精品解析：湖南省常德市中等职业学校2024-2025学年高三上学期对口升学联考数学试题

2024年常德市中等职业学校对口升学联考 数学试题 本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页.时量120分钟，满分120分. 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1. 设全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集与补集的定义，计算即可 【详解】全集，集合，， 所以， 所以． 故选：A． 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分必要条件判断即可. 【详解】因为，所以或，故充分性不成立， 当时，成立，故必要性成立. 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 若直线与直线平行，则（ ） A. B. 2 C. －1或2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行的条件即可求解. 【详解】易知， 将直线转换成斜截式为， 所以该直线的斜率为，y轴上的截距为， 将直线转换成斜截式为， 所以该直线的斜率为，y轴上的截距为， 因为两直线平行，所以且， 解得. 故选：A. 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数，对数函数与幂函数单调性求出范围，然后比较大小即可， 【详解】，时为增函数，则，即，则， ，时为增函数，则，即，则， ，幂函数在上为增函数，则，即， 综上， 故选：D. 5. 设平面向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量线性运算的坐标表示直接计算即可. 【详解】因为，， 若，则，解得， 所以，， 则， 故选：D. 6. 下列函数中，为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用奇偶函数的判定方法，逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】对于A，的定义域为，但，则不是奇函数，故错误； 对于B，的定义域为，但不恒成立（当且仅当时成立），则不是奇函数，故错误； 对于C，的定义域为，为非奇非偶函数，故错误； 对于D，的定义域为，且，则为奇函数，故正确. 故选：D. 7. 已知角终边上的一点P的坐标，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义、诱导公式求解即可. 【详解】角终边上的一点P的坐标， . 由诱导公式，. 故选：D. 8. 已知表示两条不同的直线，表示平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与平面的位置关系以及直线与直线的位置关系求解即可. 【详解】若，，则或者与异面，选项A错误. 若，则与可以平行，不一定垂直，选项B错误. 若，则或者，选项C错误. 若，根据线面垂直的性质定理，则，选项D正确. 故选：D. 9. 在正项递增等比数列中，，，则数列的公比为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据，求解的值，再根据等比数列的通项公式即可求出公比的值. 【详解】已知，， 根据等比数列的性质可知， 则有，因为为正项递增等比数列， 所以解得， 所以. 故选：B. 10. 函数在上是单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数单调性和奇偶性,列出不等式求解. 【详解】因为,函数为奇函数,所以, 所以, 因为函数是单调递减,得,解得. 故选:D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 将三封信随机投入三个邮筒，则事件“每个邮筒恰有一封信”的概率是______. 【答案】 【解析】 【分析】先求三封信随机投入三个邮筒有几种可能，再求每个邮筒恰有一封信的可能，作比值即可. 【详解】三封信随机投入三个邮筒有种可能； 每个邮筒恰有一封信种可能， 则三封信随机投入三个邮筒，则事件“每个邮筒恰有一封信”的概率是； 故答案为：. 12. 已知，且是第四象限的角，则的值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据同角三角函数的关系，结合二倍角公式即可求解. 【详解】由题意可知，则， 因为是第四象限的角， 所以，则， 故答案为：. 13. 将一个底面半径为2cm，高为1cm的铸铁圆锥熔成一个铁球，这个铁球的表面积是______. 【答案】 【解析】 【分析】由圆锥的体积和球的体积相等求出球的半径，再利用球的表面积公式计算即可得解. 【详解】设球的体积为r，由体积相等得 ，解得， 所以铁球的表面积是. 故答案为：. 14. 若直线是圆的对称轴，则实数的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合圆的对称性，易得圆心在直线上，根据圆的方程求出圆心坐标，代入直线方程，即可求解． 【详解】由圆的方程可得， 所以圆心坐标为， 因为直线是圆的对称轴， 所以圆心在直线上，代入圆心坐标得， 解得． 故答案为：． 15. 中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美、和谐美，如图所示的太极图.定义：若函数的图象是一条连续不断的曲线，且该曲线同时平分圆的周长和面积，则称函数为该圆的“完美函数”.写出圆心在坐标原点的圆的一个“完美函数”______. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据“完美函数”的定义写出符合要求的函数即可得解. 【详解】根据题意“完美函数”能图象是一条连续不断的曲线，且该曲线同时平分圆的周长和面积， 所以圆心在坐标原点时，“完美函数”一定为奇函数， 则符合题意的一个“完美函数”为. 故答案为：（答案不唯一）. 三、解答题（本大题共7小题，其中，第21、22小题为选做题.满分 60分，解答应写出文字说明或演算步骤.） 16. 已知等差数列中，，. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件列出方程组求出，进而求出通项公式. （2）先求出数列的通项公式，再利用等比数列的前项和公式求解即可． 【小问1详解】 设等差数列的公差为，因为，， 所以，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得， ，， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以数列的前项和. 17. 从4名男生和3名女生中任选取3人参加数学竞赛，用变量表示所选3人中女生的人数 （1）求X的分布列； （2）求“所选3人中女生人数”的概率. 【答案】（1）分布列见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题目信息可得服从参数的超几何分布，的可能取值，接下来分别求出对应的概率，进而列出分布列即可； （2）根据题目信息可得，接下来进行计算即可. 【小问1详解】 因为总共选3人，女生有3名，所以的可能取值为. ：即所选3人都是男生的概率. 从4名男生中选3人的组合数为，从7人中选3人的组合数为. . ：即所选3人中有1名女生2名男生的概率. 从3名女生中选1人的组合数为，从4名男生中选2人的组合数为， 则. ：即所选3人中有2名女生1名男生的概率. 从3名女生中选2人的组合数为，从4名男生中选1人的组合数为， 则. ：即所选3人都是女生的概率. 从3名女生中选3人的组合数为， 则. 故X的分布列为： 0 1 2 3 【小问2详解】 由（1）的分布列可知， . 18. 如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为中点. （1）求证：平面； （2）求证：. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接，设与交于点， 连接， 可得， 即可证明平面. （2）由底面是菱形， 得， 又底面， 可得， 可得平面，再利用线面垂直的性质可证. 【小问1详解】 如图， 连接，设与交于点， 连接， 底面是菱形， 为中点， 又因为是的中点， ， 平面，平面 平面． 【小问2详解】 底面是菱形， ， 底面，底面， ，且，平面． 平面． 平面， ． 19. 已知函数且 （1）求函数的定义域； （2）若，求的取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据0和负数无对数，列不等式求解即可. （2）根据对数函数的单调性确定底数的取值. 【小问1详解】 要使函数有意义， 必须有，即， 则， ∴ ， ∴函数的定义域为. 【小问2详解】 已知函数， ∵ ，即， 所以为减函数， ∴. 20. 已知双曲线的实轴长为，且过点， （1）求双曲线C的方程. （2）若是双曲线C上不同的两点，且直线的斜率为，线段的中点为P，证明：点P在直线上. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据实轴长，可求得a的值，将已知点代入双曲线方程，即可求得b的值，继而求解； （2）根据题意，可利用点差法，结合中点坐标公式，表示出斜率，继而代入化简，即可得出结论． 【小问1详解】 根据题意可得，则， 将，点代入，即， 解得， 所以双曲线C的方程为； 【小问2详解】 由题意，设，，则，即， 两式相减得 因为线段的中点为P，设，则， 所以，即， 因为直线的斜率为，即， 所以，即， 所以点P在直线上． 选做题：请考生在第21题、22题中选择一题作答，如果两题都做，则按所做的的第21题计分.作答时，请写清题号. 21. 在中，为锐角，角所对的边分别为，且，. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2），， 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数基本关系式求出，结合两角和差的余弦公式即可得解. （2）根据正弦定理结合题意求出，利用余弦定理即可得解. 【小问1详解】 因为在中，为锐角，且，， ，， ， 因为，. 【小问2详解】 因为，，， ，又，，， 又， ， . 22. 已知甲、乙两煤矿的年产量分别为200万吨和100万吨，两矿生产的煤需经过A，B两个车站运往外地，若A，B两个车站都最多能接受160万吨，甲乙两个煤矿运往A，B两个车站的运输价格如下表所示，若两个煤矿的煤要全部运出，则如何安排运输方案，可使运费最低？并求出最低运费. 车站A的运输价格（元/万吨） 车站B的运输价格（元/万吨） 煤矿甲 10 7 煤矿乙 8 6 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】根据题意得到目标函数与约束条件，利用线性规划的图解法求得的最小值及对应的取值，从而得解. 【详解】设甲、乙两煤矿经A车站运往外地的煤分别有万吨，总运费为万元， 则经B车站运往外地的煤有分别有和万吨， 则目标函数为， 则满足约束条件，即， 作出约束条件所表示的可行域，如图， 由图可知，当目标函数经过点时，取得最小值， 联立，解得，即， 所以， 所以甲、乙两煤矿经A车站运往外地的煤分别为40和100万吨， 经B车站运往外地的煤分别为160和0万吨时，运费最少，运费最少为2320万元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年常德市中等职业学校对口升学联考 数学试题 本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页.时量120分钟，满分120分. 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1. 设全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若直线与直线平行，则（ ） A. B. 2 C. －1或2 D. 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 设平面向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列函数中，为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知角终边上的一点P的坐标，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知表示两条不同的直线，表示平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 9. 在正项递增等比数列中，，，则数列的公比为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 函数在上是单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 将三封信随机投入三个邮筒，则事件“每个邮筒恰有一封信”的概率是______. 12. 已知，且是第四象限的角，则的值为______. 13. 将一个底面半径为2cm，高为1cm的铸铁圆锥熔成一个铁球，这个铁球的表面积是______. 14. 若直线是圆的对称轴，则实数的值为______. 15. 中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美、和谐美，如图所示的太极图.定义：若函数的图象是一条连续不断的曲线，且该曲线同时平分圆的周长和面积，则称函数为该圆的“完美函数”.写出圆心在坐标原点的圆的一个“完美函数”______. 三、解答题（本大题共7小题，其中，第21、22小题为选做题.满分 60分，解答应写出文字说明或演算步骤.） 16. 已知等差数列中，，. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 17. 从4名男生和3名女生中任选取3人参加数学竞赛，用变量表示所选3人中女生的人数 （1）求X的分布列； （2）求“所选3人中女生人数”的概率. 18. 如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为中点. （1）求证：平面； （2）求证：. 19. 已知函数且 （1）求函数的定义域； （2）若，求的取值范围 20. 已知双曲线的实轴长为，且过点， （1）求双曲线C的方程. （2）若是双曲线C上不同的两点，且直线的斜率为，线段的中点为P，证明：点P在直线上. 选做题：请考生在第21题、22题中选择一题作答，如果两题都做，则按所做的的第21题计分.作答时，请写清题号. 21. 在中，为锐角，角所对的边分别为，且，. （1）求的值； （2）若，求的值. 22. 已知甲、乙两煤矿的年产量分别为200万吨和100万吨，两矿生产的煤需经过A，B两个车站运往外地，若A，B两个车站都最多能接受160万吨，甲乙两个煤矿运往A，B两个车站的运输价格如下表所示，若两个煤矿的煤要全部运出，则如何安排运输方案，可使运费最低？并求出最低运费. 车站A的运输价格（元/万吨） 车站B的运输价格（元/万吨） 煤矿甲 10 7 煤矿乙 8 6 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $