第二章 导数及其应用（B单元重点综合卷）-2024-2025学年高二数学单元速记·巧练（北师大版2019选择性必修第二册）

第二章 导数及其应用（B综合卷） 姓名______ 班级______ 考号______ 1、 单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1．设是定义在R上的可导函数，若（a为常数），则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】． 故选：A 2．已知函数，则（    ） A． B．12 C．13 D． 【答案】C 【详解】，则， ，则， 故. 故选：C. 3．已知曲线在处的切线斜率为2，则（    ） A． B．18 C． D．8 【答案】C 【详解】，由题意，解得. 故选：C. 4．函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数 的定义域为 ， ， 由 得，解得 ， 所以 的单调增区间为 . 故选：B. 5．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数，所以， 又函数在上单调递减， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则在上，，则. 当时，不恒为零，也符合题意， 所以实数的取值范围是. 故选：C 6．函数的极小值为（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【详解】由题知函数的定义域为， 则. 令，得（舍去）. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以函数的极小值为. 故选：A 7．已知函数若过点存在条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设切点坐标为. 由题意得， 所以函数的图像在点处的切线的斜率为， 所以切线方程为， 因为切线过点，所以， 则，由题意可知，这个方程有三个不等实根. 设，则， 由得，由得或. 所以函数在和上单调递减， 在上单调递增，又当趋近于正无穷时，趋近于； 当趋近于负无穷，趋近于正无穷，且， 所以的大致图象如图， 所以要使直线与函数的图象有三个交点， 则. 故选：C 8．已知函数及其导函数在定义域均为且是偶函数，其函数图象为不间断曲线且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则， 又因为，即， 且， 当时，则，可得； 当时，则，可得； 可知在内单调递增，在内单调递减，且函数图象为不间断曲线， 若，即， 可得，则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C. 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误. 故选：BC 10．如图是函数的导函数的图象，则以下说法正确的为（　　） A．是函数的极值点 B．函数在处取最小值 C．函数在处切线的斜率小于零 D．函数在区间上单调递增 【答案】AD 【详解】对于A，由导函数的图象可知：当时，，时，， 且仅当时，， 故函数在上函数单调递减；在函数单调递增， 所以是函数的极小值点，所以A正确； 对于B，两侧函数的单调性不变，则在处不是函数的最小值，所以B不正确； 对于C，由图像可知，所以函数在处的切线的斜率大于零，所以C不正确； 对于D，由图象可得，当时，，当且仅当时等号成立， 所以函数在上单调递增，所以D正确， 故选：AD． 11．已知函数，下列选项正确的是（    ） A．若在区间上单调递减，则a的取值范围为 B．若在区间上有极小值，则a的取值范围为 C．当时，若经过点可以作出曲线的三条切线，则实数m的取值范围为 D．若曲线的对称中心为，则 【答案】BCD 【详解】令 若在区间上单调递减, 则在区间上小于或者等于零恒成立， 即恒成立， 即，又在区间单调递增， 则 所以a的取值范围为，故选项A错误. 若在区间上有极小值, 则在区间上有零点，且在零点左端小于零，在零点右端大于零， 则 解得a的取值范围为.故选项B正确. 当时,设经过点作出曲线的三条切线切点为，则切线斜率为 切线为又切线经过点， 则有三解，即有三解， 令 则当时函数取极值， 则实数m的取值范围为，故选项C正确. 若曲线的对称中心为,则即 解得. 故选：BCD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【详解】，所以， 故切线方程为， 故答案为：． 13．若函数满足，则 . 【答案】 【详解】因为，可得， 令，可得，解得. 故答案为：. 14．已知函数，若在处取得极值，不等式对恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意得，，故， 取，，， 当，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 为函数的极值点，满足要求，故， 所以即在上恒成立， 只需在上恒成立； 令，则，令，解得； 当时，，可知在上单调递减； 当时，，可知在上单调递增； 所以在为在内唯一的极小值点，也是最小值点， 故，即， 即只需即可. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数． (1)若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值； (2)求函数的单调区间． 【详解】（1）由题可得， 因为在点处的切线平行于轴，所以， 即，解得，经检验符合题意． （2）因为， 令，得或． 当时，随的变化，，的变化情况如下表所示： 单调递增 单调递减 单调递增 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 当时，因为，当且仅当时，， 所以在区间上单调递增． 当时，随的变化，，的变化情况如下表所示： 单调递增 单调递减 单调递增 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 综上所述， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． 16．已知函数 (1)若，求函数在区间上的最大值； (2)若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围． 【详解】（1），因为，所以，所以 在上恒成立，所以函数在区间上单调递增 所以 （2）因为函数在区间上为增函数， 所以在上恒成立 所以在上恒成立，所以 17．已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求在区间上的值域. 【详解】（1）函数的定义域是， . 令，解得或. 当x变化时，，的变化情况如下表： 1 2 + 0 0 + 极大值 极小值 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为. （2）由（1）可知在区间内， 当时，取得极小值. 由，，， 得， 所以在区间上的值域为. 18．设函数． (1)求的最小值； (2)若对任意恒成立，求实数m的取值范围； (3)若对任意的，都有，求实数n的取值范围． 【详解】（1）由题意得， ∴的最小值为， 即． （2）记，， 则． 令，得或（舍去）． 当t变化时，，的变化情况如下表所示． t 1 + 0 极大值 ∴在内有最大值． ∵对任意恒成立， ∴对任意恒成立， ∴，∴． ∴实数m的取值范围为． （3）∵， ∴． 令，得或（舍去）． 当时，，递增； 当时，，递减， ∴当时，． 令，，则． 由题意可知， 解得． ∴实数n的取值范围为． 19．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)设，当时，对任意的，总存在，使，求实数m的取值范围． 【详解】（1）由题意得． 当时，由，得， 所以当时，； 当时，， 因此，当时，函数在上单调递减，在上单调递增． 当时，由，得， 所以当时，； 当时，， 因此，当时，函数在上单调递减，在上单调递增． （2）当时，由（1）知，函数在上单调递减， 所以当时，． 对任意的，总存在，使等价于，恒成立， 则，恒成立， 即，恒成立． 令， 则． 令，得， 所以当时，； 当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，， 因此． 故实数m的取值范围是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 导数及其应用（B综合卷） 姓名______ 班级______ 考号______ 1、 单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1．设是定义在R上的可导函数，若（a为常数），则（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，则（    ） A． B．12 C．13 D． 3．已知曲线在处的切线斜率为2，则（    ） A． B．18 C． D．8 4．函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 5．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．函数的极小值为（   ） A． B． C． D．不存在 7．已知函数若过点存在条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数及其导函数在定义域均为且是偶函数，其函数图象为不间断曲线且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 10．如图是函数的导函数的图象，则以下说法正确的为（　　） A．是函数的极值点 B．函数在处取最小值 C．函数在处切线的斜率小于零 D．函数在区间上单调递增 11．已知函数，下列选项正确的是（    ） A．若在区间上单调递减，则a的取值范围为 B．若在区间上有极小值，则a的取值范围为 C．当时，若经过点可以作出曲线的三条切线，则实数m的取值范围为 D．若曲线的对称中心为，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 13．若函数满足，则 . 14．已知函数，若在处取得极值，不等式对恒成立，则实数的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知函数． (1)若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值； (2)求函数的单调区间． 16．（15分） 已知函数 (1)若，求函数在区间上的最大值； (2)若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围． 17．（15分） 已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求在区间上的值域. 18．（17分） 设函数． (1)求的最小值； (2)若对任意恒成立，求实数m的取值范围； (3)若对任意的，都有，求实数n的取值范围． 19．（17分） 已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)设，当时，对任意的，总存在，使，求实数m的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$