复习篇 04 圆的方程【提高复习+自主学习】-2024-- 2025学年高二数学寒假基础讲义（人教A版2019）

04 圆的方程 【题型1】 圆的方程的理解 【基础知识】 1 圆的定义 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径. 2 圆的方程 标准方程 ，圆心，半径为. 一般方程 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·山东威海·期中）已知直线恒过定点，则以为圆心，2为半径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25高二上·广西河池·阶段练习）已知直线平分圆C：的周长，则a＝（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 2（21-22高二上·辽宁锦州·期末）已知方程表示圆，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3（24-25高二上·湖北黄冈·期中）已知实数x，y满足，则的取值范围是（    ） A．[4,10] B．[8,10] C．[4,16] D．[8,16] 【题型2】求圆的方程 【基础知识】 待定系数法 先设后求.确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出；若利用一般方程，需要求出； 直接法 直接把圆心和半径求出.要注意多利用圆的几何性质，如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置. 【经典例题】 【例1】（23-24高二上·吉林·期中）过点，，的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（23-24高二上·浙江·期中）若直线与两坐标轴的交点为，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2（23-24高二上·辽宁·阶段练习）若圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【题型3】点与圆、直线与圆的位置关系 【基础知识】 1 直线、圆的位置关系 三种位置关系 判断直线与圆位置关系的方法 ① 根据与的关系判断(为圆心到直线的距离，为圆的半径) · 相离没有公共点 ; · 相切只有一个公共点 · 相交有两个公共点 ②联立方程求判别式的方法 联立直线方程与圆的方程求解，通过解的个数来判断： · 当 时，直线与圆有个交点，直线与圆相交； · 当时，直线与圆只有个交点，直线与圆相切； · 当 时，直线与圆没有交点，直线与圆相离. 【经典例题】 情况1 切线问题 【例1】（24-25高二上·广东佛山·期中）一条光线从点射出，经直线反射后，与圆相切于点M，则光线从P到M经过的路程为（   ） A．4 B．5 C． D． 【巩固练习】 1（24-25高二上·浙江嘉兴·期中）经过点作圆的切线，则切线方程为（   ） A． B． C． D． 2（24-25高二上·山东青岛·期中）为直线上一点，过总能作圆的切线，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知直线与圆，点，在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，，当取最小值时，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 情况2 角度问题 【例1】（23-24高二上·河南商丘·期末）已知圆关于直线对称，过点分别作圆的两条切线，切点分别为，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（2024·广东河源·模拟预测）已知过作与圆相切的两条直线，，切点分别为，，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）若点P是直线上的一动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A、B，当最小时，的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3（24-25高二上·浙江绍兴·期中）已知圆，直线，点、为圆上的两个动点，若直线上存在点，使得，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 情况3 弦长问题 【例1】（24-25高二上·江苏宿迁·期中）过点引直线与圆相交于两点，为坐标原点，则当面积取最大值时，的斜率为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）若圆被直线截得的弦长为，则等于（   ） A． B． C． D． 2（24-25高二上·浙江·期中）直线：，与圆C：相交弦中最短的弦长为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 3（2024高三·全国·专题练习）若直线与交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4（24-25高二上·山东·期中）若过直线上一点作圆的两条切线，切点为，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【题型5】圆与圆的关系 【基础知识】 1 圆与圆的位置关系 (1) 在同一个平面内，两个不等的圆的位置关系共有五种:外离、外切、相交、内切、内含. 圆心距：两圆圆心的距离叫做圆心距. (2) 设两圆与圆的圆心距为，半径分别为，()，则有 位置关系 交点个数 关系式 图示 外离 没有公共点 外切 有唯一的公共点 相交 有两个公共点 内切 有唯一的公共点 内含 没有公共点 注 当两圆相切时分为两种情况：外切和内切. 2 判断两个圆位置关系的方法 (1) 几何法 通过判断圆心距与两个圆半径之间的关系从而确定两个圆的位置关系. (2) 代数法 设由两圆的方程组成的方程组为， 由此方程组得：有两组不同的实数解则两圆相交；有两组相同的实数解则两圆相切；无实数解则两圆相离． 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·贵州铜仁·阶段练习）圆，圆，则圆与（   ） A．外离 B．有3条公切线 C．关于直线对称 D．公共弦所在直线方程为 【巩固练习】 1（24-25高二上·河南驻马店·期中）若圆与圆交于A，B两点，则弦长为（   ） A． B． C．2 D．4 2（24-25高二上·云南·期中）已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 3（24-25高二上·吉林长春·期中）已知圆，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于两点，则下列结论错误的是（    ） A．直线的方程为 B． C．均与圆相切 D．四边形的面积为 【A组---基础题】 1（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）以为圆心，且经过点的圆的一般方程为（   ） A． B． C． D． 2（23-24高二上·天津南开·期中）已知点，，，则外接圆的方程是（    ）． A． B． C． D． 3（24-25高二上·青海西宁·阶段练习）圆与圆的位置关系为（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 4（24-25高二上·江苏镇江·期中）过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 5（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）过的直线交圆O：于.M，N两点，若，则（   ） A． B． C． D． 6（24-25高二上·河南郑州·期中）若直线与圆相交于两点，则（    ） A． B． C． D． 7（24-25高二上·广西·期中）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A．] B． C． D． 8（24-25高二上·重庆·期中）圆，是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，，那么的最小值是（   ） A． B． C． D．4 9（24-25高二上·四川南充·期中）已知点是圆上的动点，则下面说法正确的是（   ） A．圆的半径为2 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为5 10（24-25高二上·湖北·期中）已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线距离的最大值（    ） A． B． C． D． 11（多选）（24-25高二上·河南郑州·期中）已知圆与圆，则下列结论正确的是（    ） A．两圆相切 B．两圆的公共弦所在的直线方程为 C．两圆的公切线有两条 D．两圆的公共弦长为 【B组---提高题】 1（24-25高二上·吉林长春·期中）已知点是圆上的两个动点，点是直线上动点，且，下列说法正确的是（   ） A．圆上恰有一个点到直线的距离为 B．长的最小值为 C．四边形面积的最小值为2 D．直线恒过定点 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 04 圆的方程 【题型1】 圆的方程的理解 【基础知识】 1 圆的定义 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径. 2 圆的方程 标准方程 ，圆心，半径为. 一般方程 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·山东威海·期中）已知直线恒过定点，则以为圆心，2为半径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出定点，再根据圆心和半径写出圆的方程即可. 【详解】由直线，得， 令，解得，即， 所以所求圆的方程为. 故选：C. 【巩固练习】 1（24-25高二上·广西河池·阶段练习）已知直线平分圆C：的周长，则a＝（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】求出圆心坐标，利用点在直线上求出值. 【详解】圆C：的圆心，由直线平分圆C：的周长， 得直线过圆C的圆心，即，所以． 故选：A 2（21-22高二上·辽宁锦州·期末）已知方程表示圆，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据解不等式即可. 【详解】由题意得，即，解得或， 所以k的取值范围是， 故选：C. 3（24-25高二上·湖北黄冈·期中）已知实数x，y满足，则的取值范围是（    ） A．[4,10] B．[8,10] C．[4,16] D．[8,16] 【答案】C 【分析】由方程确定圆心和半径，进而得到圆上点到原点距离范围，根据表示圆上点到原点距离的平方求范围. 【详解】将化为，即圆心为，半径为3， 由表示圆上点到原点距离的平方，而圆心到原点的距离为1， 又在圆内， 所以圆上点到原点距离范围为，故的取值范围是. 故选：C 【题型2】求圆的方程 【基础知识】 待定系数法 先设后求.确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出；若利用一般方程，需要求出； 直接法 直接把圆心和半径求出.要注意多利用圆的几何性质，如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置. 【经典例题】 【例1】（23-24高二上·吉林·期中）过点，，的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由弦的垂直平分线确定圆心坐标，求得半径即可. 【详解】由题意圆心在的垂直平分线上即：， 也在的垂直平分线上即：， 所以圆心坐标为：，， 所以圆的标准方程为：， 故选：A 【巩固练习】 1（23-24高二上·浙江·期中）若直线与两坐标轴的交点为，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点坐标写出以为直径的圆的方程即可. 【详解】直线与两坐标轴的交点为， 则， 则以为直径的圆半径为，圆心即为中点坐标为， 所以以为直径的圆的方程为， 化简得：. 故选：A 2（23-24高二上·辽宁·阶段练习）若圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用待定系数法设出圆的标准方程，结合题意计算即可得. 【详解】设该圆方程为， 则圆心为，有， 将点，代入， 有，化简得， 两式相减得，即有，则， ， 故该圆方程为. 故选：B. 【题型3】点与圆、直线与圆的位置关系 【基础知识】 1 直线、圆的位置关系 三种位置关系 判断直线与圆位置关系的方法 ① 根据与的关系判断(为圆心到直线的距离，为圆的半径) · 相离没有公共点 ; · 相切只有一个公共点 · 相交有两个公共点 ②联立方程求判别式的方法 联立直线方程与圆的方程求解，通过解的个数来判断： · 当 时，直线与圆有个交点，直线与圆相交； · 当时，直线与圆只有个交点，直线与圆相切； · 当 时，直线与圆没有交点，直线与圆相离. 【经典例题】 情况1 切线问题 【例1】（24-25高二上·广东佛山·期中）一条光线从点射出，经直线反射后，与圆相切于点M，则光线从P到M经过的路程为（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】求出关于直线的对称点，然后计算点引出的切线长即可. 【详解】设关于直线的对称点为，则光线反射后经过的路径所在的直线即为直线. 根据的定义，有到直线的距离相等，且其连线与其垂直， 故，. 从而，，故，即或. 但不重合，故，所以，从而，即. 而，，故. 根据对称性，光线经过的路程即为. 故选：C. 【巩固练习】 1（24-25高二上·浙江嘉兴·期中）经过点作圆的切线，则切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出直线方程后，结合切线定义与点到直线的距离公式计算即可得. 【详解】易知切线斜率存在，设该切线方程为，即， 则有，化简得，故， 故该切线方程为，即. 故选：C. 2（24-25高二上·山东青岛·期中）为直线上一点，过总能作圆的切线，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，直线与圆相切或相离，利用圆心到直线的距离列不等式求的最小值. 【详解】由题意，点为直线上一点，过总能作圆的切线， 可得直线与圆相切或相离， 则满足圆心到直线的距离，解得，即， 所以的最小值为. 故选：D. 3（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知直线与圆，点，在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，，当取最小值时，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由切线长公式知当时，最小，结合点到直线距离公式求得的最小值，然后作关于直线的对称点，可知当点为直线与的交点时，最小，由对称知此时与重合，从而易得最小值． 【详解】，所以当时，最小， 由点到直线的距离公式可得此时 ， 过作直线的对称点，再连接，与直线的交点即为所找的点， 由于关于直线对称，，与关于直线对称， 因此与就是同一条直线，即点就是点， 所以的最小值等于， 故选：C． 情况2 角度问题 【例1】（23-24高二上·河南商丘·期末）已知圆关于直线对称，过点分别作圆的两条切线，切点分别为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知直线过圆心，代入解得，再根据切线性质可得，结合倍角公式运算求解. 【详解】圆可化为． 可知圆心为，半径， 因为圆关于对称，即直线过圆心， 则，解得， 可得，且， 所以． 故选：D． 【巩固练习】 1（2024·广东河源·模拟预测）已知过作与圆相切的两条直线，，切点分别为，，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据圆的方程确定圆心、半径，根据及已知求得，进而列方程求参数值. 【详解】圆化为，则圆心，半径，    由题意，知，解得（负值舍去）， 在中，且，所以，解得， 故选：D 2（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）若点P是直线上的一动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A、B，当最小时，的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用圆切线的性质，将问题化为求最小，再由点线距离公式、三角函数定义、倍角公式求的余弦值. 【详解】由题设，可画如下示意图，其中，且， 要使最小，即最小，而， 若，则，此时，故. 故选：C 3（24-25高二上·浙江绍兴·期中）已知圆，直线，点、为圆上的两个动点，若直线上存在点，使得，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取中点为，连，CE，分析可得当共线时，有最大值，结合圆的对称性与正弦定理可得，即，转化为圆心到直线的距离即可得的取值范围，即可得所求. 【详解】如图，取中点为，连，CE，    已知，圆心，半径， 则当共线时，有最大值， 因为，则此时， 又由正弦定理得，故， 所以当的时，， 由于点在直线上，所以圆心到直线的距离， 整理解得， 故的最大值为. 故选：D. 情况3 弦长问题 【例1】（24-25高二上·江苏宿迁·期中）过点引直线与圆相交于两点，为坐标原点，则当面积取最大值时，的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，求出圆心到直线的距离，再由几何法求出弦长，表示出三角形面积，再令，结合二次函数的性质求出即可； 【详解】 由题意可得，直线的斜率存在，设为， 则， 点到直线的距离为， 弦长， 所以， 令，则， 所以， 当时取等号，此时， 故选：A. 【巩固练习】 1（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）若圆被直线截得的弦长为，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用几何法可表示弦长，解方程即可. 【详解】由已知圆，即（）， 圆心，半径， 圆心到直线的距离， 则弦长，所以， 解得. 故选：C. 2（24-25高二上·浙江·期中）直线：，与圆C：相交弦中最短的弦长为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】求出直线所过的定点，结合点到直线的距离公式求出最短的弦长. 【详解】直线：过定点，圆C：的圆心，半径， 则，点在圆内，当且仅当时，直线与圆相交所得弦长最短， 所以最短的弦长为. 故选：B 3（2024高三·全国·专题练习）若直线与交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出直线过的定点以及圆的圆心和半径，根据弦长问题可求得最值. 【详解】第1步：求解直线恒过的定点及圆的圆心、半径， 直线的方程可化为，故恒过定点， 又的圆心，半径为4．   ， 第2步：求解直线与圆相交的弦长， 点到圆心的距离为， 故在的内部，如图，设到的距离为，则， 第3步：判断弦长最小时的位置，并求解 要使最小，只需最大， 当时，有最大值，且， 故的最小值为． 故选：C. 4（24-25高二上·山东·期中）若过直线上一点作圆的两条切线，切点为，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆的几何性质，将化为，再求得两点间距离的最小值，进而求得的最小值. 【详解】圆的圆心，半径 四边形中，， 则，整理得， 又， 最小值即为圆心到直线的距离， 则 故选：D 【题型5】圆与圆的关系 【基础知识】 1 圆与圆的位置关系 (1) 在同一个平面内，两个不等的圆的位置关系共有五种:外离、外切、相交、内切、内含. 圆心距：两圆圆心的距离叫做圆心距. (2) 设两圆与圆的圆心距为，半径分别为，()，则有 位置关系 交点个数 关系式 图示 外离 没有公共点 外切 有唯一的公共点 相交 有两个公共点 内切 有唯一的公共点 内含 没有公共点 注 当两圆相切时分为两种情况：外切和内切. 2 判断两个圆位置关系的方法 (1) 几何法 通过判断圆心距与两个圆半径之间的关系从而确定两个圆的位置关系. (2) 代数法 设由两圆的方程组成的方程组为， 由此方程组得：有两组不同的实数解则两圆相交；有两组相同的实数解则两圆相切；无实数解则两圆相离． 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·贵州铜仁·阶段练习）圆，圆，则圆与（   ） A．外离 B．有3条公切线 C．关于直线对称 D．公共弦所在直线方程为 【答案】D 【分析】A选项，求出圆心距和半径之和，半径之差相比得到两圆相交；B选项，根据相交得到公切线条数为2；C选项，求出两圆关于直线对称；D选项，两圆相减得到公共弦所在直线方程. 【详解】A选项，的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为， 故圆心距为， 由于，故，故两圆相交，A错误； B选项，由A选项知，两圆相交，故有2条公切线，B错误； C选项，两圆的半径相等，故两圆关于的垂直平分线对称， 其中的中点坐标为， 又，故的垂直平分线的斜率为1， 故两圆关于直线对称，即关于对称， 不关于对称，C错误； D选项，圆与圆相减得， 故公共弦所在直线方程为，D正确. 故选：D 【巩固练习】 1（24-25高二上·河南驻马店·期中）若圆与圆交于A，B两点，则弦长为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】首先求出圆心坐标和半径.然后通过两圆方程相减得到公共弦所在直线方程，再根据圆心到直线的距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后利用勾股定理求出弦长. 【详解】圆，圆心，半径. 圆，圆的圆心，半径. 两圆方程相减可得：，化简得，即，此为公共弦所在直线方程. 求圆心到直线的距离. 根据勾股定理，弦长的一半，已知，，则，所以. 故选：B. 2（24-25高二上·云南·期中）已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两圆方程相减后可得公共弦的方程. 【详解】由题设公共弦的方程为：， 整理得到：即， 故选：B. 3（24-25高二上·吉林长春·期中）已知圆，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于两点，则下列结论错误的是（    ） A．直线的方程为 B． C．均与圆相切 D．四边形的面积为 【答案】D 【分析】对于A，将圆的方程化为标准方程，求解出圆心的坐标，则圆的标准方程可求，最后化为一般方程再联立两个圆的一般方程，通过相减消去得到直线的方程并判断；对于B，利用弦长公式即可判断；对于C，根据切线的定义进行判断；对于D，根据结合线段长度求解出结果并判断. 【详解】由圆，得， 则圆心，半径， 线段的中点坐标为，且， 则圆，即. 对于选项A：联立，两式作差可得：， 即直线的方程为，故A正确； 对于选项B：圆心到直线的距离为， 则，故B正确； 对于选项C：因为在以为直径的圆上，则， 由圆心与切点的连线与切线垂直，可得均与圆相切，故C正确； 对于选项D：因为，且， 则， 所以四边形的面积为，故D错误． 故选：D． 【A组---基础题】 1（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）以为圆心，且经过点的圆的一般方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点间的距离公式求出圆的半径，结合圆的标准方程与一般方程之间的转化，即可求解. 【详解】由题意得，圆的半径， 所以圆的标准方程为， 所以圆的一般方程为． 故选：D. 2（23-24高二上·天津南开·期中）已知点，，，则外接圆的方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件可得是直角三角形，求出圆的圆心与半径，写出圆的标准方程即可． 【详解】由题 得是直角三角形，且， 所以圆的半径为，圆心为， 所以外接圆的方程为. 故选：B. 3（24-25高二上·青海西宁·阶段练习）圆与圆的位置关系为（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】B 【分析】根据圆和圆的位置关系判断可得答案. 【详解】由题意知，两圆的圆心分别为， 圆心距为， 两圆的半径分别为2，3， 由于 ， 所以两圆相交. 故选：B. 4（24-25高二上·江苏镇江·期中）过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆E的方程可得圆心E的坐标，将P点的坐标代入圆的方程，可得P点在圆上，求出直线PE的斜率，得到过P点的切线的斜率，再求出过P点的切线方程. 【详解】由圆的方程，可得圆心坐标为， 将的坐标代入圆的方程，得，则点在圆上， 又，所以过点与圆相切的直线的斜率为1， 所以过点的切线方程为，即. 故选：D. 5（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）过的直线交圆O：于.M，N两点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题目条件得到为的中点，由垂径定理得到答案. 【详解】，故为的中点， ，由垂径定理得. 故选：C 6（24-25高二上·河南郑州·期中）若直线与圆相交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得，可得为等边三角形，即可得结果. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 可知，即为等边三角形，所以 . 故选：B. 7（24-25高二上·广西·期中）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A．] B． C． D． 【答案】A 【分析】画出图形，求出直线过定点，数形结合再由圆心到直线的距离等于半径和斜率的定义求解即可； 【详解】曲线即为半圆：， 其图象如图所示， 曲线与轴的交点为，而直线为过的动直线， 当直线与半圆相切时，有，解得， 当直线过时，有， 因为直线与半圆有两个不同的交点，故， 故选：A. 8（24-25高二上·重庆·期中）圆，是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，，那么的最小值是（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】的最小值满足四边形的面积最小，可转化为当最小时满足条件，根据点到直线的距离公式计算，求出，可计算结果. 【详解】圆的圆心，半径为， 如图所示： ， 当最小时四边形面积最小，因为，所以当四边形面积最小时最小， ， 所以只需直线上的动点到的距离最小即可，其最小值为圆心到直线的距离， 此时， . 故选：B 9（24-25高二上·四川南充·期中）已知点是圆上的动点，则下面说法正确的是（   ） A．圆的半径为2 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为5 【答案】B 【分析】对于A：将圆化为标准方程，即可圆心和半径；对于B：分析可知直线与圆有公共点，结合点到直线的距离公式列式求解；对于C：设，可得，结合圆的性质求最值；对于D：分析可知直线与圆有公共点，结合点到直线的距离公式列式求解. 【详解】对于A：， 因此该圆的圆心为，半径为，故A错误； 对于B：因为点是圆：上的动点， 设，可知直线与圆有公共点， 则，解得， 因此的最大值为，故B正确； 对于C：因为，设， 则， 由圆的性质可知：的最小值为， 所以的最小值为，故C错误； 对于D： 令， 可知直线与圆有公共点，则，解得， 所以的最大值为6，故D错误； 故选：B. 10（24-25高二上·湖北·期中）已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线距离的最大值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】假设点，求得以为直径的圆的方程，与已知圆的方程作差可得直线的方程，然后可知直线过定点，最后判断和计算可得结果. 【详解】设，则， 则以为直径的圆的方程为， 与圆的方程相减，得到直线的方程为：， 又，可得，即， 可得，解得，所以直线恒过定点， 点到直线距离的最大值即为点，之间的距离，， 所以点到直线距离的最大值为. 故选：A. 11（多选）（24-25高二上·河南郑州·期中）已知圆与圆，则下列结论正确的是（    ） A．两圆相切 B．两圆的公共弦所在的直线方程为 C．两圆的公切线有两条 D．两圆的公共弦长为 【答案】BC 【分析】根据圆心距与两圆半径的关系判断两圆的位置关系，进而判断两圆相切是否正确；通过两圆方程相减得到公共弦所在直线方程；根据两圆位置关系判断公切线的条数；再利用弦长公式计算公共弦长. 【详解】对于圆，其圆心坐标为，半径. 对于圆，其圆心坐标为，半径. 根据两点间距离公式，圆心距. ，，而，所以两圆相交，故A选项错误. 两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，即，化简得，故B选项正确. 因为两圆相交，所以公切线有两条，故C选项正确. 先求圆心到公共弦的距离， . 根据弦长公式，则弦长，故D选项错误. 故选：BC. 【B组---提高题】 1（24-25高二上·吉林长春·期中）已知点是圆上的两个动点，点是直线上动点，且，下列说法正确的是（   ） A．圆上恰有一个点到直线的距离为 B．长的最小值为 C．四边形面积的最小值为2 D．直线恒过定点 【答案】D 【分析】利用圆心到直线的距离可判断A；利用圆的性质可得切线长，利用点到直线的距离可判断B；由题可得四边形的面积，可判断C；由题可知点在以为直径的圆上，利用两圆方程可得直线的方程，即可判断D. 【详解】A.由题意得，圆心，半径， ∴圆心到直线的距离为， ∵， ∴圆上有两个点到直线的距离为，选项A错误. B. 如图， ∵， ∴， ∴， ∴当最小时，有最小值， 当，即为圆心到直线的距离时，， ∴，选项B错误. C. 由题意得，， ∴四边形面积为：， 由选项B可知，选项C错误. D.设， ∵是圆的切线， ∴点在以为直径的圆上. ∵， ∴以为直径的圆为， 整理得， 与圆方程相减得直线方程为： ， 由得，即直线恒过定点，选项D正确. 故选：D. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$