2024-2025学年高二数学人教A版2019选择性必修二4.4数学归纳法

数学归纳法 (时间：45分钟　满分：100分) 基础巩固 一、选择题 1．(5分)用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N*)，第一步应验证(　　) A．n＝1 B．n＝2 C．n＝3 D．n＝4 2．(5分)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是(　　) A．假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确 B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确 C．假设n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确 D．假设n＝k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N*) 3．(5分)在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)·an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为(　　) A. B. C. D. 4．(5分)若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时成立，则有n＝k＋1时命题也成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*)成立，则有(　　) A．命题对所有正整数都成立 B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立 C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立 D．以上说法都不正确 5．(6分)(多选)某个命题与自然数n有关，如果当n＝k(k∈N*)时该命题成立，则可得n＝k＋1时该命题也成立，若已知n＝5时命题不成立，则下列说法正确的是(　　) A．n＝4时，该命题不成立 B．n＝6时，该命题不成立 C．n＝1时，该命题可能成立 D．n＝6时，该命题可能成立也可能不成立，但若n＝6时命题成立，则对任意n≥6，该命题都成立 二、填空题 6．(5分)设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)＝________. 7．(5分)已知n为正偶数，用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝2时，若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设证n＝____时等式成立． 8．(5分)用数学归纳法证明结论：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)(n∈N*)时，从“k到k＋1”左边需增乘的代数式为____________． 三、解答题 9．(10分)已知{an}为等比数列且an＝2n－1，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，用数学归纳法证明对任意的n∈N*，不等式··…·>成立． 10．(10分)平面内有n(n≥2，n∈N*)条直线，其中任何两条都不平行，任何三条都不经过同一点，用数学归纳法证明：交点的个数f(n)＝. 能力提升 11．(5分)设n是正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，经计算可得，f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>.观察上述结果，可得出的一般结论是(　　) A．f(2n)> B．f(n2)≥ C．f(2n)≥ D．f(2n)> 12．(6分)(多选)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k＋1成立时，总有f(k＋1)≥k＋2成立．则下列命题总成立的是(　　) A．若f(6)<7成立，则f(5)<6成立 B．若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k＋1成立 C．若f(2)<3成立，则f(1)≥2成立 D．若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立 13．(5分)k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)＝________. 14．(10分)给定数列{an}，称{an－an－1}为{an}的差数列(或一阶差数列)，称数列{an－an－1}的差数列为{an}的二阶差数列…… (1)求{2n}的二阶差数列； (2)用含m的式子表示{2n}的m阶差数列，并求其前n项和． 创新拓展 15．(13分)观察下列不等式：5＋3≥8,25＋9≥32,125＋27≥128,625＋81≥512，…. (1)根据这些不等式，归纳出一个关于正整数n的命题； (2)用数学归纳法证明(1)中得到的命题． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学归纳法 (时间：45分钟　满分：100分) 基础巩固 一、选择题 1．(5分)用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N*)，第一步应验证(　　) A．n＝1 B．n＝2 C．n＝3 D．n＝4 [解析]　由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3时不等式是否成立． [答案]　C 2．(5分)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是(　　) A．假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确 B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确 C．假设n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确 D．假设n＝k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N*) [解析]　因为n为正奇数，根据数学归纳法证明步骤，第二步应先假设第k个正奇数成立，即假设n＝2k－1正确，再推第(k＋1)个正奇数即n＝2k＋1正确． [答案]　B 3．(5分)在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)·an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为(　　) A. B. C. D. [解析]　由a1＝，Sn＝n(2n－1)an，得S2＝2(2×2－1)a2，即a1＋a2＝6a2，∴a2＝a1＝＝，S3＝3×(2×3－1)·a3，∴＋＋a3＝15a3，∴a3＝＝，同理a4＝，由此猜想an＝，故选C. [答案]　C 4．(5分)若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时成立，则有n＝k＋1时命题也成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*)成立，则有(　　) A．命题对所有正整数都成立 B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立 C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立 D．以上说法都不正确 [解析]　由已知得n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立．在n＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知C正确． [答案]　C 5．(6分)(多选)某个命题与自然数n有关，如果当n＝k(k∈N*)时该命题成立，则可得n＝k＋1时该命题也成立，若已知n＝5时命题不成立，则下列说法正确的是(　　) A．