预习篇 11 平行四边形的性质 - 2025年八年级寒假数学专题化复习与重点化预习（人教版）

11 平行四边形的性质 【题型1】 平行四边形的性质的证明 【基础知识】 1 平行四边形概念 两组对边分别平行的四边形叫平行四边形，平行四边形用“”表示，平行四边形记作“”. 如下图，四边形中，，则四边形是平行四边形. 2 平行四边形的性质 上图是平行四边形， （1）两组对边分别平行，即，； （2）两组对边分别相等，即，； （3）两组对角分别相等，即，； （4）对角线互相平分，即，。 【经典例题】 【例1】若四边形是平行四边形，证明. 【巩固练习】 11. (★★)若四边形是平行四边形，证明，. 2. (★★)若四边形是平行四边形，对角线和交于点，证明，. 【题型2】利用平行四边形的性质求解 【经典例题】 【例1】（22-23八年级下·浙江温州·期中）在中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）如图，在中，的平分线DE交BC于点E，若，则的周长为（   ） A．46 B．48 C．50 D．52 【巩固练习】 1（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）如图，在平行四边形中，若，则等于（    ） A． B． C． D． 2（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，在平行四边形中，E是边延长线上一点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3（23-24八年级下·广东佛山·期末）在中，对角线与相交于点，若，，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 4（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，为边上一点，将沿折叠至处，与交于点，若，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 5（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，过点作，垂足为．若，，，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D．3 6（23-24八年级下·全国·期末）如图，的对角线与相交于点O，，若，则的长是（　　） A．6 B．9 C．10 D．11 7（2024·湖南·模拟预测）如图，在中，是边上一点，若分别是的平分线，若的周长为18，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 8（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点、、的坐标分别是，，，则顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【题型3】利用平行四边形的性质证明 【经典例题】 【例1】（2024·江西九江·模拟预测）在平行四边形中，E为上一点，点F为的中点，连接并延长，交的延长线于点G，求证：． 【巩固练习】 1（22-23八年级下·浙江台州·期末）如图，在中，E，G，H，F分别是，，，上的点，且，．求证：． 2（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在的边，上截取线段，，使，连接，M，N是线段上的两点，且，连接，．求证：．    【题型4】综合问题 【经典例题】 【例1】（2023·江苏宿迁·一模）如图，在中，为的中点，连接并延长，交的延长线于点．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【巩固练习】 1（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，在中，对角线，相交于点，分别过点，作，，垂足分别为，，平分． (1)当时，求的大小； (2)求证：． 2（22-23八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，点E，F是对角线上两点，．    (1)求证∶． (2)若，，，求的面积． 3（23-24八年级下·辽宁阜新·阶段练习）如图，在中，平分，交于点E，交的延长线于点F．    (1)求证： (2)若，，，求的长和的面积． 【A组---基础题】 1（23-24八年级下·湖南长沙·期末）如图，四边形是平行四边形，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图，的对角线、相交于点O，且，，则的周长是（　　） A．10 B．14 C．20 D．22 3（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，平分，交边于点E，则线段的长度分别是（   ） A．2和3 B．3和2 C．4和1 D．1和4 4（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，在平行四边形中，，若，，则的长是（     ） A．11 B．10 C．9 D．8 5（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，已知的对角线相交于点O，经过点O，分别交于点E，F，且，则四边形的周长是（    ） A．13 B．1 C．22 D．18 6（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，对角线与相交于点O，点E，F分别在和的延长线上，且，连接，．求证：． 7（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形中，平分交于点，交于点，平分交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【B组---提高题】 1（22-23八年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的坐标分别为，、、，若P是x轴上的一动点，若点A关于的对称点为，则的最小值为 ，的最大值为 ． 2（23-24八年级下·全国·单元测试）在中，， ，，则的面积是（　　） A． B． C． D．或 3（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，点是平行四边形对角线上一点，点在延长线上，且，与交于点． (1)求证：； (2)若垂直平分，，求的长． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11 平行四边形的性质 【题型1】 平行四边形的性质的证明 【基础知识】 1 平行四边形概念 两组对边分别平行的四边形叫平行四边形，平行四边形用“”表示，平行四边形记作“”. 如下图，四边形中，，则四边形是平行四边形. 2 平行四边形的性质 上图是平行四边形， （1）两组对边分别平行，即，； （2）两组对边分别相等，即，； （3）两组对角分别相等，即，； （4）对角线互相平分，即，。 【经典例题】 【例1】若四边形是平行四边形，证明. 解析 证明 连接， 因为四边形是平行四边形，由平行四边形的概念可得，， 所以，， 在和中， 所以， 所以. 【巩固练习】 11. (★★)若四边形是平行四边形，证明，. 解析 证明 因为四边形是平行四边形，由平行四边形的概念可得，， 所以，， 所以， 同理可得. 2. (★★)若四边形是平行四边形，对角线和交于点，证明，. 解析 证明 因为四边形是平行四边形，由平行四边形的概念可得， 所以，， 由平行四边形的性质可得， 在和中， 所以， 所以，. 【题型2】利用平行四边形的性质求解 【经典例题】 【例1】（22-23八年级下·浙江温州·期中）在中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，解答本题的关键是掌握平行四边形的对角相等，邻角互补的性质． 根据平行四边形的邻角互补即可得出的度数． 【详解】解：， ， ， 又， ． 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）如图，在中，的平分线DE交BC于点E，若，则的周长为（   ） A．46 B．48 C．50 D．52 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，还涉及了平行线的性质，等角对等边，应熟练掌握．根据平行四边形的性质得到，，利用平行线的性质和角平分线推出，从而得到，求出，即可得到周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ， 平分， ， ， ， ， ， 平行四边形的周长， 故选：D． 【巩固练习】 1（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）如图，在平行四边形中，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． 故选：B 2（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，在平行四边形中，E是边延长线上一点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角相等． 根据平行四边的性质得出，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 故选：A． 3（23-24八年级下·广东佛山·期末）在中，对角线与相交于点，若，，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是熟知平行四边形的对角线互相平分． 根据平行四边形的对角线互相平分即可判断． 【详解】如图， ∵四边形是平行四边形， ∴对角线与互相平分， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 4（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，为边上一点，将沿折叠至处，与交于点，若，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，熟练运用这些性质是本题的关键．由平行四边形的性质可得，由三角形的内角和定理可求的度数，由折叠的性质可求． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 由折叠的性质可得． 故选B． 5（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，过点作，垂足为．若，，，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的性质及等积法，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而问题可求解 【详解】解：在平行四边形中，， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 故选D． 6（23-24八年级下·全国·期末）如图，的对角线与相交于点O，，若，则的长是（　　） A．6 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，根据平行四边形对角线互相平分得到，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵的对角线与相交于点O，， ∴， ∵， ∴，又， ∴， ∴， 故选：A． 7（2024·湖南·模拟预测）如图，在中，是边上一点，若分别是的平分线，若的周长为18，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，根据平行四边的性质结合角平分线的定义得到，，进而得到，，由平行四边形的周长，即可求解． 【详解】解：∵、分别是、的平分线， ∴，． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ， ∴，， ∴，， ， 平行四边形的周长． ， ， 故选：C． 8（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点、、的坐标分别是，，，则顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，坐标与图形，熟练掌握平行四边形的性质并利用数形结合的思想是解题关键．根据平行四边形的性质结合所给三个顶点的坐标可得出，，即可求解． 【详解】解：∵平行四边形的顶点、、的坐标分别是，，， ∴，轴， ∴，， ∴顶点的坐标是． 故选：A． 【题型3】利用平行四边形的性质证明 【经典例题】 【例1】（2024·江西九江·模拟预测）在平行四边形中，E为上一点，点F为的中点，连接并延长，交的延长线于点G，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据平行四边形的性质证明，得到，即可证明． 【详解】证明：∵点F为的中点， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【巩固练习】 1（22-23八年级下·浙江台州·期末）如图，在中，E，G，H，F分别是，，，上的点，且，．求证：． 【答案】见详解 【分析】根据平行四边形的性质可得，再证明，即可． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 2（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在的边，上截取线段，，使，连接，M，N是线段上的两点，且，连接，．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定以及平行线的判定，掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定以及平行线的判定是解题的关键． 根据四边形是平行四边形可得，进而可证出，即可证出． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， 在和中， ， ， ， ． 【题型4】综合问题 【经典例题】 【例1】（2023·江苏宿迁·一模）如图，在中，为的中点，连接并延长，交的延长线于点．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．解题的关键是熟记平行四边形的性质与全等三角形的判定与性质并灵活运用． （1）由平行四边形的性质可得，从而有，，再由是边上的中点得，利用可判定； （2）由（1）可得，再结合平行四边形的性质可得的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， 由（1）可知：， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∴的长为． 【巩固练习】 1（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，在中，对角线，相交于点，分别过点，作，，垂足分别为，，平分． (1)当时，求的大小； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识. （1）利用三角形内角和定理求出，利用角平分线的定义求出，再利用平行线的性质解决问题即可. （2）运用可证, 可得. 【详解】（1）解：∵, ∴, ∵, ∴, ∵平分, ∴, ∵四边形是平行四边形， ∴, ∴； （2）证明: ∵四边形是平行四边形, ∴,, ∴， ∵, ∴, 在和中, ， ∴, ∴. 2（22-23八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，点E，F是对角线上两点，．    (1)求证∶． (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是利用证出解答． （1）先证，再证出，从而得出． （2）过A点作，交的延长线于G，根据含角的直角三角形的性质得出，进而利用平行四边形的面积解答即可． 【详解】（1）证明：中，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：过A点作，交的延长线于G，    在中，， ∴， ∴的面积． 3（23-24八年级下·辽宁阜新·阶段练习）如图，在中，平分，交于点E，交的延长线于点F．    (1)求证： (2)若，，，求的长和的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，的面积为 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形面积的计算，等腰三角形的判定，勾股定理和含30度角的直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据等腰三角形的判定定理即可得到； （2）根据线段的和差得到；过作交的延长线于，根据直角三角形的性质得到 ，根据三角形的面积公式即可得到的面积 ． 【详解】（1）证明：在中，， ， 平分， ， ， ； （2）解：， ；    过作交的延长线于， ，， ， ， ， ， 的面积． 【A组---基础题】 1（23-24八年级下·湖南长沙·期末）如图，四边形是平行四边形，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质．根据平行四边形对角相等即可求出． 【详解】解：在中有：， ， ， 故选：D． 2（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图，的对角线、相交于点O，且，，则的周长是（　　） A．10 B．14 C．20 D．22 【答案】B 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，正确得出的值是解题关键． 直接利用平行四边形的性质得出，，再利用已知求出的长，进而得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴的周长为． 故选：B． 3（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，平分，交边于点E，则线段的长度分别是（   ） A．2和3 B．3和2 C．4和1 D．1和4 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线、平行四边形的性质及等腰三角形的判定，根据已知得出∠BAE=∠AEB是解决问题的关键． 先根据角平分线及平行线的性质得出，再由等角对等边得出，从而求出的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，在平行四边形中，，若，，则的长是（     ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，由平行四边形的性质可得，，再由勾股定理求出的长即可得解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 5（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，已知的对角线相交于点O，经过点O，分别交于点E，F，且，则四边形的周长是（    ） A．13 B．1 C．22 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，根据平行四边形的性质得到，再证明得到，据此根据四边形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长， 故选：C． 6（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，对角线与相交于点O，点E，F分别在和的延长线上，且，连接，．求证：． 【答案】见解析． 【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解答的关键． 根据平行四边形的性质和全等三角形的判定证明，利用全等三角形的性质即可证得结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ∴，即 ． 7（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形中，平分交于点，交于点，平分交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质．熟练掌握平行四边形的性质及全等三角形的判定是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得出，，，由平行线的性质得出，由角平分线定义得出，证得，即可证得结论； （2）先由平行线的性质得到，由角平分线的定义得到，进而得到，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，， ， 又平分，平分， ，， ， 在和中， ， ， ． （2）解：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ，， ． 【B组---提高题】 1（22-23八年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的坐标分别为，、、，若P是x轴上的一动点，若点A关于的对称点为，则的最小值为 ，的最大值为 ． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查平行四边形及轴对称的性质，利用三角形的三边关系得到是解题的关键． 连接，由轴对称的性质可知，在中由三角形三边关系可知，则可求得答案． 【详解】解：连接，如图： 平行四边形的坐标分别为、、、， ，， 若点关于的对称点为， ， 在中，由三角形三边关系可知：， ，即的最小值为，最大值为． 故答案为：，． 2（23-24八年级下·全国·单元测试）在中，， ，，则的面积是（　　） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识．过作于，解直角三角形得到、、，再求出，最后根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】解：过作于， 在中，， ， ， ， 在中， ， ， 如图1，当时， 平行四边形的面积， 如图2，当时， 平行四边形的面积， 平行四边形的面积为或， 故选：D． 3（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，点是平行四边形对角线上一点，点在延长线上，且，与交于点． (1)求证：； (2)若垂直平分，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、含角的直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理是解题的关键． （1）连接，交于点，证出是的中位线，得，即； （2）求出，，则，，得，，再求出的长，然后由勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：连接，交于点，如图所示： 四边形是平行四边形， ， ， 是的中位线， ， 即； （2）解：，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 垂直平分， ，，， ， ，， ，， ，， ， ， ． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$