九年级数学开学摸底考（广州专用，人教版）-2024-2025学年初中下学期开学摸底考试卷

( ) ( ) 2024-2025学年下学期开学摸底考试卷 九年级数学·答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、 单项 选择题（每小题 3 分，共 3 0分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二 、 填空 题（每小题3分，共18分） 11 ． ____________________ 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ 14 ． ____________________ 15 ． ____________________ 16 ． ____________________ 三 、解答题（共72分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 17．（ 4 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（ 4 分） 19．（ 6 分） 20 ．（ 6 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 1 . （ 8 分） 2 2 .（ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 3 ． （ 10分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 23． （ 1 2 分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 5 ． （ 12分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级下学期开学摸底考试卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分 选择题(共30分) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1.已知 2x ＝3y ，则下列比例式成立的是( A ) A. B． C． D . 2.如图所示的几何体的左视图是（　 C 　） A． B． C． D． 3.如图 ，在△ABC中，DE∥BC， AD=6，DB=3，AE=4，则 EC 长( B ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.如图，A是某公园的进口，B，C，D是三个不同的出口，小明从A处进入公园，那么在B，C，D三个出口中恰好从B出口出来的概率为（　B 　） A. B. C. D. 5. 二次函数y＝2x2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式（　C　） A．y＝2(x+2)2+3 B．y＝2(x+2)23 C．y＝2(x2)23 D．y＝2(x2)2+3 6. 某商品经过连续两次涨价，销售单价由原来 162元涨到 200元，设平均每次涨价的百分比为x，根据题意可列方程为( D ) A.200(1－x)2 ＝162 B.200(1＋x)2 ＝162 C. 162(1－x)2 ＝200 D .162(1＋x)2 ＝200 7..2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为（　A　） A.a sin θ B. C.a cos θ D. 第7题图 第8题图 第9题图 第10题图 8.如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC=12，BD=16，则OE的长为（　C　） A．2 B．2 C．10 D．20 9．如图，△BCD内接于⊙O，点B是的中点，CD是⊙O的直径．若∠ABC＝30°，AC＝5，则BC的长为（　 D　） A．5 B． C． D． 【解答】解：如图，连接AD， ∵CD是⊙O的直径， ∴∠DBC＝∠DAC＝90°， 由圆周角定理得：∠ADC＝∠ABC＝30°， ∴CD＝2AC＝2×5＝10， ∵点B是的中点， ∴＝， ∴BC＝BD＝CD＝5， 故选：D． 10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c( a≠0)的图象与x轴交于点A( 3，0)，与y轴交于点B，对称轴为直线x＝1，下列四个结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③4a2b+c＜0；④ax2+bx≥a+b；其中正确结论的个数为（　B 　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 第二部分 非选择题(共90分) 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. cos60 °= . 