第6.2节 万有引力定律-【帮课堂】2024-2025学年高一物理同步学与练（沪科版2020上海必修第二册）

第六章 万有引力定律 6．2 万有引力定律 课程标准 1.了解万有引力定律的内容，理解万有引力定律的适用适用条件。 2.理解万有引力和重力的区别和联系。 3.会用万有引力定律计算相关引力问题.。 物理素养 物理观念：建立万有引力是世间万物相互之间都具有的引力的概念。 科学思维：地球表面的物体和天体之间的万有引力的统一性思维。 科学探究：引力常量的测量方法。 科学态度与责任：认识发现万有引力的重要意义、实事求是地探索自然界客观规律。 一、万有引力定律 1．牛顿的思考： 地球对苹果的引力、地球对月亮的引力与太阳对行星的作用力本质上都完全相同。 无论天上、地上还是天地之间的任何两个物体之间全都存在这种引力。 牛顿把自然界这种所有物体之间都存在的相互吸引力叫做万有引力。 2．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。 3．表达式：F＝G，其中G叫作引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2 （类比库仑定律：，事实上万有引力先发现，库仑定律的发现受万有引力定律的启发） 4．万有引力定律公式适用的条件 (1)两个质点间的相互作用。 (2)一个均匀球体与球外一个质点间的相互作用，r为球心到质点的距离。 (3)两个质量均匀的球体间的相互作用，r为两球心间的距离。 ※5.万有引力定律的导出过程 行星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动.设行星的质量为m，速度为v，行星到太阳的距离为r。 天文观测测得行星公转周期为T，则 向心力F＝m＝mr① 根据开普勒第三定律：＝k② 由①②得：F＝4π2k③ 即太阳对行星的引力F∝ 根据牛顿第三定律，行星对太阳的引力F′∝ 则行星与太阳间的引力F∝ 写成等式F＝G ※6.月地检验 (1).猜想：地球与月球之间的引力F＝G，根据牛顿第二定律a月＝＝G 地面上苹果自由下落的加速度a苹＝＝G 由于r＝60R，所以＝ (2).验证： ①苹果自由落体加速度a苹＝g＝9.8 m/s2. ②月球中心距地球中心的距离r＝3.8×108 m. 月球公转周期T＝27.3 d≈2.36×106 s 则a月＝()2r＝2.7×10－3 m/s2(保留两位有效数字) a月,a苹)＝2.8×10－4(数值)≈(比例) (3).结论：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力，遵从相同的规律。 例1. 判断下列说法的正误。 (1)万有引力不仅存在于天体之间，也存在于普通物体之间。（ ） (2)牛顿发现了万有引力定律，并测出了引力常量。（ ） (3)质量一定的两个物体，若距离无限小，它们间的万有引力趋于无限大。（ ） (4)把物体放在地球中心处，物体受到的引力无穷大。（ ） (5)由于太阳质量大，太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力。（ ） 【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× 例2. (1)实验结果表明，地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律.一切物体都存在这样的引力，如图，那么，为什么通常两个人(假设两人可看成质点，质量均为100 kg，相距1 m)间的万有引力我们却感受不到？ (2)地球对人的万有引力与人对地球的万有引力大小相等吗？ (3)氢原子是由一个质子和一个电子组成的，质子的质量是 1.7×10-27kg，电子的质量是 9.1×10-31 kg。在氢原子中，电子和质子相距约 5.9×10-11m，试分别计算两者间的万有引力和库仑力的大小? 【答案】 (1)两个人之间的万有引力大小为：F＝＝ N＝6.67×10－7 N， 因引力很小，所以通常感受不到，所以处理地面物体运动时通常不考虑万有引力。 (2)相等，它们是一对相互作用力。 (3)万有引力F＝＝N＝3.0×10－37 N 库仑力F==6.6×10－10 N，所以万有引力比库仑力小得多，可以忽略不计。 二、引力常量G的测量 牛顿没有测出引力常量G，英国物理学家卡文迪什在实验室里比较精确地测出了引力常量G的值。 卡文迪什扭秤的主要结构和原理如图所示，装有平面镜 M 和两个相同小球的T形架，用石英丝悬吊起来，当小球被大球吸引时，T形架和石英丝会发生极其微小的扭转，利用平面镜对光的反射能测出这个微小的扭转角，进而测量出大球与小球间极微小的万有引力。 G＝6.67×10－11 N·m2/kg2. 