16.1二次根式（6种题型基础练+能力提升练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（沪科版）

16.1二次根式（6种题型基础练+能力提升练） 题型一：二次根式的概念 1．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）下列给出的式子是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查二次根式的定义，解题的关键是正确理解题意二次根式的定义．根据二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．不是二次根式，故本选项不符合题意； B． 是二次根式，故本选项符合题意； C．∵， ∴不是二次根式，故本选项不符合题意； D．∵， ∴不是二次根式，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】结合二次根式的定义即可求解． 【详解】解：A：在中，，不合题意，故错误； B：在中，，符合题意，故正确； C：在中，的正负性不可确定，不合题意，故错误； D：在中，根指数是3，不合题意，故错误； 故答案是：B． 【点睛】本题考查二次根式的定义，属于基础概念题，难度不大．解题的关键是掌握二次根式的概念．形如“”且的式子叫二次根式． 3．下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求二次根式的值 【分析】根据二次根式的定义判断即可； 【详解】A.，无意义，故A错误； B.是二次根式，故B正确； C.是三次根式，故C错误； D.没有说明a的取值范围，故D错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义应用，准确分析判断是解题的关键． 题型二：二次根式有意义的条件 4．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）若二次根式有意义，则x的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零，据此得到，即可求出答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 5．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）若要使有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键． 根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：由题意可得，解得， 故答案为：． 6．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）若式子有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求不等式组的解集、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，掌握分母不为零且被开方数不小于零的条件是解题的关键． 根据分母不为零且被开方数不小于零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可知，， 解得， 故答素为：． 7．（23-24八年级下·河南郑州·期中）成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件， 根据二次根式有意义的条件可得出， 解一元一次不等式即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知：， 解得∶， 故选：B. 8．（22-23八年级下·四川凉山·阶段练习）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】且 【难度】0.85 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式与分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；分式有意义的条件：分母不等于零是解题的关键．根据二次根式与分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：且， 故答案为：且． 9．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知实数m，n满足，求的立方根． 【答案】5 【难度】0.85 【知识点】求不等式组的解集、二次根式有意义的条件、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件求出n的值，进而求出m的值，再求出的值，即可求出对应的立方根． 【详解】解：∵要有意义， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵125的立方根是5， ∴的立方根是5． 10．（23-24八年级下·贵州黔西·期末）二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为______； (2)若x，y为实数，且，求的值． 【答案】(1) (2)7或3 【难度】0.85 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，绝对值的非负性，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件，绝对值的非负性求得a，b的值，然后代入中计算即可； （2）根据二次根式有意义的条件求得x，y的值后代入中计算即可． 【详解】（1）解：， ∴，， 解得：，， 那么， 故答案为：； （2）解：由题意可得，， 则， 那么， 则或， 那么或， 即的值是7或3． 11．（23-24八年级下·山东德州·开学考试）【问题情景】 请认真阅读下列这道例题的解法．例：若，为实数，且，化简：． (1)解：由解得 ， ， ． (2)【拓展创新】已知，求的值． 【答案】(1)3，1， (2)29 【难度】0.85 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、二次根式有意义的条件 【分析】（1）根据二次根式的非负性，列出不等式组，即可求得，，进而化简代数式即可； （2）根据例题的解法，列出不等式组，即可求得，，进而求出即可． 本题考查了二次根式有意义的条件，通过对完全平方公式变形求值，二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：由， 解得：， ∵ ． ； 故答案为：3，1， （2）解：∵ 由：， 解得：， ∵ ∴ ， ． 题型三：求二次根式的值 12．（22-23八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、求二次根式的值 【分析】把代入原式化简即可． 【详解】解：当时，原式， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，掌握代入求值法是解题关键． 13．在两个连续整数a和b之间，即a＜＜b，则a+b= ． 【答案】7． 【难度】0.85 【知识点】求二次根式的值 【分析】与10相邻，且能开平方的整数是9和16，所以 ＜＜ ，所以3＜＜4，由此可以得出a、b的值，然后求和即可. 【详解】∵＜＜，∴3＜＜4；故a=3，b=4；因此a+b=3+4=7． 故答案为7． 【点睛】本题考查估算无理数的大小．正确估算是解题的关键. 14．已知关于x的方程有实数解，那么m的取值范围是 ． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】二次根式有意义的条件、求二次根式的值 【分析】根据二次根式的非负性，即可求解． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查二次根式的非负性，解题的关键是掌握二次根式值的特点． 15．估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求二次根式的值 【分析】寻找小于26的最大平方数和大于26的最小平方数即可. 【详解】解：小于26的最大平方数为25，大于26的最小平方数为36，故，即： ，故选择D. 【点睛】本题考查了二次根式的相关定义. 题型四：求二次根式中的参数 16．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）请写出一个大于2且小于3的二次根式： ． 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.94 【知识点】无理数的大小估算、求二次根式中的参数 【分析】根据题意得出，，然后取根式即可． 【详解】解：∵，， ∴大于2且小于3的二次根式为（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】题目主要考查二次根式的比较大小，熟练掌握比较大小的方法是解题关键． 17．（22-23八年级下·广东深圳·开学考试）若是一个整数，则最小正整数的值是 ． 【答案】6 【难度】0.94 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】先将化简为最简二次根式，再取的最小正整数值，使被开方数开得尽． 【详解】解：， 当，6，时，都可以开方， 是最小正整数， 时，被开方数开得尽，结果为整数，故． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了二次根式的化简运算，比较基础，需要熟练掌握． 18．已知n是正整数，且也是正整数，写出一个满足条件的n的值：n＝ ． 【答案】2（答案不唯一） 【难度】0.94 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】根据二次根式的意义，结合题意，求出一个符合题意的值，即可． 【详解】解：∵当n=2时，=， ∴n=2符合题意， 故答案是：2． 【点睛】本题主要考查二次根式，掌握二次根式的被开方数是非负数以及二次根式的意义，是解题的关键． 19．（22-23八年级下·广西梧州·期中）若二次根式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】二次根式有意义的条件、求二次根式中的参数、求不等式组的解集 【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式组求解． 【详解】根据题意得：， 解得． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次根式的概念和性质，以及解一元一次不等式组． 20．已知，则的值为 ． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】求二次根式中的参数、分式有意义的条件 【分析】由根式及分式的意义，可求得，进而可求得m的值，代入即可求得结果． 【详解】解：， ， ， ， 当时，，不符合题意，舍去， ， ， ． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了根式和分式的意义，解题的关键是能依据根式的意义列式求解，并注意要使分式有意义． 21．（22-23八年级上·四川达州·期中）已知有理数满足，则的值是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、求二次根式中的参数 【分析】将已知等式整理得，由a，b为有理数，得到，求出a，b的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵a，b为有理数， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了求二次根式中的参数，将已知等式整理后得到对应关系，由此求出a，b的值是解题的关键． 22．如果，那么的取值范围是 . 【答案】x⩾2. 【难度】0.85 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】直接利用二次根式的性质得出x的取值范围即可． 【详解】∵， ∴x⩾0，x−2⩾0， ∴x⩾2. 故答案为x⩾2. 【点睛】此题考查二次根式的性质，解题关键在于掌握其性质. 23．（23-24九年级上·甘肃天水·阶段练习）计算：如果，那么 ； ． 【答案】 5 【难度】0.85 【知识点】二次根式有意义的条件、求二次根式中的参数 【分析】根据二次根式的非负性解答即可，即． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 故答案为：5，． 