n＝4时，该命题不成立 B．n＝6时，该命题不成立 C．n＝1时，该命题可能成立 D．n＝6时，该命题可能成立也可能不成立，但若n＝6时命题成立，则对任意n≥6，该命题都成立 [解析]　由题意可知，该命题对n＝4不成立(否则n＝5该命题也成立)，同理可推得该命题对n＝3，n＝2，n＝1也不成立，而n＝6时，该命题可能成立也可能不成立，但若n＝6时命题成立，则对任意n≥6，该命题都成立．故选AD. [答案]　AD 二、填空题 6．(5分)设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)＝________. [解析]　由已知求得f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋，所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋. [答案]　＋＋ 7．(5分)已知n为正偶数，用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝2时，若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设证n＝____时等式成立． [解析]　当n＝k(k≥2且k为偶数)时，1－＋－＋…＋－＝2成立．由于是所有正偶数，则归纳推广，下一个数为n＝k＋2时，等式成立． [答案]　k＋2 8．(5分)用数学归纳法证明结论：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)(n∈N*)时，从“k到k＋1”左边需增乘的代数式为____________． [解析]　当n＝k时，左边＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(2k)，当n＝k＋1时，左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)…(k＋k)(k＋1＋k)(k＋1＋k＋1)，故当“n从k到k＋1”左端需增乘的代数式为＝2(2k＋1)． [答案]　2(2k＋1) 三、解答题 9．(10分)已知{an}为等比数列且an＝2n－1，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，用数学归纳法证明对任意的n∈N*，不等式··…·>成立． [证明]　由已知条件可得bn＝2n， 所以所证不等式为 ··…·>. ①当n＝1时，左边＝，右边＝，左边>右边，所以不等式成立． ②假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立． 即··…·>， 则当n＝k＋1时，··…··>·＝. 要证当n＝k＋1时，不等式成立，只需证≥， 即证≥， 由基本不等式，得＝≥成立， 所以≥成立， 所以当n＝k＋1时，不等式也成立． 由①②可知，对一切n∈N*，原不等式均成立． 10．(10分)平面内有n(n≥2，n∈N*)条直线，其中任何两条都不平行，任何三条都不经过同一点，用数学归纳法证明：交点的个数f(n)＝. [证明]　①当n＝2时，两条直线只有一个交点．而f(2)＝1，命题成立． ②假设当n＝k(k≥2)时，命题成立，即f(k)＝.那么，当n＝k＋1时，第(k＋1)条直线与前k条直线均有一个交点，即新增k个交点．即f(k＋1)＝f(k)＋k＝＋k＝＝，即当n＝k＋1时，命题也成立．由①②知，对于n≥2原命题成立． 能力提升 11．(5分)设n是正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，经计算可得，f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>.观察上述结果，可得出的一般结论是(　　) A．f(2n)> B．f(n2)≥ C．f(2n)≥ D．f(2n)> [解析]　已知f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，即f(22)>，f(23)>，f(24)>，f(25)>，依此类推，可得f(2n)>(n>1，n为正整数)．因为f(2)＝，所以f(2n)≥(n为正整数)． [答案]　C 12．(6分)(多选)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k＋1成立时，总有f(k＋1)≥k＋2成立．则下列命题总成立的是(　　) A．若f(6)<7成立，则f(5)<6成立 B．若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k＋1成立 C．若f(2)<3成立，则f(1)≥2成立 D．若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立 [解析]　选项A中，若f(5)<6不成立，则f(5)≥6，由题意知f(6)≥7，与f(6)<7成立矛盾，所以f(5)<6成立，故正确；选项D中，若f(4)≥5成立，则f(n0＋1)≥n0＋2(n0≥4，n0∈N*)，即f(k)≥k＋1(k≥5)，结合f(4)≥5，所以当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立，故正确；选项C中，同选项A，应有f(1)<2成立，故错误；B不一定成立．所以选AD. [答案]　AD 13．(5分)k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)＝________. [解析]　过棱柱不相邻两条侧棱的截面为棱柱的对角面，k棱柱有f(k)个对角面，(k＋1)棱柱可视为在原k棱柱基础上新增一条棱得到的，k棱柱的原对角面仍是对角面，与新增棱不相邻的原k棱柱的棱有k－2条，其中的每一条棱与新增棱构成一个对角面，这样就新增k－2个对角面，而与新增棱相邻的两条原k棱柱的棱构成的原侧面，现在也为对角面，则总共增加(k－2)＋1＝k－1个对角面，于是得f(k＋1)＝ f(k)＋k－1，所以(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为f(k)＋k－1. [答案]　f(k)＋k－1 14．(10分)给定数列{an}，称{an－an－1}为{an}的差数列(或一阶差数列)，称数列{an－an－1}的差数列为{an}的二阶差数列…… (1)求{2n}的二阶差数列； (2)用含m的式子表示{2n}的m阶差数列，并求其前n项和． [解]　(1)由差数列的定义，数列{2n}的一阶差数列为{2n－2n－1}＝{2n－1}， 数列{2n}的二阶差数列为{2n－1}的一阶差数列，即{2n－1－2n－2}＝{2n－2}， 故数列{2n}的二阶差数列为{2n－2}． (2)通过找规律得，{2n}的m阶差数列为{2n－m}，下面运用数学归纳法进行证明： ①当m＝1时，显然成立；m＝2时，由(1)知结论也成立． ②假设该结论对m＝k(k≥3)时成立，尝试证明其对m＝k＋1时也成立． 由差数列的定义，{2n}的k＋1阶差数列即{2n}的k阶差数列的一阶差数列， 即{2n－k－2n－k－1}＝{2n－k－1}＝{2n－(k＋1)}， 故该结论对m＝k＋1时也成立，证毕． 故{2n}的m阶差数列为{2n－m}．该数列是以21－m为首项，2为公比的等比数列， 故其前n项和为Sn＝＝＝2n＋1－m－21－m， 故{2n}的m阶差数列为{2n－m}，其前n项和为Sn＝2n＋1－m－21－m. 创新拓展 15．(13分)观察下列不等式：5＋3≥8,25＋9≥32,125＋27≥128,625＋81≥512，…. (1)根据这些不等式，归纳出一个关于正整数n的命题； (2)用数学归纳法证明(1)中得到的命题． [解]　(1)不等式可写为5＋3≥23,52＋32≥25,53＋33≥27,54＋34≥29，所以归纳得到命题：5n＋3n≥22n＋1(n∈N*)． (2)证明：①当n＝1时，易知命题成立； ②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立，即5k＋3k≥22k＋1，则当n＝k＋1时，5k＋1＋3k＋1＝5×5k＋3×3k＝(4＋1)×5k＋(4－1)×3k＝4×(5k＋3k)＋5k－3k≥4×22k＋1＋5k－3k≥22(k＋1)＋1，即n＝k＋1时，命题也成立，由①②可知，5n＋3n≥22n＋1. 学科网（北京）股份有限公司 $$