复习篇 01 集合与常用逻辑用语 【提高复习+自主学习】-2024-- 2025学年高一数学寒假进阶学习讲义人教A版2019

01 集合与常用逻辑用语 【题型1】 集合间的关系 【基础知识】 集合间的基本关系 (1)子集 对于两个集合，如果集合的任何一个元素都是集合的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合是集合的子集().  记作：(或)，读作：包含于，或包含.  真子集 若集合，但存在元素且，则称集合是集合的真子集. 记作：(或) ，读作：真包含于(或真包含)  (3) 几个结论 ① 空集是任何集合的子集：；  ② 空集是任何非空集合的真子集；  ③ 任何一个集合是它本身的子集；  ④ 对于集合，如果且，那么； ⑤ 集合中有个元素，则子集的个数为，真子集的个数为. 【经典例题】 【例1】（22-23高二下·江西南昌·阶段练习）满足条件的所有集合的个数是（    ） A．32 B．31 C．16 D．15 【例2】（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知集合，，若，则k的值不可能为（   ） A． B． C． D．0 【巩固练习】 1（24-25高三上·湖北黄冈·阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）已知集合，，则集合的子集的个数为（   ） A．3 B．7 C．8 D．15 3（24-25高一上·江西抚州·阶段练习）已知，，若，则集合中的所有非空子集的元素之和为（   ） A．15 B．30 C．60 D．120 4（24-25高一上·上海·期中）设集合，，若，则对应的实数对有（   ） A．无数对 B．2对 C．3对 D．4对 5（多选）（24-25高一上·河北保定·期中）设集合，，且，则实数a的值可以是（   ） A．2 B．1 C． D．0 【题型2】 集合间的运算 【基础知识】 1基本运算 并集 交集 补集 概念 由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的并集. 由属于集合且属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的交集. 对于集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合，称为集合相对于全集的补集. 记号 (读作:并) (读作:交) (读作:的补集) 符号 图形 表示 2结论 若，则； 若，则. 3运算律 ① 交换律 ，； ② 结合律 ，； ③ 分配律 ，； ④ 德摩根律 ，. 【经典例题】 【例1】（23-24高一上·广东肇庆·阶段练习）已知，集合，，，则实数（    ） A．或 B．或0 C．或0 D．或或0 【巩固练习】 1（24-25高一上·山西朔州·期中）设全集，集合，，则集合等于（   ） A． B． C． D． 2（2024·黑龙江吉林·二模）已知全集，，则集合（    ） A． B． C． D． 3（24-25高一上·湖北襄阳·期中）已知全集，集合，，那么下面的韦恩图中，阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 4（24-25高一上·上海·课后作业）若、、为三个集合，，则一定有（　　） A． B． C． D． 5（24-25高一上·广西·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 6（24-25高一上·四川达州·期中）已知集合 .若 则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【题型3】 充分必要条件 【基础知识】 1概念 一般地，若，则为真命题，是指以为已知条件通过推理可以得出. 这时，我们就说，由可以推出，记作，并且说，是的充分条件，是的必要条件. 如果若，则和它的逆命题若，则均是真命题， 即既有，又有，就记作， 此时即是的充分条件也是必要条件，我们说是的充要条件. 2从集合的角度理解－－小范围推得出大范围 命题对应集合， 若，则，即是的充分条件；若，则，即不是的充分条件. 结论 ① 若是的充分不必要条件，则； ② 若是的必要不充分条件，则； ③ 若是的充分条件，则； ④ 若是的必要条件，则； ⑤ 若是的充要条件，则. 【经典例题】 【例1】（23-24高一上·重庆·期末）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（23-24高一上·广东东莞·期中）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2（2023·陕西商洛·模拟预测）设，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3（24-25 高一上·江西宜春·期末）已知，且是的充分条件，则实数可以是（    ） A．3 B．1 C． D． 【题型4】 全称量词与特称量词 【基础知识】 1全称量词 短语对所有的、对任意一个在逻辑中通常称为全称量词，用表示． 