第7.1节 功-【帮课堂】2024-2025学年高一物理同步学与练（沪科版2020上海必修第二册）

第七章 机械能守恒定律 7.1 功 课程标准 1.理解做功正负的含义，正确计算做功多少。 2.能够掌握分析常见多力做功和多过程做功的方法。 3.能够理解面积法、平均力法、微元法计算较为复杂的做功过程。 物理素养 物理观念：建立做功是能量转化量度的物理观念。 科学思维：图形结合、化变力为恒力的转换思维。 科学探究：力做功时的位移是物体的位移，还是力的作用点的位移？ 科学态度与责任：养成分析物理过程的良好习惯。 一、功 1.功的计算公式：W＝Flcos α，其中F、l、α分别为力的大小、位移的大小、力与位移的夹角。 (1)如图所示，物体在与水平方向夹角为α的力F的作用下沿水平面前进了l， 把力F沿水平方向和竖直方向进行分解，水平方向的分力为Fcos α，所做的功为Flcos α； 物体在竖直方向上没有发生位移，竖直方向的分力没有对物体做功； 所以力F对物体所做的功为Flcos α (2)W= Flcos α= Fcos α•l= F•lcos α， 既可以认为是F在l方向上的投影，也可以认为是l在F方向上的投影，物理含义相同。 2.国际单位制中，功的单位是焦耳，符号是J。功是能量变化的量度，和能量单位相同。 3.功是标量，没有方向，但有正负，正负不代表大小。 4.某一恒力F对物体做的功，只与l、α有关，与物体的运动状态及物体是否还受其他作用力等因素无关。 5.公式适用范围：W＝Flcos α适用于计算恒力做功，此公式不适用变力做功。 例1. 如图所示，质量为1 kg的物体，静止在光滑水平面上.现在给物体一个与水平方向成60°角斜向上、大小为10 N的拉力F，物体在拉力F的作用下沿水平面运动了2 s，则在这2 s内，拉力F所做的功是？ 【答案】50　 【解析】Fcos 60°＝ma l＝at2 W＝Flcos 60° 联立解得W＝50 J。 二、正功和负功 1.力对物体做正功或负功的条件 由W＝Flcos α可知 (1)当α＝时，W＝0，力F对物体不做功。 (2)当0≤α＜时，W＞0，如图甲，力F对物体做正功，F是动力，物体的能量增加。 (3)当＜α≤π时，W＜0，如图乙，力F对物体做负功，F是阻力，物体的能量减小。 注意，外力F做负功，等同于“物理克服外力F做正功”。 例如：①克服摩擦力做了20J的功，即摩擦力做了20J的负功。 ②克服重力做了20J的功，即物体被举高，重力做了20J的负功。 2.物理意义： 从能量角度讲，功是物体能量变化的量度。 力对物体做正功表示，物体能量增加；力对物体做负功表示，物体能量减少。 功的正负不表示功的大小。 3.恒力做功的计算 功的公式W＝Flcos α，只适用于恒力做功，即F为恒力，l是物体相对地面的位移，流程图如下： 例2. 如图所示，用沿斜面向上、大小为800 N的力F，将质量为100 kg的物体沿倾角为θ＝37°的固定斜面由底端匀速地拉到顶端，斜面长L＝5 m，物体与斜面间的动摩擦因数为0.25. 求这一过程中：(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8) (1)物体的重力所做的功； (2)摩擦力所做的功； (3)物体所受各力的合力所做的功。 【答案】(1)－3 000 J　 (2)－1 000 J　 (3)0 【解析】对物体受力分析如图所示 (1)WG＝－mgLsin θ＝－3 000 J (2)Ff＝μFN＝μmgcos θ Wf＝－FfL＝－μmgcos θ·L ＝－1 000 J (3)WF＝FL＝4 000 J W＝WF＋WG＋Wf＝0 三、总功的计算 1. 多力：当一个物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，计算合力对物体所做的总功有以下两种方法： (1)各个分力分别对物体所做功的代数和。 即先由W＝Flcos α计算各个力对物体所做的功W1、W2、W3… 然后求所有力做功的代数和，即W合＝W1＋W2＋W3＋…. (2)几个力的合力对物体所做的功。 即先由力的合成或根据牛顿第二定律求出合力F合， 然后由W合＝F合lcos α计算总功，此时α为F合的方向与l的方向间的夹角。 注意：当在一个过程中，几个力作用的位移不相同时，只能用方法(1)。 2. 多过程：如果一个运动过程可分为几个过程，则总功等于各过程做功之和。 例3. 一个物体在相互垂直的两个力 F1、F2 的作用下运动，运动过程中F1 对物体做功－6 J，F2 对物体做功 8 J，则 F1 和 F2 的合力做功为（ ） A. 2 J B.6 J C. 10 J D. 14 J 【答案】A 【解析】总功等于各力做功之和，与各力的方向没有关系。 例4. 如图所示，一个质量为m＝2 kg的物体，受到与水平方向成37°角斜向上方的力F＝10 N作用，在水平地面上从静止开始向右移动的距离为l＝2 m，已知物体和地面间的动摩擦因数为0.3，g取10 m/s2，求外力对物体所做的总功.(cos 37°＝0.8，sin 37°＝0.6) 【答案】7.6 J 【解析】物体受到的摩擦力为：Ff＝μFN ＝μ(mg－Fsin 37°)＝0.3×(2×10－10×0.6)N＝4.2 N （解法一）先求各力的功，再求总功。 拉力F对物体所做的功为：W1＝Flcos 37°＝10×2×0.8 J＝16 J 摩擦力Ff对物体所做的功为：W2＝Fflcos 180°＝－4.2×2 J＝－8.4 J 由于重力、支持力对物体不做功，故外力对物体所做总功W＝W1＋W2＝7.6 J （解法二）先求合力，再求总功. 物体受到的合力为：F合＝Fcos 37°－Ff＝10×0.8 N－4.2 N＝3.8 N， 所以W＝F合l＝3.8×2 J＝7.6 J 四、变力做功 (1)用平均力求功：若力F随位移x线性变化，则可以用一段位移内的平均力求功， 如将劲度系数为k的弹簧拉长x时，克服弹力做的功W＝x＝·x＝kx2. (2)面积法：用F－x图像求功 若已知F－x图像，则图像与x轴所围的面积表示功，如图(1)所示，在位移x0内力F做的功W＝x0 (1) (2) 图(2)表示横轴l的上方面积表示正功，下方面积表示负功。 (3)微元法：如果位移也是变化的，可以把位移分割为微小的片段，近似看成直线，进行累积计算。 通常在计算弯曲轨道的摩擦力做功采用此方法。 (4)化变力为恒力，通常应用在使用滑轮的情况下求做功。 (5)当变力做功的功率P一定时，如机车恒定功率启动，可用W＝Pt求功。 (6)利用动能定理和能量守恒间接计算。 例5. 放在地面上的木块与一轻弹相连，弹处于自由伸长状态。现用手水平拉弹簧拉力的作用点移动x=0.2 m 时，木块开始运动，继续拉弹，木块缓慢移动了 0.4 m的位移，其 F-x 图像如图所示，求上述过程中拉力所做的功。 A.40J B.20J C.24J D.16J 【答案】B 【解析】 方法1：平均力法 由图像可知，在0-0.2m木块所受弹力随位移的变化是线性关系，所以=20×0.2=4J 在0.2-0.6m木块恒力作用，W2=Fs=40×(0.6-0.2)=16J 拉力所做的总功为W=W1+W2=4+16=20J 方法2：面积法 由 F-x 图像可知，图线与横轴所围梯形面积即为拉力所做的功，即 W=(0.6+0.4)×40J=20J 五、几种特殊情况下的做功分析 1.用力的作用点是否移动，或从能量变化的角度判断是否做了功 图（a）中，F拉弹簧，弹簧整体没有移动，但作用点移动了位移，F做了功。 图（b）中，人爬楼梯，楼梯对人的支持力向上，人也向上移动了位移，但支持力作用点没有移动，支持力没有做功。 （a） （b） 从能量角度考虑，（a）中弹簧势能增加，所以力对弹簧做了正功。 （b）中楼梯的能量没有变化，没有对人做功，是人消耗能量对自己做了功。 2.摩擦力做功 (1)滑动摩擦力可能做正功、负功、不做功。 如图，A在外力F作用下，相对于B运动，B对A的摩擦力对A做负功； 如果B也向右运动，但运动速度小于A，则A对B的摩擦力做正功； 如果B没有移动，则A对B的摩擦力没有做功。 (2)静摩擦力也可以做正功、负功、不做功。 如图，物体相对于传送带向上（下）运动，物体和传送带之间没有滑动。 传送带对物体的静摩擦力做正（负）功； 物体对传送带的静摩擦力做负（正）功； 当传送带停止转动时，静摩擦力不做功。 (3)滑动摩擦力做功，机械能转化为内能，计算公式：W=Q=fs相对 3.一对相互作用力做功 例如，带异种电荷的小球相互吸引而相向运动，引力对两个小球都做正功。 如果让一个小球固定，一个小球运动，则相互作用力一个做功，一个不做功。 滑动摩擦力做功时，相互作用力大小相等，但位移不一定相等，所以做功之和也不一定为0。 弹簧振子从O点（弹簧原长）到A的运动过程中，小球对弹簧做正功，弹簧对小球做负功，大小相等。 总之，相互作用力做功有多种可能，做功之和不一定为零。 例6. 如图所示，把一根不可伸长的刚性绳一端固定，手握住绳的另一端并沿绳滑动，分析手给绳的摩擦力的做功情况。 【答案】手给绳的摩擦力对绳子不做功，因为作用点没有位移。 绳子对手的摩擦力对手做了负功。一对相互作用力，一个做功，一个不做功。 六、小球撞击弹簧模型 1.下落过程 如图，小球从O点由静止落下，弹簧原长为A位置，小球压缩弹簧到B位置时，重力等于弹力，小球继续向下运动，到达最低点C。 2. 在此过程中，做功情况如下： OA：重力做功，自由落体运动； AB：弹力向上，逐渐变大但小于重力，重力做正功，弹力做负功，合力做正功，在B点速度最大； BC：弹力继续增大，大于重力，重力做正功，弹力做负功，合力做负功，在C点速度为0； 忽略阻力，从C-B-A-O的过程和上述相反。 蹦极模型，过程基本和小球撞击弹簧一致。 例7. 如图所示，小朋友在弹性较好的蹦床上跳跃翻腾，尽情玩耍，在小朋友接触床面向下运动的过程中，床面对小朋友的弹力做功情况是（ ） A.先做负功，再做正功 B.先做正功，再做负功 C.一直做正功 D.一直做负功 【答案】D 【解析】弹力向上，人向下移动即位移向下，所以弹力做负功。 考点01　做功判断和比较 例8. （23-24·上海市华师大三附中高一下期中）在加速向左运动的车厢中，一个人用力向前推车厢，如图所示。人相对车厢未移动，则下列说法正确的是（　　） A．人对车厢不做功 B．人对车厢做正功 C．人对车厢做负功 D．车厢对人做负功 【答案】C 【解析】对人进行受力分析如图所示 由于人车向左加速运动，则加速度方向向左，则 则车厢底部对人的静摩擦力大于车厢竖直面对人的作用力，即车厢对人的作用力为f与F0的合力方向水平向左，车厢向左运动，位移方向向左，根据 ，可知，车厢对人做正功。 根据牛顿第三定律，人对车厢的合力，方向水平向右，车厢向左运动，根据，可知人对车厢做负功，ABD错误，C正确。 例9. 一物体静止在粗水平地面上，现用一大小为F1的水平拉力拉动物体，经过一段时间后其速度变为v，若将水平拉力的大小改为 F2，物体从静止开始经过同样的时间后速度变为 2v，对于上述两个过程，用 WF1、WF2分别表示拉力 F1、F2所做的功，Wf1、Wf2分别表示前后两次克服摩擦力所做的功，则（ ） A.WF2>4WF1，Wf2>2Wf1 B.WF2>4WF1，Wf2=2Wf1 C.WF2<4WF1，Wf2=2Wf1 D.WF2<4WF1，Wf2<2Wf1 【答案】C 【解析】平均速度v2=2v1，时间相同，所以位移s2=2s1。由于摩擦力不变，所以Wf2=2Wf1 由加速度的定义，相同时间内速度该变量是v和2v，所以a2=2a1 即F2-f=2(F1-f)，所以F2<2F1，所以WF2<4WF1，C正确。 考点02　利用面积法计算做功 例10.（23-24·上海市致远高中高一下期末）质量为、初速度为零的物体，在不同变化的合外力作用下都通过位移．下列各种情况中合外力做功最多的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】根据公式可知图像与坐标轴围成的面积表示做功多少，故C做功最多，C正确。 考点03　微元法计算变力做功 例11. 在水平面上有一弯曲的槽道AB，由半径分别为和R的两个半圆构成.如图所示，现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点拉至B点，若拉力F的方向时时刻刻与小球运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为（ ） A.零 B.FR C.πFR D.2πFR 【答案】C 【解析】小球受到的拉力F在整个过程中大小不变，方向时刻变化，是变力。但是，如果把圆周分成无数微小的弧段，每一小段可近似看成直线，拉力F在每一小段上方向不变，每一小段上可用恒力做功的公式计算，然后将各段做功累加起来.设每一小段的长度分别为l1，l2，l3…ln， 拉力在每一段上做的功W1＝Fl1，W2＝Fl2…Wn＝Fln， 拉力在整个过程中所做的功W＝W1＋W2＋…＋Wn＝F(l1＋l2＋…＋ln)＝F＝πFR. 考点04　化变力为恒力计算变力做功 例12. 如图，细线一端跨过定滑轮与水平地面上的物体相连，另一端在大小为F的恒力作用下移动距离h，物体沿地面移动的距离为s，绳与水平地面的夹角由变为。在此过程中，该恒力做功为（　　） A．Fs B．Fh C． D． 【答案】B 【解析】由功的定义可知此过程中，该恒力做功为 ，故选B。 考点05　做功的图像问题 例13. 放在水平地面上的一物块，受到方向不变的水平推力F的作用，力F的大小与时间t的关系和物块的速度v与时间t的关系分别如图所示。利用两图线计算： （1）物块的质量； （2）物块与地面间的动摩擦因数； （3）力F在内做的功。 答案（1）1kg；（2）0.4；（3）126J 【解析】（1）设3~6s推力为F1，6~9s推力为F2，根据图像可知6~9s过程中，物体做匀速运动， 水平方向受力平衡，则 根据图像可知，在3~6s运动过程中，物体做匀加速运动 根据牛顿第二定律，可得 ，代入数据，得到 （2）在水平地面上运动，摩擦力有 ，代入数据，可得 （3）根据v-t图像，可知0~3s的位移为0，3~6s的位移x1和6s~9s的位移x2为 ， 所以力F在9s内做的功为 ~A组~ 1.（多选）关于功的正、负，下列说法正确的是（ ） A.功有正、负，所以功是矢量 B.正功表示功的方向与物体运动方向相同，负功表示功的方向与物体运动方向相反 C.正功表示力和位移夹角小于90°，负功表示力和位移夹角大于90° D.正功表示做功的力为动力，负功表示做功的力为阻力 【答案】CD 【解析】A.功是标量，正负的物理含义是对物体做功还是物体对外做功，A错误； B.功没有方向，B错误； C.根据W＝Flcosα,力和位移夹角小于90°则W为正，大于90°则W为负，C正确； D.功是物体能量变化的量度，动力对物体做正功，能量增加，阻力对物体做负功，能量减少，D正确。 2．关于功，下列说法不正确的是（　　） A．的功小于的功 B．功是标量，其正、负不表示方向 C．一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动 D．功是能量转化的量度 【答案】A 【解析】AB．功是标量，功的正负不表示方向，也不表示大小，而是表示该力对物体运动起动力作用还是阻力作用，比较功的大小，比较的是绝对值，故A错误，B正确； C．一个力对物体做了负功，说明这个力一定阻碍物体的运动，故C正确； D．功是能量转化的量度，做了多少功就对应有多少能量发生转化，故D正确。 3.关于力对物体做的功，以下说法中正确的是（ ） A.滑动摩擦力对物体做的功与路径有关 B.合外力不做功，物体必定做匀速直线运动 C.在相同的时间内作用力与反作用力做的功一定是绝对值相等，一正一负 D.一对作用力与反作用力不可能其中一个做功，而另一个不做功 【答案】A 【解析】滑动摩擦力做功与物体运动的路径有关，故A正确； 做匀速圆周运动的物体，合外力不做功，但物体做曲线运动，故B错误； 作用力和反作用力的作用点的位移可能同向，也可能反向，故作用力和反作用力做功不一定相等，故相互作用力做功之和不一定为零，故一对作用力和反作用力，可能作用力做功，而反作用力不做功，故C、D错误。 4.一人乘电梯从1楼到20楼，在此过程中经历了先加速，再匀速，最后减速的运动过程，则电梯对人的支持力做功的情况是（ ） A.加速时做正功，匀速时不做功，减速时做负功 B.加速时做正功，匀速和减速时做负功 C.加速和匀速时做正功，减速时做负功 D.始终做正功 【答案】D 【解析】在加速、匀速、减速的过程中，支持力与人的位移方向始终相同，支持力始终对人做正功，D正确。 5.（23-24·上海市行知中学高一下期中）光滑圆弧固定，小球在图示恒力F作用下从最高点下滑的过程中，F（　　） A. 一直做正功 B. 先做正功后做负功 C. 一直做负功 D. 先做负功后做正功 【答案】B 【详解】小球速度方向与力F方向的夹角由锐角逐渐变为钝角，力F对小球先做正功后做负功。故选B。 6. 分别在光滑水平面、粗糙水平面和粗糙斜面上推同一物体，如图（a）、（b）、（c）所示．如果所用的图示推力大小相等，在物体发生大小相等位移的过程中，推力对物体所做的功（ ） A. 在光滑水平面上较大 B. 在粗糙水平面上较大 C. 在粗糙斜面上较大 D. 相等 【答案】D 【解析】根据功的定义，力和位移都相等，所以功也相等。 7. 在水平推力F作用下，光滑斜面与物块相对静止且沿水平面向左做匀加速直线运动，斜面倾角为α，物块质量为m，当斜面的位移为s时，斜面对物体的做功为（　　） A．0 B． C． D．Fs 【答案】B 【解析】由题意可知，斜面对物块只存在支持力FN，且物块在竖直方向上合力为零， 即 ，解得 当斜面的位移为s时，斜面对物体的做功为 ，故选B。 8. 如图所示，人站在自动扶梯上一起斜向上匀速运动，则下列说法中不正确的是（　　） A．重力对人做负功 B．摩擦力对人做负功 C．支持力对人做正功 D．合外力对人做功为零 【答案】B 【解析】A．由于人受到的重力方向是竖直向下的，而人的运动方向是斜向右上方，重力方向与人的运动方向的夹角大于，故重力对人做负功，故A正确； B．人站在扶梯上，只受重力和支持力，人没有在水平方向的运动趋势，故他不受摩擦力的作用，所以也就谈不上摩擦力对人的做功问题，故B错误； C．支持力是向上的，该力方向与人的运动方向的夹角小于，故支持力对人做正功，故C正确； D．由于人做的是匀速直线运动，故人受到的力是平衡力，其合力为0，故合力对人做功也为0，D正确。 9. 如图所示，自动卸货车静止在水平地面上，在液压机的作用下，车厢与水平方向的夹角θ缓慢增大，在货物相对车厢静止的过程中，下列说法正确的是（ ） A.货物受到的支持力变小 B.货物受到的摩擦力变小 C.货物受到的支持力对货物做负功 D.货物受到的摩擦力对货物做负功 【答案】A 【解析】货物处于平衡状态，有mgsin θ＝Ff，FN＝mgcos θ，θ增大时，Ff增大，FN减小，故A正确，B错误；货物受到的支持力的方向与位移方向的夹角小于90°，支持力做正功，故C错误； 摩擦力的方向始终与速度方向垂直，摩擦力不做功，故D错误。 10.（多选）如图所示，站在汽车上的人用手推车的力为F，脚对车向后的静摩擦力为f，下列说法正确的是（ ） A.当车匀速运动时，F和f做的总功为零 B.当车加速运动时，F和f的总功为负功 C.当车加速运动时，F和f的总功为正功 D.不管车做何种运动，F和f的总功都为零 【答案】AB 【解析】匀速运动时，人的动能不增加，车对人不做功，人对车也就不做功，A正确； 加速运动时，人的动能增加，车对人做正功，人对车就是做负功，B正确； 同上分析，C、D错误。 11. 如图所示，坐在雪橇上的人与雪橇的总质量为m，在与水平面成θ角的恒定拉力F作用下，沿水平地面向右移动了一段距离l。已知雪橇与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则雪橇受到的（ ） A.支持力做功为mgl B.重力做功为mgl C.拉力做功为Flcos θ D.滑动摩擦力做功为－μmgl 【答案】C 【解析】支持力和重力与位移方向垂直，不做功，A、B错误； 拉力和滑动摩擦力做功分别为W1＝Flcos θ，W2＝－μ(mg－Fsin θ)l，C正确，D错误。 12．如图所示，三个质量相同的物体静止于同一光滑水平面上，分别施三个不同方向的外力，使它们以相同的加速度运动了相同的时间，则三个力对物体做功的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，三个质量相同的物体在水平方向运动时加速度相同，且水平面光滑，假定物体质量为m、加速度为a，则有 则三个力分别对物体所做的功为 假定运动时间为t，依题意有 ，则有 ，故A正确。 13. 如图所示，同一物体分别沿斜面AD和BD自顶点由静止开始下滑，该物体与两斜面间的动摩擦因数相同.在滑行过程中克服摩擦力做的功分别为WA和WB，则（ ） A.WA>WB B.WA＝WB C.WA<WB D.无法确定 【答案】B 【解析】设斜面AD、BD与水平面CD所成夹角分别为α、β，根据功的公式，得WA＝μmgcos α·lAD＝μmglCD，WB＝μmgcos β·lBD＝μmglCD，所以B正确。 14. 如图所示，滑雪者由静止开始沿斜坡从A点自由滑下，然后在水平面上前进至 B点停下。已知斜坡、水平面与滑雪板之间的动摩擦因数均为μ，滑雪者(包括滑雪板)的质量为m，A、B两点间的水平距离为 L，在滑雪者经过AB段的过程中,摩擦力所做功的大小为（ ） A.大于μmgL B.小于μmgL C.等于μmgL D.以上三种情况都有可能 【答案】C 【解析】设水平部分的长度为 L1，斜坡的长度为 L2，斜坡与水平面的夹角为θ，则下滑的过程中 摩擦力做功为 W=μmgL1十μmgcosθ·L2=μmg(L1十L2cosθ)=μmgL。 15. 如图所示，某个力F＝10 N作用在半径为R＝1 m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向保持在任何时刻均与作用点的切线一致，则转动一周这个力F做的总功为（ ） A.0 　　　B.20π J　　　　C.10 J 　　　D.10π J 【答案】B 【解析】由题意知力F的大小不变，但方向时刻都在变化，属于变力做功问题，转盘转动一周过程中，力和作用点的位移方向始终相同，所以力方向上的位移即周长，W＝Fx＝F·2πR＝20π J，选项B正确。 16. 如图所示，质量 m=30 kg 的儿童从滑梯顶端A点滑下，经长l=12 m的旋转滑道到达底端 B点，A、B 两点间的水平距离x=4m，高度差h=3 m。若下滑过程中阻力F阻的大小恒为60N，g取10 m/s。求下滑过程中重力G和阻力 F对儿童所做的总功。 【答案】180J 【解析】WG=mgh=900J W阻= -F阻×l=-720J 所以W总=WG+W阻=180J ~B组~ 17.（多选）如图所示，用恒定的拉力F拉置于光滑水平面上质量为m的物体，由静止开始运动时间t，物体始终未离开水平面，拉力F斜向上且与水平面夹角为θ＝60°。如果要使拉力做的功变为原来的4倍，在其他条件不变的情况下，可以将（ ） A.拉力变为2F B.时间变为2t C.物体质量变为 D.拉力大小不变，但方向改为与水平面平行 【答案】ABD 【解析】对物体受力分析，水平方向上，由牛顿第二定律得Fcos 60°＝ma，则a＝. 位移l＝at2＝t2，W＝Flcos 60°＝t2， 当F′＝2F时，W′＝4W，当t′＝2t时，W′＝4W； 当m′＝m时，W′＝2W；当θ＝0°时，W′＝4W，由此可知，C错误，A、B、D正确。 18．如图所示，一恒力F通过一固定在物体上的滑轮拉物体沿光滑水平面前进了位移s，在运动过程中，F与水平方向保持角，则拉力对物体所做的功为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】绳上的拉力大小等于F，定滑轮受到两侧绳的拉力作用，其做的总功等于拉力F对物体所做的功，即 故选C。 19. 某人用长绳将一重物从井口送到井下，前二分之一时间物体匀速下降，后二分之一时间物体匀减速下降，到达井底时速度恰好为0，两段时间重物克服拉力做的功分别为W1 和W2，则（ ） A. W1＞W2 B. W1＝W2 C. W1＜2W2 D. W1＝2W2 【答案】C 【解析】由平均速度可知前段时间内位移是后段的2倍，前段匀速则拉力F=G，后段减速则F>G， 所以W1<2W2 20. 一物体自 t＝0 开始，在合力 F 作用下由静止起做直线运动，合力 F 大小随时间 t 的变化如图所示，且方向始终不变。已知该物体在 t0 和 2t0 时刻的速度分别是 v1 和 v2，F 在 0﹣t0 和 t0﹣2t0 时间内对物体所做的功分别是 W1 和 W2，则（ ） A. v2＝4v1，W2＝16W1 B. v2＝3v1，W2＝8W1 C. v2＝4v1，W2＝15W1 D. v2＝3v1，W2＝4W1 【答案】B 【解析】合外力增大到2倍，则加速度变为2倍，即相等时间内速度该变量为2倍数， 即v2-v1=2(v1-0)，所以v2=3v1。 0﹣t0 时间内平均速度为，t0﹣2t0 时间内平均速度为，所以W2＝8W1，B正确。 21. 如图，长为 L 的细线拴一个质量为 m 的小球悬挂于 O 点，重力加速度为 g，现将小球拉至与 O 点等高的位置使细线呈水平状态，从释放小球到细线和小球摆至竖直位置的过程中，重力对小球做的功为__________，细线的拉力对小球做的功为__________。 【答案】mgL     0 【解析】[1]竖直方向分位移为L，则重力做功为 [2]绳线拉力与小球瞬时速度方向总是垂直，则细线的拉力对小球做的功为0。 22. 如图，水平传送带顺时针匀速运转，速度大小为2m/s。质量为1.5kg的货箱无初速度放上传送带，经过0.5s时间，货箱与传送带恰好相对静止。取重力加速度，则货箱与传送带之间的动摩擦因数为____________，因摩擦产生的热量为__________J。 【答案】0.4     3 【解析】[1]货箱在摩擦力的作用下加速运动，根据牛顿第二定律可得 又 ，代入数据，解得 [2]根据摩擦力产生热量的公式，即 又 代入数据，解得 故可得因摩擦产生的热量为 23. 如图（a）所示，质量为m=2kg的物块以初速度v0=20m/s从图中所示位置开始沿粗糙长直水平面向右运动，同时物块受到一水平向左的恒力F作用，在运动过程中物块速度随时间变化的规律如图（b）所示，g取10m/s2.求： （1）物块在0—4s内的加速度a1的大小和4—8s内的加速度a2的大小； （2）恒力F的大小及物块与水平面间的动摩擦因数μ。 （3）8s内F所做的功。 有同学认为：由于F是恒力，先求出8s内总位移，根据恒力做功的公式W=FScosα，就可以求出8s内F所做的功。你认为他的说法正确吗，如果正确请依照这个思路求8s内F所做的功。如果认为他的说法错误，请说明理由，并求出8s内F所做的功。 【答案】（1）5m/s2；2m/s2（2）7N；0.15；（3）正确；-168J 【解析】（1）物块在0—4s内的加速度a1的大小 4—8s内的加速度a2的大小 （2）根据牛顿第二定律 解得 F=7N，μ=0.15 （3）该同学的说法正确；8s内物体的位移 ，方向向右； 8s内F所做的功 24. 如图所示，手持一根长为的轻绳的一端在水平的粗糙桌面上做半径为、角速度为的匀速圆周运动，绳始终保持与该圆周相切，绳的另一端系一质量为的木块，木块也在桌面上做匀速圆周运动，不计空气阻力，绳的拉力大小为________；木块运动一周，阻力做功为________。 【答案】 ； 【解析】[1]木块做匀速圆周运动，角速度为，绳的拉力T沿半径方向上的分力提供向心力， 有 解得 [2]如图所示，切线的合力为零，因为绳子在切线方向的分力不为零，则木块受到的摩擦力不为零， 与绳子拉力切线方向的分力相等，所以木块受到的阻力为 木块运动一周，阻力做功为 解得 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 机械能守恒定律 7.1 功 课程标准 1.理解做功正负的含义，正确计算做功多少。 2.能够掌握分析常见多力做功和多过程做功的方法。 3.能够理解面积法、平均力法、微元法计算较为复杂的做功过程。 物理素养 物理观念：建立做功是能量转化量度的物理观念。 科学思维：图形结合、化变力为恒力的转换思维。 科学探究：力做功时的位移是物体的位移，还是力的作用点的位移？ 科学态度与责任：养成分析物理过程的良好习惯。 一、功 1.功的计算公式：W＝Flcos α，其中F、l、α分别为力的大小、位移的大小、力与位移的夹角。 (1)如图所示，物体在与水平方向夹角为α的力F的作用下沿水平面前进了l， 把力F沿水平方向和竖直方向进行分解，水平方向的分力为Fcos α，所做的功为Flcos α； 物体在竖直方向上没有发生位移，竖直方向的分力没有对物体做功； 所以力F对物体所做的功为Flcos α (2)W= Flcos α= Fcos α•l= F•lcos α， 既可以认为是F在l方向上的投影，也可以认为是l在F方向上的投影，物理含义相同。 2.国际单位制中，功的单位是焦耳，符号是J。功是能量变化的量度，和能量单位相同。 3.功是标量，没有方向，但有正负，正负不代表大小。 4.某一恒力F对物体做的功，只与l、α有关，与物体的运动状态及物体是否还受其他作用力等因素无关。 5.公式适用范围：W＝Flcos α适用于计算恒力做功，此公式不适用变力做功。 例1. 如图所示，质量为1 kg的物体，静止在光滑水平面上.现在给物体一个与水平方向成60°角斜向上、大小为10 N的拉力F，物体在拉力F的作用下沿水平面运动了2 s，则在这2 s内，拉力F所做的功是？ 二、正功和负功 1.力对物体做正功或负功的条件 由W＝Flcos α可知 (1)当α＝时，W＝0，力F对物体不做功。 (2)当0≤α＜时，W＞0，如图甲，力F对物体做正功，F是动力，物体的能量增加。 (3)当＜α≤π时，W＜0，如图乙，力F对物体做负功，F是阻力，物体的能量减小。 注意，外力F做负功，等同于“物理克服外力F做正功”。 例如：①克服摩擦力做了20J的功，即摩擦力做了20J的负功。 ②克服重力做了20J的功，即物体被举高，重力做了20J的负功。 2.物理意义： 从能量角度讲，功是物体能量变化的量度。 力对物体做正功表示，物体能量增加；力对物体做负功表示，物体能量减少。 功的正负不表示功的大小。 3.恒力做功的计算 功的公式W＝Flcos α，只适用于恒力做功，即F为恒力，l是物体相对地面的位移，流程图如下： 例2. 如图所示，用沿斜面向上、大小为800 N的力F，将质量为100 kg的物体沿倾角为θ＝37°的固定斜面由底端匀速地拉到顶端，斜面长L＝5 m，物体与斜面间的动摩擦因数为0.25.求这一过程中：(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8) (1)物体的重力所做的功； (2)摩擦力所做的功； (3)物体所受各力的合力所做的功。 三、总功的计算 1. 多力：当一个物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，计算合力对物体所做的总功有以下两种方法： (1)各个分力分别对物体所做功的代数和。 即先由W＝Flcos α计算各个力对物体所做的功W1、W2、W3… 然后求所有力做功的代数和，即W合＝W1＋W2＋W3＋…. (2)几个力的合力对物体所做的功。 即先由力的合成或根据牛顿第二定律求出合力F合， 然后由W合＝F合lcos α计算总功，此时α为F合的方向与l的方向间的夹角。 注意：当在一个过程中，几个力作用的位移不相同时，只能用方法(1)。 2. 多过程：如果一个运动过程可分为几个过程，则总功等于各过程做功之和。 例3. 一个物体在相互垂直的两个力 F1、F2 的作用下运动，运动过程中F1 对物体做功－6 J，F2 对物体做功 8 J，则 F1 和 F2 的合力做功为（ ） A. 2 J B.6 J C. 10 J D. 14 J 例4. 如图所示，一个质量为m＝2 kg的物体，受到与水平方向成37°角斜向上方的力F＝10 N作用，在水平地面上从静止开始向右移动的距离为l＝2 m，已知物体和地面间的动摩擦因数为0.3，g取10 m/s2，求外力对物体所做的总功.(cos 37°＝0.8，sin 37°＝0.6) 四、变力做功 (1)用平均力求功：若力F随位移x线性变化，则可以用一段位移内的平均力求功， 如将劲度系数为k的弹簧拉长x时，克服弹力做的功W＝x＝·x＝kx2. (2)面积法：用F－x图像求功 若已知F－x图像，则图像与x轴所围的面积表示功，如图(1)所示，在位移x0内力F做的功W＝x0 (1) (2) 图(2)表示横轴l的上方面积表示正功，下方面积表示负功。 (3)微元法：如果位移也是变化的，可以把位移分割为微小的片段，近似看成直线，进行累积计算。 通常在计算弯曲轨道的摩擦力做功采用此方法。 (4)化变力为恒力，通常应用在使用滑轮的情况下求做功。 (5)当变力做功的功率P一定时，如机车恒定功率启动，可用W＝Pt求功。 (6)利用动能定理和能量守恒间接计算。 例5. 放在地面上的木块与一轻弹相连，弹处于自由伸长状态。现用手水平拉弹簧拉力的作用点移动x=0.2 m 时，木块开始运动，继续拉弹，木块缓慢移动了0.4 m的位移，其 F-x 图像如图所示，求上述过程中拉力所做的功。 A.40J B.20J C.24J D.16J 五、几种特殊情况下的做功分析 1.用力的作用点是否移动，或从能量变化的角度判断是否做了功 图（a）中，F拉弹簧，弹簧整体没有移动，但作用点移动了位移，F做了功。 图（b）中，人爬楼梯，楼梯对人的支持力向上，人也向上移动了位移，但支持力作用点没有移动，支持力没有做功。 （a） （b） 从能量角度考虑，（a）中弹簧势能增加，所以力对弹簧做了正功。 （b）中楼梯的能量没有变化，没有对人做功，是人消耗能量对自己做了功。 2.摩擦力做功 (1)滑动摩擦力可能做正功、负功、不做功。 如图，A在外力F作用下，相对于B运动，B对A的摩擦力对A做负功； 如果B也向右运动，但运动速度小于A，则A对B的摩擦力做正功； 如果B没有移动，则A对B的摩擦力没有做功。 (2)静摩擦力也可以做正功、负功、不做功。 如图，物体相对于传送带向上（下）运动，物体和传送带之间没有滑动。 传送带对物体的静摩擦力做正（负）功； 物体对传送带的静摩擦力做负（正）功； 当传送带停止转动时，静摩擦力不做功。 (3)滑动摩擦力做功，机械能转化为内能，计算公式：W=Q=fs相对 3.一对相互作用力做功 例如，带异种电荷的小球相互吸引而相向运动，引力对两个小球都做正功。 如果让一个小球固定，一个小球运动，则相互作用力一个做功，一个不做功。 滑动摩擦力做功时，相互作用力大小相等，但位移不一定相等，所以做功之和也不一定为0。 弹簧振子从O点（弹簧原长）到A的运动过程中，小球对弹簧做正功，弹簧对小球做负功，大小相等。 总之，相互作用力做功有多种可能，做功之和不一定为零。 例6. 如图所示，把一根不可伸长的刚性绳一端固定，手握住绳的另一端并沿绳滑动，分析手给绳的摩擦力的做功情况。 六、小球撞击弹簧模型 1.下落过程 如图，小球从O点由静止落下，弹簧原长为A位置，小球压缩弹簧到B位置时，重力等于弹力，小球继续向下运动，到达最低点C。 2. 在此过程中，做功情况如下： OA：重力做功，自由落体运动； AB：弹力向上，逐渐变大但小于重力，重力做正功，弹力做负功，合力做正功，在B点速度最大； BC：弹力继续增大，大于重力，重力做正功，弹力做负功，合力做负功，在C点速度为0； 忽略阻力，从C-B-A-O的过程和上述相反。 蹦极模型，过程基本和小球撞击弹簧一致。 例7. 如图所示，小朋友在弹性较好的蹦床上跳跃翻腾，尽情玩耍，在小朋友接触床面向下运动的过程中，床面对小朋友的弹力做功情况是（ ） A.先做负功，再做正功 B.先做正功，再做负功 C.一直做正功 D.一直做负功 考点01　做功判断和比较 例8. （23-24·上海市华师大三附中高一下期中）在加速向左运动的车厢中，一个人用力向前推车厢，如图所示。人相对车厢未移动，则下列说法正确的是（　　） A．人对车厢不做功 B．人对车厢做正功 C．人对车厢做负功 D．车厢对人做负功 例9. 一物体静止在粗水平地面上，现用一大小为F1的水平拉力拉动物体，经过一段时间后其速度变为v，若将水平拉力的大小改为 F2，物体从静止开始经过同样的时间后速度变为 2v，对于上述两个过程，用 WF1、WF2分别表示拉力 F1、F2所做的功，Wf1、Wf2分别表示前后两次克服摩擦力所做的功，则（ ） A.WF2>4WF1，Wf2>2Wf1 B.WF2>4WF1，Wf2=2Wf1 C.WF2<4WF1，Wf2=2Wf1 D.WF2<4WF1，Wf2<2Wf1 考点02　利用面积法计算做功 例10.（23-24·上海市致远高中高一下期末）质量为、初速度为零的物体，在不同变化的合外力作用下都通过位移．下列各种情况中合外力做功最多的是（ ） A. B. C. D. 考点03　微元法计算变力做功 例11. 在水平面上有一弯曲的槽道AB，由半径分别为和R的两个半圆构成.如图所示，现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点拉至B点，若拉力F的方向时时刻刻与小球运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为（ ） A.零 B.FR C.πFR D.2πFR 考点04　化变力为恒力计算变力做功 例12. 如图，细线一端跨过定滑轮与水平地面上的物体相连，另一端在大小为F的恒力作用下移动距离h，物体沿地面移动的距离为s，绳与水平地面的夹角由变为。在此过程中，该恒力做功为（　　） A．Fs B．Fh C． D． 考点05　做功的图像问题 例13. 放在水平地面上的一物块，受到方向不变的水平推力F的作用，力F的大小与时间t的关系和物块的速度v与时间t的关系分别如图所示。利用两图线计算： （1）物块的质量； （2）物块与地面间的动摩擦因数； （3）力F在内做的功。 ~A组~ 1.（多选）关于功的正、负，下列说法正确的是（ ） A.功有正、负，所以功是矢量 B.正功表示功的方向与物体运动方向相同，负功表示功的方向与物体运动方向相反 C.正功表示力和位移夹角小于90°，负功表示力和位移夹角大于90° D.正功表示做功的力为动力，负功表示做功的力为阻力 2．关于功，下列说法不正确的是（　　） A．的功小于的功 B．功是标量，其正、负不表示方向 C．一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动 D．功是能量转化的量度 3.关于力对物体做的功，以下说法中正确的是（ ） A.滑动摩擦力对物体做的功与路径有关 B.合外力不做功，物体必定做匀速直线运动 C.在相同的时间内作用力与反作用力做的功一定是绝对值相等，一正一负 D.一对作用力与反作用力不可能其中一个做功，而另一个不做功 4.一人乘电梯从1楼到20楼，在此过程中经历了先加速，再匀速，最后减速的运动过程，则电梯对人的支持力做功的情况是（ ） A.加速时做正功，匀速时不做功，减速时做负功 B.加速时做正功，匀速和减速时做负功 C.加速和匀速时做正功，减速时做负功 D.始终做正功 5.（23-24·上海市行知中学高一下期中）光滑圆弧固定，小球在图示恒力F作用下从最高点下滑的过程中，F（　　） A. 一直做正功 B. 先做正功后做负功 C. 一直做负功 D. 先做负功后做正功 6. 分别在光滑水平面、粗糙水平面和粗糙斜面上推同一物体，如图（a）、（b）、（c）所示．如果所用的图示推力大小相等，在物体发生大小相等位移的过程中，推力对物体所做的功（ ） A. 在光滑水平面上较大 B. 在粗糙水平面上较大 C. 在粗糙斜面上较大 D. 相等 7. 在水平推力F作用下，光滑斜面与物块相对静止且沿水平面向左做匀加速直线运动，斜面倾角为α，物块质量为m，当斜面的位移为s时，斜面对物体的做功为（　　） A．0 B． C． D．Fs 8. 如图所示，人站在自动扶梯上一起斜向上匀速运动，则下列说法中不正确的是（　　） A．重力对人做负功 B．摩擦力对人做负功 C．支持力对人做正功 D．合外力对人做功为零 9. 如图所示，自动卸货车静止在水平地面上，在液压机的作用下，车厢与水平方向的夹角θ缓慢增大，在货物相对车厢静止的过程中，下列说法正确的是（ ） A.货物受到的支持力变小 B.货物受到的摩擦力变小 C.货物受到的支持力对货物做负功 D.货物受到的摩擦力对货物做负功 10.（多选）如图所示，站在汽车上的人用手推车的力为F，脚对车向后的静摩擦力为f，下列说法正确的是（ ） A.当车匀速运动时，F和f做的总功为零 B.当车加速运动时，F和f的总功为负功 C.当车加速运动时，F和f的总功为正功 D.不管车做何种运动，F和f的总功都为零 11. 如图所示，坐在雪橇上的人与雪橇的总质量为m，在与水平面成θ角的恒定拉力F作用下，沿水平地面向右移动了一段距离l。已知雪橇与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则雪橇受到的（ ） A.支持力做功为mgl B.重力做功为mgl C.拉力做功为Flcos θ D.滑动摩擦力做功为－μmgl 12．如图所示，三个质量相同的物体静止于同一光滑水平面上，分别施三个不同方向的外力，使它们以相同的加速度运动了相同的时间，则三个力对物体做功的大小关系是（　　） A． B． C． D． 13. 如图所示，同一物体分别沿斜面AD和BD自顶点由静止开始下滑，该物体与两斜面间的动摩擦因数相同.在滑行过程中克服摩擦力做的功分别为WA和WB，则（ ） A.WA>WB B.WA＝WB C.WA<WB D.无法确定 14. 如图所示，滑雪者由静止开始沿斜坡从A点自由滑下，然后在水平面上前进至 B点停下。已知斜坡、水平面与滑雪板之间的动摩擦因数均为μ，滑雪者(包括滑雪板)的质量为m，A、B两点间的水平距离为 L，在滑雪者经过AB段的过程中,摩擦力所做功的大小为（ ） A.大于μmgL B.小于μmgL C.等于μmgL D.以上三种情况都有可能 15. 如图所示，某个力F＝10 N作用在半径为R＝1 m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向保持在任何时刻均与作用点的切线一致，则转动一周这个力F做的总功为（ ） A.0 　　　B.20π J　　　　C.10 J 　　　D.10π J 16. 如图所示，质量 m=30 kg 的儿童从滑梯顶端A点滑下，经长l=12 m的旋转滑道到达底端 B点，A、B 两点间的水平距离x=4m，高度差h=3 m。若下滑过程中阻力F阻的大小恒为60N，g取10 m/s。求下滑过程中重力G和阻力 F对儿童所做的总功。 ~B组~ 17.（多选）如图所示，用恒定的拉力F拉置于光滑水平面上质量为m的物体，由静止开始运动时间t，物体始终未离开水平面，拉力F斜向上且与水平面夹角为θ＝60°。如果要使拉力做的功变为原来的4倍，在其他条件不变的情况下，可以将（ ） A.拉力变为2F B.时间变为2t C.物体质量变为 D.拉力大小不变，但方向改为与水平面平行 18．如图所示，一恒力F通过一固定在物体上的滑轮拉物体沿光滑水平面前进了位移s，在运动过程中，F与水平方向保持角，则拉力对物体所做的功为（　） A． B． C． D． 19. 某人用长绳将一重物从井口送到井下，前二分之一时间物体匀速下降，后二分之一时间物体匀减速下降，到达井底时速度恰好为0，两段时间重物克服拉力做的功分别为W1 和W2，则（ ） A. W1＞W2 B. W1＝W2 C. W1＜2W2 D. W1＝2W2 20. 一物体自 t＝0 开始，在合力 F 作用下由静止起做直线运动，合力 F 大小随时间 t 的变化如图所示，且方向始终不变。已知该物体在 t0 和 2t0 时刻的速度分别是 v1 和 v2，F 在 0﹣t0 和 t0﹣2t0 时间内对物体所做的功分别是 W1 和 W2，则（ ） A. v2＝4v1，W2＝16W1 B. v2＝3v1，W2＝8W1 C. v2＝4v1，W2＝15W1 D. v2＝3v1，W2＝4W1 21. 如图，长为 L 的细线拴一个质量为 m 的小球悬挂于 O 点，重力加速度为 g，现将小球拉至与 O 点等高的位置使细线呈水平状态，从释放小球到细线和小球摆至竖直位置的过程中，重力对小球做的功为__________，细线的拉力对小球做的功为__________。 22. 如图，水平传送带顺时针匀速运转，速度大小为2m/s。质量为1.5kg的货箱无初速度放上传送带，经过0.5s时间，货箱与传送带恰好相对静止。取重力加速度，则货箱与传送带之间的动摩擦因数为____________，因摩擦产生的热量为__________J。 23. 如图（a）所示，质量为m=2kg的物块以初速度v0=20m/s从图中所示位置开始沿粗糙长直水平面向右运动，同时物块受到一水平向左的恒力F作用，在运动过程中物块速度随时间变化的规律如图（b）所示，g取10m/s2.求： （1）物块在0—4s内的加速度a1的大小和4—8s内的加速度a2的大小； （2）恒力F的大小及物块与水平面间的动摩擦因数μ。 （3）8s内F所做的功。 有同学认为：由于F是恒力，先求出8s内总位移，根据恒力做功的公式W=FScosα，就可以求出8s内F所做的功。你认为他的说法正确吗，如果正确请依照这个思路求8s内F所做的功。如果认为他的说法错误，请说明理由，并求出8s内F所做的功。 24. 如图所示，手持一根长为的轻绳的一端在水平的粗糙桌面上做半径为、角速度为的匀速圆周运动，绳始终保持与该圆周相切，绳的另一端系一质量为的木块，木块也在桌面上做匀速圆周运动，不计空气阻力，绳的拉力大小为________；木块运动一周，阻力做功为________。 / 学科网（北京）股份有限公司 $$