4.1.1 数列的概念与简单表示方法-2024-2025学年高二数学人教A版选择性必修二同步练

数列的概念与简单表示方法 (时间：45分钟　满分：100分) 基础巩固 一、选择题 1．(5分)数列1,3,6,10，…的一个通项公式是(　　) A．an＝n2－(n－1) B．an＝n2－1 C．an＝ D．an＝ [解析]　对于A，a1＝1，a2＝3，a3＝7，a4＝13，故错误；对于B，a1＝0，a2＝3，a3＝8，a4＝15，故错误；对于C，a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，故正确；对于D，a1＝0，a2＝1，a3＝3，a4＝6，故错误．故选C． [答案]　C 2．(5分)已知数列{an}的一个通项公式为an＝(－1)n·2n＋a，且a3＝－5，则实数a＝(　　) A．3 B．1 C．－1 D．0 [解析]　因为a3＝－5，an＝(－1)n·2n＋a，所以－8＋a＝－5，解得a＝3，故选A． [答案]　A 3．(5分)数列{an}的通项公式为an＝则a2a3等于(　　) A．70 B．28 C．20 D．8 [解析]　由通项公式得a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，所以a2a3＝20. [答案]　C 4．(5分)已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，则该数列中的数值最大的项是(　　) A．第5项 B．第6项 C．第4项或第5项 D．第5项或第6项 [解析]　an＝－22＋，因为n∈N*,5<<6，且a5＝55，a6＝54，所以数值最大的项为第5项．故选A． [答案]　A 5．(6分)(多选)下列说法正确的是(　　) A．数列可以用图象来表示 B．数列的通项公式不唯一 C．数列中的项不能相等 D．数列可以用一群孤立的点表示 [解析]　数列中的项可以相等，如常数列，故选项C中说法不正确．其余均正确，故选ABD． [答案]　ABD 二、填空题 6．(5分)已知an＝2n＋a(1－n)，若数列{an}是递减数列，则实数a的取值范围是________． [解析]　∵an＝2n＋a(1－n)，∴an＝(2－a)n＋a，∵数列{an}是递减数列，∴2－a<0，解得a>2. [答案]　(2，＋∞) 7．(5分)在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55，…中，x＝________. [解析]　设数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55，…为{an}，∴an＝an－1＋an－2(n≥3)，∴x＝a7＝a5＋a6＝5＋8＝13. [答案]　13 8．(5分)已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－4，则a6＝________，an＝________. [解析]　由题意得a2＝a1＋a1＝－4，则a1＝－2，而a3＝a2＋a1＝－6，所以a6＝a3＋a3＝－12，…，由此可知an＝－2n. [答案]　－12　－2n 三、解答题 9．(10分)写出下列各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，…； (2)，，，，…； (3)0.3,0.33,0.333,0.3333，…； (4)－1，，－，，…. [解]　(1)各项是从4开始的偶数， 所以an＝2n＋2，n∈N*. (2)每一项分母可写成21,22,23,24，…，分子分别比分母少1，故所求数列的通项公式可写为an＝，n∈N*. (3)因为数列0.9,0.99,0.999,0.9999，…的通项公式为1－，而数列0.3,0.33,0.333,0.3333，…的每一项都是上面数列对应项的， 所以数列的一个通项公式为an＝，n∈N*. (4)通过观察，数列中的数正、负交替出现，且先负后正，则选择(－1)n.又第1项可改写成分数－，则每一项的分母依次为3,5,7,9，…，可写成(2n＋1)的形式．分子为3＝1×3,8＝2×4,15＝3×5,24＝4×6，…，可写成n(n＋2)的形式．所以此数列的一个通项公式为an＝(－1)n·，n∈N*. 10．(10分)已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋n＋110. (1)20是不是{an}中的一项？ (2)当n取何值时，an＝0. [解]　(1)令an＝－n2＋n＋110＝20， 即n2－n－90＝0，∴(n＋9)(n－10)＝0， ∴n＝10或n＝－9(舍)． ∴20是数列{an}中的一项，且为数列{an}中的第10项． (2)令an＝－n2＋n＋110＝0，即n2－n－110＝0， ∴(n－11)(n＋10)＝0， ∴n＝11或n＝－10(舍)， ∴当n＝11时，an＝0. 能力提升 11．(5分)设an＝＋＋＋＋…＋，n∈N*，则a2＝(　　) A． B．＋ C．＋＋ D．＋＋＋ [解析]　∵an＝＋＋＋＋…＋，n∈N*，∴a2＝＋＋.故选C． [答案]　C 12．(6分)(多选)已知数列{an}的前4项依次为2,0,2,0，则数列{an}的通项公式可以是(　　) A．an＝ B．an＝1＋(－1)n＋1 C．an＝2 D．