含有全称量词的命题称为全称命题． 全称命题对中任意一个，有成立，记作． 2 存在量词 短语存在一个、至少有一个在逻辑中通常称为存在量词，用表示． 含有存在量词的命题称为特称命题． 特称命题存在中的一个，使成立，记作. 【经典例题】 【例1】（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）已知命题“”是假命题， 则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25高一上·江苏徐州·期中）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 2（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知命题，，若为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3（多选）（22-23高一上·湖北随州·阶段练习）已知命题，若为真命题，则的值可以为（ ） A． B． C．0 D．3 【题型4】 集合的新定义问题 【经典例题】 【例1】（24-25高一上·上海·期中）若集合，其中、、…、均为非空集合，，则称集合为集合的一个划分， (1)写出集合的所有不同的2划分； (2)设为有理数的一个2划分，且满足对任意、都有，则下列两种情况是否可能成立？若可能成立，请举出一个例子；若不能成立，请说明理由； ①中的元素不存在最大值，并且中的元素不存在最小值； ②中的元素存在最大值，并且中的元素存在最小值； (3)设集合，对集合的任意一个3划分，证明：存在，存在、，使得． 【巩固练习】 1（24-25高一上·北京·期中）已知集合，集合A，B，C满足：①每个集合恰有6个元素②，集合中元素最大值与最小值之和称为的特征数，记作. 则的最大值与最小值之和（       ）． A．116 B．132 C．126 D．114 2（24-25高一上·吉林长春·期中）对于集合A，B，我们把集合记作．例如，，；则有，，，， 据此，试回答下列问题． (1)已知，，求； (2)已知，求集合A，B； (3)A有3个元素，B有4个元素，试确定有几个元素． 3 （24-25高一上·浙江温州·期中）对于给定的非空集合M，定义集合，，当时，则称具有“对称性”，而，称为的对称集合． (1)试判断集合，是否具有“对称性”，如果有，求出其对称集合；如果没有，请说明理由 (2)若集合，且集合具有"对称性"，求的最小值． (3)已知，且，记，若集合B具有“对称性”，求m的最小值． 【A组---基础题】 1（24-25高一上·天津河北·期中）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 2（24-25高一上·湖南·期中）若集合，则（   ） A． B． C． D． 3（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）满足条件的集合个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 4（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知全集，则集合（    ） A． B． C． D． 5（24-25高一上·江苏南通·期中）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 7（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：①对任意的a，，有；②对任意的a，b，，有；③存在，使得对任意的，有，e称为单位元；④对任意的，存在，使，称a与b互为逆元.则称G关于“”新构成一个群.则下列说法不正确的有（    ） A．关于数的乘法构成群 B．自然数集关于数的加法构成群 C．实数集关于数的乘法构成群 D．关于数的加法构成群 8（24-25高一上·辽宁朝阳·期中）下列四个命题中，其中为真命题的是（    ） A． B． C． D． 9（多选）（24-25高一上·安徽·期中）已知命题，使得.则命题为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 10（24-25高一上·北京延庆·阶段练习）已知集合 (1)若集合A中至多有一个元素，求实数k的取值范围； (2)若集合A最少有一个真子集，求实数k的取值范围. 11（24-25高一上·江苏淮安·期中）已知：关于的方程有实数根，． (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【B组---提高题】 1（多选）（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”．（   ） A．不是“可分集合” B．是“可分集合” C．四个元素的集合可能是“可分集合” D．五个元素的集合不是“可分集合” 2（24-25高三上·北京西城·期中）已知集合，其中，，，…，是的互不相同的子集.记的元素个数为（），的元素个数为（）. (1)若，，，，，写出所有满足条件的集合（结论不要求证明）； (2)若，且对任意的，都有，求的最大值； (3)若给定整数，（）且对任意，都有，求的最大值. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 01 集合与常用逻辑用语 【题型1】 集合间的关系 【基础知识】 集合间的基本关系 (1)子集 对于两个集合，如果集合的任何一个元素都是集合的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合是集合的子集().  记作：(或)，读作：包含于，或包含.  真子集 若集合，但存在元素且，则称集合是集合的真子集. 记作：(或) ，读作：真包含于(或真包含)  (3) 几个结论 ① 空集是任何集合的子集：；  ② 空集是任何非空集合的真子集；  ③ 任何一个集合是它本身的子集；  ④ 对于集合，如果且，那么； ⑤ 集合中有个元素，则子集的个数为，真子集的个数为. 【经典例题】 【例1】（22-23高二下·江西南昌·阶段练习）满足条件的所有集合的个数是（    ） A．32 B．31 C．16 D．15 【答案】B 【分析】根据已知所给的集合关系将问题转化求集合真子集即可. 【详解】由集合满足条件， 所以集合至少含元素1,2，将1,2看成一个整体用来表示， 则上述集合关系式变成：， 则此时集合为集合的真子集， 问题转化为求集合的真子集的个数即：， 故满足题意的集合有31个. 故选：B. 【例2】（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知集合，，若，则k的值不可能为（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】先求出，再根据，分，，求解. 【详解】因为， 当时，即； 当，所以，即； 当，所以，即， 所以的可能取值为，，0，不可能为. 故选：C. 【巩固练习】 1（24-25高三上·湖北黄冈·阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的包含关系直接得到参数的取值范围． 【详解】由题意有， 又，， 可得， 故实数的取值范围是． 故选：B． 2（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）已知集合，，则集合的子集的个数为（   ） A．3 B．7 C．8 D．15 【答案】C 【分析】根据集合的定义求得其元素，再求子集的个数即可. 【详解】，根据集合的定义，故可得，则其子集个数有个. 故选：C. 3（24-25高一上·江西抚州·阶段练习）已知，，若，则集合中的所有非空子集的元素之和为（   ） A．15 B．30 C．60 D．120 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用列举法表示出集合，进而求出结果. 【详解】由，，得， 含有数1的的子集有：，共8个， 同理含有数2、4、8的的子集都各有8个， 所以集合中的所有非空子集的元素之和为. 故选：D 4（24-25高一上·上海·期中）设集合，，若，则对应的实数对有（   ） A．无数对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】D 【分析】由绝对值解出集合，再由得到，或，或，然后由元素的互异性讨论即可； 【详解】由得，所以， 因为，所以，或，或， 当时，即，，此时，成立，即； 当时，即，，此时，成立，即； 当时，则或-3， 当时，即，，此时，成立，即； 当时，即，，此时，成立，即； 综上，共有4对， 故选：D. 5（多选）（24-25高一上·河北保定·期中）设集合，，且，则实数a的值可以是（   ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】ACD 【分析】求出，分，和三种情况，得到实数a的值. 【详解】， 因为， 当时，，满足要求， 当时，，当时，，解得， 综上，或2或. 故选：ACD 【题型2】 集合间的运算 【基础知识】 1基本运算 并集 交集 补集 概念 由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的并集. 由属于集合且属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的交集. 对于集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合，称为集合相对于全集的补集. 记号 (读作:并) (读作:交) (读作:的补集) 符号 图形 表示 2结论 若，则； 若，则. 3运算律 ① 交换律 ，； ② 结合律 ，； ③ 分配律 ，； ④ 德摩根律 ，. 【经典例题】 【例1】（23-24高一上·广东肇庆·阶段练习）已知，集合，，，则实数（    ） A．或 B．或0 C．或0 D．或或0 【答案】D 【分析】求出集合中方程的解确定，即可求出，根据，分两种情况和讨论即可． 【详解】由题可知，，则或， 因为， 所以当时，，则，符合题意； 当时，， 由知，或，即或， 综上所述，实数为0或1或， 故选：D． 