12. 已知△ABC与△DEF相似且周长比为 3 ∶5 ，则△ABC与△DEF的相似比为 3 ∶5 . 13. 设x1，x2是关于x的方程x23x+k=0的两个根，且x1=1，则x2=  2 . 14. 如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝(k>0)的图象交于点A(1，2)，B(2，1)．则关于x的不等式ax+b>的解集是 -2<x<0或 x>1 . 15. 如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家．如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径）OA长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点A处离开水面，逆时针旋转150°上升至轮子上方B处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从A处（舀水）转动到B处（倒水）所经过的路程是 　 5π 　米．（结果保留π） 【解答】解：由题意得：＝5π（米）， ∴水斗从A处（舀水）转动到B处（倒水）所经过的路程是5π米， 故答案为：5π． 14． 如图，在矩形ABCD中，AD=13，CD=12，点E，F分别在BC，CD上，BE=5，CF=6，若点G是AE的中点，H是BF的中点，连接GH，则GH的长为 5 . . 三、解答题（本题共9小题，共72分。 解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分4分）解方程: x2+6x－7=0. 解：x2+6x－7=0； ∴(x+7)(x－1)=0 ∴x+7=0或x－1=0 ∴x1=-7，x2=1； 18．（本小题满分4分）如图，在平面直角坐标系中，网格中每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点A、B、C的坐标分别为A(4，1)，B(2，0)，C(1，2)．以原点O为位似中心在y轴右侧画出△A′B′C′，使它与△ABC位似，且△A′B′C′与△ABC的相似比2：1；（点A′、B′、C′分别与点A、B、C对应） 解：如图，△A′B′C′即为所求； 19. （本小题满分6分）近段时间，某个农场的125亩草莓迎来了冬季采摘期，该农场以优良的生态环境为基础，采用蜜蜂自然授粉的方式，提升草莓的产量和品质使得草莓香甜可口，果实饱满，吸引了不少游客前往采摘．某农户承包了一块矩形土地，建立了三个草莓种植大棚，其布局如图所示，其中AD=52米，AB=30 米，阴影部分规划为大棚种植草莓，其余部分是等宽的通道．若三个大棚的面积是1400m2，求道路的宽度； 解：（1）设通道的宽为x米，根据题意得： (522x)(302x)=1400， 解得x1=40（舍去）或x2=1， 答：通道的宽为1米； 20．（本小题满分6分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，延长BE至点F，使得BE=EF， 求证：四边形ADCF是菱形； 证明：∵E是AD的中点，∴AE=DE， 又∵BE=EF，∠AEF=∠DEB， ∴△AEF≌△DEB（SAS） ∴AF=DB，∠AFE=∠DBE ，∴AF//DB ∵又D是BC的中点，∴DB=DC，∴AF=DC ∴四边形ADCF是平行四边形 ∵∠BAC=90°，D是BC的中点， ∴AD= = CD ∴四边形ADCF是菱形 21．（本小题满分8分）某校准备开展“行走的课堂，生动的教育”研学活动，并计划从博物馆、动物园、植物园、海洋馆（依次用字母A，B，C，D表示）中选择一处作为研学地点．为了解学生的选择意向，学校随机抽取部分学生进行调查，整理绘制了如图所示，不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）此次接受随机抽样调查的人数是 　 　人；并补全条形统计图； （2）该校共有2000名学生，请你估计该校有多少名学生想去海洋馆？ （3）该校甲、乙两位同学分别从博物馆、动物园、植物园、海洋馆中选择一处作为研学地点，请利用树状图或列表法求他们恰好选中同一处研学地点的概率． 