第一章 数列（B单元重点综合卷）-2024-2025学年高二数学单元速记·巧练（北师大版2019选择性必修第二册）

第1章 数列（B综合卷） 姓名______ 班级______ 考号______ 1、 单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1．在等比数列中，若，则（    ） A． B． C．16 D．32 2．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 3．若数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 4．数列中，已知对任意自然数，，则等于（   ） A． B． C． D． 5．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地，则此人后3天共走的里程数为（   ） A．6 B．18 C．28 D．42 6．设数列的前n项和为，已知，，若，则正整数k的值为（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 7．已知数列满足，且，记数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D．2 8．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前项和，则下列结论正确的为（   ） A． B． C． D． 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知是等差数列的前项和，，且，则（    ） A．公差 B． C． D．时，最大 10．已知数列是首项为1，公比为3的等比数列，则（    ） A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等比数列 D．是等比数列 11．若数列满足，，数列的前项和为，且，则（   ） A． B．是等比数列 C．数列的前项和 D． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知递减等差数列，，是方程两个实根，当时， . 13．已知数列是等差数列，，公差，为其前项和，满足，则当取得最大值时， ． 14．南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，二阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列．现有二阶等差数列，其前5项分别为1，3，6，10，15，设数列的前n项和为，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 在数列中，，且 (1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)求数列的前项和． 16．（15分） 已知数列是递增的等比数列，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 17．（15分） 已知为等差数列，为等比数列，，，. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和为； (3)若的前项和为，求证：. 18．（17分） 已知数列对于任意的均有；数列的前项和为，且，． (1)求数列，的通项公式； (2)令为数列的前项和，且恒成立，求的最大值． 19．（17分） 已知等比数列为单增数列，，是与的等差中项， (1)求 (2)若不等式对恒成立，求的取值范围； (3)项数为的数列满足，，我们将称为n项对称数列，如数列1，2，2，1称为4项对称数列，1，2，3，2，1称为5项对称数列．记数列为项的对称数列，是公差为2的等差数列，数列的最大项为，记前项的和为，，求k的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 数列（B综合卷） 姓名______ 班级______ 考号______ 1、 单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1．在等比数列中，若，则（    ） A． B． C．16 D．32 【答案】D 【详解】由可得，故，故， 故选：D 2．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】C 【详解】因为是等差数列，所以由得：，即， 又由， 故选：C. 3．若数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为数列的前项和为，且， 则. 故选：C. 4．数列中，已知对任意自然数，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为①， 当时，②， ①-②得，， 又，满足，所以， 所以， 所以. 故选：C. 5．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地，则此人后3天共走的里程数为（   ） A．6 B．18 C．28 D．42 【答案】D 【详解】设第天走里，其中，由题意可知，数列是公比为的等比数列， ， 解得， 所以，此人后三天所走的里程数为． 故选：D． 6．设数列的前n项和为，已知，，若，则正整数k的值为（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【详解】，又， 所以是首项为1，公比为的等比数列， 所以， 故，令 由且，则， 由，则， 则，所以， 故，则正整数的值为2023. 故选：C 7．已知数列满足，且，记数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】，当时，， 两式相减得，， 所以的奇数项是以为首项，4为公差的等差数列，， 当时，，两式相减得，， 所以的偶数项是以5为首项，为公差的等差数列，； 综上可知：， 所以， 设，则， 所以 ， 则. 故选：A 8．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前项和，则下列结论正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，，，，，，故A错误； 当时，，， 上述三式相加可得，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选：D 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知是等差数列的前项和，，且，则（    ） A．公差 B． C． D．时，最大 【答案】BC 【详解】设等差数列的公差为， 由得， 由于，所以，，， 所以A，D选项错误，B选项正确. 因为，故C选项正确. 故选：BC. 10．已知数列是首项为1，公比为3的等比数列，则（    ） A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等比数列 D．是等比数列 【答案】AD 【详解】对于A，由题意得，所以数列是常数列，A正确； 对于B，数列的通项公式为，则， 所以数列是公比为3的等比数列，B错误； 对于，所以数列是公差为1的等差数列，C错误； 对于D，，所以数列是公比为9的等比数列，D正确， 故选：AD. 11．若数列满足，，数列的前项和为，且，则（   ） A． B．是等比数列 C．数列的前项和 D． 【答案】CD 【详解】因为，，显然， 所以，又， 所以是首项为，公差为的等差数列，则， 则，则，故A错误； 由，当时，解得， 又时，，则，整理得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，则， 则，所以，所以不是等比数列，故B错误； 由， 所以数列的前项和 ，故C正确； 由，记数列的前项和为， 则， 所以， 所以， 所以，即，故D正确. 故选：CD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知递减等差数列，，是方程两个实根，当时， . 【答案】 【详解】解方程，得和， 又等差数列递减，则，， 数列的公差为， 所以，故. 故答案为：. 13．已知数列是等差数列，，公差，为其前项和，满足，则当取得最大值时， ． 【答案】9或10， 【详解】由可得，化简得，即， 由于，公差，故，，其中, 因此为的最大值， 故答案为：9或10， 14．南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，二阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列．现有二阶等差数列，其前5项分别为1，3，6，10，15，设数列的前n项和为，则 . 【答案】/ 【详解】因为是二阶等差数列， 由题意可得， 故数列是以为公差，为首项的等差数列， 即， 则有时 ,，，，， 则， 即，也适合，故， 故， 则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．在数列中，，且 (1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【详解】（1）由，则且，而， 所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，则， 所以. （2）由（1）知. 16．已知数列是递增的等比数列，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【详解】（1）由可得，又， 故是方程的两个实数根，且 故，进而， 故， （2）由题意得， 故， 因此 17．已知为等差数列，为等比数列，，，. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和为； (3)若的前项和为，求证：. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，可得， 又因为，解得， 所以， 设等比数列的公比为， 因为，可得， 解得，所以. （2）因为， 所以， 则， 两式作差得：， 则，整理. （3）因为的前项和， 则，， 又， 所以. 18．已知数列对于任意的均有；数列的前项和为，且，． (1)求数列，的通项公式； (2)令为数列的前项和，且恒成立，求的最大值． 【详解】（1）因为——① 当时，， 当时，——② 由①—②有：， 所以时，，经检验当时，，符合上式，所以. 因为，，当， 当时，， 又因为， 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以 （2）由（1）可得， 所以 ， 所以， 因为， 令，则， 因为，， 所以当时，数列单调递增；又因为，所以， 即，可得的最大值为10. 19．已知等比数列为单增数列，，是与的等差中项， (1)求 (2)若不等式对恒成立，求的取值范围； (3)项数为的数列满足，，我们将称为n项对称数列，如数列1，2，2，1称为4项对称数列，1，2，3，2，1称为5项对称数列．记数列为项的对称数列，是公差为2的等差数列，数列的最大项为，记前项的和为，，求k的值． 【详解】（1）设数列的公比为q，结合题设有， 所以，解得（负值舍），故； （2）由（1）知：，即， 对于数列，有，故是递减数列， 当为奇数时，，即恒成立，只需； 当为偶数时，，即恒成立，只需； 综上，； （3）由题设，，是末项为8，公差为2的等差数列， 所以，则，故， 所以 ， 整理得，可得或5. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$