例3. （23-24·上海市洋泾中学高一下期末）如图所示为扭秤实验的装置图，下列说法正确的是（　　） A. 牛顿通过该装置测出了引力常量G B. 牛顿被称为第一个称量地球的人 C. 开普勒通过该装置提出了万有引力定律 D. 该实验巧妙地利用了微小量放大思想 【答案】D 【详解】AB.卡文迪什通过该装置测出了引力常量G，也因此被称为第一个称量地球的人，A、B错误； C.牛顿提出万有引力定律，卡文迪什通过扭秤实验测出引力常量，验证万有引力定律的正确性，C错误； D.该实验巧妙地利用了微小量放大思想，D正确。 三、重力和万有引力的关系 1．物体在地球表面上所受引力与重力的关系： 除两极以外，地面上其他点的物体，都围绕地轴做圆周运动，这就需要一个垂直于地轴的向心力。 万有引力表现为两个效果：一个分力F′提供向心力，另一个分力为重力G，如图所示： (1)当物体在两极时：G＝F引，重力达到最大值Gmax＝mgmax=G (2)当物体在赤道上时：F′＝mω2R最大，此时重力最小 Gmin＝mgmin=G－mω2R (3)从赤道到两极：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和 随着纬度增加，向心力F′＝mω2R′减小，F′与F引夹角增大， 所以重力G增大，重力加速度g增大。 因为F′、F引、G不在一条直线上，重力G与万有引力F引方向有偏差，重力大小mg<G。 2．重力与高度的关系 若距离地面的高度为h，则mg′＝G(R为地球半径，g′为离地面h高度处的重力加速度)。 在同一纬度，距地面越高，重力加速度越小。 3．特别说明 (1)重力是物体由于地球吸引产生的，但重力并不是地球对物体的引力。 (2)在忽略地球自转的情况下，认为mg＝G，也称“黄金替换式”。 (3)由此推得两个不同天体表面重力加速度的关系为＝· 例4.（23-24·上海市上师大附中高一下期中）若地球表面处的重力加速度为g，而物体在距地面3R（R为地球半径）处，由于地球作用而产生的加速度为g′，则为（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【详解】地球表面，万有引力等于重力，有 物体在距地面3R（R为地球半径）处，有 联立解得 ，故D正确，ABC错误。 例5.（24-25高三上·上海浦东新·期中）“中国天眼”发现距离地球17光年的地方有一颗“超级地球”，据科学家测算，这颗星球具有和地球一样的自转特征。如图，OE连线与其赤道平面的夹角为30°，A位置的重力加速速度为g，D位置的向心加速度为，则E位置的向心加速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在A位置有 在D位置有 在E位置有 故选D。 考点01　万有引力定律的理解 例6. （2023年·上海市松江一中高一下期中）下列关于万有引力定律的说法中，正确的是（　　） A. 万有引力定律是卡文迪许在实验室中发现的 B. 对于相距很远、可以看成质点的两个物体，万有引力定律中的r是两质点间的距离 C. 对于任意两个球体，万有引力定律中的r是两球心间的距离 D. 质量大的物体对质量小的物体的引力大于质量小的物体对质量大的物体的引力 【答案】B 【详解】A．万有引力定律是牛顿发现的，故A错误； B．对于相距很远、可以看成质点的两个物体，万有引力定律中的是两质点间的距离，故B正确； C．对于质量分布均匀的两个球体，万有引力定律中的是两球心间的距离，故C错误； D．根据牛顿第三定律可知，质量大的物体对质量小的物体的引力等于质量小的物体对质量大的物体的引力，故D错误。故选B。 例7.（多选）关于引力常量G，下列说法中正确的是（ ） A.在国际单位制中，引力常量G的单位是N·m2/kg2 B.引力常量G的大小与两物体质量的乘积成反比，与两物体间距离的平方成正比 C.引力常量G在数值上等于两个质量都是1 kg的可视为质点的物体相距1 m时的相互吸引力 D.引力常量G是不变的，其数值大小由卡文迪什测出，与单位制的选择无关 【答案】AC 【解析】由F＝G得G＝，所以在国际单位制中，G的单位为N·m2/kg2，A正确；但不是基本单位。 引力常量是一个常数，其大小与两物体质量以及两物体间的距离无关，B错误； 引力常量G在数值上等于两个质量都是1 kg的可视为质点的物体相距1 m时的相互吸引力，C正确； 引力常量是定值，其数值大小由卡文迪什测出，但其数值大小与单位制的选择有关，D错误。 考点02　万有引力的计算 例8. 