an＝2 [解析]　∵an＝∴a1＝2，a2＝0，a3＝2，a4＝0，故A正确；∵an＝1＋(－1)n＋1，∴a1＝1＋(－1)2＝2，a2＝1＋(－1)3＝0，a3＝1＋(－1)4＝2，a4＝1＋(－1)5＝0，故B正确；∵an＝2，∴a1＝2＝2，a2＝2＝0，a3＝2＝2，a4＝2＝0，故C正确；∵an＝2，∴a1＝2＝2，a2＝2＝1，a3＝2＝2，a4＝2＝1，故D错误．故选ABC． [答案]　ABC 13．(5分)第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽的主体图案是由如图所示的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则a9＝________，此数列的通项公式为an＝________. [解析]　因为OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…，所以a1＝1，a2＝，a3＝，…，a9＝＝3，an＝. [答案]　3　 14．(10分)已知数列{an}满足an＝＋＋＋…＋. (1)数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？ (2)证明：an≥对一切正整数恒成立． [解]　(1)∵an＝＋＋＋…＋， ∴an＋1＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＋＋， ∴an＋1－an＝＋－＝－， 又n∈N*，∴2n＋1<2(n＋1)， ∴an＋1－an>0， ∴数列{an}是递增数列． (2)证明：由(1)知数列{an}为递增数列， 所以数列{an}的最小项是a1＝， 即an≥对一切正整数恒成立． 创新拓展 15．(13分)在数列{an}中，an＝(n＋1)·n(n∈N*)． (1)求证：数列{an}先递增后递减； (2)求数列{an}中的最大项． [解]　(1)证明：因为an>0，令>1(n≥2)，即>1，整理得>，解得n<9，即当n<9时，>1. 同理，令＝1(n≥2)，即当n＝9时，a8＝a9. 令<1(n≥2)，得n>9， 即当n>9时，<1. 综上，数列{an}从第1项到第8项递增，从第9项起递减，即数列{an}先递增后递减． (2)由(1)知，a8≥an(n∈N*)，a9≥an(n∈N*)，故a8＝a9＝是数列{an}中的最大项． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数列的概念与简单表示方法 (时间：45分钟　满分：100分) 基础巩固 一、选择题 1．(5分)数列1,3,6,10，…的一个通项公式是(　　) A．an＝n2－(n－1) B．an＝n2－1 C．an＝ D．an＝ 2．(5分)已知数列{an}的一个通项公式为an＝(－1)n·2n＋a，且a3＝－5，则实数a＝(　　) A．3 B．1 C．－1 D．0 3．(5分)数列{an}的通项公式为an＝则a2a3等于(　　) A．70 B．28 C．20 D．8 4．(5分)已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，则该数列中的数值最大的项是(　　) A．第5项 B．第6项 C．第4项或第5项 D．第5项或第6项 5．(6分)(多选)下列说法正确的是(　　) A．数列可以用图象来表示 B．数列的通项公式不唯一 C．数列中的项不能相等 D．数列可以用一群孤立的点表示 二、填空题 6．(5分)已知an＝2n＋a(1－n)，若数列{an}是递减数列，则实数a的取值范围是________． 7．(5分)在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55，…中，x＝________. 8．(5分)已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－4，则a6＝________，an＝________. 三、解答题 9．(10分)写出下列各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，…； (2)，，，，…； (3)0.3,0.33,0.333,0.3333，…； (4)－1，，－，，…. [解]　(1)各项是从4开始的偶数， 10．(10分)已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋n＋110. (1)20是不是{an}中的一项？ (2)当n取何值时，an＝0. 能力提升 11．(5分)设an＝＋＋＋＋…＋，n∈N*，则a2＝(　　) A． B．＋ C．＋＋ D．＋＋＋ 12．(6分)(多选)已知数列{an}的前4项依次为2,0,2,0，则数列{an}的通项公式可以是(　　) A．an＝ B．an＝1＋(－1)n＋1 C．an＝2 D．an＝2 13．(5分)第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽的主体图案是由如图所示的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则a9＝________，此数列的通项公式为an＝________. 14．(10分)已知数列{an}满足an＝＋＋＋…＋. (1)数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？ (2)证明：an≥对一切正整数恒成立． 创新拓展 15．(13分)在数列{an}中，an＝(n＋1)·n(n∈N*)． (1)求证：数列{an}先递增后递减； (2)求数列{an}中的最大项． 学科网（北京）股份有限公司 $$