4.2.5正态分布第一课时学案-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

正态分布（第一课时） 一、〔对焦课标〕了解服从正态分布的随机变量、正态分布的特征、正态分布的均值、方差及其含义． 二〔学习任务〕掌握正态分布的定义，会利用正态分布解决实际问题． 三、课前三分钟读写测内容：（起立读） 教材92、93页 四、导（新授课） 知识点一　正态曲线 1．定义：函数φ(x)＝的解析式中含有μ和σ两个参数，其中：μ＝ ，即X的均值；σ＝ ，即X的标准差．一般地，φ(x)对应的图像称为正态曲线(也因形状之故而被称为“钟形曲线”，φ(x)也常常记为φμ，σ(x)). 2．性质 (1)正态曲线关于x＝μ对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置)，具有 的特点； (2)正态曲线与x轴所围成的图形的面积为 ； (3)σ决定正态曲线的“胖瘦”：σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”． 知识点二　正态分布 1． 定义及表示：一般地，如果随机变量X落在区间[a，b]内的概率，总是等于φμ，σ(x)对应的正态曲线与x轴在区间[a，b]内围成的 ，则称X服从参数为μ和σ的正态分布，记作X～N(μ，σ2)，此时φμ，σ(x)称为X的概率密度函数．更进一步的研究表明，此时μ是X的 ，而σ是X的标准差，σ2是X的 ． 2．正态分布的几个常用数据：如果X～N(μ，σ2)，那么 P(X≤μ)＝P(X≥μ)＝50%， P(|X－μ|≤σ)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%， P(|X－μ|≤2σ)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%， P(|X－μ|≤3σ)＝P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%. 例1 求正态曲线与x轴在下列区间内所围的面积(精确到0.001)： (1)[μ，+)； (2)[μ-，μ+]； (3)[μ-2，μ+2]； (4)[μ-3，μ+3]. 2.函数(其中)的图象可能为（   ） A．   B．   C．    D．   例2 假设某个地区高二学生的身高服从正态分布，且均值为170(单位：cm，下同)，标准差为10.在该地区任意抽取一名高二学生，求这名学生的身高： (1)不高于170的概率； (2)在区间[160，180]内的概率； (3)不高于180的概率. 五、小组讨论 例3 假设某厂包装食盐的生产线，正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布N(500，52)(单位：g)，该生产线上的检测员某天随机抽取了两包食盐，称得其质量均大于515g. (1)求正常情况下，任意抽取一包食盐，质量大于515 g的概率为多少； (2)检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由. 例4 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某市某中学为了了解高一年级学生的阅读情况，从高一年级全部1000名学生中随机抽取100名学生，调查他们每周的阅读时间（单位：小时）并进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示． 由频率分布直方图可以认为该校高一学生每周阅读时间服从正态分布，其中可以近似为100名学生的每周阅读时间的平均值（同组数据用该组数据区间的中点值表示），． (1)试估计高一全体学生中每周阅读时间不高于6.8小时的人数（四舍五入取整）； (2)若从高一全体学生中随机抽取5名学生进行座谈，设选出的5人中每周阅读时间在10.6小时以上的学生人数为Y，求随机变量Y的分布列，数学期望与方差． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 例5 某次高三统考共有12000名学生参加，若本次考试的数学成绩服从正态分布，已知数学成绩在70分到130分之间的人数约为总人数的，则此次考试中数学成绩不低于130分的学生人数约为（    ） A．2400 B．1200 C．1000 D．800 学科网（北京）股份有限公司 $$