地球质量大约是月球质量的81倍，一飞行器位于地球与月球之间，当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，飞行器距月球球心的距离与月球球心距地球球心的距离之比为（ ） A.1∶9 B.9∶1 C.1∶10 D.10∶1 【答案】C 【解析】设月球质量为m，则地球质量为81m，月球球心距地球球心的距离为r，飞行器质量为m0， 当飞行器距月球球心的距离为r′时，地球对它的引力等于月球对它的引力， 则G＝G，所以＝9，r＝10r′，r′∶r＝1∶10，故选项C正确。 例9.（多选）如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R，下列说法正确的是（ ） A.地球对一颗卫星的引力大小为 B.一颗卫星对地球的引力大小为 C.两颗卫星之间的引力大小为 D.三颗卫星对地球引力的合力大小为 【答案】BC 【解析】根据万有引力定律，地球与一颗卫星间的引力大小为F＝，A错误，B正确； 三颗卫星等间隔分布，由几何关系可知任意两卫星之间的距离为r， 故两卫星之间的引力大小为F′＝＝，C正确； 任意两卫星对地球引力的夹角为120°，三颗卫星对地球引力的合力大小为零，D错误。 考点03　重力加速度的计算 例10. 据报道，在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，设其质量为地球质量的k倍，其半径为地球半径的p倍，由此可推知该行星表面的重力加速度与地球表面重力加速度之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由mg＝G可知：g地＝G，g星＝G，＝·＝，所以B正确。 例11.（23-24·上海市松江一中高一下期中）某星球的质量为地球的倍，半径为地球的一半，若从地球上高处平抛一物体，物体射程为，地球表面重力加速度，不考虑天体的自转，根据以上信息，求： （1）该星球表面的重力加速度； （2）在该星球上，从同样的高度以同样的初速度平抛同一物体，物体的水平射程。 【答案】（1）360m/s2；（2）10m 【详解】（1）在星体表面上万有引力等于重力，故，得，则， 故 . （2）在地球表面上，由，，得， 同理，在该星球表面上，． 考点04　填补法计算万有引力大小 例12. 一个质量均匀分布的球体，半径为2r，在其内部挖去一个半径为r的球形空穴，其表面与球面相切，如图所示.已知挖去小球的质量为m，在球心和空穴中心连线上，距球心d＝6r处有一质量为m2的质点，求： (1)被挖去的小球挖去前对m2的万有引力为多大？ (2)剩余部分对m2的万有引力为多大？ 【答案】(1)G　 (2)G 【解析】(1)被挖去的小球挖去前对m2的万有引力为：F2＝G＝G＝G (2)将挖去的小球填入空穴中，由V＝πR3可知，大球的质量为8m， 则大球对m2的万有引力为：F1＝G＝G m2所受剩余部分的万有引力为F＝F1－F2＝G ~A组~ 1．（多选）根据开普勒行星运动定律和圆周运动的知识知：太阳对行星的引力F∝，行星对太阳的引力F′∝，其中M、m、r分别为太阳质量、行星质量和太阳与行星间的距离，下列说法正确的是（ ） A.由F′∝和F∝，得F∶F′＝m∶M B.F和F′大小相等，是作用力与反作用力 C.F和F′大小相等，是同一个力 D.太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力 【答案】BD 【解析】由于力的作用是相互的，则F′和F大小相等、方向相反，是作用力与反作用力，太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力，故B、D正确。 2． 关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是（ ） A.不能看作质点的两物体间不存在相互作用的引力 B.只有能看作质点的两物体间的引力才能用F＝计算 C.由F＝知，两物体间距离r减小时(没有无限靠近)，它们之间的引力增大 D.引力常量的大小是牛顿首先测出来的，且约等于6.67×10－11 N·m2/kg2 【答案】C 【解析】任何两物体间都存在相互作用的引力，故称万有引力，A错； 两个质量分布均匀的球体间的万有引力也能用F＝来计算，B错； 物体间的万有引力与它们之间距离r的二次方成反比，故r减小，它们之间的引力增大，C对； 引力常量G是由卡文迪什首先精确测出的，D错。 3． 下列与重力相关的叙述正确的是（　　） A．同一物体所处纬度越高，重力越小 B．同一物体所处海拔越高，重力越大 C．重力中的g就是自由落体运动中的加速度g D．重力不一定作用于重心上 【答案】C 【解析】AB．重力是万有引力的一个分量，纬度越高时物体因地球自转所需的向心力越小，重力越大； 同时有物体所处海拔越高受到的万有引力越小，重力也越小，AB错误； C．重力中的g就是自由落体运动中的加速度g，C正确； D．重心是物体各部分所受重力的合力点，所以重力一定不是作用于重心上，D错误。 4． 某物体在地面上受到地球对它的万有引力为F。若此物体受到的引力减小到，则此物体距离地面的高度应为(R为地球半径) （ ） A.2R B.4R C.R D.8R 【答案】C 【解析】根据万有引力定律有F＝G，由题意可知F＝G，解得h＝R，选项C正确。 5． 宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为（ ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【解析】mg′＝G，B正确。 6． 两个完全相同的实心均质小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F。若将两个用同种材料制成的半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则两个大铁球之间的万有引力为（ ） A.2F B.4F C.8F D.16F 【答案】D 【解析】两个小铁球之间的万有引力为F＝G＝G.实心小铁球的质量为m＝ρV＝ρ·πr3， 大铁球的半径是小铁球的2倍，则大铁球的质量为m′，则＝＝8， 故两个大铁球间的万有引力为F′＝G＝16F，故选D。 7． 如图所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P(图中未画出)的万有引力为F.如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且r＝，则原球体剩余部分对质点P的万有引力变为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】原来物体间的万有引力为F，挖去的半径为的球体的质量为原来球体质量的，其他条件不变， 故剩余部分对质点P的万有引力为F－＝F，故选C。 8． 一颗人造卫星在地球引力作用下，绕地球做匀速圆周运动，已知地球的质量为M，地球的半径为R，卫星的质量为m，卫星离地面高度为h，引力常量为G，则地球对卫星的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，卫星到地心的距离为： 根据万有引力公式可得地球对卫星的万有引力大小为： 故选A。 9． 如图所示，空间有三个质量均为m的物体A、B、C（均可看做质点）恰好固定在等边三角形的三个顶点上，物体A、B之间的距离为l，G为引力常量，则物体C受到的引力大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】相邻两个物体间的引力大小： 两个万有引力间的夹角，所以每个物体所受万有引力的合力大小：，B正确。 10. 为了实现登陆火星的梦想，中国宇航员王跃与俄罗斯、法国和意大利的5名志愿者一起进行了长达520天的“火星之旅”，模拟了人类在火星登陆。已知火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，假设王跃的质量为70kg，重力加速度g取10m/s2，则他在火星表面的质量和重力分别为（　） A．70kg，280N B．70kg，1750N C．28kg，280N D．28kg，1750N 【答案】A 【解析】根据地球表面的物体万有引力近似等于重力，有，解得： 同理，火星表面的重力加速度为： 质量不随位置而变化，还是70kg，他在火星表面的重力为：，故A正确。 11．（23-24高一下·上海长宁·阶段练习）一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重力加速度为g，行星的质量M与卫星的质量m之比，行星的半径与卫星的半径之比为，行星与卫星之间的距离r与行星的半径之比为。卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】卫星表面的重力加速度是卫星表面上的物体受到卫星的万有引力而产生的 解得卫星表面的重力加速度 行星表面的重力加速度满足 解得行星表面的重力加速度 解得 故选A。 12．假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】，即加速度跟球体半径成正比，矿井底部半径R-d，所以A正确。 13.（多选）宇宙飞船绕地心做半径为r的匀速圆周运动，飞船舱内有一质量为m的人站在可称体重的台秤上，用R表示地球的半径，g0表示地球表面处的重力加速度，g′表示宇宙飞船所在处的重力加速度，FN表示人对台秤的压力，下列说法正确的是（ ） A．g′＝0 B．g′＝g0 C．FN＝0 D．FN＝mg0 【答案】BC 【解析】， g和R2成反比，所以g′＝g0 A错误，B正确； 由于完全失重，人对台秤的压力为0，C正确，D错误。 