复习篇 05 函数的奇偶性【提高复习+自主学习】-2024-- 2025学年高一数学寒假进阶学习讲义人教A版2019

05 函数的奇偶性、对称性、周期性 【题型1】 函数奇偶性及其应用 【基础知识】 1 函数奇偶性的概念 ① 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. ② 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 由奇偶函数的概念可知道其定义域是关于原点对称的. 2 性质 ① 偶函数关于轴对称； ② 奇函数关于原点对称； ③ 若奇函数定义域内含有，则； 3 判断函数奇偶性的方法 ① 定义法 先判断定义域是否关于原点对称，再求看下与的关系：若，则是偶函数；若，则是奇函数. ② 数形结合 ③ 取特殊值排除法(选择题) ④ 性质法 【经典例题】 【例1】（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数是定义域为R的奇函数，当时，．若，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25高一上·云南大理·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．是奇函数 D．是偶函数 2（24-25高一上·浙江温州·期中）以下可能是函数的图像的为（   ） A． B． C． D． 3（24-25高一上·全国·课后作业）已知偶函数的定义域为，在上单调递增，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知函数为偶函数，为奇函数，且当时，，则（ ） A．2 B． C．1 D． 【题型2】 抽象函数的奇偶性 【经典例题】 【例1】（24-25高三上·山东济宁·期中）已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【例2】（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数的定义域为，且满足对于任意， 都有， 且当时， ，且． (1)求与的值； (2)判断的奇偶性； (3)判断的单调性，并证明. 【巩固练习】 1（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知函数对任意实数，都满足，且，，则函数是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 2（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）是定义在R上的函数，对都有，且当时，，且. (1)求的值； (2)求在上的最值． 【题型3】 函数的周期性及其应用 【基础知识】 函数的周期性 1 概念 对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么把函数叫做周期函数，常数叫做这个函数的周期. 2 常见的结论 ① 若 ，则的周期是. ② 若 ，则的周期是； ③ 若，则的周期是. 【经典例题】 【例1】（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）已知函数对于任意实数满足条件，若，则（    ） A． B． C． D．4 【巩固练习】 1（21-22高一上·江苏扬州·阶段练习）定义在上的奇函数满足，并且当时，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2（24-25高一上·福建泉州·期中）已知是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则（   ） A． B． C． D．0 3（24-25高三上·陕西咸阳·开学考试）设奇函数满足，当时，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【题型4】 函数对称性及其应用 【基础知识】 函数的对称性 1 函数图象自身的对称关系 ① 轴对称：若则有对称轴. ② 中心对称：若函数定义域为，且满足条件为常数)，则函数的图象关于点对称. 2 两个函数图象之间的对称关系 ① 轴对称 若函数定义域为，则两函数的图象关于直线对称. ② 中心对称 若函数定义域为，则两函数与的图象关于点对称. 【经典例题】 【例1】（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列错误的是（　　） A． B．为函数图象的一条对称轴 C．函数在上单调递减 D． 【巩固练习】 1（2024·河南·模拟预测）函数图象的对称中心是（   ） A． B． C． D． 2（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数对任意都有，且的图象关于对称，，则等于（    ） A．0 B． C． D． 3（24-25高一上·北京·期中）已知函数在上单调递增，且函数的图象关于直线对称，设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4（24-25高一上·浙江台州·期中）已知为奇函数，则 （    ） A． B．14 C． D．