【点睛】本题考查了二次根式的双重非负性，熟知是解题的关键． 24.阅读材料并解决下列问题： 已知a、b是有理数，并且满足等式5﹣﹣a，求a、b的值． 解：∵5﹣﹣a 即5﹣ ∴2b﹣a＝5，﹣a＝ 解得：a＝﹣ （1）已知a、b是有理数，并且满足等式﹣1，则a＝　 　，b＝　 　． （2）已知x、y是有理数，并且满足等式x+x+18，求xy的平方根． 【答案】（1）4，1；（2） 【难度】0.85 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】（1）利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程即可． （2）先将等式变形，再利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程得到x和y，再求xy的平方根． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴b=1，a-b=3， ∴a=4； （2）， ∴， ∴， 解得：， ∴xy=16， ∴xy的平方根为±． 【点睛】此题是一个阅读题目，主要考查了实数的运算．对于阅读理解题要读懂阅读部分，然后依照同样的方法和思路解题． 25．（1）已知是整数，求自然数所有可能的值； （2）已知是整数，求正整数的最小值． 【答案】（1）自然数的值为，，，，；（2）正整数的最小值为． 【难度】0.85 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】（1）根据二次根式结果为整数，确定出自然数n的值即可； （2）根据二次根式结果为整数，确定出正整数n的最小值即可． 【详解】（1）∵是整数， ∴，，，，， 解得：，，，，， 则自然数的值为2，9，14，17，18； （2）∵是整数，为正整数， ∴正整数的最小值为． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解本题的关键． 题型五：利用二次根式的性质化简 26．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意实数 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】利用二次根式的性质化简、求二次根式中的参数 【分析】根据二次根式的性质得出5−x≥0，求出即可． 【详解】∵ ∴5−x≥0， 解得：x≤5， 故答案为：C． 【点睛】本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当a≥0时，＝a，当a＜0时，＝−a． 27．（22-23八年级下·安徽亳州·阶段练习）在式子：中，二次根式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简 【分析】根据二次根式的定义对各式分析判断即可得解． 【详解】解：，是二次根式， 无意义， 是二次根式， 是三次根式， 是二次根式， 无意义， 综上所述，是二次根式的有3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件，被开方数是非负数． 28．（22-23八年级上·江苏南通·阶段练习）若为三角形的三边长，则化简的结果为（　　） A．5 B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】利用二次根式的性质化简、确定第三边的取值范围 【分析】先根据三角形的三边关系求出的取值范围，然后对二次根式进行化简求值即可． 【详解】解：由三角形三边关系可知：， ∴，， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的化简和求值，解题的关键是熟练运用二次根式的性质． 29．能说明命题“对于任何实数，”是假命题的一个反例可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】举反例、利用二次根式的性质化简、二次根式有意义的条件 【分析】根据“是实数，则”成立的条件是即可得答案． 【详解】解：时，， 当时，原命题成立，故A不符合题意， 同理时，原命题成立，故B不符合题意； 时，原命题成立，故C不符合题意； 而当时，原命题不成立，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题，说明一个命题是假命题只需举一个反例． 30．（22-23八年级上·陕西·期末）下列实数运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】 根据实数的运算法则分别计算每个选项的答案，即可判断． 【详解】 解：A．，故选项不合题意； B．，故选项符合题意； C．，故选项不合题意； D．，故选项不合题意； 故选：B 【点睛】 本题考查实数的运算，正确化简二次根式是解题的关键． 31．下列计算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】根据二次根式的性质和运算法则分别判断． 【详解】解：A、，故错误，不符合题意； B、，故错误，不符合题意； C、，故错误，不符合题意； D、，故正确，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和运算，属于基础知识，要熟练掌握相关算法． 32．如果m<0，把式子m根号外面的因式移到根号内得( ) A． B．－ C． D．－ 【答案】B 【难度】0.85 【分析】由于m＜0,故式子m的值为负数,由此可先将m变形为-（-m），在保证式子值不变的情况下再将-m一项移到根号内即可 【详解】解:由m＜0可将m变形,得-（-m） 将(-m)从根号外移到根号内,得-  即－ 故选B 【点睛】本题主要考查了二次根式的基本性质和恒等变形的方法,二次根式的根号下部分为非负,这是解答本题的关键 33．（2023八年级下·江苏·周测）已知a为整数，且满足，则a的值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求二次根式中的参数、利用二次根式的性质化简、求不等式组的解集 【分析】利用二次根式的性质把5写成二次根式的形式，再解不等式组求出a的范围得解． 【详解】解：， ， ， 又∵为整数， ． 故答案为：25． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质和不等式组的解法是解决本题的关键． 34．若，求的值． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】利用二次根式的性质化简、等式的性质、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】结合题意，根据二次根式的性质，可分别得到x和y的方程，经计算从而完成求解． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了二次根式、一元一次方程、等式等知识；解题的关键是熟练掌握平方根、一元一次方程、等式的性质，从而完成求解． 35．计算： 【答案】 【难度】0.94 【知识点】利用二次根式的性质化简、求一个数的算术平方根、有理数的乘方运算 【分析】分别计算有理数的乘方，算术平方根，再计算乘法，后合并即可得到答案． 【详解】原式= 4 4 = 【点睛】本题考查的是实数的运算，考查了乘方运算，求一个数的算术平方根，的化简，掌握以上知识是解题的关键． 36．已如实数、在数轴上的位置如图所示，请化简 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用二次根式的性质化简、合并同类项、实数的大小比较 【分析】由题意可得：＜＜，＜＜从而可得：＜ ＜ ＞ 再利用二次根式的性质可得：，从而可得答案． 【详解】解：由题意得：＜＜，＜＜ ＜ ＜ ＞ 【点睛】本题考查的是实数的大小比较，二次根式的性质，二次根式的化简，绝对值的化简，合并同类项，掌握以上知识是解题的关键． 题型六：复合二次根式的化简 37．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案． 【详解】解：A. 故A错误； B. 故B正确； C. ，故C错误 ； D与不是同类二次根式，不能合并，故D错误. 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键． 38．已知，求的值． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、复合二次根式的化简、已知条件式，化简求值 【分析】根据非负数的意义求出、的值，再把进行变形，最后把、的值代入计算即可求出值． 【详解】解：∵ ∴，， 解得：，， ∵ ， 当，时， 原式． 【点睛】本题考查非负数的性质，代数式的化简求值，二次根式的性质，绝对值的性质．理解和掌握绝对值，二次根式的性质是解题的关键． 题型一：二次根式的概念 1．下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，理解二次根式中被开方数是非负数是解决问题的关键． 一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．直接利用二次根式的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A．当时，原式无意义，故A不一定不是二次根式； B．当时，原式无意义，故B不一定是二次根式； C．恒成立，故C一定是二次根式； D．当时，原式无意义，故D不一定是二次根式； 故选：C． 题型二：二次根式有意义的条件 2．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）函数中，自变量的取值范围是（　　） A． B． C． 且 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件 【分析】此题考查分式有意义的条件，二次根式被开方数的非负性，正确理解代数式的形式列式计算是解题的关键； 【详解】解：根据题意得：，， 解得：且， 故选：C 3．能使等式成立的x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件 【分析】本题考查了二根式有意义的条件，分式有意义的条件．熟练掌握二根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键． 由题意知，，，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，，， 解得，， 故选：C． 4．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知，则的值为 ．． 【答案】15 【难度】0.65 【知识点】求不等式组的解集、二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组，根据被开方数大于等于零列出不等式，求出x，y的值，即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 解得：， ， ， 故答案为：15． 5．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“行知区间”为，如，所以的行知区间为． (1)无理数的“行知区间”是________； (2)若，求的“行知区间”； (3)实数，，满足，求的算术平方根的“行知区间”． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】二次根式有意义的条件、无理数的大小估算、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式有意义的条件，非负性．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． （1）夹逼法求出的取值范围，即可得出结果； （2）根据二次根式有意义的条件，得到，进一步求出的取值范围即可； （3）根据二次根式有意义的条件，结合算术平方根的非负性，得到，，求出的值，进而求出的“行知区间”即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：无理数的“行知区间”是； 故答案为：； （2）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴a的“行知区间”为； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 联立：，解得：， ∴的算术平方根为， ∵， ∴； ∴的算术平方根的“行知区间”为． 6．若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是（　　） A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】二次根式有意义的条件、解分式方程、根据分式方程解的情况求值 【分析】根据二次根式有意义，可得，解出关于的分式方程 的解为，解为正数解，进而确定m的取值范围，注意增根时m的值除外，再根据m为整数，确定m的所有可能的整数值，求和即可． 【详解】解：去分母得，， 解得，， ∵关于x的分式方程有正数解， ∴ ， ∴， 又∵是增根，当时， ，即， ∴， ∵有意义， ∴， ∴， 因此 且， ∵m为整数， ∴m可以为-4，-2，-1，0，1，2，其和为-4， 故选：D． 【点睛】考查二次根式的意义、分式方程的解法，以及分式方程产生增根的条件等知识，解题的关键是理解正数解，整数m的意义． 题型三：求二次根式的值 7．（2022·四川成都·模拟预测）已知，均为实数，，则的值为 ． 【答案】8 【难度】0.65 【知识点】二次根式有意义的条件、求二次根式的值 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的值，进而得出y的值，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， 故答案为：8 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键． 题型四：求二次根式中的参数 8．（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求二次根式中的参数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查解二次根式方程，涉及二次根式乘法运算、二次根式定义及解一元一次方程等知识，熟练掌握二次根式定义是解决问题的关键． 先由二次根式乘法运算化简，再由二次根式定义得到方程，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：， ， ，即，解得， 故选：C． 9．（22-23八年级下·辽宁营口·阶段练习）是一个正整数，则的最小正整数是 ． 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】根据二次根式的定义可得，解得，再根据是一个正整数，可得或4或9，即可得到答案． 【详解】解：由二次根式的定义可得， 解得：， 是一个正整数， 或4或9， 解得：或8或3， 的最小正整数是3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，求得或4或9是解题的关键． 10．已知有意义，如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是 ． 【答案】． 【难度】0.65 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】把方程变形为，根据方程没有实数根可得，解不等式即可． 【详解】解：由得， 有意义，且， 方程没有实数根，即， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题关键是利用二次根式的非负性确定的取值范围． 11．定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为， 即：当为非负整数时，如果，则． 如：，，， 试解决下列问题： ① ；② ； ③ ． 【答案】 2 3 /0.9995044599 【难度】0.4 【知识点】求二次根式中的参数、运用完全平方公式进行运算、数字类规律探索 【分析】①直接根据新定义，即可求解； ②根据题意，先推导出等于什么，再比较与的大小关系，可得，即可求解； ③根据，原式可变形为，即可求解． 【详解】解：①； ②∵， ∴， 当时，； 当为正整数时，∵， ∴， ∴， ∴：， ∴， ∴． ③∵， ∴ ． 故答案为①2；② 3；③ ． 【点睛】解第②小题的关键是应用“完全平方公式”和“作差的方法”分别证明到当n为非负整数时，，从而得到；解题③的要点是：当n为正整数时，． 12．已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为 ． 【答案】或或 【难度】0.4 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】先利用算术平方根有意义的条件求得正整数的取值范围，然后令等于所有可能的平方数即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得， ∵n是正整数， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵是整数， ∴或或或或， 解得或或或或， ∵n是正整数， ∴或或， 故答案为：或或 【点睛】本题考查了算术平方根的性质，理解掌握被开方数是平方数时算术平方根才是整数是解题的关键． 题型五：利用二次根式的性质化简 13．若，则的值为（    ） A． B．4 C．4或 D．20或 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用二次根式的性质化简、整式的加减中的化简求值、绝对值非负性 【分析】利用非负数性质求出 x 、 y、z 的值，代入计算即可求出值． 【详解】解：∵|x+2|+ (y-3) 2+ =0， ∴x+2=0，y-3=0，z2-16=0， 解得：x=-2，y=3，z=±4， 当x=-2，y=3，z=4时，z(x+y)=4×（-2+3）=4， 当x=-2，y=3，z=-4时，z(x+y)=-4×（-2+3）=-4， 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，以及非负数的性质，解题的关键是熟练掌握运算法则． 14．下列选项错误的是(    ) A．－的倒数是＋ B．－x一定是非负数 C．若x＜2，则＝1－x D．当x＜0时，在实数范围内有意义 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式有意义的条件 【分析】利用二次根式的性质与化简、二次根式的定义、二次根式有意义的条件及分母有理化判定即可． 【详解】A．，故A正确，不符合题意； B．因为 = ，当x≥0是，原式=0，当x＜0时，原式= ＞0，故B正确，不符合题意； C．当2＞x≥1时， =x-1，当x＜1时，=1-x，故C错误，符合题意； D．当x＜0时， ，所以在实数范围内有意义，故D正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简、二次根式的定义、二次根式有意义的条件及分母有理化，解题的关键是熟记二次根式有意义的条件及分母有理化的知识． 15． 的值等于(         ) A．±(－50) B．±50 C．－50 D．50－ 【答案】D 【难度】0.65 【分析】根据二次根式的性质进行求解即可. 【详解】∵502=2500， ∴， ∴=， 故选D. 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握是解本题的关键. 16．（2023八年级下·浙江·专题练习）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ． 【答案】﹣2a 【难度】0.65 【知识点】利用二次根式的性质化简、化简绝对值、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】先根据数轴的定义得出再根据绝对值运算、算术平方根进行化简，然后计算整式的加减即可得． 【详解】解：由数轴可得：， 故 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴的定义、绝对值运算、算术平方根、整式的加减，根据数轴的定义判断出是解题关键． 17．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… (1)第5个等式：______； (2)请写出第个等式，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【难度】0.65 【知识点】利用二次根式的性质化简、数字类规律探索 【分析】本题考查二次根式的计算，需要通过观察分析和寻求规律、归纳和论证的抽象思维能力，得出一般性的结论；解答此题的关键是仔细观察、细致分析，局部找规律，整体找关系． （1）依照前面的等式求解即可； （2）规律：不变的有：等式左边被开方数的分子是4，等式右边被开方数的分子是1；变化规律：等式左边被开方数的整数是依次增加1，等式右边的有理数因数是依次增加1．两边被开方数的分母是相同的，也是依次增加1，确定每个变化的数与前面的序数的关系，求解即可． 【详解】（1）解：第5个等式：， 故答案为：； （2）第个等式：， 证明： ∵是正整数， ∴， ∴． 18．观察下列等式： ①   ②   ③ （1）写出式⑤：___________________； （2）试用含n（n为自然数，且）的等式表示这一规律，并加以验证． 【答案】（1） （2）规律：（为自然数，且 ），验证见解析． 【难度】0.65 【知识点】利用二次根式的性质化简、与实数运算相关的规律题 【分析】（1）根据规律解答即可； （2）根据完全平方公式以及二次根式的性质解答即可． 【详解】解：（1） ①   ②    ③ 式⑤：   故答案为： （2）规律： 理由如下： ∵n为自然数，且n≥1， ∴ 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握完全平方公式是解答（2）的关键． 题型六：复合二次根式的化简 19．若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】二次根式有意义的条件、复合二次根式的化简、求一元一次不等式的解集 【分析】根据二次根式的性质列出不等式，解不等式即可解答． 【详解】∵， ∴， ∴-2． 故选A． 【点睛】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质列出不等式是解题的关键． 20．仔细观察下列式子：，，，… （1）请写出如上面的第4个同类型式子 ． （2）类比上述式子，你能看出其中的规律吗，请写出第n个式子 ． 【答案】 （n为正整数） 【难度】0.65 【知识点】复合二次根式的化简、利用二次根式的性质化简、数字类规律探索 【分析】（1）根据所给的式子进行解答即可； （2）把所给的等式进行整理，然后再归纳其中的规律即可． 【详解】解：（1）根据题意，第4个式子是：， 故答案为：； （2）∵，整理得：， ，整理得：， ，整理得： … 则第n个式子为：． 故答案为：（n为正整数）． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，规律型，数字的变化类，解答的关键是分析清楚等式左右两边的规律． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 16.1二次根式（6种题型基础练+能力提升练） 题型一：二次根式的概念 1．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）下列给出的式子是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 题型二：二次根式有意义的条件 4．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）若二次根式有意义，则x的取值范围是(   ) A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）若要使有意义，则x的取值范围为 ． 6．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）若式子有意义，则实数x的取值范围是 ． 7．（23-24八年级下·河南郑州·期中）成立的条件是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23八年级下·四川凉山·阶段练习）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 9．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知实数m，n满足，求的立方根． 10．（23-24八年级下·贵州黔西·期末）二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为______； (2)若x，y为实数，且，求的值． 11．（23-24八年级下·山东德州·开学考试）【问题情景】 请认真阅读下列这道例题的解法．例：若，为实数，且，化简：． (1)解：由解得 ， ， ． (2)【拓展创新】已知，求的值． 题型三：求二次根式的值 12．（22-23八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值为 ． 13．在两个连续整数a和b之间，即a＜＜b，则a+b= ． 14．已知关于x的方程有实数解，那么m的取值范围是 ． 15．估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 题型四：求二次根式中的参数 16．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）请写出一个大于2且小于3的二次根式： ． 17．（22-23八年级下·广东深圳·开学考试）若是一个整数，则最小正整数的值是 ． 18．已知n是正整数，且也是正整数，写出一个满足条件的n的值：n＝ ． 19．（22-23八年级下·广西梧州·期中）若二次根式有意义，则x的取值范围是 ． 20．已知，则的值为 ． 21．（22-23八年级上·四川达州·期中）已知有理数满足，则的值是 . 22．如果，那么的取值范围是 . 23．（23-24九年级上·甘肃天水·阶段练习）计算：如果，那么 ； ． 24.阅读材料并解决下列问题： 已知a、b是有理数，并且满足等式5﹣﹣a，求a、b的值． 解：∵5﹣﹣a 即5﹣ ∴2b﹣a＝5，﹣a＝ 解得：a＝﹣ （1）已知a、b是有理数，并且满足等式﹣1，则a＝　 　，b＝　 　． （2）已知x、y是有理数，并且满足等式x+x+18，求xy的平方根． 25．（1）已知是整数，求自然数所有可能的值； （2）已知是整数，求正整数的最小值． 题型五：利用二次根式的性质化简 26．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意实数 27．（22-23八年级下·安徽亳州·阶段练习）在式子：中，二次根式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 28．（22-23八年级上·江苏南通·阶段练习）若为三角形的三边长，则化简的结果为（　　） A．5 B． C． D． 29．能说明命题“对于任何实数，”是假命题的一个反例可以是（    ） A． B． C． D． 30．（22-23八年级上·陕西·期末）下列实数运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 31．下列计算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 32．如果m<0，把式子m根号外面的因式移到根号内得( ) A． B．－ C． D．－ 33．（2023八年级下·江苏·周测）已知a为整数，且满足，则a的值为 ． 34．若，求的值． 35．计算： 36．已如实数、在数轴上的位置如图所示，请化简 题型六：复合二次根式的化简 37．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 38．已知，求的值． 题型一：二次根式的概念 1．下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 题型二：二次根式有意义的条件 2．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）函数中，自变量的取值范围是（　　） A． B． C． 且 D． 3．能使等式成立的x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知，则的值为 ．． 5．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“行知区间”为，如，所以的行知区间为． (1)无理数的“行知区间”是________； (2)若，求的“行知区间”； (3)实数，，满足，求的算术平方根的“行知区间”． 6．若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是（　　） A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4 题型三：求二次根式的值 7．（2022·四川成都·模拟预测）已知，均为实数，，则的值为 ． 题型四：求二次根式中的参数 8．（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 9．（22-23八年级下·辽宁营口·阶段练习）是一个正整数，则的最小正整数是 ． 10．已知有意义，如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是 ． 11．定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为， 即：当为非负整数时，如果，则． 如：，，， 试解决下列问题： ① ；② ； ③ ． 12．已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为 ． 题型五：利用二次根式的性质化简 13．若，则的值为（    ） A． B．4 C．4或 D．20或 14．下列选项错误的是(    ) A．－的倒数是＋ B．－x一定是非负数 C．若x＜2，则＝1－x D．当x＜0时，在实数范围内有意义 15． 的值等于(         ) A．±(－50) B．±50 C．－50 D．50－ 16．（2023八年级下·浙江·专题练习）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ． 17．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… (1)第5个等式：______； (2)请写出第个等式，并证明． 18．观察下列等式： ①   ②   ③ （1）写出式⑤：___________________； （2）试用含n（n为自然数，且）的等式表示这一规律，并加以验证． 题型六：复合二次根式的化简 19．若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．仔细观察下列式子：，，，… （1）请写出如上面的第4个同类型式子 ． （2）类比上述式子，你能看出其中的规律吗，请写出第n个式子 ． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$