【解答】解：（1）此次接受随机抽样调查的人数38÷19%＝200（人）， D组人数为200﹣30﹣52﹣38＝80（人）； 补全条形统计图如图： 故答案为：200； （2）2000×＝800（名）， 答：估计该校有800名学生想去海洋馆； （3）根据题意，列表如下： A B C D A AA BA CA DA B AB BB CB DB C AC BC CC DC D AD BD CD DD 共有16种等可能的结果，其中他们恰好选中同一处研学地点的结果有4种， 所以他们恰好选中同一处研学地点的概率为＝． 22．（本小题满分10分）【学科综合】 我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象(如图1)，我们把n＝称为折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）． 【观察实验】 为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，即通过细管MN可以看见水底的物块C，但不在细管MN所在直线上，图3是实验的示意图，四边形ABFE为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得BF＝12cm，DF＝16cm． （1）求入射角α的度数． （2）若BC＝7cm，求光线从空气射入水中的折射率n． （参考数据：，，） .解：（1）如图：过点D作DG⊥AB，垂足为G， 由题意得：四边形DGBF是矩形， ∴DG＝BF＝12cm，BG＝DF＝16cm， 在Rt△DGB中，tan∠BDG＝＝＝， ∴∠BDG＝53°， ∴∠PDH＝∠BDG＝53°， ∴入射角α的度数为53°； （2）∵BG＝16cm，BC＝7cm， ∴CG＝BG﹣BC＝9（cm）， 在Rt△CDG中，DG＝12cm， ∴DC＝＝＝15（cm）， ∴sinβ＝sin∠GDC＝＝＝， 由（1）得：∠PDH＝53°， ∴sin∠PDH＝sinα≈， ∴折射率n＝＝＝， ∴光线从空气射入水中的折射率n约为． 23．（本小题满分10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC边为直径作⊙O交AB于点D，连接DO并延长交BC的延长线于点E，点P为BC的中点，连接DP． （1）求证：PD是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为3，∠B＝30°，求PE的长． （1）证明：连接CD， ∵AC为直径， ∴CD⊥AD， ∴∠CDB＝90°， ∵点P为BC的中点， ∴PB＝PD＝PC＝BC， ∴∠B＝∠BDP， ∵OD＝OA， ∴∠A＝∠ODA， ∵∠ACB＝90°， ∴∠B+∠A＝90°， ∴∠BDP+∠ADO＝90°， ∴∠PDE＝180°﹣∠BDP﹣∠ADO＝90°， ∵OD是⊙O的半径， ∴PD是⊙O的切线； （2）解：∵∠BDC＝90°，∠B＝30°， ∴∠PCD＝60°， 由（1）知，PC＝PD， ∴△CDP是等边三角形， ∴PD＝CD，∠BCD＝∠DPE＝60°， ∵∠BDC＝∠PDE＝90°， ∴△BDC≌△EDP（ASA）， ∴PE＝BC， ∵AC＝6， ∴AB＝2AC＝12， ∴BC＝＝6， ∴PE＝BC＝6． 24.（本小题满分12分）数学小组在学习了二次函数后，进一步查阅其相关资料进行学习： 材料一： 新定义：与坐标轴不平行的直线与抛物线有两个交点时，称直线与抛物线相交；直线与抛物线有且只有一个交点时，称直线与抛物线相切，这条直线叫做抛物线的切线，这个交点称作切点；直线与抛物线没有交点时，称直线与抛物线相离． 材料二： 判断：抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m（k≠0）的位置关系联立， 得ax2+(b﹣k)x+cm＝0． 根据一元二次方程根的判别式Δ＝(b﹣k)24a(cm)． ①当Δ＝(b﹣k)24a(cm)＞0时，抛物线与直线有两个交点，则直线与抛物线相交(如图1)． ②当Δ＝(b﹣k)24a(cm)＝0时，抛物线与直线有且只有一个交点，则直线与抛物线相切．直线叫做抛物线的切线，交点叫做抛物线的切点(如图2)． ③当Δ＝(b﹣k)24a(cm)＜0，抛物线与直线没有交点，则直线与抛物线相离(如图3)． 【知识技能】 (1)若直线y＝2x+b与抛物线y＝2x2相交，则b的取值范围是 　 　； 【数学理解】 (2)已知抛物线y＝x22x+4和直线y＝2x3相离，请问抛物线向下平移多少个单位后与直线相切； 【问题解决】 某小区修建完成人工喷泉，人工喷泉中心有一竖直的喷水柱，喷水口为A，数学兴趣小组观察发现，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，其中一条水流落地点为C，兴趣小组将喷泉柱底端标为原点O，喷泉柱所在直线为y轴，OC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．从水流喷出到落下的过程中，水流喷出的竖直高度y ( m )与水流落地点与喷水柱底端的距离x ( m )满足二次函数关系，其表达式为，已知喷水口离喷水柱底端的高度为OA，水流在距OA的水平距离为1米时，达到最大高度，此时离地面米． (3)小区现要进行喷泉亮化工作，拟安装射灯，要求射灯发出的光线与地面的夹角为45°，并且射灯发出的光线恰好不穿过下落的水流，请问射灯安装在什么位置，符合安装要求． 解：（1）n> ∵把y＝2x+n与y＝2x2联立方程组，得2x22xn＝0， ∵直线y＝2x+n与抛物线y＝2x2相交，∴Δ＝4+8n>0，解得n>， （2）设抛物线y＝x22x+4向下平移c个单位后与直线y＝2x+3相切 则平移后的抛物线表达式为y＝x22x+4c 把y＝2x3与y＝x22x+4c联立方程组， 得x2﹣4x+7c＝0， ∵Δ＝164(7c)＝1628+4c＝0， 解得c=3 ∴抛物线y＝x22x+4向下平移3个单位后与直线y＝2x3相切 （3）由题意得，顶点坐标（1，） ∴设抛物线表达式为 图像经过(0，)， ∴ ∴-1 ∴ 设射灯发出的光线与y轴交于D， ∵Rt△OBD中，∠OBD＝45°，∴OD=OB， 设B（m，0），则D（0，m）， 设直线BD的解析式为y＝ax+c，∴，∴， ∴直线BD的解析式为y＝x+m， ∵射灯发出的光线恰好不穿过下落的水流， ∴直线BD与抛物线相切， ∴Δ＝(2﹣4（m）＝0，m＝4 解得m＝4，∴OB＝4米， 答：射灯安装距离喷泉柱底端4米处． 25．（本小题满分12分）如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC、OA分别在坐标轴上，且OA＝3，OC=6，反比例函数的图象与AB、BC分别交于点D、E，连结DE． （1）如图2，连结OD、OE，当△OAD的面积为2时： ①k＝　 　； ②求△ODE的面积； （2）如图3，将△DEB沿DE翻折，当点B的对称点F恰好落在边OC上时，求k的值． .解：（1）①4 ②∵k＝4，∴反比例函数的解析式是：y＝（x＞0）， 在矩形OABC中，OA＝BC＝3，OC＝AB＝6 ∵OA＝3，即点D的纵坐标是3， 令y＝＝3，解得：x＝，∴D（，3） 同理，当x＝6时，y＝，∴E（6，） ∵AD＝，∴BD＝AB﹣AD＝6﹣＝. ∵CE＝，∴BE＝BC﹣CE＝3﹣ ∴S△ODE＝S矩形OABC﹣S△OAD﹣S△OCE﹣S△BDE ＝OA•OC﹣ （2）过点D作DG⊥x轴于点G，则DG＝OA＝3， ∵OA＝3，即点D的纵坐标是3， 令y＝，解得x＝，∴D（，3）， 同理可得，当x＝6时，y＝，∴E（6，）， ∴AD＝，BD＝AB﹣AD＝6﹣，CE＝，BE＝BC﹣CE＝3﹣ 由折叠的性质可知： DF＝BD＝6﹣，FE＝BE＝3﹣，∠DFE＝∠B＝90°， ∴∠DFG+∠CFE＝90°， ∵DG⊥x轴， ∴∠DFG+∠GDF＝90°， ∴∠CFE＝∠GDF， ∵∠CFE＝∠GDF，∠FCE＝∠DGF＝90°， ∴△CFE∽△GDF， ∴，即，∴GF＝， ∵DG⊥x轴，∴△GDF是直角三角形，DG2+GF2＝DF2， ∴， 解得：k＝，即k的值为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级下学期开学摸底考试卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分 选择题(共30分) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1.已知 2x ＝3y ，则下列比例式成立的是( ) A. B． C． D . 2.如图所示的几何体的左视图是（　　） A． B． C． D． 3.如图 ，在△ABC中，DE∥BC， AD=6，DB=3，AE=4，则 EC 长( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.如图，A是某公园的进口，B，C，D是三个不同的出口，小明从A处进入公园，那么在B，C，D三个出口中恰好从B出口出来的概率为（　　） A. B. C. D. 5. 二次函数y＝2x2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式（　　） A．y＝2(x+2)2+3 B．y＝2(x+2)23 C．y＝2(x2)23 D．y＝2(x2)2+3 6. 某商品经过连续两次涨价，销售单价由原来 162元涨到 200元，设平均每次涨价的百分比为x，根据题意可列方程为( ) A.200(1－x)2 ＝162 B.200(1＋x)2 ＝162 C. 162(1－x)2 ＝200 D .162(1＋x)2 ＝200 7..2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为（　　） A.a sin θ B. C.a cos θ D. 第7题图 第8题图 第9题图 第10题图 8.如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC=12，BD=16，则OE的长为（　　） A．2 B．2 C．10 D．20 9．如图，△BCD内接于⊙O，点B是的中点，CD是⊙O的直径．若∠ABC＝30°，AC＝5，则BC的长为（　　） A．5 B． C． D． 10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c( a≠0)的图象与x轴交于点A( 3，0)，与y轴交于点B，对称轴为直线x＝1，下列四个结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③4a2b+c＜0；④ax2+bx≥a+b；其中正确结论的个数为（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 第二部分 非选择题(共90分) 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. cos60 °= . 12. 已知△ABC与△DEF相似且周长比为 3 ∶5 ，则△ABC与△DEF的相似比为 . 13. 设x1，x2是关于x的方程x23x+k=0的两个根，且x1=1，则x2=  . 14． 如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝(k>0)的图象交于点A(1，2)，B(2，1)．则关于x的不等式ax+b>的解集是 . 15． 如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家．如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径）OA长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点A处离开水面，逆时针旋转150°上升至轮子上方B处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从A处（舀水）转动到B处（倒水）所经过的路程是 　 　米．（结果保留π） 16． 如图，在矩形ABCD中，AD=13，CD=12，点E，F分别在BC，CD上，BE=5，CF=6，若点G是AE的中点，H是BF的中点，连接GH，则GH的长为 . . 三、解答题（本题共9小题，共72分。 解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分4分）解方程: x2+6x－7=0. 18．（本小题满分4分）如图，在平面直角坐标系中，网格中每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点A、B、C的坐标分别为A(4，1)，B(2，0)，C(1，2)．以原点O为位似中心在y轴右侧画出△A′B′C′，使它与△ABC位似，且△A′B′C′与△ABC的相似比2：1；（点A′、B′、C′分别与点A、B、C对应） 19. （本小题满分6分）近段时间，某个农场的125亩草莓迎来了冬季采摘期，该农场以优良的生态环境为基础，采用蜜蜂自然授粉的方式，提升草莓的产量和品质使得草莓香甜可口，果实饱满，吸引了不少游客前往采摘．某农户承包了一块矩形土地，建立了三个草莓种植大棚，其布局如图所示，其中AD=52米，AB=30 米，阴影部分规划为大棚种植草莓，其余部分是等宽的通道．若三个大棚的面积是1400m2，求道路的宽度； 20．（本小题满分6分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，延长BE至点F，使得BE=EF， 求证：四边形ADCF是菱形； 21．（本小题满分8分）某校准备开展“行走的课堂，生动的教育”研学活动，并计划从博物馆、动物园、植物园、海洋馆（依次用字母A，B，C，D表示）中选择一处作为研学地点．为了解学生的选择意向，学校随机抽取部分学生进行调查，整理绘制了如图所示，不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）此次接受随机抽样调查的人数是 　 　人；并补全条形统计图； （2）该校共有2000名学生，请你估计该校有多少名学生想去海洋馆？ （3）该校甲、乙两位同学分别从博物馆、动物园、植物园、海洋馆中选择一处作为研学地点，请利用树状图或列表法求他们恰好选中同一处研学地点的概率． 22．（本小题满分10分）【学科综合】 我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象(如图1)，我们把n＝称为折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）． 【观察实验】 为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，即通过细管MN可以看见水底的物块C，但不在细管MN所在直线上，图3是实验的示意图，四边形ABFE为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得BF＝12cm，DF＝16cm． （1）求入射角α的度数． （2）若BC＝7cm，求光线从空气射入水中的折射率n． （参考数据：，，） 23．（本小题满分10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC边为直径作⊙O交AB于点D，连接DO并延长交BC的延长线于点E，点P为BC的中点，连接DP． （1）求证：PD是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为3，∠B＝30°，求PE的长． 24.（本小题满分12分）数学小组在学习了二次函数后，进一步查阅其相关资料进行学习： 材料一： 新定义：与坐标轴不平行的直线与抛物线有两个交点时，称直线与抛物线相交；直线与抛物线有且只有一个交点时，称直线与抛物线相切，这条直线叫做抛物线的切线，这个交点称作切点；直线与抛物线没有交点时，称直线与抛物线相离． 材料二： 判断：抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m（k≠0）的位置关系联立， 得ax2+(b﹣k)x+cm＝0． 根据一元二次方程根的判别式Δ＝(b﹣k)24a(cm)． ①当Δ＝(b﹣k)24a(cm)＞0时，抛物线与直线有两个交点，则直线与抛物线相交(如图1)． ②当Δ＝(b﹣k)24a(cm)＝0时，抛物线与直线有且只有一个交点，则直线与抛物线相切．直线叫做抛物线的切线，交点叫做抛物线的切点(如图2)． ③当Δ＝(b﹣k)24a(cm)＜0，抛物线与直线没有交点，则直线与抛物线相离(如图3)． 【知识技能】 (1)若直线y＝2x+b与抛物线y＝2x2相交，则b的取值范围是 　 　； 【数学理解】 (2)已知抛物线y＝x22x+4和直线y＝2x3相离，请问抛物线向下平移多少个单位后与直线相切； 【问题解决】 某小区修建完成人工喷泉，人工喷泉中心有一竖直的喷水柱，喷水口为A，数学兴趣小组观察发现，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，其中一条水流落地点为C，兴趣小组将喷泉柱底端标为原点O，喷泉柱所在直线为y轴，OC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．从水流喷出到落下的过程中，水流喷出的竖直高度y ( m )与水流落地点与喷水柱底端的距离x ( m )满足二次函数关系，其表达式为，已知喷水口离喷水柱底端的高度为OA，水流在距OA的水平距离为1米时，达到最大高度，此时离地面米． (3)小区现要进行喷泉亮化工作，拟安装射灯，要求射灯发出的光线与地面的夹角为45°，并且射灯发出的光线恰好不穿过下落的水流，请问射灯安装在什么位置，符合安装要求． 25．（本小题满分12分）如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC、OA分别在坐标轴上，且OA＝3，OC=6，反比例函数的图象与AB、BC分别交于点D、E，连结DE． （1）如图2，连结OD、OE，当△OAD的面积为2时： ①k＝　 　； ②求△ODE的面积； （2）如图3，将△DEB沿DE翻折，当点B的对称点F恰好落在边OC上时，求k的值． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级下学期开学摸底考试卷 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B B C D A C D B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11． 12．3 ∶5 13．2 14． -2<x<0或 x>1 15 .5π 16．5 三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，24题12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（4分）解：x2+6x－7=0； ∴(x+7)(x－1)=0 ∴x+7=0或x－1=0 ∴x1=-7，x2=1； 18.（4分）解：如图，△A′B′C′即为所求； 19.（4分）解：（1）设通道的宽为x米，根据题意得： (522x)(302x)=1400， 解得x1=40（舍去）或x2=1， 答：通道的宽为1米； 20.（6分）证明：∵E是AD的中点，∴AE=DE， 又∵BE=EF，∠AEF=∠DEB， ∴△AEF≌△DEB（SAS） ∴AF=DB，∠AFE=∠DBE ，∴AF//DB ∵又D是BC的中点，∴DB=DC，∴AF=DC ∴四边形ADCF是平行四边形 ∵∠BAC=90°，D是BC的中点， ∴AD= = CD ∴四边形ADCF是菱形 21.（8分）解：（1）此次接受随机抽样调查的人数38÷19%＝200（人）， D组人数为200﹣30﹣52﹣38＝80（人）； 补全条形统计图如图： 故答案为：200； （2）2000×＝800（名）， 答：估计该校有800名学生想去海洋馆； （3）根据题意，列表如下： A B C D A AA BA CA DA B AB BB CB DB C AC BC CC DC D AD BD CD DD 共有16种等可能的结果，其中他们恰好选中同一处研学地点的结果有4种， 所以他们恰好选中同一处研学地点的概率为＝． 22.（10分）解：（1）如图：过点D作DG⊥AB，垂足为G， 由题意得：四边形DGBF是矩形， ∴DG＝BF＝12cm，BG＝DF＝16cm， 在Rt△DGB中，tan∠BDG＝＝＝， ∴∠BDG＝53°， ∴∠PDH＝∠BDG＝53°， ∴入射角α的度数为53°； （2）∵BG＝16cm，BC＝7cm， ∴CG＝BG﹣BC＝9（cm）， 在Rt△CDG中，DG＝12cm， ∴DC＝＝＝15（cm）， ∴sinβ＝sin∠GDC＝＝＝， 由（1）得：∠PDH＝53°， ∴sin∠PDH＝sinα≈， ∴折射率n＝＝＝， ∴光线从空气射入水中的折射率n约为． 23.（10分）（1）证明：连接CD， ∵AC为直径， ∴CD⊥AD， ∴∠CDB＝90°， ∵点P为BC的中点， ∴PB＝PD＝PC＝BC， ∴∠B＝∠BDP， ∵OD＝OA， ∴∠A＝∠ODA， ∵∠ACB＝90°， ∴∠B+∠A＝90°， ∴∠BDP+∠ADO＝90°， ∴∠PDE＝180°﹣∠BDP﹣∠ADO＝90°， ∵OD是⊙O的半径， ∴PD是⊙O的切线； （2）解：∵∠BDC＝90°，∠B＝30°， ∴∠PCD＝60°， 由（1）知，PC＝PD， ∴△CDP是等边三角形， ∴PD＝CD，∠BCD＝∠DPE＝60°， ∵∠BDC＝∠PDE＝90°， ∴△BDC≌△EDP（ASA）， ∴PE＝BC， ∵AC＝6， ∴AB＝2AC＝12， ∴BC＝＝6， ∴PE＝BC＝6． 24.（12分） 解：（1）n> ∵把y＝2x+n与y＝2x2联立方程组，得2x22xn＝0， ∵直线y＝2x+n与抛物线y＝2x2相交，∴Δ＝4+8n>0，解得n>， （2）设抛物线y＝x22x+4向下平移c个单位后与直线y＝2x+3相切 则平移后的抛物线表达式为y＝x22x+4c 把y＝2x3与y＝x22x+4c联立方程组， 得x2﹣4x+7c＝0， ∵Δ＝164(7c)＝1628+4c＝0， 解得c=3 ∴抛物线y＝x22x+4向下平移3个单位后与直线y＝2x3相切 （3）由题意得，顶点坐标（1，） ∴设抛物线表达式为 图像经过(0，)， ∴ ∴-1 ∴ 设射灯发出的光线与y轴交于D， ∵Rt△OBD中，∠OBD＝45°，∴OD=OB， 设B（m，0），则D（0，m）， 设直线BD的解析式为y＝ax+c，∴，∴， ∴直线BD的解析式为y＝x+m， ∵射灯发出的光线恰好不穿过下落的水流， ∴直线BD与抛物线相切， ∴Δ＝(2﹣4（m）＝0，m＝4 解得m＝4，∴OB＝4米， 答：射灯安装距离喷泉柱底端4米处． 25.（12分）.解：（1）①4 ②∵k＝4，∴反比例函数的解析式是：y＝（x＞0）， 在矩形OABC中，OA＝BC＝3，OC＝AB＝6 ∵OA＝3，即点D的纵坐标是3， 令y＝＝3，解得：x＝，∴D（，3） 同理，当x＝6时，y＝，∴E（6，） ∵AD＝，∴BD＝AB﹣AD＝6﹣＝. ∵CE＝，∴BE＝BC﹣CE＝3﹣ ∴S△ODE＝S矩形OABC﹣S△OAD﹣S△OCE﹣S△BDE ＝OA•OC﹣ （2）过点D作DG⊥x轴于点G，则DG＝OA＝3， ∵OA＝3，即点D的纵坐标是3， 令y＝，解得x＝，∴D（，3）， 同理可得，当x＝6时，y＝，∴E（6，）， ∴AD＝，BD＝AB﹣AD＝6﹣，CE＝，BE＝BC﹣CE＝3﹣ 由折叠的性质可知： DF＝BD＝6﹣，FE＝BE＝3﹣，∠DFE＝∠B＝90°， ∴∠DFG+∠CFE＝90°， ∵DG⊥x轴， ∴∠DFG+∠GDF＝90°， ∴∠CFE＝∠GDF， ∵∠CFE＝∠GDF，∠FCE＝∠DGF＝90°， ∴△CFE∽△GDF， ∴，即，∴GF＝， ∵DG⊥x轴，∴△GDF是直角三角形，DG2+GF2＝DF2， ∴， 解得：k＝，即k的值为． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$