【巩固练习】 1（24-25高一上·山西朔州·期中）设全集，集合，，则集合等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集和补集的定义即可求解. 【详解】由题意得，， 则. 故选：B 2（2024·黑龙江吉林·二模）已知全集，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，再根据，即可得解. 【详解】因为，所以， 所以， 又全集， 所以. 故选：D. 3（24-25高一上·湖北襄阳·期中）已知全集，集合，，那么下面的韦恩图中，阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据韦恩图，等价转化为集合的表示，结合并集和补集，可得答案. 【详解】由图可知，阴影部分为，由，则， 故选：C. 4（24-25高一上·上海·课后作业）若、、为三个集合，，则一定有（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知等式可推导得到，由此可依次判断各个选项得到结果. 【详解】因为， 所以，，， 所以, 所以， 对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，当且仅当时，，故B错误； 对于C，当时，满足，故C错误； 对于D，当时，满足，故D错误. 故选：A. 5（24-25高一上·广西·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出集合，结合补集以及集合的交集、并集运算，一一判断各选项，即得答案. 【详解】由题意可得，， 故，A错误; 由于，故，，所以B正确，C错误； ，则不是A的子集，D错误， 故选：B 6（24-25高一上·四川达州·期中）已知集合 .若 则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】已知，这意味着集合与集合在中的补集没有交集，那么集合是集合的子集.接下来通过分析集合的边界与集合边界的关系来确定的取值范围. 【详解】. 因为，所以. 由于，要满足， 当，即，解得. 当，则有.解得：. 综上，m的取值范围为. 故选：A. 7（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）设集合，． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）计算集合，根据集合交集并集定义计算即可； （2）由可得，分和两种情况讨论即可. 【详解】（1）当时，， 所以， （2）由题意，得或， 因为，所以 ①当时，，满足； ②当时，， 所以， 所以，解得 综上所述，实数的取值范围是. 【题型3】 充分必要条件 【基础知识】 1概念 一般地，若，则为真命题，是指以为已知条件通过推理可以得出. 这时，我们就说，由可以推出，记作，并且说，是的充分条件，是的必要条件. 如果若，则和它的逆命题若，则均是真命题， 即既有，又有，就记作， 此时即是的充分条件也是必要条件，我们说是的充要条件. 2从集合的角度理解－－小范围推得出大范围 命题对应集合， 若，则，即是的充分条件；若，则，即不是的充分条件. 结论 ① 若是的充分不必要条件，则； ② 若是的必要不充分条件，则； ③ 若是的充分条件，则； ④ 若是的必要条件，则； ⑤ 若是的充要条件，则. 【经典例题】 【例1】（23-24高一上·重庆·期末）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用充分条件与必要条件的判断方法即可得得出结果. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件， 所以，即，解得， 故选：B. 【巩固练习】 1（23-24高一上·广东东莞·期中）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】按充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】， 故是的必要不充分条件， 故选：B 2（2023·陕西商洛·模拟预测）设，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分条件和必要条件的定义结合题意求解即可. 【详解】若，则，所以， 所以，所以是的充分条件； 若，不妨取，不满足， 所以不是的必要条件，故是的充分不必要条件． 故选：A. 3（24-25 高一上·江西宜春·期末）已知，且是的充分条件，则实数可以是（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由题意先求出的充要条件，然后结合是的充分条件可得实数的范围，从而对比选项即可得解. 【详解】由题意， 若是的充分条件，则当且仅当， 对比选项可知实数可以是3. 故选：A. 【题型4】 全称量词与特称量词 【基础知识】 1全称量词 短语对所有的、对任意一个在逻辑中通常称为全称量词，用表示． 含有全称量词的命题称为全称命题． 全称命题对中任意一个，有成立，记作． 2 存在量词 短语存在一个、至少有一个在逻辑中通常称为存在量词，用表示． 含有存在量词的命题称为特称命题． 特称命题存在中的一个，使成立，记作. 【经典例题】 【例1】（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）已知命题“”是假命题， 则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出当命题“”是真命题时的范围，取其补集可得所求结论. 【详解】由题意得， 若“”是真命题， 即当时，恒成立， 则，其中， 由，可得，所以 所以命题“”是假命题， 则的取值范围为． 故选：D. 【巩固练习】 1（24-25高一上·江苏徐州·期中）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据全称命题的否定得解. 【详解】根据全称命题的否定可知， ，的否定为，， 故选：A 2（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知命题，，若为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，由此可解得实数的取值范围. 【详解】因为命题，，且为真命题，则，解得. 故选：D. 3（多选）（22-23高一上·湖北随州·阶段练习）已知命题，若为真命题，则的值可以为（ ） A． B． C．0 D．3 【答案】BCD 【分析】考虑与两种情况，结合方程有根，得到的取值范围，求出答案. 【详解】当时，，为真命题，则成立， 当时，若为真命题，则，解得且， 综上，为真命题时，的取值范围为. 故选：BCD 【题型4】 集合的新定义问题 【经典例题】 【例1】（24-25高一上·上海·期中）若集合，其中、、…、均为非空集合，，则称集合为集合的一个划分， (1)写出集合的所有不同的2划分； (2)设为有理数的一个2划分，且满足对任意、都有，则下列两种情况是否可能成立？若可能成立，请举出一个例子；若不能成立，请说明理由； ①中的元素不存在最大值，并且中的元素不存在最小值； ②中的元素存在最大值，并且中的元素存在最小值； (3)设集合，对集合的任意一个3划分，证明：存在，存在、，使得． 【答案】(1) (2)①可能成立，，②不可能成立，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意写出含有3个元素的2划分即可； （2）①可以举出反例，②可以利用反证法进行证明； （3）用反证法进行证明，假设对任意，对任意，都有，结合题意推出矛盾，即可得结果. 【详解】（1）集合的所有不同的2划分为 （2）①可能成立，举例如下:; ②不可能成立，证明如下:假设②成立，不妨设中元素的最大值为中元素的最小值为，由题可知:，所以，因为为中元素的最大值，所以， 因为为中元素的最小值，所以，因为，所以， 这与矛盾，所以假设不成立，即②不可能成立； （3）由于集合中有16个元素，所以中至少有一个集合至少包含6个元素， 不妨设中至少包含6个元素，设，且， 假设对任意，对任意，都有， 那么， 又因为， 所以， 则中必有一个集合至少包含中的3个元素， 不妨设这3个元素为，由假设可知:， 对任意，存在， 都有， 又因为，而，与假设矛盾， 所以假设不成立，所以存在，存在，使得 【点睛】方法点睛：对于集合新定义证明类题目，要能正确理解题意，再采取合适的方法进行求解，列举法和反证法是经常使用的方法，先假设条件不成立，再通过逻辑推理得到矛盾，从而证明出结论. 【巩固练习】 1（24-25高一上·北京·期中）已知集合，集合A，B，C满足：①每个集合恰有6个元素②，集合中元素最大值与最小值之和称为的特征数，记作. 则的最大值与最小值之和（       ）． A．116 B．132 C．126 D．114 【答案】D 【分析】判断集合中元素的最小值与最大值的可能情况，然后按照特征数定义求解即可. 【详解】因为满足:①每个集合都恰有个元素；②， 所以一定各包含个不同数值， 集合中元素的最小值分别是1，2，3，最大值是18，13，8， 特征数的和最小，如：，特征数为； ，特征数为； ，特征数为； 则最小，最小值为； 当集合中元素的最小值分别是1，6，11，最大值是18，17，16时， 特征数的和最大， 如：，特征数为； ，特征数为； ，特征数为； 则最大，最大值为， 故的最大值与最小值的和为. 故选：D. 2（24-25高一上·吉林长春·期中）对于集合A，B，我们把集合记作．例如，，；则有，，，， 据此，试回答下列问题． (1)已知，，求； (2)已知，求集合A，B； (3)A有3个元素，B有4个元素，试确定有几个元素． 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】根据的定义求解即可. 【详解】（1）因为，，根据已知有：. （2）因为，所以. （3）从以上解题过程中可以看出，中元素的个数与集合和集合中的元素个数有关， 即集合中的任何一个元素与集合中的一个元素对应后，得到中的一个新元素. 若集合中有个元素，集合中有个元素，则中有个元素， 故有个元素，B有个元素，中有个元素. 3 （24-25高一上·浙江温州·期中）对于给定的非空集合M，定义集合，，当时，则称具有“对称性”，而，称为的对称集合． (1)试判断集合，是否具有“对称性”，如果有，求出其对称集合；如果没有，请说明理由 (2)若集合，且集合具有"对称性"，求的最小值． (3)已知，且，记，若集合B具有“对称性”，求m的最小值． 【答案】(1)有，，； (2)； (3)． 【分析】（1）利用集合的“对称性”定义判断集合的对称性，有对称性的，可求得对称集合； （2）先根据集合的“对称性”定义求出中的元素，比较元素大小，即得的范围，继而求得的最小值； （3）先根据集合的“对称性”定义求出中的元素，比较元素大小，即得的范围，继而求得的最小值. 【详解】（1）对于集合，，，， 所以具有“对称”性质，且对称集合为，； 对于集合，，，， 所以不具有对称性． （2）因，故或，于是2、3、4、、、， 0、1、、，因为，所以，，又，． （3）， 因为，所以，解得，又，故． 【点睛】方法点睛：本题考查学生的创新能力，理解新定义并运用是解题关键，本题实质就是根据新定义求出两个集合和，然后由它们的交集是否为空集确定结论． 【A组---基础题】 1（24-25高一上·天津河北·期中）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据符号所代表的集合和集合与元素的关系逐项判断即可. 【详解】选项A：表示实数集，所以，说法错误； 选项B：表示有理数集，所以，说法错误； 选项C：表示整数集，所以，说法正确； 选项D：表示自然数集，所以，说法错误； 故选：C 2（24-25高一上·湖南·期中）若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别计算出每项中、的对应的值后，检验其是否符合即可得解. 【详解】对A：有，解得，由时，，故，故A错误； 对B：有，解得，由时，，故，故B正确； 对C：有，解得，由时，，故，故C错误； 对D：有，解得，由时，，故，故D错误. 故选：B. 3（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）满足条件的集合个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】将问题转换为求给定集合的真子集的个数即可求解. 【详解】原问题等价于求的真子集的个数，故所求为. 故选：C. 4（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知全集，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合集合的运算，即可得到结果. 【详解】， 且，则集合中不包含元素， 即. 故选：C 5（24-25高一上·江苏南通·期中）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，即，解得， 所以由推不出，故充分性不成立； 由推得出，故必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C 6（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】图中阴影部分表示的集合为，根据交集、补集的定义计算可得. 【详解】因为，又， 所以， 所以图中阴影部分表示的集合为. 故选：C 7（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：①对任意的a，，有；②对任意的a，b，，有；③存在，使得对任意的，有，e称为单位元；④对任意的，存在，使，称a与b互为逆元.则称G关于“”新构成一个群.则下列说法不正确的有（    ） A．关于数的乘法构成群 B．自然数集关于数的加法构成群 C．实数集关于数的乘法构成群 D．关于数的加法构成群 【答案】D 【分析】反例判断A，B，C是否满足④，对于D，对所有的，设，求出，依次看是否满足要求. 【详解】A：由且，使，但，不存在，使，故A错误； B：由且，都有，但，不存在，使，故B错误； C：由且，使，但，不存在，使，故C错误； D：对所有的，可设， 则， ①满足加法结合律，即，有； ②，使得，有； ③，设，使，正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：对于D，对所有的，，求出. 8（24-25高一上·辽宁朝阳·期中）下列四个命题中，其中为真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据绝对值的性质判断A，取特例判断BC，配方后求最值判断D. 【详解】因为，所以，由于不能同时取得， 所以为真命题，故A正确； 当时，，所以为假命题，故B错误； 当时，成立，故为真命题，故C正确； 因为，，所以或时，有最小值，故为假命题，故D错误. 故选：AC 9（多选）（24-25高一上·安徽·期中）已知命题，使得.则命题为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】对进行讨论，求解为真命题的充要条件是，即可根据充分不必要条件的定义求解. 【详解】当时，显然，使得； 当时，，. 综上，命题为真命题的充要条件是， 故选：. 10（24-25高一上·北京延庆·阶段练习）已知集合 (1)若集合A中至多有一个元素，求实数k的取值范围； (2)若集合A最少有一个真子集，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分两种情况进行分类讨论，列出不等式即可求得结果. （2）将问题转化为方程至少有一个根，分两种情况进行分类讨论，求得结果. 【详解】（1）当时，，即，符合题意； 当时，，解得：. 综上所述，实数k的取值范围为. （2）集合A最少有一个真子集，则集合中至少有一个元素， 当时，，即，符合题意； 当时，，解得：且. 综上所述，实数k的取值范围为. 11（24-25高一上·江苏淮安·期中）已知：关于的方程有实数根，． (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据是真命题得到是假命题，利用判别式列不等式来求得的取值范围. （2）根据“是的必要不充分条件”列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）因为命题是真命题，则命题是假命题， 即关于的方程无实数根， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. （2）由（1）知，若命题是真命题，则， 因为命题是命题的必要不充分条件， 则是的真子集， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 【B组---提高题】 1（多选）（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”．（   ） A．不是“可分集合” B．是“可分集合” C．四个元素的集合可能是“可分集合” D．五个元素的集合不是“可分集合” 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用“可分集合”的定义逐项分析判断即得. 【详解】对于A，去掉后，不满足定义，不是“可分集合”，A正确； 对于B，集合所有元素之和为， 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意， 因此集合是“可分集合”，B正确； 对于C，不妨设，去掉，则，去掉，则， 于是，与矛盾，因此一定不是“可分集合”，C错误； 对于D，不妨设， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有①，或者②， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有③，或者④， 由①③或②④得，矛盾；由①④或②③得，矛盾， 因此集合不是“可分集合”，D正确． 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：考查新定义下的集合问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义验证，证明即可，注意对问题思考的全面性. 2（24-25高三上·北京西城·期中）已知集合，其中，，，…，是的互不相同的子集.记的元素个数为（），的元素个数为（）. (1)若，，，，，写出所有满足条件的集合（结论不要求证明）； (2)若，且对任意的，都有，求的最大值； (3)若给定整数，（）且对任意，都有，求的最大值. 【答案】(1)或或或 (2) (3) 【分析】（1）根据新定义对交集情况分类讨论即可； （2）将集合的子集进行两两配对得到16组，写出选择的16个含有元素1的子集即可得到； （3）分中有一元集合和没有一元集合但有二元集合，以及均为三元集合讨论即可. 【详解】（1）因为，则和的元素个数均为1， 又因为，则， 若，，则或； 若，，则或； 综上或或或. （2）集合共有32个不同的子集， 将其两两配对成16组， 使得，则不能同时被选中为子集， 故. 选择的16个含有元素1的子集:，符合题意. 综上，. （3）结论:， 令，集合符合题意. 证明如下： ①若中有一元集合，不妨设， 则其它子集中都有元素1，且元素都至多属于1个子集， 所以除外的子集至多有个，故. ②若中没有一元集合，但有二元集合，不妨设.其它子集分两类: 或，和或， 其中互不相同，互不相同且均不为1，2. 若，则，有 若，则由得每个集合中都恰包含中的1个元素（不是2)， 且互不相同， 因为中除2外至多还有2个元素，所以. 所以. ③若均为三元集合，不妨设.将其它子集分为三类： ， 其中. 若，则(除1，2，3外，其它元素两个一组与1构成集合)， 所以. 若，不妨设， 则由得每个集合中都或者有4、或者有5， 又中除1外无其它公共元素，所以. 所以. 综上，. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是充分理解集合新定义，然后对中集合元素个数进行分类讨论；当均为三元集合时，不妨设，再将其它子集分为三类讨论. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$