7 5（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）若函数满足，且的图象关于点对称，则（   ） A． B． C． D． 6（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知函数，的定义域均为，且，，的图象关于对称，当时，，则的值为（    ） A． B． C． D． 7（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知函数的定义域为 ，若函数与函数的交点为，则（    ） A．0 B． C．2025 D．4050 【题型5】 函数对称性与周期性的综合 【基础知识】 1 若函数同时关于直线对称，则函数的周期；特殊地，若偶函数的图像关于直线对称，则函数的周期； 2 若函数同时关于点对称，则函数的周期 ； 3 若函数同时关于直线对称，又关于点对称 则函数的周期 ； 特殊地，若奇函数的图像关于直线对称，则函数的周期. 【经典例题】 【例1】（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数与的定义域均为，且它们的图象关于对称，若奇函数满足，下列关于函数的性质说法不一定正确的有（   ） A．关于对称 B．关于点对称 C．是的一个周期 D． 【例2】（多选）（2024高一·全国·专题练习）已知定义在上的奇函数满足，且时，，则下列结论中正确的有（    ） A． B．函数在上是单调递减 C．函数的图象关于直线成轴对称 D．函数的图象关于直线成轴对称 【巩固练习】 1（2024·河北·模拟预测）已知函数的定义域为，且为奇函数，，则一定正确的是（    ） A．的周期为2 B．图象关于直线对称 C．为偶函数 D．为奇函数 2（2024·北京·模拟预测）定义在R上的函数满足：，且，当时，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3（24-25高三上·山东·期中）若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4（多选）（24-25高二上·四川眉山·期中）已知函数是上的奇函数，对于任意，都有成立，当时，，给出下列结论，其中正确的是（   ） A． B．点是函数的图象的一个对称中心 C．函数在上单调递增 D．函数在上有个零点 【A组---基础题】 1（24-25高一上·北京·期中）若函数是偶函数，且，则必有（    ） A． B． C． D． 2（24-25高一上·黑龙江·期中）函数的部分图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   3（24-25高一上·四川成都·期中）已知为定义在R上的奇函数，当时，，则（    ） A．－2 B．－1 C．0 D．1 4（24-25高一上·云南昆明·期中）已知定义在上的函数满足，，当时，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5（24-25高一上·安徽六安·期中）已知定义域为的奇函数，满足，且当时，则的值为（    ） A． B． C． D． 6（24-25高三上·江西·阶段练习）已知定义在R上的单调函数的图象关于点对称，数列满足：，，且，，则（    ） A． B． C．2 023 D．2 025 7（24-25高一上·浙江温州·期中）已知函数的定义域为，，函数是奇函数，的图象关于直线对称，则（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C． D． 8（多选）（24-25高一上·四川泸州·期中）不恒为的函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．的最小值为 9（24-25高一上·福建莆田·期中）设是定义在R上的函数，满足，且；当时，，则 . 10（24-25高一上·云南大理·期中）已知函数的定义域为R，并且满足下列条件：对任意，都有，，当时，. (1)求； (2)证明：为奇函数； (3)解不等式. 11（2025高三·全国·专题练习）设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有．当时，． (1)求证：是周期函数； (2)当时，求的解析式； (3)计算的值． 【B组---提高题】 1（24-25高三上·上海嘉定·期中）已知函数，，设为实数，且.给出下列结论：①关于中心对称；②存在，使得，则（   ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①与②均正确 D．①与②均错误 2（多选）（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，且，则（   ） A．的图象关于点对称 B． C． D． 3（24-25高一上·四川泸州·期中）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数. (1)用定义证明函数在上是增函数； (2)证明函数的图象关于点对称； (3)已知函数的图象关于点对称，且当时，.若对任意，总存在，使得成立，求负数的取值范围. 4（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数是定义在上的增函数. (1)若，求的取值范围； (2)若为周期函数，证明：是常值函数； (3)设恒大于零，是定义在上、恒大于零的周期函数，是的最大值.函数.证明：“是周期函数”的充要条件是“是常值函数”. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 05 函数的奇偶性、对称性、周期性 【题型1】 函数奇偶性及其应用 【基础知识】 1 函数奇偶性的概念 ① 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. ② 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 由奇偶函数的概念可知道其定义域是关于原点对称的. 2 性质 ① 偶函数关于轴对称； ② 奇函数关于原点对称； ③ 若奇函数定义域内含有，则； 3 判断函数奇偶性的方法 ① 定义法 先判断定义域是否关于原点对称，再求看下与的关系：若，则是偶函数；若，则是奇函数. ② 数形结合 ③ 取特殊值排除法(选择题) ④ 性质法 【经典例题】 【例1】（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数是定义域为R的奇函数，当时，．若，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数在上的解析式可判断函数的单调性，根据奇偶性原不等式可化为，再由单调性求解． 【详解】解：当时，，对称轴为， 故在上单调递增， 又是定义域为R的奇函数，则在上单调递增， ，函数在处连续， 故在R上单调递增，且， 由，可得， 又因为在R上单调递增，所以有，解得． 故选：D． 【巩固练习】 1（24-25高一上·云南大理·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】C 【分析】利用单调性定义可判断AB；利用奇偶性定义可判断CD. 【详解】对于B，定义域为，在上不具备单调性，故B错误； 对于A，，且，则． ，且，，，， ，即， 在上单调递增，所以A错误； 对于C，定义域为，关于原点对称， ，． 是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误. 故选：C. 2（24-25高一上·浙江温州·期中）以下可能是函数的图像的为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的奇偶性，再分析与1的大小关系判断即可. 【详解】因为，故为奇函数，排除B,D； 又，排除C. 故选：A 3（24-25高一上·全国·课后作业）已知偶函数的定义域为，在上单调递增，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由偶函数将自变量转换到内，再由函数单调性，得到函数值的大小关系，从而得出结论. 【详解】在上是偶函数，，， ，且在区间上单调递增， ，. 故选：A. 4（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知函数为偶函数，为奇函数，且当时，，则（ ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由题意可得、，则可得，再将代入计算即可得. 【详解】由为偶函数，则有， 由为奇函数，则有，即， 则. 故选：A. 【题型2】 抽象函数的奇偶性 【经典例题】 【例1】（24-25高三上·山东济宁·期中）已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】C 【分析】根据抽象函数，利用奇偶函数的性质直接判断即可. 【详解】因为， 所以令，可得， 令，则， 所以， 则既不是奇函数又不是偶函数， 且， 所以是奇函数. 故选：C 【例2】（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数的定义域为，且满足对于任意， 都有， 且当时， ，且． (1)求与的值； (2)判断的奇偶性； (3)判断的单调性，并证明. 【答案】(1)， (2)奇函数 (3)是上的减函数，证明见解析 【分析】（1）通过赋值即可求解； （2）令，结合可判断； （3）令，由可判断，即可判断其单调性. 【详解】（1）令，则，即， ， ； （2）令，则，即，可得为奇函数； （3）是上的减函数. 证明：令，则， 则， 由时，， 可得，即有，即，即， 则是上的减函数. 【巩固练习】 1（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知函数对任意实数，都满足，且，，则函数是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】B 【分析】用赋值法，先令求得，再令求解后即可判断． 【详解】在中， 令，则，又，所以， 令得，所以， 所以是偶函数， 故选：B． 2（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）是定义在R上的函数，对都有，且当时，，且. (1)求的值； (2)求在上的最值． 【答案】(1)， (2)，. 【分析】（1）令，即可求出，通过，可求出； （2）任取，即可证明函数单调递增，进而可求最大最小值. 【详解】（1）令，则，∴， ∵，∴. （2）令，则，∴， ∴，∴是奇函数， ∴，∴， 任取，， ∵，∴，∴，即， ∴在上为减函数， ∵在上为减函数，∴，. 【题型3】 函数的周期性及其应用 【基础知识】 函数的周期性 1 概念 对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么把函数叫做周期函数，常数叫做这个函数的周期. 2 常见的结论 ① 若 ，则的周期是. ② 若 ，则的周期是； ③ 若，则的周期是. 【经典例题】 【例1】（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）已知函数对于任意实数满足条件，若，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】根据函数关系计算得出函数周期为4，再结合已知求得，从而得解. 【详解】因为， 所以，则周期为4， 又因为，所以， 所以. 故选：D. 【巩固练习】 1（21-22高一上·江苏扬州·阶段练习）定义在上的奇函数满足，并且当时，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设易得是周期为4的奇函数，进而可得，结合解析式求函数值. 【详解】由题设，，即是周期为4的奇函数， 所以， 而，所以. 故选：D 2（24-25高一上·福建泉州·期中）已知是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】推导出函数是周期为8的周期函数，再结合函数的周期性求解即可. 【详解】因为是定义在R上的奇函数，且满足， 则， 所以，即， 所以，函数是周期为8的周期函数， 且当时，， 则. 故选：B. 3（24-25高三上·陕西咸阳·开学考试）设奇函数满足，当时，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用得到周期，结合奇函数性质可解. 【详解】为奇函数，则， 又，则，即，故函数周期为4. 则. 故选：C. 【题型4】 函数对称性及其应用 【基础知识】 函数的对称性 1 函数图象自身的对称关系 ① 轴对称：若则有对称轴. ② 中心对称：若函数定义域为，且满足条件为常数)，则函数的图象关于点对称. 2 两个函数图象之间的对称关系 ① 轴对称 若函数定义域为，则两函数的图象关于直线对称. ② 中心对称 若函数定义域为，则两函数与的图象关于点对称. 【经典例题】 【例1】（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列错误的是（　　） A． B．为函数图象的一条对称轴 C．函数在上单调递减 D． 【答案】D 【分析】由为奇函数可得，取，即可判断A；由为偶函数可得，即可判断B；分析可得在上单调递增，结合B选项可判断C；由，取，即可判断D． 【详解】A选项，因为奇函数，则， 令，得，可得，故A正确； B选项，因为偶函数，则， 即为函数图象的一条对称轴，故B正确； C选项，由，得为图象的一个对称中心， 又在上单调递增，则在[2,4]上单调递增， 所以在当单调递增， 又由B选项可知函数在上单调递减，故C正确； D选项，由B选项，，令，可得，故D错误． 故选：D． 【巩固练习】 1（2024·河南·模拟预测）函数图象的对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数解析式以及对数运算法则可得函数满足，即可得对称中心为. 【详解】易知的定义域为， 所以可得， 因此 ， 即函数满足，因此的对称中心为. 故选：B 2（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数对任意都有，且的图象关于对称，，则等于（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求出函数的周期，结合函数为奇函数求解. 【详解】函数对任意都有， ，因此函数的周期. 又的图象关于对称， 所以的图象关于对称，因此函数为奇函数． . 故选：B. 3（24-25高一上·北京·期中）已知函数在上单调递增，且函数的图象关于直线对称，设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先利用对称性将不在上的自变量值转化到上对应的自变量值，再根据单调性比较函数值大小. 【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以有. 那么，. 已知函数在上单调递增. 在上，，根据单调性，当时，，所以. 即，也就是. 故选：A. 4（24-25高一上·浙江台州·期中）已知为奇函数，则 （    ） A． B．14 C． D．7 【答案】C 【分析】由函数是奇函数，当时建立等式求得的值，当自变量互为相反数时，函数值也互为相反数建立等式，求得的值，再令分别为求出对应的值，然后求得结果. 【详解】因为为奇函数，所以当时，，即， ∵，即，∴， 即函数关于点对称， 故，，， ∴. 故选：C 5（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）若函数满足，且的图象关于点对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，即可得到，从而求出、、的值. 