精品解析：陕西省西安市经开第二中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

2024～2025学年度第一学期期中检测 八年级数学（北师大版） 考生注意：本试卷共8页，满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数，根据无理数的定义逐一判断即可求解，熟记：“无限不循环小数叫做无理数”是解题的关键． 【详解】解：、、是有理数，则A、C、D选项不符合题意； 是无理数，则B选项符合题意， 故选B． 2. 已知一直角三角形两直角边的长分别为9，12，则它的斜边长为（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，运用直角三角形的斜边平方等于两直角边平方和，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵一直角三角形两直角边的长分别为9，12 ∴斜边长为 故选：A 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的概念判断即可,掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 【详解】解：A选项， ，故该选项不符合题意； B选项，是最简二次根式，故该选项符合题意； C选项，，故该选项不符合题意； D选项，，故该选项不符合题意； 故选：B． 4. 下列表示y与x之间关系的图象中，y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查对函数概念的理解，即两个变量x、y，对于每一个x的值，都有唯一的y值与之相对应，此时我们称y是x的函数；关键是能准确运用数形结合理解该知识． 【详解】解：．对于每一个x的值，都有唯一的y值与之相对应，y是x的函数，故该选项不符合题意； ．对于每一个x的值，都有唯一的y值与之相对应，y是x的函数，故该选项不符合题意； ．对于每一个x的值，不都有唯一的y值与之相对应，y不是x的函数，故该选项符合题意； ．对于每一个x的值，都有唯一的y值与之相对应，，y是x的函数，故该选项不符合题意； 故选：C． 5. 中国象棋具有悠久的历史，战国时期，就有了关于象棋的正式记载．如图是中国象棋棋局的一部分，以“士”所在位置为原点，以图中小正方形的边长为单位长度，建立平面直角坐标系，则“炮”的位置应表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系，进而得出答案，正确得出原点位置是解题关键． 【详解】解：根据题意，“炮”的位置应表示为． 故选：A． 6. 若二次根式，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、绝对值，解题的关键是掌握． 根据二次根式的性质得到，则有，根据绝对值的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：， 而， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 7. 在平面直角坐标系中，将一次函数的图像向下平移个单位长度后得到一个正比例函数的图像，若点在一次函数的图像上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数图像的平移，以及求一次函数的性质．熟练掌握一次函数的平移规则是解题的关键．根据一次函数的图像向下平移个单位长度后得到一个正比例函数的图像，得到，求出的值，进而得到一次函数的解析式，将点代入解析式，求出的值即可． 【详解】解：将一次函数的图像向下平移个单位长度后得到一个正比例函数的图像， ， 解得：， 一次函数的解析式为：， 将点代入得：， 解得：， 故选：D． 8. 如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，，为垂足，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质是解题的关键；连接，由题意易得，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故选D． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 比较大小： ____9．（填“”、“ ”或“” 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数比大小，能够熟练的将9写成的形式是解题的关键，然后再比较大小即可． 【详解】解：， ， 即， 故答案为：． 10. 一次函数y=（2m﹣1）x+1，若y随x的增大而增大，则m的取值范围是_____ 【答案】m＞ 【解析】 【分析】根据图象的增减性来确定（2m-1）的取值范围，从而求解． 【详解】∵一次函数y=（2m-1）x+1，y随x的增大而增大， ∴2m-1＞0， 解得，m＞， 故答案是：m＞. 【点睛】本题考查了一次函数的图象与系数的关系．一次函数值y随x的增大而减小⇔k＜0；函数值y随x的增大而增大⇔k＞0． 11. 长方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，若AD＝10，点B的坐标为（﹣6，6），则点C的坐标为______． 【答案】（4，6） 【解析】 【分析】由题意易得BCAD，则点B与点C的纵坐标相等，然后根据两点距离公式可进行求解． 【详解】解：在长方形ABCD中，BCAD， ∴点B与点C的纵坐标相等， 设点C(x,3)， ∵AD＝10， ∴BC＝10， ∴x=−6+10=4， ∴C（4，6）； 故答案为：（4，6）． 【点睛】本题主要考查坐标与图形，熟练掌握求一个点的坐标是解题的关键． 12. 现有一个容器，在注水之前容器内有少量水，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度匀速增加，在容器注满水之前，发现容器内的水面高度是时间的一次函数，将容器内的水面高度与时间记录如下表： 0 5 10 25 … 10 11 12 15 … 则容器内的水面高度关于时间的函数关系式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式，设与的关系式为，然后将，分别代入函数解析式，列出方程组，通过解方程组求得、的值，从而求得函数解析式，利用待定系数法确定函数解析式是解题的突破口． 【详解】解：设与的关系式为， 将，分别代入，得 ． 解得． 故该一次函数解析式为：． 故答案为：． 13. 如图，在中，，，．若，分别是和上的动点，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．连接，由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，可得，，根据勾股定理可求得的长，过点作于点，交于点，当点在点处时，取最小值，且最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ，， 垂直平分， ，， ，， 两点之间线段最短，且垂线段最短， 当、、三点共线，且时，最小， 如图所示，过点作于点，交于点， 当点在点处，点在点处时，取最小值，且最小值为的长， ， ， 即的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，二次根式的计算，先算绝对值和乘法，再合并二次根式即可解答，熟知计算法则是解题的关键． 【详解】解：． ． 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的计算，先进行二次根式的乘除法运算，然后进行合并同类二次根式，得到答案，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键． 【详解】解： ． 16. 已知正数的两个平方根分别是和，且，求的算术平方根． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方根，算术平方根，立方根的概念，由正数的两个平方根互为相反数，得，由，求得，即可求解，关键是掌握上述概念的性质． 【详解】解：正数的两个平方根分别是和， ，解得， ． ， ，解得， ， 的算术平方根是． 17. 已知平面直角坐标系如图所示： （1）画出一次函数的图象； （2）当时，的取值范围是______． 【答案】（1） 如图， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象及性质，画一次函数图象，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的性质． （1）根据一次函数特殊点法即可作出一次函数图象， （2）根据函数图象，得出答案即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，，解得， 根据一次函数图象可得：当时，； 故答案为：． 18. 如图，在等腰中，，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，等腰直角三角形的判定和性质，先得到，即可得到，即可解答，熟练运用勾股定理逆定理证明三角形是直角三角形是解题的关键． 【详解】解： ， ，即． 是直角三角形，． ， ， ． 19. 小明有一根铁丝，他用这根铁丝围成了一个长方形，其中长方形的宽为，长是宽的4倍．若小明用这根铁丝首尾相接围成正方形，则围成的正方形与原长方形相比，谁的面积大？ 【答案】围成的正方形面积大 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，先求出长方形面积，再求出正方形边长，进而求出正方形面积，比较即可得到答案，掌握二次根式的运算法则是关键． 【详解】解：由题意可知，长方形的长为， 长方形的周长为． 围成的正方形边长为． 则长方形的面积为．正方形面积为 因为，所以围成的正方形面积大． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）请画出关于x轴对称的图形，点A，B，C的对应点分别为； （2）若点P在在内部，则点P在中对应点的坐标为_______． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称变换，根据题意得出对应点位置是解题关键． （1）利用关于轴对称的点的坐标特征写出、、的坐标，然后描点即可； （2）根据对称的特点解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点P在在内部，则点P在中对应点的坐标为， 故答案为：． 21. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸莺”．又到了放风筝的最佳时节．如图，小亮的风筝在点C处，点A表示线轴所在的位置，已知引线的长度为10米，两处的水平距离为8米（风筝本身的长、宽忽略不计）．现要使风筝沿竖直方向上升9米至处，若位置不变，引线的长度应加长多少米？ 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，由勾股定理求出线段长，再求出的长度即可解答，关键是读懂题意，作出图形，数形结合． 【详解】解：在中，米，米， 则（米）． 在中，米，米， 则（米）． 则引线的长度应加长米． 22. 在平面直角坐标系中，点． （1）若点M在y轴上，求m的值； （2）若点M到x轴的距离为8，求点M的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查的知识点是象限及点坐标的特点，掌握上述知识点是解题的关键． （1）若点在轴上，则的横坐标为0，即； （2）若点M到x轴的距离为8，则的纵坐标为，列方程，即可解答． 【小问1详解】 解：在轴上， ，解得． 【小问2详解】 解：点到轴的距离为8， 或，解得或． 当时，； 当时，． 点的标为或． 23. 我们知道气球放在空气中会往上飘，小颖利用一只气球研究其上升的速度，发现该气球所在位置距离地面的高度与气球上升的时间之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题： （1）气球的起始高度为______； （2）若气球所在位置距离地面的高度与气球上升的时间之间的函数关系式为，则的值为______； （3）若小颖测得气球此时的高度为，则气球在空气中上升了多长时间？ 【答案】（1）15 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）根据图象，即可解答； （2）利用待定系数法求一次函数的解析式，即可解答； （3）将带入解析式即可解答． 【小问1详解】 解：由图象可得气球的起始高度为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：把带入函数解析式， 可得， 解得， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由（2）可知气球所在位置距离地面的高度与气球上升的时间之间的函数关系式为； 当时，可得， 解得． 答：若小颖测得气球此时的高度为，则气球在空气中上升了． 24. 如图，在中，点D在边上，已知，，，点E在上，且． （1）试说明：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，于是结论得证； （2）由（1）可得，进而可得，利用可证得，于是可得，然后在中，利用勾股定理即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可得：， ∴， 在和中， ∴ ∴， ∴ 25. 随着电动车的普及，电动车的安全充电问题越来越受重视，各个小区内的充电棚随处可见．小明调查了自己小区内的充电的收费方案，方案如下： 方式一：不办充电会员，每充电1小时需按原价支付0.5元； 方式二：办理充电会员，需要首先支付办理会员的费用10元，每充电1小时在原价的基础上打五折． （1）设充电时间为小时，选择不办会员充电所需费用为元，办理会员后充电所需费用为元，请分别写出与之间的关系式； （2）一个电动车每年充电时长为1200小时，请问选哪种充电方式更划算？ （3）当充电时长为多少时，两种充电模式的费用相差5元． 【答案】（1）， （2）办理该会员更划算 （3）充电时长为60或20小时，两种充电模式的费用相差5元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确求得一次函数解析式是解题的关键． （1）根据题意，列出函数关系式即可； （2）把分别带入（1）中函数解析式，比较即可； （3）分类讨论，分为方法一比方法二费用多5元和方法一比方法二费用少5元，分别列方程，即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意可得， 【小问2详解】 解：把代入可得， 把代入可得． 因为，所以办理该会员更划算． 【小问3详解】 解：当时，即，解得． 当时，即，解得． 答：充电时长为60或20小时时，两种充电模式的费用相差5元． 26. 如图①，直线分别与轴交于两点，过点的直线交轴负半轴于点． （1）请直接写出直线的表达式：______． （2）已知在直线上存在一点，使得，请求出所有满足条件的点的坐标； （3）如图②，点的坐标为，点为轴正半轴上一动点，以点为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接．求的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题属于一次函数综合题，主要考查一次函数，几何的综合，掌握待定系数法求解析式，将军饮马问题，等腰直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键． （1）根据直线与轴的交点，可求出点的坐标，再用待定系数法即可求解； （2）设，分别用含的式子表示出，，由此即可求解； （3）是等腰直角三角形，设，，可表示出，再证，如图所示，当点，，在一条直线上时，的值最大，最大值为的值，可求得点的坐标，根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：直线（6分）别与，轴交于，两点， 令，则， ，且， 设直线的解析式为，代入得： ， 解得，， 直线的解析式为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）可知直线的解析式为，直线的解析式为， ，，， ，，， 如图1所示，点在直线上，过点作轴于， 设，， ，，； ①当，即时，， 若，则， 解得， 则 ，； ②当，即时，， 若，则， 解得（舍去）； ③当，即时，， 若，则， 解得， 则； 综上所述，当 或时，； 【小问3详解】 解：已知，，， 设，， 在中，，， 是等腰直角三角形，， ； 如图2所示，过点作轴于， 在，中，，， ， 在和中， ， ， ，， ， ，且轴， 是等腰直角三角形，， 则点的轨迹在射线上， 如图3所示，作点关于直线的对称点， 连接，，，，，， 是等腰直角三角形，即，根据对称性质， ， 轴，且， ，则， 如图所示，当点，，在一条直线上时，的值最大，最大值为的值； 由勾股定理得：， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第一学期期中检测 八年级数学（北师大版） 考生注意：本试卷共8页，满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知一直角三角形两直角边的长分别为9，12，则它的斜边长为（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 25 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列表示y与x之间关系的图象中，y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 中国象棋具有悠久的历史，战国时期，就有了关于象棋的正式记载．如图是中国象棋棋局的一部分，以“士”所在位置为原点，以图中小正方形的边长为单位长度，建立平面直角坐标系，则“炮”的位置应表示为（ ） A. B. C. D. 6. 若二次根式，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，将一次函数的图像向下平移个单位长度后得到一个正比例函数的图像，若点在一次函数的图像上，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，，为垂足，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 比较大小： ____9．（填“”、“ ”或“” 10. 一次函数y=（2m﹣1）x+1，若y随x的增大而增大，则m的取值范围是_____ 11. 长方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，若AD＝10，点B的坐标为（﹣6，6），则点C的坐标为______． 12. 现有一个容器，在注水之前容器内有少量水，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度匀速增加，在容器注满水之前，发现容器内的水面高度是时间的一次函数，将容器内的水面高度与时间记录如下表： 0 5 10 25 … 10 11 12 15 … 则容器内的水面高度关于时间的函数关系式为______． 13. 如图，在中，，，．若，分别是和上的动点，则的最小值是_______． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 计算：． 16. 已知正数的两个平方根分别是和，且，求的算术平方根． 17. 已知平面直角坐标系如图所示： （1）画出一次函数的图象； （2）当时，的取值范围是______． 18. 如图，在等腰中，，若，求的度数． 19. 小明有一根铁丝，他用这根铁丝围成了一个长方形，其中长方形的宽为，长是宽的4倍．若小明用这根铁丝首尾相接围成正方形，则围成的正方形与原长方形相比，谁的面积大？ 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）请画出关于x轴对称的图形，点A，B，C的对应点分别为； （2）若点P在在内部，则点P在中对应点的坐标为_______． 21. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸莺”．又到了放风筝的最佳时节．如图，小亮的风筝在点C处，点A表示线轴所在的位置，已知引线的长度为10米，两处的水平距离为8米（风筝本身的长、宽忽略不计）．现要使风筝沿竖直方向上升9米至处，若位置不变，引线的长度应加长多少米？ 22. 在平面直角坐标系中，点． （1）若点M在y轴上，求m的值； （2）若点M到x轴的距离为8，求点M的坐标． 23. 我们知道气球放在空气中会往上飘，小颖利用一只气球研究其上升的速度，发现该气球所在位置距离地面的高度与气球上升的时间之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题： （1）气球的起始高度为______； （2）若气球所在位置距离地面的高度与气球上升的时间之间的函数关系式为，则的值为______； （3）若小颖测得气球此时的高度为，则气球在空气中上升了多长时间？ 24. 如图，在中，点D在边上，已知，，，点E在上，且． （1）试说明：； （2）若，求的长． 25. 随着电动车的普及，电动车的安全充电问题越来越受重视，各个小区内的充电棚随处可见．小明调查了自己小区内的充电的收费方案，方案如下： 方式一：不办充电会员，每充电1小时需按原价支付0.5元； 方式二：办理充电会员，需要首先支付办理会员的费用10元，每充电1小时在原价的基础上打五折． （1）设充电时间为小时，选择不办会员充电所需费用为元，办理会员后充电所需费用为元，请分别写出与之间的关系式； （2）一个电动车每年充电时长为1200小时，请问选哪种充电方式更划算？ （3）当充电时长为多少时，两种充电模式的费用相差5元． 26. 如图①，直线分别与轴交于两点，过点的直线交轴负半轴于点． （1）请直接写出直线的表达式：______． （2）已知在直线上存在一点，使得，请求出所有满足条件的点的坐标； （3）如图②，点的坐标为，点为轴正半轴上一动点，以点为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接．求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $