复习篇 03 函数的概念及其表示 【提高复习+自主学习】-2024-- 2025学年高一数学寒假进阶学习讲义人教A版2019

03 函数的概念及其表示 【题型1】 求函数的定义域 【基础知识】 函数的定义域 ① 概念 函数自变量的取值范围. ② 求函数的定义域主要应考虑以下几点 (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可. 【经典例题】 【例1】（24-25高一上·天津东丽·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·吉林通化·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25高二上·浙江温州·期中）下列函数中，与函数是同一个函数的是（   ） A． B． C． D． 2（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域是，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【题型2】 求函数解析式 【基础知识】 函数的解析式 (1)配凑法：已知，求的问题，往往把右边的整理或配凑成只含的式子，然后用将代换. (2)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数可设为，其中是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出即可. (3)换元法：已知，求时，往往可设，从中解出，代入进行换元.应用换元法时要注意新元的取值范围. (4)解方程组法：已知满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如(或)等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出． 【经典例题】 【例1】（24-25高一上·云南大理·期中）求下列函数的解析式： (1)已知函数满足：； (2)已知一次函数是上的增函数且满足：； (3)已知函数满足：. 【巩固练习】 1（24-25高一上·全国·课后作业）若是一次函数，，，则（   ） A． B． C． D． 2（24-25高一上·重庆·期中）函数满足，则（    ） A． B． C． D． 3（24-25高一上·重庆·期中）已知函数满足，则（     ） A． B． C． D． 【题型3】 函数图象的变换 【基础知识】 1平移变换 ：口诀：左加右减，上加下减 2 对称变换 例：图像可看成图像关于轴对称得到. 例：图像可看成图像关于轴对称得到. 3 翻折变换 例：的图像可看成由图像对称变换得到. 例：的图像可看成由图像对称变换得到. 【经典例题】 【例1】（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知图①对应的函数为，则图②对应的函数是（   ）    A． B． C． D． 【巩固练习】 1函数的图象如图①所示，则图②对应的解析式可以表示为（    ） ①                              ② A． B． C． D． 2（2023·湖南岳阳·模拟预测）函数的图象为（    ） A．   B．   C．   D．   3（21-22高一上·江苏南京·期中）函数的图象大致为（ ） A． B．C． D． 4（23-24高一上·甘肃武威·开学考试）将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图像为（    ） A．   B．   C．   D．   5（2024高三·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，且．若当时，，则在区间上的值域为 . 【题型3】 求函数的值域 【基础知识】 函数的值域 ① 概念 函数值的取值范围 ② 求值域的方法 (1)配方法 (2)数形结合 (3) 换元法 (4)函数单调性法 (5)分离常数法 (6)基本不等式法 【经典例题】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的值域： (1)；(2)；(3)；(4)． 【巩固练习】 1（多选）（24-25高一上·山东济南·期中）下列函数中，在上的值域是的是（   ） A． B． C． D． 2（多选）（23-24高一上·山东·期中）下列四个函数中，值域是的函数是（　　） A． B． C． D． 3（24-25高一上·河北·期中）函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【题型4】 分段函数的性质及应用 【基础知识】 分段函数 (1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值． (2)当出现的形式时，应从内到外依次求值． (3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点。 【经典例题】 【例1】（24-25高一上·江苏·期中）已知实数，函数若，则a的值为（    ） A．1 B． C． D．或 【例2】（24-25高一上·浙江·期中）已知函数若实数满足且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25高一上·全国·课后作业）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 2（24-25高一上·江苏徐州·期中）定义：表示、中的较小者．若函数在区间上的取值范围为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3（23-24高一上·山东·期中）若函数的值域为R，则实数m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 4（多选）（23-24高二下·宁夏银川·期末）函数，被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．函数的值域为 5（多选）（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（    ） A． B．若，则x的值是 C．的解集为 D．的值域为 6（多选）（23-24高一上·四川乐山·期中）已知函数则下列说法中，正确的有（    ） A．若，则方程有实数根 B．若，则方程有2个实数根 C．若方程有3个不同实数根，则 D．若方程有4个不同实数根，则 【A组---基础题】 1（24-25高一上·广东佛山·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2（24-25高一上·天津·期中）已知函数为一次函数，且，则（    ） A． B． C． D．7 3（24-25高一上·江西赣州·期中）已知函数，则函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 4已知函数的图象如图①所示，则图②是下列哪个函数的图象. A． B． C． D． 5（24-25高一上·广东汕头·期中）已知是单调递增的一次函数，满足，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 6（24-25高一上·湖南·期中）已知函数，则方程的解的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 7（23-24高一下·四川泸州·期末）已知函数，若方程有4个不同的根，且，则的值为（    ） A．3 B．0 C．2 D．6 8（多选）（24-25高一上·山东枣庄·期中）已知函数，则（   ） A．函数的定义域为 B．函数在单调递减 C．函数值域为 D．不等式的解集为 9（多选）（24-25高一上·四川内江·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.若，，则下列说法正确的是（    ） A．， B．函数的值域为 C．当时，函数的值域为 D．若，使得，，，…，同时成立，则正整数的最大值是 10（24-25高一上·安徽宿州·阶段练习）某学校为了美化校园环境，计划修建一个如图所示的总面积为的矩形花园.图中阴影部分是宽度相等且为1m的小路，中间，，三个矩形区域将种植三种不同的花（其中，区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示下图中的，并写出的取值范围： (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积是多少？ 11（24-25高一上·福建莆田·期中）已知函数，，函数，其中 (1)若的解集为，求的值； (2)若， （i）求使得成立的的取值范围； （ii）求在区间上的最大值． 【B组---提高题】 1（多选）（24-25高一上·四川成都·阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设用表示不超过x的最大整数，则称为“高斯函数”，如：，，又称为“取整函数”，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（   ） A．， B．， C．，，若，则有 D．方程的解集为 2（23-24高一上·重庆·期末）若，则方程在内的所有实根之和为 . 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 03 函数的概念及其表示 【题型1】 求函数的定义域 【基础知识】 函数的定义域 ① 概念 函数自变量的取值范围. ② 求函数的定义域主要应考虑以下几点 (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可. 【经典例题】 【例1】（24-25高一上·天津东丽·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数有意义，列出不等式求解得定义域. 【详解】函数有意义，则，解得且， 所以原不等式的定义域为. 故选：C 【例2】（24-25高一上·吉林通化·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数定义域的定义,结合抽象函数的定义域即可求解. 【详解】因为的定义域是，所以的定义域是， 令，解得，则的定义域是. 故选：D 【巩固练习】 1（24-25高二上·浙江温州·期中）下列函数中，与函数是同一个函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐项比对定义域及化简后的解析式即可选出答案. 【详解】对于A，定义域为， 而的定义域为，定义域不同，故A错误； 对于B，化简后为，定义域和解析式相同，故B正确； 对于C，化简后为，解析式不同，故C错误； 对于D，的定义域为，与的定义域为不相同，故D错误. 故选：B. 2（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域是，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出的定义域，从而令，解得即可. 【详解】由得，所以的定义域为. 令，解得， ∴函数的定义域为. 故选：C 【题型2】 求函数解析式 【基础知识】 函数的解析式 (1)配凑法：已知，求的问题，往往把右边的整理或配凑成只含的式子，然后用将代换. (2)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数可设为，其中是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出即可. (3)换元法：已知，求时，往往可设，从中解出，代入进行换元.应用换元法时要注意新元的取值范围. (4)解方程组法：已知满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如(或)等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出． 【经典例题】 【例1】（24-25高一上·云南大理·期中）求下列函数的解析式： (1)已知函数满足：； (2)已知一次函数是上的增函数且满足：； (3)已知函数满足：. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)利用配凑法求解； (2)利用待定系数法求解； (3)利用方程组法求解. 【详解】（1）因为， 因为，所以； （2）设， 则， 所以，解得或， 因为是上的增函数，所以； （3）因为定义在上的函数满足①， 所以②， 由①②，得， 所以. 【巩固练习】 1（24-25高一上·全国·课后作业）若是一次函数，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出函数的解析式，再根据给定条件列出方程组，求解作答. 【详解】设，由题设有， 解得，所以． 故选：B． 2（24-25高一上·重庆·期中）函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法将设为，反求出，再代入原式，并将改为即得. 【详解】设，则，即， 代入，可得，故. 故选：A. 3（24-25高一上·重庆·期中）已知函数满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，，解方程即可. 【详解】因①， 用代替①中的得：②， 则得：，解得. 故选：D. 【题型3】 函数图象的变换 【基础知识】 1平移变换 ：口诀：左加右减，上加下减 2 对称变换 例：图像可看成图像关于轴对称得到. 例：图像可看成图像关于轴对称得到. 3 翻折变换 例：的图像可看成由图像对称变换得到. 例：的图像可看成由图像对称变换得到. 【经典例题】 【例1】（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知图①对应的函数为，则图②对应的函数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象的对称和翻折的性即可求解. 【详解】由图②可知，将在的图象沿着轴对称得到， 然后再沿着轴翻折，即可得到. 故选：B 【巩固练习】 1函数的图象如图①所示，则图②对应的解析式可以表示为（    ） ①                              ② A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据绝对值函数的翻折、对称变形，即可判断各选项对应的函数图象形式，即可判断图②对应的解析式. 【详解】函数的图象如图①， 对于A，将的图象左侧部分去除，将右侧图象关于对称，可得，结合图②可知A错误； 对于B，将的图象在轴以上部分不变，轴以下部分翻折到轴上方，可得，结合图②可知B选项错误； 对于C，将的图象的右侧部分去除，将左侧图象关于对称，可得的图象，结合图②可知C正确； 对于D，将的图象左侧部分去除，将右侧图象关于对称，再将整个函数图象关于轴对称，即可得，结合图②可知D错误； 综上可知，图②表示函数的图象， 故选：C. 【点睛】本题考查了绝对值函数翻折、对称变换，注意函数的符号位置及绝对值变换方式，属于中档题. 2（2023·湖南岳阳·模拟预测）函数的图象为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】利用特殊点法与图象平移即可得解. 【详解】因为，所以当时，，故排除ABC， 又的图象可由函数的图象向右平移一个单位得到，则D正确. 故选：D. 3（21-22高一上·江苏南京·期中）函数的图象大致为（ ） A． B．C． D． 【答案】A 【分析】由题可得，再利用函数图象的平移即可判断. 【详解】∵， ∴函数的图象是由函数的图象向右平移1个单位，再把所得图象向上平移1个单位得到. 故选：A 4（23-24高一上·甘肃武威·开学考试）将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图像为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据题意，将函数化为分段函数的形式，得到其大致图像，即可判断平移之后的函数图像. 【详解】    因为，可得函数的大致图像如图所示， 将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得函数图像为C选项中的图像. 故选：C 5（2024高三·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，且．若当时，，则在区间上的值域为 . 【答案】 【分析】先求出函数在上的解析式，结合奇函数画出的图象，再由得到，进而得到函数在上的图象，即可求得值域． 【详解】由当时，，得当时，， 当时，， 又是奇函数，则函数的图象关于原点对称， 由，得当时，， 即函数的图象右移两个单位，函数值变为原来的2倍， 由此可得函数在上的图象如图所示： 结合图象知，在区间上的值域为. 故答案为： 【题型3】 求函数的值域 【基础知识】 函数的值域 ① 概念 函数值的取值范围 ② 求值域的方法 (1)配方法 (2)数形结合 (3) 换元法 (4)函数单调性法 (5)分离常数法 (6)基本不等式法 【经典例题】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的值域： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据即可求出函数的值域； （2）（3）分离常数，结合反比例函数的性质即可得解； （4）根据二次函数的性质求出被开方数的范围即可得解. 【详解】（1）由，即所求函数的值域为； （2）由， ∵，∴， 即函数的值域为； （3）由，∴函数的定义域为， ， 即，∴， 即函数的值域为； （4）由，得， ∴所求函数的值域为． 【巩固练习】 1（多选）（24-25高一上·山东济南·期中）下列函数中，在上的值域是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】分别判断各选项中的函数在上的值域是否为即可. 【详解】函数在上单调递增，所以，值域为，选项A正确； 函数，当时，，所以选项B错误； 函数在上单调递增，所以，值域为，选项C正确； 函数当时，，所以选项D错误. 故选：AC. 2（多选）（23-24高一上·山东·期中）下列四个函数中，值域是的函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用赋值法可判断A；由可判断B；因为，可判断C；与轴有两交点，可判断D. 【详解】对于A，当时，，故A显然不符合题意； 对于B，因为，所以，故B符合题意； 对于C，因为，所以，故C不符合题意； 对于D，因为与轴有两交点，，故D符合题意． 故选：BD． 3（24-25高一上·河北·期中）函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法，结合基本不等式可求得最大值. 【详解】由，令，则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的最大值为. 故选：C. 【题型4】 分段函数的性质及应用 【基础知识】 分段函数 (1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值． (2)当出现的形式时，应从内到外依次求值． (3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点。 【经典例题】 【例1】（24-25高一上·江苏·期中）已知实数，函数若，则a的值为（    ） A．1 B． C． D．或 【答案】B 【分析】对a分类讨论判断出，在分段函数的区间段，代入求出函数值，解方程求出 【详解】解：①当时，，， 由， 得， 解得，不满足，故舍去; ②当时，，， 由， 得， 解得满足， 故 故选：B. 【例2】（24-25高一上·浙江·期中）已知函数若实数满足且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分析分段函数每一段的性质，得到分段函数的图像，根据，得到的取值，即可求得结果. 【详解】如图所示： 因为且， 从图像可得， 因为，所以，即， 因为，所以， 则， 所以的取值范围为， 故选：C. 【巩固练习】 1（24-25高一上·全国·课后作业）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出函数在，，时的值域，然后求并集可得答案. 【详解】当时，，即； 当时，；当时，． 综上可知，的值域为． 故选：B 2（24-25高一上·江苏徐州·期中）定义：表示、中的较小者．