精品解析：湖南省跨地区中等专业学校“百校联考”2024—2025学年高二上学期期末数学试题

机密★启用前 湖南省2024-2025年跨地区中等专业学校“百校联考” 科目：数学（高二） （试题卷） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷的封面上，并认真核对答题卡条形码上的姓名、准考证号和科目. 2.选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效.考生在答题卡上按如下要求答题： （1）选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； （2）非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； （3）请勿折叠答题卡.保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁. 3.本试题卷共4页.如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负. 4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 姓名__________ 准考证号__________ 祝你考试顺利！ 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页.时量120分钟，满分120分. 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. “”是“”的（ ） A. 既不充分也不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件 2. “”是“”的（ ） A. 既不充分也不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件 3. 已知平面向量，，则（ ） A. B. 0 C. D. 3 4. 已知平面向量，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 6. 顶点在原点，准线方程是的抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知底面直径和高相等的圆柱的底面积为，则该圆柱的体积为（） A. B. C. D. 8. 正三棱锥中，若底面边长为，侧棱长为5，则它的高是（ ） A. B. C. 4 D. 9. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 计算：（ ） A. B. 4 C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 在中，“”是“”的__________条件. 12. 已知点，，三点共线，则实数__________. 13. 焦点在x轴上的椭圆的焦距是2，则m的值是______． 14. 若一个棱锥的底面是正三角形，底边长度为，高为，则它的体积是__________. 15. 计算：__________. 三、解答题（本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知向量与的夹角为，，. （1）求； （2）若，求实数的值. 17. 平面内给定三个向量. （1）求满足的实数. （2）若，求实数. 18. 已知椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为6，其离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，且，求直线的方程. 19. 已知双曲线中，，虚轴长为． （1）求双曲线的标准方程； （2）过点，倾斜角为的直线与双曲线交于、两点，为坐标原点，求的面积． 20. 如图，，为圆锥底面圆周上的两点，，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）若圆锥底面半径为1，母线的长为，二面角的大小为，求点到平面的距离. 21. 已知抛物线过点. （1）求抛物线的标准方程以及准线方程； （2）若为坐标原点，是否存在平行于的直线，使得直线与抛物线有公共点，且直线与的距离为.若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 机密★启用前 湖南省2024-2025年跨地区中等专业学校“百校联考” 科目：数学（高二） （试题卷） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷的封面上，并认真核对答题卡条形码上的姓名、准考证号和科目. 2.选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效.考生在答题卡上按如下要求答题： （1）选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； （2）非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； （3）请勿折叠答题卡.保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁. 3.本试题卷共4页.如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负. 4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 姓名__________ 准考证号__________ 祝你考试顺利！ 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页.时量120分钟，满分120分. 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. “”是“”的（ ） A. 既不充分也不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件的定义，分别判断得到答案. 【详解】若，解得，可得， 故“”可以推出“”， 若，则，也满足条件，但是， 故“”不可以推出“”， 因此“”是“”的充分不必要条件， 故选：D. 2. “”是“”的（ ） A. 既不充分也不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法解出，再利用充分必要的条件的判定即可求解. 【详解】因为， 所以， 即. 先证充分性， 当时， 若，不符合， 所以充分性不成立； 再证必要性， 当即时， 若，不符合， 所以必要性不成立. 综上所述，“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：A. 3. 已知平面向量，，则（ ） A. B. 0 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量内积的坐标表示求解即可. 【详解】因为向量，， 所以. 故选：C. 4. 已知平面向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据向量的坐标计算向量的数量积和模长，再根据向量夹角公式求解. 【详解】因为平面向量，， 所以，， 又， 所以， 故选：D. 5. 已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆的定义即可求解. 【详解】由椭圆可知，椭圆上点到椭圆两个焦点的距离之和为， 而点到椭圆一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离是7. 故选：A. 6. 顶点在原点，准线方程是的抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据准线方程确定抛物线的标准方程即可. 