8.3.2球的表面积和体积（人教A版必修二）-2024-2025学年寒假高一数学同步练习（全国通用）

8.3.2球的表面积和体积 (第一次作业) 1．若球的大圆面积扩大为原来的2倍，球的体积扩大为原来的(　　) A．8倍　　　　　 B．4倍 C．2倍 D．2倍 答案　C 解析　根据球的体积公式知，体积比为半径比的立方． 2．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为(　　) A.π B.π C.π D.π 答案　B 解析　设这个球的半径为R，则4πR2＝16π，得R＝2，所以这个球的体积V＝πR3＝π.故选B. 3．把3个半径为R的实心铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为(　　) A．R B．2R C．3R D．4R 答案　D 解析　设圆柱的高为h，则由题意得3×πR3＝π×R2×h，h＝4R.故选D. 4．若一个实心球对半分成两半后表面积增加了4π cm2，则原来实心球的表面积为(　　) A．4π cm2 B．8π cm2 C．12π cm2 D．16π cm2 答案　B 解析　设球半径为R，由题意可得πR2＝2π，S球＝4πR2＝8π(cm2)． 5．把直径分别为6 cm，8 cm，10 cm的三个实心铁球熔成一个大实心铁球，则这个大实心铁球的半径为(　　) A．3 cm B．6 cm C．8 cm D．12 cm 答案　B 解析　设大铁球的半径为R cm，则有πR3＝π×＋π×＋π×，解得R＝6. 6．用一平面去截球所得截面的面积为2π，已知球心到该截面的距离为1，则该球的体积是(　　) A.π B．2π C．4π D.π 答案　C 解析　如图，连接OA，OO′，AO′，OO′＝1，设截面圆半径为r＝AO′，球的半径为R. 由题意得截面圆的面积为πr2＝2π，解得r＝.在Rt△AO′O中，OO′2＋AO′2＝AO2，即R＝，所以球的体积V＝πR3＝4π.故选C. 7．已知棱长为2的正方体的体积与球O的体积相等，则球O的半径为________． 答案　 解析　设球O的半径为r，则πr3＝23，解得r＝. 8．某公园预备在国庆节前夕，用鲜花做成一个花柱摆放在公园正门口，它的下面是一个直径为2 m，高为4 m的圆柱形物体，上面是一个直径为2 m的半球形物体，如果1 m2大约需要鲜花200朵，那么装饰这个花柱大约需要________朵鲜花(π取3.1)． 答案　6 200 解析　由题意知，圆柱形物体的侧面积S1＝π×2×4＝3.1×2×4＝24.8(m2)， 半球形物体的表面积S2＝×4π×＝×4×3.1×1＝6.2(m2)， 所以花柱的表面积S＝S1＋S2＝24.8＋6.2＝31(m2)． 又31×200＝6 200(朵)，所以装饰这个花柱大约需要6 200朵鲜花． 9.如图，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积及体积(其中∠BAC＝30°)． 解析　如图，过点C作CO1⊥AB于点O1.∵∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R， ∴AC＝R，BC＝R，CO1＝R，∴S球＝4πR2，圆锥AO1侧面积S1＝π·R·R＝πR2，圆锥BO1侧面积S2＝π·R·R＝πR2，∴形成的几何体的表面积S＝S球＋S1＋S2＝πR2. ∵V球＝πR3，V圆锥AO1＝AO1·πCO12＝πR2·AO1，V圆锥BO1＝BO1·πCO12＝πR2·BO1， ∴V几何体＝V球－(V圆锥AO1＋V圆锥BO1)＝πR3. 10.某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积． 解析　该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π.该组合体的体积V＝πr3＋πr2l＝π×13＋π×12×3＝. 11．我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题：“有个金球里面空，球高尺二厚三分，一寸自方十六两，试问金球几许金？”意思是：“有一个空心金球，它的直径是12寸，球壁厚0.3寸，1立方寸金重1斤，试问金球重多少斤？”该题的答案是(参考数据：π≈3)(　　) A．125.77 斤 B．864 斤 C．123.228 斤 D．369.69 斤 答案　C 解析　由题意知，金球外壁的半径R＝6寸，金球内壁的半径r＝6－0.3＝5.7(寸)，则金球的体积V＝π×(63－5.73)≈123.228(立方寸)．因为1立方寸金重1斤，所以金球约重123.228斤．故选C. 12．【多选题】一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是(　　) A．圆柱的侧面积为2πR2 B．圆锥的侧面积为2πR2 C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2 答案　CD 解析　依题意得球的半径为R，则圆柱的侧面积为2πR×2R＝4πR2，所以A错误；圆锥的侧面积为πR×R＝πR2，所以B错误；球面面积为4πR2，圆柱的侧面积为4πR2，所以C正确；因为V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，V圆锥＝πR2·2R＝πR3，V球＝πR3，所以V圆柱∶V圆锥∶V球＝2πR3∶πR3∶πR3＝3∶1∶2，所以D正确． 13．将一个半径为R的木球削成尽可能大的正方体，则此正方体的体积为________． 答案　 R3 14.圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图．则球的半径是________ cm. 答案　3 解析　设球半径为r cm，则由3V球＋V水＝V柱，可得3×πr3＋πr2×6＝πr2×6r，解得r＝3. 15.唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示．它盛酒的部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(如图2)．当这种酒杯内壁表面积(假设内壁表面光滑，表面积为S平方厘米，半球的半径为R厘米)固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　设圆柱的高为h，酒杯的容积为V，则S＝2πR2＋2πRh， 所以πRh＝－πR2， 所以V＝πR3＋πR2h＝πR3＋R＝－R3＋R≤πR3，解得R≥. 又h>0，所以－πR2>0，解得R<. 所以≤R<.故选D. (第二次作业) 1．已知长方体ABCD－A1B1C1D1的体积为6 cm3，AB＝1 cm，BC＝2 cm，若该长方体的八个顶点都在球O的球面上，则球O的体积是(　　) A.π cm3　　　　 B.π cm3 C.π cm3 D.π cm3 答案　A 解析　由长方体ABCD－A1B1C1D1的体积为6 cm3，AB＝1 cm，BC＝2 cm，得BB1＝3 cm，则球的半径R＝＝(cm)，所以球O的体积V＝πR3＝π(cm3)． 2．设一圆锥的外接球与内切球的球心位置相同，且外接球的半径为2，则该圆锥的体积为(　　) A．π B．3π C．8π D．9π 答案　B 解析　由题意得圆锥的轴截面为正三角形，其外接圆半径为2，所以圆锥底面半径为，高为3，体积为π×()2×3＝3π.故选B. 3．已知一个圆柱的侧面展开图是边长为1的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　设圆柱的底面半径为r，高为h，则2πr＝h＝1，∴r＝.设圆柱外接球的半径为R，则R＝ ＝，∴圆柱外接球的表面积为4πR2＝.故选A. 4．已知上底面半径为，下底面半径为2的圆台存在内切球(与上、下底面及侧面都相切的球)，则该圆台的体积为(　　) A．14π B．56π C. D. 答案　D 解析　圆台的轴截面为等腰梯形，上底面半径为，下底面半径为2，且圆台存在内切球，则梯形的腰长为3，故梯形的高为＝4， 则该圆台的体积为×4π×[()2＋(2)2＋]＝. 5．底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为(　　) A．6π B．12π C．8π D．16π 答案　D 解析　由圆锥的底面半径为，母线长为2，可求得其轴截面的顶角为.设该圆锥的底面圆心为O1，其半径为r，球O的半径为R，则O1O＝|R－1|，R2＝O1O2＋r2＝(R－1)2＋()2，解得R＝2，所以球O的表面积为4πR2＝16π. 6．棱长为2的正四面体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　) A．12π B.π C．8π D．4π 答案　A 解析　如图，将正四面体补成正方体，设正方体的棱长为a，则a2＋a2＝(2)2，得a＝2，所以正方体的棱长是2，正方体的体对角线长为＝2.棱长为2的正四面体的四个顶点在同一球面上，则补形后的正方体的八个顶点也在该球面上，所以正方体的体对角线就是球的直径，则球的半径R＝，该球的表面积为4π×()2＝12π.故选A. 7．半径为R的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两底面都相切)的表面积为________，体积为________． 答案　6πR2　2πR3 解析　依题意，外切圆柱的底面半径为R，高为2R，∴S表＝S侧＋2S底＝2πR·2R＋2πR2＝6πR2. V圆柱＝πR2·2R＝2πR3. 8．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为________． 答案　 解析　由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的半径为1，其体积是×π×13＝. 9．正三棱柱的顶点都在同一个球面上，若球的半径为4，则该三棱柱的侧面积的最大值为________． 答案　48 解析　设正三棱柱高为h，底面正三角形边长为a，∴三棱柱侧面积为3ah.∵＋＝42，∴h2＝4，∴a2h2＝a2×4＝－(a2－24)2＋，∴ah≤16，当a＝2时等号成立，∴该三棱柱的侧面积的最大值为48. 10．已知半球O内有一个内接正方体ABCD－A′B′C′D′，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为，求球O的表面积和体积． 解析　作轴截面如图所示，连接OC′，由题意知CC′＝，AC＝×＝2，设半球O的半径为R，则R2＝OC2＋CC′2＝()2＋()2＝9. ∴R＝3，∴S球＝4πR2＝36π，V球＝πR3＝36π. 11．把一个球放在一个圆柱形的容器中，如果盖上容器的上盖后，球恰好与圆柱的上、下底面和侧面相切，则该球称为圆柱的内切球；如果一个圆柱的上、下底面圆上的点均在同一个球上，则该球称为圆柱的外接球．若一个圆柱的表面积为S1，内切球的表面积为S2，外接球的表面积为S3，则S1∶S2∶S3为(　　) A．1∶2∶2 B．1∶1∶1 C．3∶2∶4 D．2∶3∶3 答案　C 解析　设圆柱的母线长为l，内切球的半径为r，外接球的半径为R， 则其轴截面如图所示，则l＝2r，R＝r，则S1＝2πrl＋2πr2＝6πr2，S2＝4πr2，S3＝4πR2＝8πr2， 所以S1∶S2∶S3＝6πr2∶4πr2∶8πr2＝3∶2∶4. 12.如图所示，边长为2的正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个三棱锥S－EFG，使G1，G2，G3三点重合，重合后记为G，则三棱锥S－EFG的外接球的表面积为________． 答案　6π 解析　设三棱锥S－EFG外接球的半径为R. 由题意可知，SG⊥EG，SG⊥GF，GE⊥GF， 所以将三棱锥S－EFG补成如图所示的长方体，它们有同一外接球，因为SG＝2，GE＝GF＝1，所以外接球的直径2R＝＝，即R＝.所以三棱锥S－EFG的外接球的表面积S＝4πR2＝6π. 13．在直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个与其各面都相切的球O1，同时在三棱柱ABC－A1B1C1外有一个外接球O2.若AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，则球O2的表面积为________． 答案　29π 解析　∵AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，∴AC2＝AB2＋BC2＝25，∴AC＝5. 设球O1的半径为r，由题得(3r＋4r＋5r)＝×3×4，∴r＝1，∴棱柱的侧棱AA1＝2r＝2. ∴棱柱外接球的直径为＝＝，∴外接球的半径为， ∴球O2的表面积为4π×＝29π. 14．在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为3的正方形，且各侧棱长均为2.求该四棱锥外接球的表面积． 解析　取正方形ABCD的中心O1，连接SO1并延长交球面于点E，连接CO1，CE， 则球心O在SE上，即SE为球的直径，且SC⊥EC.∵AB＝3，∴O1C＝3. 在Rt△SO1C中，SC＝2，∴SO1＝. 在Rt△SCE中，Rt△SCE∽Rt△SO1C，∴SC2＝SO1·SE，∴SE＝＝＝4.∴球半径R＝2.∴球的表面积为S＝4πR2＝4π·(2)2＝48π. 15．已知底面半径为3的圆锥SO的体积为12π.若球O1在圆锥SO内，则球O1的表面积的最大值为(　　) A．9π　　　 B. C.　　　 D．12π 答案　A 解析　如图所示，圆锥SO的轴截面为等腰三角形SAB，因为底面半径为3，所以底面积为9π，又因为圆锥SO的体积为12π，所以圆锥的高h＝＝4，母线长为SA＝＝5.当球O1的表面积最大时，球O1的轴截面是△SAB的内切圆，设球O1的半径为r，所以S△SAB＝AB·h＝·(SA＋SB＋AB)·r，解得r＝，所以球O1的表面积的最大值为4π＝9π.故选A. 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.3.2球的表面积和体积 (第一次作业) 1．若球的大圆面积扩大为原来的2倍，球的体积扩大为原来的(　　) A．8倍　　　　　 B．4倍 C．2倍 D．2倍 2．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为(　　) A.π B.π C.π D.π 3．把3个半径为R的实心铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为(　　) A．R B．2R C．3R D．4R 4．若一个实心球对半分成两半后表面积增加了4π cm2，则原来实心球的表面积为(　　) A．4π cm2 B．8π cm2 C．12π cm2 D．16π cm2 5．把直径分别为6 cm，8 cm，10 cm的三个实心铁球熔成一个大实心铁球，则这个大实心铁球的半径为(　　) A．3 cm B．6 cm C．8 cm D．12 cm 6．用一平面去截球所得截面的面积为2π，已知球心到该截面的距离为1，则该球的体积是(　　) A.π B．2π C．4π D.π 7．已知棱长为2的正方体的体积与球O的体积相等，则球O的半径为________． 8．某公园预备在国庆节前夕，用鲜花做成一个花柱摆放在公园正门口，它的下面是一个直径为2 m，高为4 m的圆柱形物体，上面是一个直径为2 m的半球形物体，如果1 m2大约需要鲜花200朵，那么装饰这个花柱大约需要________朵鲜花(π取3.1)． 9.如图，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积及体积(其中∠BAC＝30°)． 