4.2提公因式法同步练习2024-2025学年北师大版数学八年级下册

4.2提公因式法 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．多项式中，一定含下列哪个因式（ ）． A．2x+1 B．x（x+1）2 C．x（x2-2x） D．x（x-1） 2．下列各式从左到右的变形中，是用公式法分解因式的是（      ） A． B． C． D． 3．下列各组多项式中没有公因式的是（    ）． A．3x－2与 6x2－4x B．与 C．mx—my与 ny—nx D．ab—ac与 ab—bc 4．多项式4x2﹣4与多项式x2﹣2x+1的公因式是（　　） A．x﹣1 B．x+1 C．x2﹣1 D．（x﹣1）2 5．设P＝a(－a+b－c)，Q＝a(a－ab+ac)，则P与Q的关系是（   ） A．P＝Q B．P＞Q C．P ＜Q D．互为相反式 6．将分解因式的结果是（ ） A． B． C． D． 7．若，则代数式A的值为（    ） A．a B．n C． D． 8．下列多项式中，没有公因式的是（  ） A．和 B．和 C．和 D．和 9．如果多项式的一个因式是，那么另一个因式是（    ） A． B． C． D． 10．单项式与的公因式是（    ） A． B． C． D． 11．下列各组式子中，没有公因式的是（　　） A．﹣a2+ab与ab2﹣a2b B．mx+y与x+y C．(a+b)2与﹣a﹣b D．5m(x﹣y)与y﹣x 12．计算：20185﹣20184=（　　） A．2018 B．1 C．20184×2017 D．20174×2018 二、填空题 13．分解因式： . 14．“回文诗”，是能够回还往复，正读倒读皆成章句的诗篇，是我国古典文学作品中的一种有趣的特殊体裁．如“遥望四边云接水，碧峰千点数鸿轻”，倒过来读，便是“轻鸿数点千峰碧，水接云边四望遥”．在数学中也有这样一类正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”例如11，343等． （1）在所有三位数中，“回文数”共有 个； （2）任意一个四位数的“回文数”一定是 的倍数(1除外)． 15．因式分解：a2+2ab= ． 16．分解因式： ． 17．填空： （1）（( )）( )( )； （2）( )( )( )． 三、解答题 18．（1）计算：； （2）因式分解：m（a－3）+ 2（3－a） 19．如图，将一张长方形大铁皮切割（切痕为虚线）成九块，其中有两块是边长都为a厘米的大正方形，两块是边长都为b厘米的小正方形，且a>b． （1）这张长方形大铁皮长为_____________厘米，宽为_____________厘米（用含a、b的代数式表示）； （2）①求这张长方形大铁皮的面积（用含a、b的代数式表示）； ②若最中间的小长方形的周长为22厘米，大正方形与小正方形的面积之差为33平方厘米，试求a和b的值，并求这张长方形大铁皮的面积．提示：． （3）现要从切块中选择5块，恰好焊接成一个无盖的长方体盒子，共有哪几种方案可供选择（画出示意图）？按哪种方案焊接的长方体盒子的体积最大？试说明理由．（接痕的大小和铁皮的厚度忽略不计） 20．如图是某体育公园内的草坪示意图，该草坪的两端为半圆形，中间是长方形．已知半圆形草坪的半径为，长方形草坪的长为． (1)利用因式分解表示草坪的面积； (2)当，时，求草坪的面积．（取3.14） 21．观察下列等式： 12×231=132×21， 13×341=143×31， 23×352=253×32， 34×473=374×43， …… 以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式” ． （1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”： ①71× = ×17；② ×594=495× ． （2）设这类等式左边两位数的十位数字位a，个位数字为b，且a≥2，b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a，b），并证明． 22．【观察思考】 毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，产生了一系列的形数．如图1，当小石子的数是1，3，6，…时，小石子能摆成三角形，这些数叫三角形数．如图2，当小石子的数是1，4，9，…时，小石子能摆成正方形，这些数叫正方形数． 【规律发现】 （1）图1中，第个三角形数是______；图2中，第个正方形数是______；（请用含的式子表示） 【猜想验证】 （2）毕达哥拉斯进一步发现了三角形数和正方形数之间的内在联系：，，请证明：任意两个相邻三角形数之和是正方形数． 