【详解】因为的图象关于点对称，所以，， 又，所以，则，故B错误； 由，所以，所以， 又，所以，则，故D正确； 由于只有，无法得知、的值，故A、C错误. 故选：D 6（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知函数，的定义域均为，且，，的图象关于对称，当时，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设得到、，结合已知求相关函数值，即可求结果. 【详解】由，则①， 由，则②， 由①有，结合②有， 所以，故， 由的图象关于对称，则③， 由①有，结合②③有， 所以，则， 由知：， 由知：， 且， 综上，. 故选：C 【点睛】关键点点睛：根据题设得到、为关键. 7（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知函数的定义域为 ，若函数与函数的交点为，则（    ） A．0 B． C．2025 D．4050 【答案】C 【分析】根据条件先判断与均关于点对称，又由两者有2025个交点，判断点记为其中一个交点，再根据函数的对称性即可求得. 【详解】由，可得函数的图象关于点对称， 因，则 ，故函数的图象关于点对称， 又函数的定义域为且和的交点有奇数个，故是两个函数的交点，即， 另外2024个交点都关于点对称，即， 故. 故选：C. 【题型5】 函数对称性与周期性的综合 【基础知识】 1 若函数同时关于直线对称，则函数的周期；特殊地，若偶函数的图像关于直线对称，则函数的周期； 2 若函数同时关于点对称，则函数的周期 ； 3 若函数同时关于直线对称，又关于点对称 则函数的周期 ； 特殊地，若奇函数的图像关于直线对称，则函数的周期. 【经典例题】 【例1】（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数与的定义域均为，且它们的图象关于对称，若奇函数满足，下列关于函数的性质说法不一定正确的有（   ） A．关于对称 B．关于点对称 C．是的一个周期 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合对称性、奇函数的性质可得函数图象的对称中心及对称轴，再逐项判断即得. 【详解】对于A，令是函数的图象上任意一点，则在的图象上， 即，则，由为奇函数，得， 则有，函数的图象关于点对称， 又，则，函数的图象关于对称，A正确； 对于C，，即， 则，的周期，C正确； 对于D，，则，D正确； 对于B，由，得，函数的图象关于对称， 若图象关于点对称，则，即， 而没有条件确保恒成立，B错误. 故选：B 【例2】（多选）（2024高一·全国·专题练习）已知定义在上的奇函数满足，且时，，则下列结论中正确的有（    ） A． B．函数在上是单调递减 C．函数的图象关于直线成轴对称 D．函数的图象关于直线成轴对称 【答案】ABD 【分析】对A，对进行赋值，再根据奇函数的性质即可求解；对B，根据函数的性质画出图象即可判断；对C，根据函数图象即可判断；对D，根据函数图象即可判断. 【详解】对A，，令，则， 又时，，，即， 是奇函数，，故A对； 对B， 可以根据题中条件，画出的图象， 时，，且是奇函数， 故可画出在区间上的图象， ， 故是周期为的函数， 故图象如图所示： 故在上是单调递减，故B对； 对C，由图可知：的图象关于直线成中心对称，故C错； 对D，由图可知：的图象关于直线成轴对称，故D对. 故选：ABD. 【巩固练习】 1（2024·河北·模拟预测）已知函数的定义域为，且为奇函数，，则一定正确的是（    ） A．的周期为2 B．图象关于直线对称 C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性、对称性及周期性对选项逐一分析即可. 【详解】为奇函数，得， 即，则为奇函数，故C错误； 且图象关于点中心对称，故B错误； 可知，函数周期为4，故A错误； ，又图象关于点中心对称，知， 所以，得关于点对称， 则关于点对称，所以为奇函数，故D正确. 故选：D. 2（2024·北京·模拟预测）定义在R上的函数满足：，且，当时，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由条件可得函数的周期为，然后求得其一个周期的值域，即可得到结果. 【详解】由可得， 即关于对称，即， 由可得关于对称， 即，所以， 令，则，代入可得， 即，则， 所以的周期为， 由是定义在R上的函数，且关于对称， 可得，又当时，， 即，所以， 当时，， 且关于对称，则时，， 又关于对称，则时，， 即在一个周期内的值域为， 则的最小值为. 故选：B 3（24-25高三上·山东·期中）若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据条件判断抽象函数的周期，对称性，根据周期性和对称性求函数值，再代入求和. 【详解】根据，以代换得：，所以，可知函数的周期为4， 因为是上的奇函数，所以，即关于点对称， 于是，， 由，取得，即， 则，因此，取，得， 于是 ， 因此，. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用赋值，赋变量，转化抽象关系式，判断函数的周期性和对称性. 4（多选）（24-25高二上·四川眉山·期中）已知函数是上的奇函数，对于任意，都有成立，当时，，给出下列结论，其中正确的是（   ） A． B．点是函数的图象的一个对称中心 C．函数在上单调递增 D．函数在上有个零点 【答案】AB 【分析】由，赋值，可得，故A正确；进而可得是对称中心，故B正确；作出函数图象，可得CD不正确. 【详解】在中，令，得， 又函数是R上的奇函数，所以，故A正确； 因为，故是一个周期为的奇函数， 因为是的对称中心， 所以也是函数的图象的一个对称中心，故B正确； 作出函数的部分图象如图所示， 易知函数在上不具单调性，故C不正确； 函数在上有个零点，故D不正确. 故选：AB. 【A组---基础题】 1（24-25高一上·北京·期中）若函数是偶函数，且，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用偶函数的性质判断即得. 【详解】因为函数是偶函数，， 所以，BCD错误，A正确. 故选：A 2（24-25高一上·黑龙江·期中）函数的部分图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据函数定义域、奇偶性以及特殊点的函数值来确定正确答案. 【详解】由题知函数的定义域为，， 所以函数为偶函数，排除C，D，令，得，排除A，故B正确. 故选：B 3（24-25高一上·四川成都·期中）已知为定义在R上的奇函数，当时，，则（    ） A．－2 B．－1 C．0 D．1 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质求出，再求出即可得解. 【详解】因为为定义在R上的奇函数， 所以得， 所以，故， 则， 故选：C． 4（24-25高一上·云南昆明·期中）已知定义在上的函数满足，，当时，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，由已知不等式和等式可求得的奇偶性和单调性，将所求不等式化为，由单调性可得自变量大小关系，进而解得结果. 【详解】不妨令，则由得：， 令，则在上单调递增； ，， 为定义在上的奇函数，在上单调递增； 由得：，即， ，解得：，即不等式的解集为. 故选：C. 5（24-25高一上·安徽六安·期中）已知定义域为的奇函数，满足，且当时，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由奇偶性、周期性可直接求解. 【详解】由，可知函数周期为，结合函数为奇函数， 所以， 又， 所以， 故选：A 6（24-25高三上·江西·阶段练习）已知定义在R上的单调函数的图象关于点对称，数列满足：，，且，，则（    ） A． B． C．2 023 D．2 025 【答案】C 【分析】根据已知的条件推得数列的周期，从而计算的出结果. 【详解】由的图象关于点对称，得， 又，为单调函数，所以， 又，知数列是以4为一个周期的周期数列， 故，所以 . 故选：C. 7（24-25高一上·浙江温州·期中）已知函数的定义域为，，函数是奇函数，的图象关于直线对称，则（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C． D． 【答案】B 【分析】应用题目所给条件，确定函数图像的对称性，代入可求出的对称轴，对称中心和周期. 【详解】由为奇函数，，可得，即函数图象关于对称，； 由关于对称，得，即，的图象关于点中心对称； 结合条件关于直线对称，， 可以得出. 对于选项A，已知条件不足以确定的奇偶性，A选项错误； 对于选项B，的图象可以由的图象向右平移一个单位得到，故对称中心为，是奇函数，B选项正确； 对于选项C，由已知只能得到，不能确定的取值，C选项错误； 对于D选项，，D选项错误. 故选：B 8（多选）（24-25高一上·四川泸州·期中）不恒为的函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】令，求出的值，可判断A选项；令，求出的值，可判断B选项；令，结合函数奇偶性的定义可判断C选项；利用奇函数的性质可判断D选项. 【详解】因为不恒为的函数的定义域为，， 对于A选项，令，可得，解得，A对； 对于B选项，令，可得，得，B对； 对于C选项，令可得， 故函数为奇函数，C对； 对于D选项，由题意，存在非零实数，使得， 则， 不妨设，则，D错. 故选：ABC. 9（24-25高一上·福建莆田·期中）设是定义在R上的函数，满足，且；当时，，则 . 【答案】3 【分析】根据函数的奇偶性和对称性，得到函数的周期，利用函数周期性求函数值． 【详解】函数满足，且 则有， 故函数是周期为2的函数． . 故答案为：3. 10（24-25高一上·云南大理·期中）已知函数的定义域为R，并且满足下列条件：对任意，都有，，当时，. (1)求； (2)证明：为奇函数； (3)解不等式. 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）由题意赋值得，再赋值和即可求解. （2）赋值结合奇函数定义即可证明. （3）先由函数单调性的定义证明函数在R上单调递减，再结合即可将不等式等价转化为，解该不等式即可得解. 【详解】（1）令，则，， 令，，则， ，，. （2）函数的定义域为，则定义域关于原点对称， 对任意，都有， 由（1）知，. 令，则，即， 是奇函数. （3）任取，且，所以 ，则由题意得， 所以， ， ，在上为减函数. 因为， ，解得， 的解集为. 11（2025高三·全国·专题练习）设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有．当时，． (1)求证：是周期函数； (2)当时，求的解析式； (3)计算的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)1 【分析】（1）利用换元法得，根据周期函数的定义判断即可； （2）利用函数的奇偶性和周期性可求区间上的解析式； （3）先计算的值，再利用函数的周期性求值即可. 【详解】（1）． 是周期为4的周期函数． （2）当时，，则， 又是奇函数，，即． 又当时，， ． 又是周期为4的周期函数， ． 因此，时，． （3）由题意，．所以 又是周期为4的周期函数， 所以 ， 因此，． 【B组---提高题】 1（24-25高三上·上海嘉定·期中）已知函数，，设为实数，且.给出下列结论：①关于中心对称；②存在，使得，则（   ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①与②均正确 D．①与②均错误 【答案】C 【分析】由，判断是否关于中心对称；结合原函数的图象构造新函数判断②. 【详解】解：因为， 所以，则关于中心对称，故①正确； 设，由函数图像关于点对称可知，关于原点对称，即为奇函数，，可得为增函数，图象如图所示， ，且，则，不妨设，，，设点，，， 此时直线OA方程为，由图可得直线OA在函数的上方， 即，， 则 ， 又由 ， 由，即，，故②正确. 故选：C 2（多选）（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，且，则（   ） A．的图象关于点对称 B． C． D． 【答案】BD 【分析】由得到，再结合，确定，进而通过的对称性、周期性逐项判断即可. 【详解】①， ②， 由②可得：③， ①③联立可得：④， 所以的图象关于点对称，A错； 由④，又为偶函数，所以， 所以，两式相减可得：， 又，，结合 所以，B对， ，由，可知：， 所以，所以，C错； 由，可得，结合， 得：， 所以， 又，所以 即，，， 所以， 所以，D正确. 故选：BD 3（24-25高一上·四川泸州·期中）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数. (1)用定义证明函数在上是增函数； (2)证明函数的图象关于点对称； (3)已知函数的图象关于点对称，且当时，.若对任意，总存在，使得成立，求负数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）任取、且，作差，变形后判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立； （2）令，利用函数奇偶性的定义证明出函数为奇函数即可； （3）由题意可知函数的值域是值域的子集，由（2）易得的值域，分析函数在上的单调性，并其值域，根据集合的包含关系可得出关于的不等式组，解之即可. 【详解】（1）因为， 任取、且，则， 所以， ，即， 故函数在上是增函数. （2）令，该函数的定义域为， ， 故函数为奇函数，所以，函数的图象关于点对称. （3）由题意可知，函数在上的值域为函数在上的值域的子集， 因为函数在上单调递增，则，， 所以，函数在上的值域为， 于是原问题转化为函数在上的值域包含， 因为，则，函数在上单调递增， 则当时，，，则， 因为函数的图象关于点对称，所以，， 由题意可得，解得. 所以，负实数的取值范围是. 4（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数是定义在上的增函数. (1)若，求的取值范围； (2)若为周期函数，证明：是常值函数； (3)设恒大于零，是定义在上、恒大于零的周期函数，是的最大值.函数.证明：“是周期函数”的充要条件是“是常值函数”. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用可得答案； （2）利用反证法，假设周期为的函数不是常值函数，根据是定义在上的增函数，推出，矛盾，可得答案； （3）先证分充分性，再必要性，设周期为周期为，在处取得最大值，（方法一）反证法：假设函数不是常值函数，利用是定义在上的增函数，存在，推出与矛盾，所以假设不成立.（方法二）对任意正整数，利用周期性、单调性得在上为常值函数，对于任意固定的正整数，对重复一样的推理可知，上为常值函数可得答案. 【详解】（1）因为是定义在上的增函数， 所以恒成立，故； （2）反证：假设周期为的函数不是常值函数， 注意到是定义在上的增函数， 则存在，满足.取， 则，由是增函数， 则，矛盾. 故是常值函数； （3）（充分性）是常值函数，则显然是周期函数. （必要性）是周期函数，设其周期为周期为， 在处取得最大值. （方法一）反证法：假设函数不是常值函数. 注意到是定义在上的增函数，则存在，满足.若， 用代替，则我们总可以假设. 取，有，所以 ， 这与矛盾，所以假设不成立. 故函数是常值函数. （方法二）对任意正整数， ， 所以，函数是增函数， 所以在上为常值函数， 注意到为任意正整数，所以上为常值函数. 对于任意固定的正整数， 对重复一样的推理可知， 上为常值函数.正整数是任意的， 所以上为常值函数. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$