10.某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积． 11．我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题：“有个金球里面空，球高尺二厚三分，一寸自方十六两，试问金球几许金？”意思是：“有一个空心金球，它的直径是12寸，球壁厚0.3寸，1立方寸金重1斤，试问金球重多少斤？”该题的答案是(参考数据：π≈3)(　　) A．125.77 斤 B．864 斤 C．123.228 斤 D．369.69 斤 12．【多选题】一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是(　　) A．圆柱的侧面积为2πR2 B．圆锥的侧面积为2πR2 C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2 13．将一个半径为R的木球削成尽可能大的正方体，则此正方体的体积为________． 14.圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图．则球的半径是________ cm. 15.唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示．它盛酒的部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(如图2)．当这种酒杯内壁表面积(假设内壁表面光滑，表面积为S平方厘米，半球的半径为R厘米)固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R的取值范围为(　　) A. B. C. D. (第二次作业) 1．已知长方体ABCD－A1B1C1D1的体积为6 cm3，AB＝1 cm，BC＝2 cm，若该长方体的八个顶点都在球O的球面上，则球O的体积是(　　) A.π cm3　　　　 B.π cm3 C.π cm3 D.π cm3 2．设一圆锥的外接球与内切球的球心位置相同，且外接球的半径为2，则该圆锥的体积为(　　) A．π B．3π C．8π D．9π 3．已知一个圆柱的侧面展开图是边长为1的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为(　　) A. B. C. D. 4．已知上底面半径为，下底面半径为2的圆台存在内切球(与上、下底面及侧面都相切的球)，则该圆台的体积为(　　) A．14π B．56π C. D. 5．底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为(　　) A．6π B．12π C．8π D．16π 6．棱长为2的正四面体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　) A．12π B.π C．8π D．4π 7．半径为R的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两底面都相切)的表面积为________，体积为________． 8．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为________． 9．正三棱柱的顶点都在同一个球面上，若球的半径为4，则该三棱柱的侧面积的最大值为________． 10．已知半球O内有一个内接正方体ABCD－A′B′C′D′，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为，求球O的表面积和体积． 11．把一个球放在一个圆柱形的容器中，如果盖上容器的上盖后，球恰好与圆柱的上、下底面和侧面相切，则该球称为圆柱的内切球；如果一个圆柱的上、下底面圆上的点均在同一个球上，则该球称为圆柱的外接球．若一个圆柱的表面积为S1，内切球的表面积为S2，外接球的表面积为S3，则S1∶S2∶S3为(　　) A．1∶2∶2 B．1∶1∶1 C．3∶2∶4 D．2∶3∶3 12.如图所示，边长为2的正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个三棱锥S－EFG，使G1，G2，G3三点重合，重合后记为G，则三棱锥S－EFG的外接球的表面积为________． 13．在直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个与其各面都相切的球O1，同时在三棱柱ABC－A1B1C1外有一个外接球O2.若AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，则球O2的表面积为________． 14．在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为3的正方形，且各侧棱长均为2.求该四棱锥外接球的表面积． 15．已知底面半径为3的圆锥SO的体积为12π.若球O1在圆锥SO内，则球O1的表面积的最大值为(　　) A．9π　　　 B. C.　　　 D．12π 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$