学科网（北京）股份有限公司 《4.2提公因式法》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D A D C A B A A 题号 11 12 答案 B C 1．A 【详解】试题分析：2x(x-2)-2+x =2x(x-2)-(x-2) =(2x-1)(x-2). 故应选A. 考点：分解因式. 2．C 【详解】根据平方差公式：，完全平方公式：，可知C选项的分解因式的方法是平方差公式，D选项是利用提公因式法分解因式，A、B不是分解因式. 故选C. 3．D 【分析】根据公因式的定义可直接进行排除选项． 【详解】A、由，所以与有公因式，故不符合题意； B、由可得公因式为，故不符合题意； C、由可得公因式为，故不符合题意； D、由可得没有公因式，故符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查提取公因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 4．A 【分析】分别将多项式 与多项式 进行因式分解，找出公因式即可； 【详解】解：多项式：，多项式：， 则两多项式的公因式为， 故选：A． 【点睛】本题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的． 5．D 【分析】把Q提取公因式-a可得-a2(-a+b-c)，即可得出Q=-P，即可得答案. 【详解】∵Q= a(a－ab+ac)= -a2(-a+b-c)，P＝a(－a+b－c)， ∴Q=-P， ∴P与Q互为相反式， 故选D. 【点睛】本题考查了提取公因式法因式分解，利用因式分解得出Q=-P是解题关键. 6．C 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，直接提取公因式即可得出答案． 【详解】解：， 故选：C． 7．A 【分析】提出公因式，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴代数式A的值为a． 故选：A 【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键． 8．B 【分析】本题考查了公因式，掌握公因式是多项式中每项都有的因式是解题关键．根据公因式的定义可得答案． 【详解】解：A、和有公因式，不符合题意； B、和没有公因式，符合题意； C、和有公因式，不符合题意； D、和有公因式，不符合题意； 故选：B． 9．A 【分析】多项式先提取公因式，提取公因式后剩下的因式即为所求． 【详解】解：， 故另一个因式为， 故选：A． 【点睛】此题考查了因式分解提取因式法，找出多项式的公因式是解本题的关键．也是解本题的难点，要注意符号． 10．A 【分析】根据公因式的概念分别求得系数的最大公因数，相同字母的次数的最低次数即可． 【详解】解：单项式与单项式的公因式是． 故选：A． 【点睛】此题考查公因式，掌握由几个单项式的各系数最大公约数与各相同字母最小次幂的乘积，组成的式子叫这几个单项式的公因式是解决此题的关键． 11．B 【分析】公因式的定义：多项式中，各项都含有一个公共的因式，因式叫做这个多项式各项的公因式． 【详解】解：、因为，，所以与是公因式是，故本选项不符合题意； 、与没有公因式．故本选项符合题意； 、因为，所以与的公因式是，故本选项不符合题意； 、因为，所以与的公因式是，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查公因式的确定，解题的关键是先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公共因式． 12．C 【分析】提取公因式20184后计算即可求解. 【详解】原式=20184×（2018﹣1） =20184×2017， 故选C． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练运用提公因式法分解因式是解决本题的关键. 13． 【分析】观察等式的右边，提取公因式即可求得答案． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了提取公因式法分解因式．解题的关键是注意找准公因式． 14． 90 11 【分析】本题考查整式的加减，分解因式， （1）百位数字和个位数字相同时，三位数是回文数，据此可得答案； （2）由“回文数”定义，数字与数的关系求得任意四位数的“回文数”是11的倍数； 【详解】解：（1）解：当百位数字和个位数字相同时，三位数是回文数，当百位数字为1时，有10个回文数，同理百位数字为2时，有10个回文数， 三位数的回文数共有90个； 故答案为：90； （2）设任意四位数的“回文数”千位，百位，十位和个位上的数字分别为、、、，则有： ， 是11的倍数； 故答案为：11 15．a（a+2b） 【详解】试题分析：a2+2ab=a（a+2b） 考点：提公因式法——分解因式 16． 【分析】按照提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练运用提取公因式法进行因式分解是解题的关键． 17． ． 【分析】先结合，再提公因式分解因式即可． 【详解】解：（1） （2） 故答案为：；；；；；． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键． 18．（1）；（2） 【分析】（1）根据整式的运算法则即可求出答案． （2）根据因式分解法即可求出答案． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 ． 【点睛】本题考查整式的运算，公因式分解因式，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． 19．（1），；（2）①或；②a=7，b=4，270平方厘米；（3）四种，． 【分析】（1）根据图形可知张长方形大铁皮长为2a+b，宽为a+2b； （2）根据长方形面积公式即可求出面积表达式； （3）共有四种方案可供选择：作出图形即可，然后比较体积大小． 【详解】解：根据图形可知张长方形大铁皮长为2a+b，宽为a+2b 故答案为：（2a+b），（a+2b）； （2）①依题意可得：=cm2； ①依题意得，即（a+b）（a﹣b）=33， 又2（a+b）=22，即a+b=11①， ∴a﹣b=3②， 由①②式可解得：a=7，b=4， 当a=7，b=4时，=18×15=270． 答：这张长方形大铁皮的面积是270cm2． （3）共有下列四种方案可供选择： ，，，， ∴，， ∴， ∵a＞b，∴， ∴方案②与③的体积最大． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，平方差公式和提公因式法分解因式，理解多项式乘以多项式的对于表示图形的面积和体积是解题的关键． 20．(1) (2) 【分析】本题主要考查了列代数式和代数式求值，因式分解的含义，正确理解题意列出代数式是解题的关键． （1）根据花坛的面积等于长为l，宽为的长方形面积加上半径为r的圆的面积进行求解即可； （2）根据（1）所求把，代入求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：当，时， ∴ 21．（1）①187，781；②45，54．（2）（10a+b）［100b+10（a+b）+a］=［100a+10（a+b）+b］（10b+a）；证明见解析． 【分析】（1）观察规律，左边，两位数所乘的数是这个两位数的个位数字变为百位数字，十位数字变为个位数字，两个数字的和放在十位；右边，三位数与左边的三位数字百位与个位数字交换，两位数与左边的两位数十位与个位数字交换然后相乘，根据此规律进行填空即可； （2）按照（1）中对称等式的方法写出，然后利用因式分解进行证明即可． 【详解】解：（1）由左边，两位数所乘的数是这个两位数的个位数字变为百位数字，十位数字变为个位数字，两个数字的和放在十位；右边，三位数与左边的三位数字百位与个位数字交换，两位数与左边的两位数十位与个位数字交换然后相乘，从而可得： 故答案为：①187，781；②45，54． （2）由规律可得： （10a+b）［100b+10（a+b）+a］=［100a+10（a+b）+b］（10b+a） 证明：∵左边=（10a+b）［100b+10（a+b）+a］ =11（10a+b）（10b+a） 右边=［100a+10（a+b）+b］（10b+a） = 11（10a+b）（10b+a） ∴左边=右边，原等式成立． 【点评】本题是对数字变化规律的考查，同时考查了列代数式，去括号，整式的加减运算，因式分解的应用，根据已知信息，掌握利用左边的两位数的十位数字与个位数字变化得到其它的三个数是解题的关键． 22．（1），；（2）见解析 【分析】本题主要考查图形的变化规律，整式的乘法，因式分解,正确找出图形的规律是解题的关键． （1）根据题意得出第n个三角形数为，第n个正方形数为，据此可得答案； （2）设任意两个三角形数为第k个数和第个数，列出代数式并应用因式分解，即得答案． 【详解】（1）由题意知第n个三角形数为， 第n个正方形数为； 故答案为：，． （2）设任意两个三角形数为第k个数和第个数， 则 ， 所以任意第k个数和第个三角形数之和恰等于第个正方形数； 即任意两个相邻三角形数之和是正方形数． 学科网（北京）股份有限公司 $$