【详解】已知顶点在原点，准线方程是， 可得，即， 且焦点在轴负半轴，开口向左， 所以抛物线的标准方程为， 故选：B. 7. 已知底面直径和高相等的圆柱的底面积为，则该圆柱的体积为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆柱的底面积和体积公式求解即可. 【详解】已知圆柱的底面积为，根据圆的面积公式（为底面半径）， 可得：，则，解得. 因为底面直径和高相等，所以高. 圆柱的体积公式为，将代入可得： . 故选：B. 8. 正三棱锥中，若底面边长为，侧棱长为5，则它的高是（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画出正三棱锥，根据正三棱锥性质求出，再在直角三角形易得答案. 【详解】在正三棱锥中，作顶点在底面的投影，连接并延长交于点，连接， 则为正三棱锥的高，为等边三角形的中线和边上的高，如图所示， 因为，，因为正三角形， 所以，，因为是三角形的重心， 所以， 在直角三角形中， 高. 故选：C. 9. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的乘除运算及几何意义即可得解. 【详解】. 在复平面对应点的坐标为,位于第一象限. 故选:. 10. 计算：（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算法则运算即可. 【详解】， 故选：A. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 在中，“”是“”的__________条件. 【答案】充要 【解析】 【分析】根据正弦定理和三角形中“大边对大角”的性质，以及充要条件的概念，即可求解. 【详解】根据正弦定理可知（为外接圆半径）， 所以， 若，则，即， 根据三角形中“大边对大角”，所以，充分性成立， 若，根据三角形中“大边对大角”，所以，即， 可得，必要性成立， 故答案为：充要 12. 已知点，，三点共线，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三点共线，求解与的坐标，再由共线向量的坐标表示求解即可. 【详解】已知点，，， 所以，， 因为三点共线，所以， 所以，解得. 故答案为：. 13. 焦点在x轴上的椭圆的焦距是2，则m的值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】由题意可知：，根据椭圆的性质可知：，即可求得m的值. 【详解】由题意可知，，即， 由椭圆的性质可知：， 即， 故答案为:5. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查计算能力，属于基础题. 14. 若一个棱锥的底面是正三角形，底边长度为，高为，则它的体积是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正三角形的面积公式以及正三棱锥的体积公式求解即可. 【详解】正三棱锥的底面是正三角形，边长为， 则底面正三角形的面积为：. 正三棱锥的体积公式为（是底面积，是高），已知高为， 所以该正三棱锥的体积为：. 故答案为： 15. 计算：__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数除法的运算法则计算即可求解. 【详解】. 故答案为：. 三、解答题（本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知向量与的夹角为，，. （1）求； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的模长公式和向量数量积公式，即可求解. （2）根据向量内积公式和两向量垂直数量积为，易得答案. 【小问1详解】 向量与的夹角为，即， ， ，， 即， 故. 【小问2详解】 由（1）得 又，， 即， 代入数据得， 可化为，解得. 17. 平面内给定三个向量. （1）求满足的实数. （2）若，求实数. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）由向量线性运算的坐标表示即可得解. （）由向量平行的坐标表示即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以. ，解得， 所以. 【小问2详解】 ， ， . 18. 已知椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为6，其离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或或 【解析】 【分析】（1）由椭圆的定义和离心率建立等式，计算得到，进而得到椭圆方程； （2）当直线与轴平行时，与椭圆没有交点，当直线与轴不平行时，设直线的方程为，与椭圆方程联立，确定的范围，由韦达定理写出关于的式子，求解得到直线方程. 【小问1详解】 由题意可知，即， 又， ，， 椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 当直线与轴平行时，，由于，直线与椭圆没有交点. 当直线与轴不平行时，设直线的方程为， 联立方程组，整理后得， 若直线与椭圆有两个不同的交点， 则， 解得， 设交点坐标分别为，， 则， 由韦达定理可得，， 则， 又， ，可化为， 或或，满足， 综上所述，直线的方程为或或. 19. 已知双曲线中，，虚轴长为． （1）求双曲线的标准方程； （2）过点，倾斜角为的直线与双曲线交于、两点，为坐标原点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线中之间的关系和已知比例与虚轴长，列出方程组求解即可解得； （2）根据已知点和倾斜角列出直线方程，再将直线方程与双曲线方程联立，结合三角形面积公式即可解得. 【小问1详解】 由已知条件可得，解得，， 因此双曲线的标准方程为． 【小问2详解】 由题意可知，直线的方程为，设点、， 联立，可得，解得，， 因此，． 20. 如图，，为圆锥底面圆周上的两点，，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）若圆锥底面半径为1，母线的长为，二面角的大小为，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理求解. （2）将三棱锥中的边转换成已知，利用三棱锥与三棱锥体积相等，求出三棱锥的高，即为点到平面的距离. 【小问1详解】 在中，为中点，为中点， 所以， 因为平面，平面， 平面. 【小问2详解】 连结，. 在圆锥中，底面， 所以，. 为二面角的平面角， 即. 在直角中，. 在等腰中，，， 在直角中，. . 设点到平面的距离为， . 所以点到平面的距离. 21. 已知抛物线过点. （1）求抛物线的标准方程以及准线方程； （2）若为坐标原点，是否存在平行于的直线，使得直线与抛物线有公共点，且直线与的距离为.若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 【答案】（1）标准方程为，准线方程为 （2）存在，方程为 【解析】 【分析】（1）由抛物线方程过点，代入得到抛物线的标准方程和准线方程即可； （2）由题意先表示出直线，再利用直线l与直线平行得到直线l的方程，与抛物线联立，结合直线与抛物线的位置关系与两平行线间的距离公式求出直线l的方程即可. 【小问1详解】 由已知可得抛物线过点， 代入方程得，解得， 则抛物线的标准方程为， 准线方程为. 【小问2详解】 设存在符合题意的直线， ，， 直线的方程为， 设的方程为， 联立方程组， 整理得， 又直线与抛物线有公共点， ， ， 又直线到直线的距离为， ， 或（舍去）， 综上所述，存在符合题意的直线，其方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $