复习篇 06 圆的方程 -2024-- 2025学年高二数学寒假复习讲义（人教A版2019）

06 圆的方程 【题型1】 圆的方程的理解 【基础知识】 1 圆的定义 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径. 2 圆的方程 标准方程 ，圆心，半径为. 一般方程 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·山东威海·期中）已知直线恒过定点，则以为圆心，2为半径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，圆心为，半径为2的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 2（24-25高二上·北京·期中）圆的圆心和的范围分别是（   ） A． B． C． D． 【题型2】求圆的方程 【基础知识】 待定系数法 先设后求.确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出；若利用一般方程，需要求出； 直接法 直接把圆心和半径求出.要注意多利用圆的几何性质，如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置. 【经典例题】 【例1】（23-24高二上·天津南开·期中）已知点，，，则外接圆的方程是（    ）． A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25高二上·天津滨海新·期中）“大漠孤烟直，长河落日圆”体现了我国古代劳动人民对于圆的认知.已知，则以为直径的圆的方程为（  ） A． B． C． D． 2（2024·辽宁大连·一模）过点和，且圆心在x轴上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3（23-24高二上·辽宁·阶段练习）若圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【题型3】点与圆、直线与圆的位置关系 【基础知识】 1 直线、圆的位置关系 三种位置关系 判断直线与圆位置关系的方法 ① 根据与的关系判断(为圆心到直线的距离，为圆的半径) · 相离没有公共点 ; · 相切只有一个公共点 · 相交有两个公共点 ②联立方程求判别式的方法 联立直线方程与圆的方程求解，通过解的个数来判断： · 当 时，直线与圆有个交点，直线与圆相交； · 当时，直线与圆只有个交点，直线与圆相切； · 当 时，直线与圆没有交点，直线与圆相离. 【经典例题】 情况1 位置关系 【例1】（24-25高二上·河南·期中）若直线与圆相离，则点（    ） A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．位置不确定 【巩固练习】 1（24-25高二上·广东湛江·期中）直线l：与圆C：的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 2（24-25高二上·山东潍坊·期中）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与a的取值有关 情况2 切线问题 【例1】（24-25高二上·江苏镇江·期中）过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25高二上·云南临沧·阶段练习）过点作圆的切线，则的斜率为（    ） A．0 B． C．0或 D．0或 2（24-25高二上·广西梧州·阶段练习）已知圆，过点作圆的一条切线，切点为，则（    ） A．6 B． C． D．3 3（24-25高三上·重庆·阶段练习）过点作圆的两条切线，切点分别为两点，则（    ） A． B． C． D． 情况3 弦长问题 【例1】（24-25高二上·江苏常州·期中）直线与圆交于，两点，则面积为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25高二上·江苏淮安·期中）直线被圆截得的弦长为（   ） A． B． C． D． 2（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）若圆被直线截得的弦长为，则等于（   ） A． B． C． D． 【题型5】圆与圆的关系 【基础知识】 1 圆与圆的位置关系 (1) 在同一个平面内，两个不等的圆的位置关系共有五种:外离、外切、相交、内切、内含. 圆心距：两圆圆心的距离叫做圆心距. (2) 设两圆与圆的圆心距为，半径分别为，()，则有 位置关系 交点个数 关系式 图示 外离 没有公共点 外切 有唯一的公共点 相交 有两个公共点 内切 有唯一的公共点 内含 没有公共点 注 当两圆相切时分为两种情况：外切和内切. 2 判断两个圆位置关系的方法 (1) 几何法 通过判断圆心距与两个圆半径之间的关系从而确定两个圆的位置关系. (2) 代数法 设由两圆的方程组成的方程组为， 由此方程组得：有两组不同的实数解则两圆相交；有两组相同的实数解则两圆相切；无实数解则两圆相离． 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·山东青岛·期中）圆与圆的公切线有（    ）条 A．1 B．2 C．3 D．4 【巩固练习】 1（24-25高二上·青海西宁·阶段练习）圆与圆的位置关系为（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 2（24-25高二上·湖北·期中）圆与圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 【A组---基础题】 1（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知圆：，则圆心的坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 2（24-25高二上·重庆·期中）圆心为且过原点的圆的一般方程是（   ） A． B． C． D． 3（22-23高二上·福建漳州·期中）已知圆C的圆心在直线上，且过点和，则圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4（24-25高二上·江苏南京·期中）设k为实数，直线与圆交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 5（24-25高二上·浙江嘉兴·期中）经过点作圆的切线，则切线方程为（   ） A． B． C． D． 6（24-25高二上·广东东莞·期中）由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 7（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知圆：和圆：，则两圆的位置关系为（   ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 8（24-25高二上·广东东莞·期中）已知两条直线与被圆截得的线段长均为2，则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 9（24-25高二上·河南郑州·期中）若直线与圆相交于两点，则（    ） A． B． C． D． 10（多选）（2024高三·全国·专题练习）已知点、，线段为圆的直径，点满足，直线，则（    ） A．当时，直线平分圆 B．若圆上的点到直线的最大距离为，则 C．点不可能在圆上 D．点的轨迹方程为 【B组---提高题】 1（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知圆与直线相切于点，且圆过点，则圆的半径是（   ） A． B． C．8 D．9 2（多选）（24-25高二上·重庆铜梁·阶段练习）已知动点与两定点、的距离之比为，设动点的轨迹为，下列结论正确的是（    ） A．的方程为 B．面积的最大值为 C．最大时， D．设，则的最小值为 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 06 圆的方程 【题型1】 圆的方程的理解 【基础知识】 1 圆的定义 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径. 2 圆的方程 标准方程 ，圆心，半径为. 一般方程 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·山东威海·期中）已知直线恒过定点，则以为圆心，2为半径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出定点，再根据圆心和半径写出圆的方程即可. 【详解】由直线，得， 令，解得，即， 所以所求圆的方程为. 故选：C. 【巩固练习】 1（24-25高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，圆心为，半径为2的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆心半径即可求解. 【详解】圆的方程：，其中为圆心，为半径. 所以圆心为，半径为2的圆的标准方程为. 故选：A 2（24-25高二上·北京·期中）圆的圆心和的范围分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将圆的一般方程变形为标准方程，进而求解. 【详解】由，得， 所以圆心为，由，得， 故选：A 【题型2】求圆的方程 【基础知识】 待定系数法 先设后求.确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出；若利用一般方程，需要求出； 直接法 直接把圆心和半径求出.要注意多利用圆的几何性质，如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置. 【经典例题】 【例1】（23-24高二上·天津南开·期中）已知点，，，则外接圆的方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件可得是直角三角形，求出圆的圆心与半径，写出圆的标准方程即可． 【详解】由题 得是直角三角形，且， 所以圆的半径为，圆心为， 所以外接圆的方程为. 故选：B. 【巩固练习】 1（24-25高二上·天津滨海新·期中）“大漠孤烟直，长河落日圆”体现了我国古代劳动人民对于圆的认知.已知，则以为直径的圆的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据题意得到所求圆心为，半径为，再写出圆的标准方程即可. 【详解】由题知：的中点坐标为， ， 所以圆心为，半径为， 即以为直径的圆的方程为. 故选：A 2（2024·辽宁大连·一模）过点和，且圆心在x轴上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助待定系数法计算即可得. 【详解】令该圆圆心为，半径为，则该圆方程为， 则有，解得， 故该圆方程为. 故选：D. 3（23-24高二上·辽宁·阶段练习）若圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用待定系数法设出圆的标准方程，结合题意计算即可得. 【详解】设该圆方程为， 则圆心为，有， 将点，代入， 有，化简得， 两式相减得，即有，则， ， 故该圆方程为. 故选：B. 【题型3】点与圆、直线与圆的位置关系 【基础知识】 1 直线、圆的位置关系 三种位置关系 判断直线与圆位置关系的方法 ① 根据与的关系判断(为圆心到直线的距离，为圆的半径) · 相离没有公共点 ; · 相切只有一个公共点 · 相交有两个公共点 ②联立方程求判别式的方法 联立直线方程与圆的方程求解，通过解的个数来判断： · 当 时，直线与圆有个交点，直线与圆相交； · 当时，直线与圆只有个交点，直线与圆相切； · 当 时，直线与圆没有交点，直线与圆相离. 【经典例题】 情况1 位置关系 【例1】（24-25高二上·河南·期中）若直线与圆相离，则点（    ） A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．位置不确定 【答案】B 【分析】利用点线距离公式及到的距离，即可判断点与圆位置关系. 【详解】由题意，到的距离，即， 所以在在圆内. 故选：B 【巩固练习】 1（24-25高二上·广东湛江·期中）直线l：与圆C：的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 【答案】A 【分析】根据直线与圆的位置关系求解判断. 【详解】由题，圆的圆心，半径为， 圆心到直线的距离为 ， 所以圆与直线相交. 故选：A. 2（24-25高二上·山东潍坊·期中）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与a的取值有关 【答案】A 【分析】直接根据直线经过圆内一点判断出结果. 【详解】由知直线过，而点在圆内，所以直线与圆相交. 故选：A. 情况2 切线问题 【例1】（24-25高二上·江苏镇江·期中）过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆E的方程可得圆心E的坐标，将P点的坐标代入圆的方程，可得P点在圆上，求出直线PE的斜率，得到过P点的切线的斜率，再求出过P点的切线方程. 【详解】由圆的方程，可得圆心坐标为， 将的坐标代入圆的方程，得，则点在圆上， 又，所以过点与圆相切的直线的斜率为1， 所以过点的切线方程为，即. 故选：D. 【巩固练习】 1（24-25高二上·云南临沧·阶段练习）过点作圆的切线，则的斜率为（    ） A．0 B． C．0或 D．0或 【答案】C 【分析】设出直线方程，借助切线的性质计算即可得. 【详解】当直线斜率不存在时，直线为，此时圆心到的距离，故不符； 当直线斜率存在时，设切线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 解得或. 故选：C. 2（24-25高二上·广西梧州·阶段练习）已知圆，过点作圆的一条切线，切点为，则（    ） A．6 B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据圆的方程，结合圆的切线的性质进行求解即可. 【详解】，圆的半径为， 所以， 故选：B. 3（24-25高三上·重庆·阶段练习）过点作圆的两条切线，切点分别为两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知，再根据切线性质可得，结合倍角公式运算求解. 【详解】由题意可知，圆可化为， 可知圆心为，记为点，半径， 可得，则， 所以. 故选：A. 情况3 弦长问题 【例1】（24-25高二上·江苏常州·期中）直线与圆交于，两点，则面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的方程写出圆心和半径，求圆心到直线的距离，几何法求，最后用三角形面积公式求面积. 【详解】由，可化为， 所以，圆心，其到的距离，又圆的半径为， 所以，则面积为. 故选：B 【巩固练习】 1（24-25高二上·江苏淮安·期中）直线被圆截得的弦长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用圆的弦长公式计算，即可求解. 【详解】由圆，则圆心为，半径为， 由圆心为到直线的距离， 所以直线被圆截得的弦长为. 故选：B. 2（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）若圆被直线截得的弦长为，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用几何法可表示弦长，解方程即可. 【详解】由已知圆，即（）， 圆心，半径， 圆心到直线的距离， 则弦长，所以， 解得. 故选：C. 【题型5】圆与圆的关系 【基础知识】 1 圆与圆的位置关系 (1) 在同一个平面内，两个不等的圆的位置关系共有五种:外离、外切、相交、内切、内含. 圆心距：两圆圆心的距离叫做圆心距. (2) 设两圆与圆的圆心距为，半径分别为，()，则有 位置关系 交点个数 关系式 图示 外离 没有公共点 外切 有唯一的公共点 相交 有两个公共点 内切 有唯一的公共点 内含 没有公共点 注 当两圆相切时分为两种情况：外切和内切. 2 判断两个圆位置关系的方法 (1) 几何法 通过判断圆心距与两个圆半径之间的关系从而确定两个圆的位置关系. (2) 代数法 设由两圆的方程组成的方程组为， 由此方程组得：有两组不同的实数解则两圆相交；有两组相同的实数解则两圆相切；无实数解则两圆相离． 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·山东青岛·期中）圆与圆的公切线有（    ）条 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由两圆位置关系，可确定公切线条数. 【详解】由题可得圆圆心，半径为2；圆圆心，半径为3. 则两圆圆心距为，注意到， 则两圆相交，故两圆有2条公切线. 故选：B 【巩固练习】 1（24-25高二上·青海西宁·阶段练习）圆与圆的位置关系为（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】B 【分析】根据圆和圆的位置关系判断可得答案. 【详解】由题意知，两圆的圆心分别为， 圆心距为， 两圆的半径分别为2，3， 由于 ， 所以两圆相交. 故选：B. 2（24-25高二上·湖北·期中）圆与圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将两圆方程做差可得公共弦方程，再求出其中一个圆的圆心到公共弦的距离，利用公共弦长为求解即可． 【详解】圆①与圆②， ①－②得，即公共弦方程为， 又圆的半径为，圆心为， 圆心到直线距离， 所以公共弦长为. 故选：C. 【A组---基础题】 1（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知圆：，则圆心的坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据圆一般方程与标准方程的互化即可求解. 【详解】由题意知，圆的标准方程为, 所以圆心坐标为，半径. 故选：C 2（24-25高二上·重庆·期中）圆心为且过原点的圆的一般方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求半径，再得圆的标准方程，最后转化为圆的一般方程. 【详解】由题意知，在圆上，圆心为， 所以圆的半径， 所以圆的标准方程为， 则一般方程为：， 故选：B. 3（22-23高二上·福建漳州·期中）已知圆C的圆心在直线上，且过点和，则圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法设圆C的方程为，将点的坐标代入方程列出方程组，解出即可得结果. 【详解】设圆C的圆心坐标为，半径为，则圆C的方程为， 由点和点在圆C上， 可得①，②， 由①②可得， 故圆C的标准方程为. 故选：A. 4（24-25高二上·江苏南京·期中）设k为实数，直线与圆交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】C 【分析】找到直线所过定点坐标，判断点与圆的位置关系，即可确定交点数. 【详解】由，即直线恒过，而圆可化为， 所以，即点在圆内，则直线与圆恒有2个交点. 故选：C 5（24-25高二上·浙江嘉兴·期中）经过点作圆的切线，则切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出直线方程后，结合切线定义与点到直线的距离公式计算即可得. 【详解】易知切线斜率存在，设该切线方程为，即， 则有，化简得，故， 故该切线方程为，即. 故选：C. 6（24-25高二上·广东东莞·期中）由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆的方程求得圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求得切线长的最小值． 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 由直线上的点向圆引切线，切点为A， 则. 要使切线长最小，则最小，此时. 所以切线长的最小值为． 故选：B. 7（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知圆：和圆：，则两圆的位置关系为（   ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】根据题意可得圆心和半径，进而可得，即可判断两圆位置关系. 【详解】圆：和圆：， 可知：圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 因为，即， 所以两圆的位置关系为相交. 故选：C. 8（24-25高二上·广东东莞·期中）已知两条直线与被圆截得的线段长均为2，则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得两直线平行，求出两平行线间的距离，从而可得圆心到直线的距离，再由弦长，圆心距和半径的关系可求出圆的半径，从而可求出圆的面积 【详解】因为两条直线与， 所以， 所以与间的距离为， 所以圆心到直线的距离为1， 因为直线被圆截得的弦长为2， 所以圆的半径为， 所以圆的面积为. 故选：A. 9（24-25高二上·河南郑州·期中）若直线与圆相交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得，可得为等边三角形，即可得结果. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 可知，即为等边三角形，所以 . 故选：B. 10（多选）（2024高三·全国·专题练习）已知点、，线段为圆的直径，点满足，直线，则（    ） A．当时，直线平分圆 B．若圆上的点到直线的最大距离为，则 C．点不可能在圆上 D．点的轨迹方程为 【答案】ABD 【分析】求出圆的方程，当时，判断直线与圆的位置关系，可判断A选项；求出直线所过定点的坐标，根据圆上的点到直线距离的最大值求出的值，可判断B选项；分析可知，点可能为的中点，结合圆的几何性质可判断C选项；设，根据结合两点间的距离公式化简可得出点的轨迹方程，可判断D选项. 【详解】A，因为线段为圆的直径，所以圆心，半径， 则圆的方程为. 当时，直线的方程为，此时直线过圆心，所以直线平分圆，A正确； B，因为直线恒过定点，且，所以点位于圆内， 则直线与圆相交，因为圆上的点到直线的最大距离为， 所以圆心到直线的距离，即，解得，B正确； C，因为，所以点可能为的中点. 又由线段为圆的直径可知点与点重合，此时点在圆上，C错误； D，设，因为，所以， 化简得，D正确. 故选：ABD. 【B组---提高题】 1（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知圆与直线相切于点，且圆过点，则圆的半径是（   ） A． B． C．8 D．9 【答案】A 【分析】由题意可求得圆心在和上，联立方程组即可求出圆心为，圆心到的距离即为半径. 【详解】与直线垂直且过点的直线为：， 化简为，所以圆心在， 又因为圆心在和的垂直平分线上， 所以和的垂直平分线为， 所以，解得：， 所以所求圆的圆心，半径， 故选：A. 2（多选）（24-25高二上·重庆铜梁·阶段练习）已知动点与两定点、的距离之比为，设动点的轨迹为，下列结论正确的是（    ） A．的方程为 B．面积的最大值为 C．最大时， D．设，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】根据已知距离之比建立关系即可得出轨迹方程，可判断A选项；易得到的最大距离为，即可求出最大面积，可判断B选项；当最大时，直线与圆相切，利用勾股定理可判断C选项；由题意得出，当为线段与圆的交点时，取最小值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，设，由题，即， 整理得，A错； 对于B选项，以为底，且到的最大距离为半径， 所以面积的最大值是，B对； 对于C选项，当最大时，此时，直线与圆相切， 取点，则，且， 由勾股定理可得，C对； 对于D选项，由题意可得， 则， 当且仅当为线段与圆的交点时，等号成立，    所以，的最小值为，D对. 故选：BCD. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$