1.2集合之间的关系-2024-2025学年高一数学高教版（2021）寒假作业

2024-2025学年高一第一学期高教版寒假作业（知识点+典型例题+达标练习） 1.2集合之间的关系 一、知识回顾 1．子集 (1)概念：对于两个集合A与B，如果集合A的 都是集合B的元素，那么集合A叫作集合B的子集，记作 (或 )，读作“A包含于B(或B包含A)”． (2)性质：①任何一个集合A都是它本身的子集，即 ； ②空集是任何一个集合A的子集，即 . 2．真子集 (1)概念：对于两个集合A与B，如果 ，且B中 不属于A，则称集合A是集合B的真子集，记作 (或 )，读作“A真包含于B(或B真包含A)”． (2)性质：①空集是任何 的真子集； ②若一个集合有n个元素，则它有 个子集， 个真子集， 个非空子集， 个非空真子集． 3．相等 如果集合A与集合B的元素完全相同，那么称集合A等于集合B，记作 . 若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 二、典型例题 典例1.下列选项正确的是(　　) A．{0}＝∅ B．∅∈{0} C．0∈∅ D．∅⊆{0} 典例2.给出下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅⫋A，则A≠∅.其中真命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 典例3.已知集合A＝{－2，0，2}，B＝{x|＋2x＝0}，则集合A，B的关系为(　　) A．A＝B B．A⊇B C．A⊆B D．A≠B 典例4.已知集合A＝{x|－x－2＝0}，B＝{x|ax－1＝0}， 若B⊆A，则实数a的值为____________. 典例5：:已知{a}⊆A⫋{a，b，c}，则满足条件的集合A的个数为________. 典例6.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|a＋1≤x≤2a－1}，若A⊇B，求实数a的取值范围． 三、达标练习 1．若集合A＝{x|1<x<6}，B＝{x|1<x<6，x∈N}，则集合A与集合B的关系为(　　) A．A＝B B．B⊆A C．B⊇A D．B∈A 2．下列关系正确的是(　　) A．∅∈{0} B．N*⊇N C．N⊆Z D．∅＝{x|＝0} 3.已知集合A＝{x|x<3，x∈N}，则集合A的真子集的个数为(　　) A．8 B．7 C．4 D．3 4.下列结论中，正确的个数为(　　) ①∅＝{0}；②∅⊆{0}；③{x|3<x<6}＝{x|3≤x≤6}． A．0 B．1 C．2 D．3 5.已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则实数a的值可以为(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 6.若集合A＝{x，y}，B＝{0，}，且A＝B，则x，y的值分别为(　　) A．0，1 B．1，0 C．－1，0 D．0，－1 7.若∅⫋{x|－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 8.已知集合A＝{x∈N*|－2x－3<0}，则满足B⊆A的集合B的个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．8 9.已知集合A＝{x|－2<x<2}，B＝{x|x>a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是__________. 10.已知集合A＝{x∈N|x<2}，B＝{x∈Z|－2<x<2}． (1)写出集合A的子集； (2)写出集合B的真子集． 11.已知集合A＝{x|＋4x＝0}，B＝{x|＋2(a＋1)x＋－1＝0}．若B⊆A，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一第一学期高教版寒假作业（知识点+典型例题+达标练习） 1.2集合之间的关系 一、知识回顾 1．子集 (1)概念：对于两个集合A与B，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫作集合B的子集，记作A⊆B (或B⊇A)，读作“A包含于B(或B包含A)”． (2)性质：①任何一个集合A都是它本身的子集，即A⊆A； ②空集是任何一个集合A的子集，即∅⊆A. 2．真子集 (1)概念：对于两个集合A与B，如果A⊆B，且B中至少有一个元素不属于A，则称集合A是集合B的真子集，记作A⫋B(或B⫌A)，读作“A真包含于B(或B真包含A)”． (2)性质：①空集是任何非空集合的真子集； ②若一个集合有n个元素，则它有个子集，个真子集，个非空子集，个非空真子集． 3．相等 如果集合A与集合B的元素完全相同，那么称集合A等于集合B，记作A＝B. 若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 二、典型例题 典例1.下列选项正确的是(　　) A．{0}＝∅ B．∅∈{0} C．0∈∅ D．∅⊆{0} 答案：D 解析：{0}是只有一个元素0的集合，0是元素，∅是不含任何元素的集合． 典例2.给出下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅⫋A，则A≠∅.其中真命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：B 典例3.已知集合A＝{－2，0，2}，B＝{x|＋2x＝0}，则集合A，B的关系为(　　) A．A＝B B．A⊇B C．A⊆B D．A≠B 答案：B 解析：由题意，解得B＝{－2，0}，再由集合间的关系，得A⊇B. 典例4.已知集合A＝{x|－x－2＝0}，B＝{x|ax－1＝0}， 若B⊆A，则实数a的值为____________. 答案：0或-1或 解析：由已知，解得A＝{－1，2}，因为B⊆A，所以B＝∅或B＝{－1}或B＝{2}． 典例5：:已知{a}⊆A⫋{a，b，c}，则满足条件的集合A的个数为________. 答案：3 解析：由{a}⊆A知，集合A中必有元素a.由A⫋{a，b，c}知，集合A中的元素除a外，还必须在b，c两个元素中任取0个或1个，即A可能是{a}，{a，b}，{a，c}． 典例6.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|a＋1≤x≤2a－1}，若A⊇B，求实数a的取值范围． 解析：解：由题意，集合A＝{x|－2≤x≤5}，且A⊇B， 当B＝∅时，满足题意，此时有a＋1>2a－1，解得a<2； 当B≠∅时，则有，解得2≤a≤3. 综上所述，实数a的取值范围是(－∞，3]. 三、达标练习 1．若集合A＝{x|1<x<6}，B＝{x|1<x<6，x∈N}，则集合A与集合B的关系为(　　) A．A＝B B．B⊆A C．B⊇A D．B∈A 答案：B 2．下列关系正确的是(　　) A．∅∈{0} B．N*⊇N C．N⊆Z D．∅＝{x|＝0} 答案：C 3.已知集合A＝{x|x<3，x∈N}，则集合A的真子集的个数为(　　) A．8 B．7 C．4 D．3 答案：B 4.下列结论中，正确的个数为(　　) ①∅＝{0}；②∅⊆{0}；③{x|3<x<6}＝{x|3≤x≤6}． A．0 B．1 C．2 D．3 答案：B 5.已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则实数a的值可以为(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 答案：D 6.若集合A＝{x，y}，B＝{0，}，且A＝B，则x，y的值分别为(　　) A．0，1 B．1，0 C．－1，0 D．0，－1 答案：B 7.若∅⫋{x|－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：由题意知，方程－x＋a＝0有实数根，故，解得. 8.已知集合A＝{x∈N*|－2x－3<0}，则满足B⊆A的集合B的个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．8 答案：C 解析： 由题意知，集合A＝{1，2}，故满足集合B是集合A的子集的集合B的个数为. 9.已知集合A＝{x|－2<x<2}，B＝{x|x>a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是__________. 答案：{a|a≤-2}. 解析：用数轴表示可得． 10.已知集合A＝{x∈N|x<2}，B＝{x∈Z|－2<x<2}． (1)写出集合A的子集； (2)写出集合B的真子集． 解析：(1)∵集合A＝{x∈N|x<2}＝{0，1}， ∴集合A的子集有∅，{0}，{1}，{0，1}． (2)∵集合B＝{x∈Z|－2<x<2}＝{－1，0，1}， ∴集合B的真子集有∅，{0}，{－1}，{1}，{－1，0}，{0，1}，{－1，1}． 11.已知集合A＝{x|＋4x＝0}，B＝{x|＋2(a＋1)x＋－1＝0}．若B⊆A，求实数a的取值范围． 解析：由题意，得A＝{－4，0}． ∵B⊆A， ∴当A＝B时，B＝{－4，0}，得a＝1； 当B＝∅时， Δ＝，解得a<－1； 当B中只有一个元素时， ，解得a＝－1， 此时B＝{0}⊆A，满足题意． 综上所述，实数a的取值范围是{a|a≤－1或a＝1}． 学科网（北京）股份有限公司 $$