b均为实数，若a，b满足，则称点P为“和谐点”，若点是“和谐点”，则点M所在的象限是（    ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】D 【知识点】判断点所在的象限、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题主要考查了解一元一次方程、点所在的象限等知识点．根据“和谐点”的定义列出关于的方程，然后求得的值，进而确定点M的坐标，最后确定其所在的象限即可． 【详解】解：∵点是“和谐点”， ∴， 解得， ∴ ∴点M在第一象限． 故选：D． 2．（24-25八年级上·福建福州·开学考试）在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点，点，，则的面积是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【知识点】坐标与图形 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形面积，根据点的坐标得出点A与点B的横坐标相同，点A与点C的纵坐标相同，是解题的关键． 先根据点的坐标可得点A与点B的横坐标相同，点A与点C的纵坐标相同，即有轴，轴，进而可得，，且，问题随之得解． 【详解】解：∵，，， ∴点A与点B的横坐标相同，点A与点C的纵坐标相同， ∴轴，轴， ∴，，且， ∴， 故选：B． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到，然后接着按图中箭头所示方向跳动即，且每秒跳动一个单位，那么第115秒时跳蚤所在位置的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题较难，主要考查了点的坐标的探究性规律，解决本题的关键是正确读懂题意，确定跳蚤运动的顺序及运动的距离，从而可以得到到达每个点所用的时间． 根据题意可得到点时，用时秒，到点时，用时秒，到点时，用时秒，到点时，用时秒，依次类推，到点时，用时秒，再确定运动方向，即可求解． 【详解】解：根据题意可得到点时，用时秒， 到点时，用时秒， 到点时，用时秒， 到点时，用时秒， 依次类推，到点时，用时秒， 且当为偶数时，则下面开始向左运动，当为奇数时，则下面开始向下运动， ∵， ∴第110秒时位于的位置， ∵10为偶数，， ∴接下来向左运动5个单位到， 故选：D． 二、填空题 4．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形各个顶点的坐标分别为，，，，P是y轴正半轴上一点，连接，若三角形的面积等于四边形面积的，则点P的坐标为 ． 【答案】 【知识点】利用网格求三角形面积、坐标与图形 【分析】本题考查利用网格求三角形的面积，先利用网格求出四边形面积，再根据三角形的面积等于四边形面积的，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵三角形的面积等于四边形面积的，P是y轴正半轴上一点， ∴，解得：， 则点P的坐标为， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·四川雅安·期中）在平面直角坐标系中，一只小蛤蟆从原点O出发，第一次向上蹦到，第二次向右蹦到，第三次向下蹦到，第四次向右蹦到，第五次向上蹦到，…，按照此规律依次不间断蹦，每次蹦1个单位，其蹦的路线如图所示．那么按照上述规律，点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，根据图象得出每移动4次图象完成一个循环，结合得出点在第个循环的第4个点的位置，即纵坐标与的相同，为，再根据，，，……，得出，求出的坐标是，即可得解． 【详解】解：由题意得：，，，，，，，，……， ∴每移动4次图象完成一个循环， ∵， ∴点在第个循环的第4个点的位置，即纵坐标与的相同，为， ∵，，，……， ∴， ∴的坐标是， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，已知点，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点的“最佳间距”．例如：点的“最佳间距”是1． （1）点的“最佳间距”是 ； （2）当点的“最佳间距”为1时，点P的横坐标为 ． 【答案】 3 或2或4 【知识点】求点到坐标轴的距离、坐标系中的平移 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，垂线段最短． （1）分别计算出，，的长度，比较得出最小值即可； （2）分别计算出，的长度，由于斜边大于直角边，故，，所以“最佳间距”为或者的长度，由于“最佳间距”为1，分两种情况讨论，即可求解点的横坐标． 【详解】解：（1）点，，， ，，， 垂线段最短， ， 点，，的“最佳间距”是3． 故答案为：3； （2）点， ∴， ∴，， 垂线段最短， ，， 点，，的“最佳间距”是1， ∴或， ∵，， ∴或， 当时，，点，，的“最佳间距”是1，，符合题意； 当时，，点，，的“最佳间距”是1，符合题意； 当时，，点，，的“最佳间距”是1，符合题意； 当时，，点，，的“最佳间距”是1，符合题意； 点的“最佳间距”为1时，点P的横坐标为或2或4． 故答案为：或2或4． 三、解答题 7．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，且轴． (1)求a的值； (2)求的面积； (3)在y轴上是否存在一点P，使得的面积等于面积的一半？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【知识点】坐标与图形综合 【分析】本题考查的是坐标与图形的综合应用； （1）由轴可得，再解方程即可； （2）先求解，可得，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）设点P的坐标为，求解，可得，再解方程即可. 【详解】（1）解：∵轴， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∵点B的坐标为， ∴， ∴； （3）解：设点P的坐标为， ∵， ∴， ∴， 解得：或， ∴点P的坐标为或． 8．（23-24七年级下·河南安阳·期中）阅读下列范例，按要求解答问题． 定义：在平面直角坐标系中，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积的值相等，则称点P．为“友善点”．如图，点P的坐标，则长方形的周长为，面积为，则点P就是“友善点”． (1)判断点，，是否为“友善点”，并说明理由； (2)若是“友善点”，求点P的坐标． 【答案】(1)M不是“友善点”，N是“友善点”．理由见解析 (2)或 【知识点】坐标与图形 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，解题的关键是会用含有未知数的式子表示围成的长方形的面积和周长． （1）分别求得过点M和点N得到的长方形的周长和面积，然后比较周长和面积判断； （2）先阅读范例，按照范例的方法解答即可． 【详解】（1）M不是“友善点”，N是“友善点”． 理由：对于长方形的的周长是，面积是， ∵周长与面积不相等， ∴M不是“友善点”， 对于长方形的的周长是，面积是， ∵周长与面积相等， ∴N是“友善点”； （2）∵是“友善点”， ∴， ∴， ∴， ∴或． 9．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)若与关于轴成轴对称， 请在网格中画出，并写出顶点坐标； (2)计算的面积； (3)若点为轴上一点，当最小时，写出此时点坐标______． 【答案】(1)见详解， (2)3.5 (3) 【知识点】利用网格求三角形面积、画轴对称图形、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了画轴对称图形，分割法计算三角形的面积问题以及两点间线段最短，熟练掌握对称点坐标的确定，正确作图是解题的关键． （1）根据纵坐标不变，横坐标相反，得出，，三点的坐标，然后顺次连接即可． （2）利用割补法计算即可． （3）作点A关于x轴的对称点，则与x轴的交点即是点P的位置．直接写出点P点坐标即可． 【详解】（1）∵若与关于y轴成轴对称，， ∴， 则即为所求； （2）解：． （3）解：如图，作点A关于x轴的对称点，则与x轴的交点即是点P的位置． ∴． 10．（23-24七年级下·辽宁铁岭·阶段练习）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)求点的“长距”； (2)若点是“完美点”，求a的值； (3)若点的长距为4，点D的坐标为，且点D是“完美点”，求b，c的值． 【答案】(1)4 (2)或 (3)当，则或；当，则 【知识点】求点到坐标轴的距离、坐标与图形、绝对值方程 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“完美点”． （1）根据“长距”的定义解答即可； （2）根据“完美点”的定义解答即可； （3）由“长距”的定义求出b的值，然后根据“完美点”的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得点到轴的距离为4，到轴的距离为2， ∴点A的“长距”为4． 故答案为：4； （2）解：∵点是“完美点”， ∴， ∴或， 解得或； （3）解：∵点的长距为4， ∴， 解得或， ∵点D的坐标为，且点D是“完美点” ∴或 当，则或 当，则． 11．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，动点第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，第6次运动到点，第7次运动到点，第8次运动到点……按这样的规律运动下去． (1)写出点的坐标：____． (2)按照上述规律，指出从点到点的平移方式． (3)若点距离点5个单位长度，且轴，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 (3)或 【知识点】坐标与图形、点坐标规律探索 【分析】本题考查了点坐标规律探索，旨在考查学生的抽象概括能力，解题的关键是找出点坐标规律． （1）根据题意得动点横坐标为对应的运动次数减3，纵坐标依次为：，每5次一个循环，据此即可求解． （2）根据（1）中规律求出点和点的坐标，即可求解； （3）根据（1）中规律求出点的坐标，再根据点距离点5个单位长度，且轴，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：动点在平面直角坐标系中的运动为： ∴横坐标为对应的运动次数减3， 纵坐标依次为：，每5次一个循环， 则点的横坐标为：； ， ∴点的纵坐标为：4； 故答案为：． （2）解：根据（1）中规律可得： 点的横坐标为：； ， ∴点的纵坐标为：2； ∴， 点的横坐标为：； ， ∴点的纵坐标为：4； ∴， 故从点到点的平移方式是：先向右平移1个单位，再向上平移2个单位． （3）解：根据（1）中规律可得： 点的横坐标为：； ， ∴点的纵坐标为：； ∴， ∵点距离点5个单位长度，且轴， ∴，即， 或，即， 综上，或． 12．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在下面直角坐标系中，已知三点，其中a、b、c满足关系式：． (1)求a、b、c的值； (2)如果在第二象限内有一点，请用含m的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，是否存在负整数m，使四边形的面积不小于面积的两倍？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，点的坐标为或或 【知识点】坐标与图形综合、求一元一次不等式的整数解、利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性 【分析】本题考查了坐标与图形性质：利用坐标计算线段的长度和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查了三角形的面积公式． （1）根据几个非负数和的性质得到，，，分别解一元一次方程得到，，； （2）根据三角形的面积公式和四边形的面积进行计算； （3）若，则，解得，则，，，然后分别写出点的坐标． 【详解】（1）解：， ，，， ，，； （2）解：点坐标为，点坐标为， 四边形的面积 ； （3）解：存在．理由如下： ， ， ， 为负整数， 或或， 点的坐标为或或． 13．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）已知点在轴正半轴上，以为边作等边，．其中是方程的解． (1)求点的坐标； (2)如图1，点在轴正半轴上，以为边在第一象限内作等边，连并延长交轴于点，求度数； (3)如图2，点为轴正半轴上一动点，点在点的右边，连接，以为边在第一象限内作等边，连接并延长交轴于点，当点运动时，的值是否发生变化？若不变，求其值：若变化，求出其变化的范围． 【答案】(1) (2) (3)不变， 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了算术平方根的非负性，等边三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，直角三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． （1）根据算术平方根的非负性，即可求解； （2）先证明，可得，由四边形内角和定理求解即可； （3）证明，可得，可求，可得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴， ， ∵， ； （3）解：的值不会发生变化，理由如下： ∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即的值不发生变化，其值为． 14．（24-25八年级上·海南三亚·期末）如图，在平面直角坐标系中，分别在轴正半轴、轴正半轴上取A、B两点，若两点坐标分别是、，且a，b满足：． (1)______，______； (2)点C为轴负半轴上一点，连接，于点M，交于N． ①如图1，求证：； ②如图2，若，连接，求的大小； (3)如图3，若点D为的中点，点F是轴负半轴上一动点，连接，过点D作交轴于点E，设，请问：当点F在运动过程中，的值是否发生改变？若改变，求出变化范围；若不改变，求的值． 【答案】(1)3；3 (2)①见解析；② (3)不发生改变，的值为 【知识点】完全平方公式分解因式、写出直角坐标系中点的坐标、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了平面直角坐标系、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、因式分解等知识，熟练掌握以上知识点，学会向角的两边作垂线构造距离判定角平分线是解题的关键． （1）利用因式分解的知识将整理得，再利用绝对值以及完全平方的非负性，即可解答； （2）①利用全等三角形判定即可证明；②作交于点，交于点，由①得，则有，，利用三角形面积公式可得，再利用角平分线的判定定理得到平分，得出的度数，结合，最后利用三角形的外角的性质即可得到的大小； （3）通过证明，得到，再根据，求出的面积，即可得到结论． 【详解】（1）解：， ， ，， 解得：，． 故答案为：3；3． （2）①证明：， ， ， ， ， ， 又， ， 由（1）得，，， ，， ， 在和中， ， ； ②解：如图，作交于点，交于点， ，， ，， 由①得，， ，， ， ， 又，， 平分， ， 又， ． （3）解：的值不发生改变，理由如下： ，，点D为的中点， ，，平分，， ，， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 综上所述，的值不发生改变，的值为． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平面直角坐标中面积、变换、规律、新定义型的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、平面直角坐标系中的新定义型问题 2 类型二、平面直角坐标系中的动点面积问题 5 类型三、平面直角坐标系中点的规律探究问题 10 类型四、平面直角坐标系中与几何证明的综合问题 13 压轴能力测评（14题） 23 解题知识必备 1.点到坐标轴的距离 坐标平面内的点的横坐标的绝对值表示这点到纵轴（y轴）的距离，而纵坐标的绝对值表示这点到横轴（x轴）的距离. 注: ①已知点的坐标求距离，只有一个结果，但已知距离求坐标，则因为点的坐标有正有负， 可能有多个解的情况，应注意不要丢解. ②坐标平面内任意两点A（x₁，y₁）、B(x₂，y₂)之间的距离公式为：d = 2.坐标平面内对称点坐标的特点 ①一个点A（a,b）关于x轴对称的点的坐标为A＇（a,-b）,特点为：x不变，y相反； ②一个点A（a,b）关于y轴对称的点的坐标为A＇（-a,b）,特点为：y不变，x相反； ③一个点A（a,b）关于原点对称的点的坐标为A＇（-a,-b），特点为：x、y均相反. 3.平行于坐标轴的直线的表示 ①平行于横轴（x轴）的直线上的任意一点，其横坐标不同，纵坐标均相等，所以，可表示为：y=a（a为纵坐标）的形式，a的绝对值表示这条直线到x轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点横坐标之差的绝对值； ②平行于纵轴（y轴）的直线上的任意一点，其纵坐标不同，横坐标均相等，所以，可表示为：x=b（b为横坐标）的形式，b的绝对值表示这条直线到y轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点纵坐标之差的绝对值. 4.象限角平分线的特点 ①第一、三象限的角平分线可表示为y=x的形式，即角平分线上的点的纵坐标与横坐标相等（同号） ②第二、四象限的角平分线可表示为y=-x的形式，即角平分线的点的纵坐标与横坐标互为相反数(异号) 压轴题型讲练 类型一、平面直角坐标系中的新定义型问题 例题：（23-24七年级下·河北保定·期末）点是平面直角坐标系中的一点，若点Q的坐标为（其中k为常数且），则称点Q为点P的“k拓点”，例如：点的“2拓点”Q为，即点Q为． (1)求点的“3拓点”Q的坐标； (2)若点的“4拓点”Q的坐标是，求的值． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·重庆·期末）在学习了“数形结合”讨论问题后，某校数学兴趣小组开展“你命我解”互助学习活动．其中有一组的同学给出了这样一个问题：在平面直角坐标系中，点中x，y的值若满足，则称点Q为“直线点”，请你来解答这位同学提出的问题： (1)判断点是否为“直线点”，并说明理由； (2)若点是“直线点”，请通过计算判断点M在第几象限？ 2．（22-23七年级下·黑龙江佳木斯·期末）已知是平面直角坐标系中的一点，若，是关于，的二元一次方程组的解，则称为该方程组的“梦想点”例如：是二元一次方程组，的“梦想点”根据以上定义，回答下列问题： (1)求关于，的二元一次方程组的“梦想点”． (2)若关于，的方程组与的“梦想点”相同，求，的值． 类型二、平面直角坐标系中的动点面积问题 例题：（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于两点，若点，，满足． (1)求的值； (2)若点的坐标为，连接，．则的面积为 ； (3)点在直线上，且．数学活动小组的同学发现：当点在线段上时，可连接，的面积是面积的，根据两者间的面积关系，即可求出点坐标．请你根据活动小组的思路，直接写出满足条件点的坐标． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于A，B两点，若线段与的长满足等式． (1)求线段，的长； (2)若点C的坐标为，连接，则的面积为______； (3)若点D在线段上，且，点Q在x轴上且，请直接写出点D的坐标______，点Q的坐标______．（数学活动小组的同学发现：可连接，的面积是面积的，的面积是面积的，利用其面积即可求出点D坐标． 类型三、平面直角坐标系中点的规律探究问题 例题：（23-24七年级下·云南大理·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，沿着循环爬行，其中点坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，当蚂蚁爬了2024个单位时，它所处位置的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·湖北随州·期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，，…．若点的坐标为，则点的坐标为 ；若点的坐标为，对于任意的正整数n，点均在轴上方，则a，b应满足的条件为 ． 2．（23-24七年级下·北京·期末）如图，点，点，点，点，…，按照这样的规律下去，点的坐标是 ． 3．（23-24七年级下·安徽淮南·期末）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度．其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标：（______，______），（______，______）； (2)写出点的坐标（n是正整数）：（______，______）； (3)求出的坐标． 类型四、平面直角坐标系中与几何证明的综合问题 例题：（24-25八年级上·河南开封·期中）如图，，，以A点为顶点、为腰在第三象限作等腰直角三角形． (1)点C的坐标为______． (2)如图②，，P为y轴负半轴上一个动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为直角顶点，为腰向右作等腰直角三角形，过D作轴于E点，求的值． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在直角坐标系中，B点的坐标为，且a、b满足． (1)求B点的坐标； (2)点A为y轴上一动点，过B点作，交x轴正半轴于点C，求证：． 2．（24-25八年级上·湖北黄冈·阶段练习）如图1，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，平分交于点C，点D为线段上一点，过点D作交y轴于点E，已知，，且m、n满足． (1)求A、B两点的坐标； (2)若点D为中点，延长交x轴于点F，在的延长线上取点G．使，连接． ①与y轴的位置关系怎样？说明理由； ②求的长； (3)如图2，若点为直线在x轴下方的一点，点M是y轴的正半轴上一动点，以M为直角顶点作等腰直角，使点F在第一象限，且F点的横、纵坐标始终相等，求点P的坐标． 3．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． (1)求的面积； (2)如图1，以为斜边构造等腰直角，当点在直线上方时，请直接写出点的坐标； (3)如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 压轴能力测评（14题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知点的坐标为，其中a，b均为实数，若a，b满足，则称点P为“和谐点”，若点是“和谐点”，则点M所在的象限是（    ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 2．（24-25八年级上·福建福州·开学考试）在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点，点，，则的面积是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到，然后接着按图中箭头所示方向跳动即，且每秒跳动一个单位，那么第115秒时跳蚤所在位置的坐标是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形各个顶点的坐标分别为，，，，P是y轴正半轴上一点，连接，若三角形的面积等于四边形面积的，则点P的坐标为 ． 5．（24-25八年级上·四川雅安·期中）在平面直角坐标系中，一只小蛤蟆从原点O出发，第一次向上蹦到，第二次向右蹦到，第三次向下蹦到，第四次向右蹦到，第五次向上蹦到，…，按照此规律依次不间断蹦，每次蹦1个单位，其蹦的路线如图所示．那么按照上述规律，点的坐标是 ． 6．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，已知点，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点的“最佳间距”．例如：点的“最佳间距”是1． （1）点的“最佳间距”是 ； （2）当点的“最佳间距”为1时，点P的横坐标为 ． 三、解答题 7．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，且轴． (1)求a的值； (2)求的面积； (3)在y轴上是否存在一点P，使得的面积等于面积的一半？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（23-24七年级下·河南安阳·期中）阅读下列范例，按要求解答问题． 定义：在平面直角坐标系中，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积的值相等，则称点P．为“友善点”．如图，点P的坐标，则长方形的周长为，面积为，则点P就是“友善点”． (1)判断点，，是否为“友善点”，并说明理由； (2)若是“友善点”，求点P的坐标． 9．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)若与关于轴成轴对称， 请在网格中画出，并写出顶点坐标； (2)计算的面积； (3)若点为轴上一点，当最小时，写出此时点坐标______． 10．（23-24七年级下·辽宁铁岭·阶段练习）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)求点的“长距”； (2)若点是“完美点”，求a的值； (3)若点的长距为4，点D的坐标为，且点D是“完美点”，求b，c的值． 11．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，动点第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，第6次运动到点，第7次运动到点，第8次运动到点……按这样的规律运动下去． (1)写出点的坐标：____． (2)按照上述规律，指出从点到点的平移方式． (3)若点距离点5个单位长度，且轴，直接写出点的坐标． 12．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在下面直角坐标系中，已知三点，其中a、b、c满足关系式：． (1)求a、b、c的值； (2)如果在第二象限内有一点，请用含m的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，是否存在负整数m，使四边形的面积不小于面积的两倍？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 13．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）已知点在轴正半轴上，以为边作等边，．其中是方程的解． (1)求点的坐标； (2)如图1，点在轴正半轴上，以为边在第一象限内作等边，连并延长交轴于点，求度数； (3)如图2，点为轴正半轴上一动点，点在点的右边，连接，以为边在第一象限内作等边，连接并延长交轴于点，当点运动时，的值是否发生变化？若不变，求其值：若变化，求出其变化的范围． 14．（24-25八年级上·海南三亚·期末）如图，在平面直角坐标系中，分别在轴正半轴、轴正半轴上取A、B两点，若两点坐标分别是、，且a，b满足：． (1)______，______； (2)点C为轴负半轴上一点，连接，于点M，交于N． ①如图1，求证：； ②如图2，若，连接，求的大小； (3)如图3，若点D为的中点，点F是轴负半轴上一动点，连接，过点D作交轴于点E，设，请问：当点F在运动过程中，的值是否发生改变？若改变，求出变化范围；若不改变，求的值． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$