精品解析：甘肃省临夏州高中2024-2025学年高二上学期期末质量监测数学试卷

临夏州高中2024—2025学年秋季学期期末质量监测试卷 高二数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号､座位号､考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的倾斜角为，方向向量，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 椭圆的短轴长为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 3. 过点，且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 二项式的展开式中的常数项为（ ） A. B. 10 C. D. 20 5. 圆与圆相交，则公共弦长为（ ） A B. C. D. 6. 已知等比数列为递减数列，若是方程的两个根，则公比（ ） A. B. 3 C. D. 7. 已知圆的方程为，过点的2025条弦长组成一个等差数列，且过点的最短弦长和最长弦长分别为，则（ ） A. 5 B. 6 C. 9 D. 10 8. 临夏被誉为中国“彩陶之乡”，彩陶以造型独特，花纹别致而闻名于世.如图，一落地彩陶摆件外形为单叶旋转双曲面的形状，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.其横截面圆的最小半径为，底座和上口的半径均为，双曲线的离心率为，则该彩陶摆件的高为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线，则下列说法正确是（ ） A. 若，则曲线是椭圆 B. 若，则曲线是双曲线 C. 若，则曲线是椭圆，其焦点在轴上 D. 若，则曲线是两条平行于轴的直线 10. 3名学生，2名教师站成一排参加文艺汇演，则下列说法正确的是（ ） A. 任意站成一排，有120种排法 B. 学生不相邻，有24种排法 C. 教师相邻，有48种排法 D. 教师不站在两边，有72种排法 11. 已知抛物线，点是抛物线的焦点，点是抛物线上的一点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 抛物线的焦点到准线的距离为 C. 若，则的面积为 D. 若，点在轴上，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列前项和公式为，则通项公式__________. 13. 已知圆过三点，则圆的标准方程为__________.过圆上的一点的圆的切线方程为__________（填一般式方程）. 14. 如图，分别为椭圆的顶点与焦点，若，则椭圆的离心率__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知抛物线，并且经过点. （1）求抛物线方程； （2）若直线与抛物线交于两点，求. 16. 已知椭圆右焦点为，点和点在上. （1）求点的坐标； （2）过点的直线经过原点，且与交于另一点，求的面积. 17. 已知等比数列的各项均为正数，且. （1）求数列通项公式； （2）设，求数列的前2025项和. 18. 已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. （1）求的方程； （2）过点作直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求这条直线的方程. 19. 如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫作椭圆的“仿射圆”，过椭圆上一点作轴的垂线，垂足为，交其“仿射圆”于点（在同一象限内），称点为点的“仿射点”. （1）若椭圆的“仿射圆”为，点为线段的中点，求椭圆的标准方程. （2）若椭圆上的点的“仿射点”. ①求椭圆及其“仿射圆”的方程； ②设点在直线上，且，证明：过点且垂直于的直线过椭圆的左焦点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 临夏州高中2024—2025学年秋季学期期末质量监测试卷 高二数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号､座位号､考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的倾斜角为，方向向量，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由直线倾斜角与斜率关系和方向向量与斜率关系求出即可； 【详解】由直线的倾斜角为可得直线的斜率为， 又方向向量，即，解得. 故选：D. 2. 椭圆的短轴长为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆的性质直接得到即可； 【详解】由题意可得，所以短轴长为. 故选：A. 3. 过点，且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出与已知直线平行的直线方程，再代入点即可求出； 【详解】设与直线平行的直线方程为， 因为点在直线上，所以， 所以与直线平行的直线方程为. 故选：C. 4. 二项式的展开式中的常数项为（ ） A. B. 10 C. D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】求出二项式展开式的通项，令的幂指数等于，解出，代入即可求解. 【详解】的展开式的通项为：， 令，解得，此时，所以常数项为. 故选：C. 5. 