若函数在区间上的取值范围为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出函数的图象，数形结合可得出的最大值. 【详解】作出函数的图象如下图中的实线所示： 令，可得或，即点、， 令，可得，即点， 由图可知，当函数在区间上的取值范围是， 且当时，取到最大值. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于理解函数的含义，作出函数的图象求解. 3（23-24高一上·山东·期中）若函数的值域为R，则实数m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，先求得函数和交点坐标，然后分别画出两个函数图像，结合图像，即可得到结果. 【详解】 据题意，函数， 令，整理得，解得或， 即函数和交点的横坐标为和0， 在同一坐标系内做出函数和的图像，如图所示， 要使函数的值域为R，则， 所以实数m的取值范围为． 故选：C． 4（多选）（23-24高二下·宁夏银川·期末）函数，被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．函数的值域为 【答案】BD 【分析】根据函数解析式判断A、D，利用特殊值判断B、C. 【详解】因为， 对于A：，则，所以，则，故A错误； 对于B：当，则，则，故B正确； 对于C：若，，则，满足，但是，故C错误； 对于D：因为，所以函数的值域为，故D正确. 故选：BD 5（多选）（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（    ） A． B．若，则x的值是 C．的解集为 D．的值域为 【答案】ABD 【分析】将代入，得，将代入，可知A正确；分别在和的情况下，根据解析式构造不等式和方程可判断BC正误；分别在和的情况下，结合一次函数和二次函数的值域求法可知D正确. 【详解】对于A，因为，则， 所以，故A正确； 对于B，当时，，解得：（舍）； 当时，，解得：（舍）或； 的解为， 故B正确； 对于C，当时，，解得：； 当时，，解得：； 的解集为，故C错误； 对于D，当时，； 当时，； 的值域为， 故D正确. 故选：ABD. 6（多选）（23-24高一上·四川乐山·期中）已知函数则下列说法中，正确的有（    ） A．若，则方程有实数根 B．若，则方程有2个实数根 C．若方程有3个不同实数根，则 D．若方程有4个不同实数根，则 【答案】ACD 【分析】根据一次函数、指数函数的图象与性质判断各个选项； 【详解】函数大致图象如图所示， 对于A，可知时，有实数根，选项A正确； 对于B，若，则有1个实数根，选项B错误； 对于C，若有3个不同实数根，则，选项C正确； 对于D，若方程有4个不同实数根，则，选项D正确． 故选：ACD 【A组---基础题】 1（24-25高一上·广东佛山·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用可直接求函数定义域. 【详解】由得且， ∴函数的定义域为. 故选：C. 2（24-25高一上·天津·期中）已知函数为一次函数，且，则（    ） A． B． C． D．7 【答案】C 【分析】根据条件求出，得的解析式，进而代入求值即可. 【详解】∵，∴且，解得， ∴，∴. 故选：C. 3（24-25高一上·江西赣州·期中）已知函数，则函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法计算可得. 【详解】设，则且，因为，可得， 所以函数. 故选：B. 4已知函数的图象如图①所示，则图②是下列哪个函数的图象. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图②的图象都为线段，即的自变量形式必须为非正，形式为，然后把此函数图象绕x轴翻转180°即可． 【详解】由图②的图象为两条线段， 所以的自变量无论取何值，总体必须为非正， 所以其形式为，再将此函数图象绕x轴翻转180°，即， 此时，得到图②的形状. 故选：C 5（24-25高一上·广东汕头·期中）已知是单调递增的一次函数，满足，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法求得，换元令，结合二次函数求值域. 【详解】设， 则， 可得，解得，即， 令，则， 可得， 因为的图象开口向上，对称轴为， 可得在上单调递增，且当时，， 可得，即函数的值域为. 故选：B. 6（24-25高一上·湖南·期中）已知函数，则方程的解的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先解关于的方程得或，再结合函数图象，即可判断. 【详解】由方程可解得或，结合函数的图象，可得方程的解有6个. 故选：B. 7（23-24高一下·四川泸州·期末）已知函数，若方程有4个不同的根，且，则的值为（    ） A．3 B．0 C．2 D．6 【答案】A 【分析】作出函数图象，由对称性可知，，，计算得，再计算的结果； 【详解】作出函数的图象如下 由对称性可知，，因为， 由图可知， 所以 则， ， 故选：A. 8（多选）（24-25高一上·山东枣庄·期中）已知函数，则（   ） A．函数的定义域为 B．函数在单调递减 C．函数值域为 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】求出定义域判断A；确定单调区间判断B；求出值域判断C；解不等式判断D. 【详解】对于A，函数有意义，则，解得， 的定义域为，A正确； 对于B，在上单调递减，则在上单调递减，B正确； 对于C，，函数值域为，C错误； 对于D，由，得，则，解得， 的解集为，D正确. 故选：ABD 9（多选）（24-25高一上·四川内江·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.若，，则下列说法正确的是（    ） A．， B．函数的值域为 C．当时，函数的值域为 D．若，使得，，，…，同时成立，则正整数的最大值是 【答案】BCD 【分析】对于A，利用取整函数的定义即可判断；对于B，利用取整函数定义得到即即可得解； 对于C，由题意结合取整函数的定义得且，代入解析式即可求解； 对于D，依据已知条件的结构特征得到，再由得到，从而得解. 【详解】对于A，表示不超过的最大整数，若，， 因为是整数，则，矛盾，故A错误； 对于B，由取整函数定义可得，所以， 所以函数的值域为，故B正确； 对于C，因为，所以且， 所以， 且，当且仅当时取等号， 所以当时，函数的值域为，故C正确； 对于D，若，使得，，，…，同时成立， 则，且，且，且，…，且， 因为，所以若，则不存在t满足和， 所以只有当时，存在满足题意. 所以满足题意的正整数的最大值是.故D正确. 故选：BCD. 10（24-25高一上·安徽宿州·阶段练习）某学校为了美化校园环境，计划修建一个如图所示的总面积为的矩形花园.图中阴影部分是宽度相等且为1m的小路，中间，，三个矩形区域将种植三种不同的花（其中，区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示下图中的，并写出的取值范围： (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)的值为20，最大面积是 【分析】（1）根据面积表达出，并根据和得到的取值范围； （2）表达出，利用基本不等式求出最大值及此时的值. 【详解】（1）设矩形花园的一条边长为，面积为，则另一边为， ，即， ，，即， 又，， ； （2） ， 当且仅当，即时，等号成立， 当的值为20时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积是. 11（24-25高一上·福建莆田·期中）已知函数，，函数，其中 (1)若的解集为，求的值； (2)若， （i）求使得成立的的取值范围； （ii）求在区间上的最大值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由已知，利用韦达定理，即可求得的值； （2）（i）对当时和时，进行分类讨论，由此求得的取值范围；（ii）由（i）可知，分，进行讨论，得到． 【详解】（1）依题意得，为方程的两个根， 则，即，此时不等式的解集恰为符合题意； （2）（i）因为，又，则， ①当时，，所以，解得； ②当时，，所以， 因为，，，所以， 所以无解，         综上所述：的取值范围是；         （ii）由（i）可知：，     当时，，所以，所以；     当时，的对称轴为，所以， 且，，所以， 令，，所以，         综上． 【B组---提高题】 1（多选）（24-25高一上·四川成都·阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设用表示不超过x的最大整数，则称为“高斯函数”，如：，，又称为“取整函数”，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（   ） A．， B．， C．，，若，则有 D．方程的解集为 【答案】BCD 【分析】对于A：取，不成立； 对于B：设，讨论与 求解； 对于C：，则，可得结论； 对于D：先确定，将代入不等式得到的范围，再求得值. 【详解】对于A：取，，故A错误； 对于B：设， 所以， ， 当时，，，，. 所以，， 故当时，成立； 当 时，则，，，. 所以，， 故当时，成立..综上B正确； 对于C：设，则， 则，因此，故C正确； 对于D：由知，一定为整数且， 所以，所以，所以， 由得， 由解得， 只能取，由解得或 (舍去)， 故，所以或， 由上，， 所以当时，由；当时，， 所以方程方程的解集为，故D正确. 故选：BCD. 2（23-24高一上·重庆·期末）若，则方程在内的所有实根之和为 . 【答案】 【分析】根据条件，直接求出在上的解析式，再联立方程，求出所有实根，即可求出结果. 【详解】因为， 当时，，由，得到， 即，解得或（舍）， 当时，，由，得到， 即，解得或（舍）， 当时，，， 由，得，解得或（舍）， 当时，，， 由，得，解得或（舍）， 当时，，， 由，得，解得或（舍）， 当时，，， 由，得，解得或（舍）， 当时，，， 由，得，解得或（舍）， 当时，，， 由，得，解得或（舍）， 当时，，， 由，得，解得或（舍）， 当时，，， 由，得，解得或（舍）， 综上所述，方程在内的所有实根之和为， 故答案为：. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$