圆与圆相交，则公共弦长（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由两圆相减得到公共弦方程，再由几何法求出弦长即可； 【详解】圆即， 两圆方程相减可得公共弦方程为， 圆心到公共弦的距离为， 所以公共弦长为. 故选：B. 6. 已知等比数列为递减数列，若是方程的两个根，则公比（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等比数列的性质和递减数列的性质求解即可； 【详解】是方程的两个根，且等比数列为递减数列， 所以， 所以， 当时，等比数列的奇数项为正数，偶数项为负数，不符合递减数列，故舍去， 所以公比. 故选：A. 7. 已知圆的方程为，过点的2025条弦长组成一个等差数列，且过点的最短弦长和最长弦长分别为，则（ ） A. 5 B. 6 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】分别确定过点的最短弦长和最长弦长，再由弦长公式求出弦长，然后由等差中项的性质计算即可； 【详解】由题意知的圆心为，半径， 又可得点在圆内， 所以过点的最短弦长是与过点的直径垂直的弦长，， 由弦长公式可得， 过点的最长弦长为直径，所以， 又过点的2025条弦长组成一个等差数列， 所以，所以. 故选：C. 8. 临夏被誉为中国“彩陶之乡”，彩陶以造型独特，花纹别致而闻名于世.如图，一落地彩陶摆件外形为单叶旋转双曲面的形状，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.其横截面圆的最小半径为，底座和上口的半径均为，双曲线的离心率为，则该彩陶摆件的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据横截面圆的最小半径得到的值，再根据离心率以及之间的关系得到双曲线的标准方程，最后将代入即可求得结果. 【详解】因为彩陶摆件横截面圆的最小半径为，所以，则， 又双曲线的离心率为，所以，即，则， 所以，可得双曲线的方程为， 将代入可得，所以该彩陶摆件的高为， 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则曲线是椭圆 B. 若，则曲线是双曲线 C. 若，则曲线是椭圆，其焦点在轴上 D. 若，则曲线是两条平行于轴的直线 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，举例判断，对于B，由双曲线的标准方程分析判断；对于C，将代入结合椭圆的标准方程判断；对于D，将代入化简变形判断. 【详解】对于A，若，则曲线表示圆，故A错误； 对于B，若，则曲线表示双曲线，B正确； 对于C，若，则可化为， 此时曲线表示焦点在轴上的椭圆，故C正确； 对于D，若，则可化为， 此时曲线表示两条平行于轴的直线，故D正确． 故选：BCD 10. 3名学生，2名教师站成一排参加文艺汇演，则下列说法正确的是（ ） A. 任意站成一排，有120种排法 B. 学生不相邻，有24种排法 C. 教师相邻，有48种排法 D. 教师不站在两边，有72种排法 【答案】AC 【解析】 【分析】根据全排列可求得A，根据不相邻问题用插空法可求得B，根据相邻问题用捆绑法可求得C，根据特殊位置优先排可求得D. 【详解】对于A，任意站成一排，是全排列，所以有种排法，故A正确； 对于B，学生不相邻，所以先排老师，然后插空，即种排法，故B错误； 对于C，教师相邻用捆绑，即种排法，故C正确； 对于D，教师不站两边，先将两边排上学生，剩下的人全排列，即种排法，故D错误； 故选：AC. 11. 已知抛物线，点是抛物线的焦点，点是抛物线上的一点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 抛物线的焦点到准线的距离为 C. 若，则的面积为 D. 若，点在轴上，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抛物线的方程可得到焦点坐标以及准线方程，即可判断A，根据焦点到准线的距离为可求得B，根据抛物线的定义可求得点的横坐标，即可得到纵坐标，即可求得C，根据抛物线的定义以及中位线定理可求得D. 【详解】已知抛物线，求得， 则焦点坐标为，准线方程为，故选项A正确； 对于B，抛物线的焦点到准线的距离为，故B错误； 对于C，若，则到准线的距离为， 所以即为点的横坐标，如图所示： 根据，解得， 所以，故C正确； 对于D，，点在轴上，如图所示： 根据抛物线的定义可得，则， 即点是的中点，所以， 则，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题考查了抛物线的定义与性质，对于抛物线中三角形的面积，得到三角形的高是点的纵坐标是关键. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前项和公式为，则通项公式__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据与的关系可求得通项公式. 【详解】当时，， 当时，， 则， 满足上式，所以， 故答案为：. 13. 已知圆过三点，则圆的标准方程为__________.过圆上的一点的圆的切线方程为__________（填一般式方程）. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】将点的坐标代入到圆的标准方程中即可求得方程，根据过圆上一点的圆的切线方程可求得结果. 【详解】设圆的标准方程为， 将三点代入可得， ，解得， 所以圆的标准方程为； 过圆上一点圆的切线方程为： ，化简得：， 故答案为：；. 14. 如图，分别为椭圆的顶点与焦点，若，则椭圆的离心率__________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量的数量积为零结合椭圆的性质和离心率的定义求解即可； 【详解】由题意可得， 因为，， 所以， 又，即， 同除可得，解得或（舍去）. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知抛物线，并且经过点. （1）求抛物线方程； （2）若直线与抛物线交于两点，求. 【答案】（1） （2）16 【解析】 【分析】（1）将代入抛物线方程即可求解； （2）直线方程与抛物线方程联立，方法一：利用弦长公式或两点间距离结合韦达定理可求；方法二：利用抛物线定义，结合韦达定理求解. 【小问1详解】 因为抛物线过点， 所以，解得， 所以抛物线方程为. 【小问2详解】 设， 联立消去可得，. 由一元二次方程根与系数的关系得，. 方法一： . 方法二：依题意可知，直线过抛物线的焦点， 如图，设，过两点分别向准线作垂线，垂足为. 由抛物线的定义可知，. 于是. 由方法一可得， 于是. 16. 已知椭圆的右焦点为，点和点在上. （1）求点的坐标； （2）过点的直线经过原点，且与交于另一点，求的面积. 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）方法一由点在椭圆上，代入求出椭圆方程，再求出焦点即可；方法二由椭圆性质求出即可求出； （2）方法一直曲联立，解出点，再由两点间距离公式和点到直线的距离公式求出，然后由三角形面积公式求出面积；方法二由椭圆的对称性结合三角形的面积公式求出即可； 【小问1详解】 方法一：由题意得 解得 由，得， 所以右焦点. 方法二：由题意知，椭圆的上顶点为，显然，将点坐标代入椭圆方程得， 解得， 由，得， 所以右焦点. 【小问2详解】 由（1）知椭圆的标准方程为. 过点的直线的方程为. 方法一：将直线与椭圆的方程联立，得方程组 解得，显然点位于第三象限，所以， 又因为，所以， 点到直线的距离， 所以. 所以的面积为9. 方法二：由椭圆的对称性可知，点与点关于原点对称， 因为，所以， 所以. 所以的面积为9. 17. 已知等比数列的各项均为正数，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前2025项和. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）设等比数列的公比为，由条件结合等比数列性质及通项公式可求，再求，由此可得数列的通项公式； （2）由（1）结合条件求，，再利用裂项相消法求结论. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，因为，所以， 则. 因为等比数列的各项均为正数，所以. 又因为，所以，解得. 所以. 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 因为， 所以， ， 所以， 故数列的前项和. 18. 已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. （1）求方程； （2）过点作直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求这条直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，进而求解即可； （2）分直线斜率不存在和存在两种情况，结合点差法求解即可. 【小问1详解】 由题意知，， 解得，故双曲线的方程为. 【小问2详解】 ①当过点的直线斜率不存在时，若点为的中点， 则点必在轴上，这与矛盾； ②当过点直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为， 设，因为点为线段的中点， 所以， 因为在双曲线上，所以， 则， 所以， 则所求直线方程为，即.经检验此时直线与双曲线有两个交点，满足题意. 19. 如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫作椭圆的“仿射圆”，过椭圆上一点作轴的垂线，垂足为，交其“仿射圆”于点（在同一象限内），称点为点的“仿射点”. （1）若椭圆的“仿射圆”为，点为线段的中点，求椭圆的标准方程. （2）若椭圆上的点的“仿射点”. ①求椭圆及其“仿射圆”的方程； ②设点在直线上，且，证明：过点且垂直于的直线过椭圆的左焦点. 【答案】（1） （2）①，“仿射圆”的方程为；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）设点的坐标为，“仿射点”的坐标为，找出两点间的关系式，再根据“仿射点”在圆上，代入计算即可； （2）①先根据椭圆过点，求出椭圆的方程，再根据仿射概念求出“仿射圆”的方程；②方由①根据向量法由得到，算出，得，从而得解. 【小问1详解】 设点的坐标为，“仿射点”的坐标为， 因为点为线段的中点，则. 因为“仿射点”在圆上，所以. 把代入上述方程， 得， 即椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 ①设椭圆，过点， “仿射圆”过点， 所以解得. 所以椭圆的方程为， “仿射圆”的方程为. ②方法一：由①知椭圆的左焦点的坐标为， 设， 由，得，解得. 又， 所以， 即.又过点存在唯一的直线垂直于， 所以过点且垂直于的直线过椭圆的左焦点. 方法二：由①知椭圆的左焦点的坐标为， 设， 由，得，解得. 则，直线的斜率为，所以直线的方程为，即， 当时，，所以直线过点，所以过点且垂直于的直线过椭圆的左焦点. 【点睛】方法点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒成立的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$