14．（23-24高二下·上海·阶段练习）科学家发现距离地球17光年的地方有一颗“超级地球”，据测算，这颗星球具有和地球一样的自转特征。如图，若把这颗星球看成质量分布均匀的球体，OE连线与其“赤道”平面的夹角为30°，A位置的重力加速度为g，D位置的向心加速度为，如果未来的某天，第一个在D点登陆该星球质量为m1的宇航员1所受到的万有引力为 ；第一个在E点登陆该星球质量为m2的宇航员2所受到的重力为 。 【答案】 m1g 【详解】[1]在A位置，有 在D位置，有 ， 所以 [2]在E位置，有 ， 所以在E点宇航员2所受到的重力为 ~B组~ 15．含某物理量X的表达式为，其中是角速度，V是体积，G是万有引力常量。历史上第一次测出万有引力常量G的科学家是___________；据上式可判断X是___________（填写物理量名称）。 【答案】卡文迪什##卡文迪许     质量 【解析】[1]历史上第一次测出万有引力常量G的科学家是卡文迪什。 [2]由题给表达式可得 ，所以X的单位是：，即X是质量。 16．（23-24高一上·上海徐汇·期末）从平原到高原过程中，地球对汽车的引力F随高度h的变化关系图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设地球质量为，地球半径为，汽车质量为，根据万有引力定律可得 故选C。 17．（23-24高一上·上海浦东新·期末）一物体从一行星表面某高处自由下落（不计表层大气阻力），自开始下落计时，得到物体离该行星表面的高度h随时间t变化的图像如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．物体作匀速直线运动 B．行星表面重力加速度的大小为 C．物体落到行星表面时的速度大小为 D．物体下落到行星表面的过程中，平均速度的大小为 【答案】D 【详解】A．物体在星球行星表面某高处自由下落，只受重力，加速度为重力加速度，做匀加速直线运动，故A错误； B．物体离该行星表面的高度为 代入，时，可得行星表面重力加速度为 故B错误； C．物体落到行星表面时的速度大小为 故C错误； D．物体下落到行星表面的过程中，平均速度的大小为 故D正确。 故选D。 18．（22-23高三上·上海宝山·期中）假设宇宙中有两颗相距无限远的行星A和B，半径分别为和。两颗行星周围卫星的轨道半径的三次方（）与运行周期的平方（）的关系如图所示。若两颗行星自转可以忽略，则与行星A相比，行星B的（　　）    A．密度大 B．表面重力加速度大 C．密度小 D．表面重力加速度小 【答案】B 【详解】AC．根据万有引力提供向心力得出 得 根据图象可知，A的比较B的大，所以行星A的质量大于行星B的质量，由图可知两行星周期相同，又有 所以行星A的密度等于行星B的密度，故AC错误； BD．在星球表面有 解得 由于A的半径大于B的半径，故行星B表面重力加速度大于行星A表面重力加速度，故B正确，D错误。 故选B。 19．某地区的地下发现了天然气资源，如图所示，在水平地面P点的正下方有一球形空腔区域内储藏有天然气。假设该地区岩石均匀分布且密度为ρ，天然气的密度远小于ρ，可忽略不计。如果没有该空腔，地球表面正常的重力加速度大小为g；由于空腔的存在，现测得P点处的重力加速度大小为kg(k<1)。已知引力常量为G，球形空腔的球心深度为d，则此球形空腔的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值， 因此，如果将空腔填满密度为ρ的岩石，地面质量为m的物体的重力为mg，没有填满时重力是kmg， 故空腔填满的岩石对物体m的引力为(1－k)mg，根据万有引力定律有(1－k)mg＝G， 解得V＝，故选D。 20．在半径为R1的K星球表面竖直向上提起一质量为m1的物体，拉力F与物体加速度a的关系如图线1所示。在半径为R2的T星球表面竖直向上提起一质量为m2的物体，拉力F与物体加速度a的关系如图线2所示。设两星球密度相等，质量分布均匀。则（　　） A．m1：m2＝3：1，R1：R2＝1：2 B．m1：m2＝3：2，R1：R2＝3：1 C．m1：m2＝3：1，R1：R2＝2：3 D．m1：m2＝3：2，R1：R2＝2：1 【答案】A 【解析】物体在星球表面竖直向上加速，根据牛顿第二定律有 ，即： 则图线F-a的斜率表示物体的质量，则有 ，，所以 当加速度a=0时，拉力等于物体的重力，则有 ， 则重力加速度之比为 根据物体在星球表面上，万有引力等于重力，则有 根据星球质量的计算公式可得 联立解得星球的半径 ，则：，故选A。 21．质量为100kg的勇气号火星车成功登陆在火星表面。若勇气号在离火星表面12m时与降落伞自动脱离，此时它的速度是4m/s。被气囊包裹的勇气号刚降落到火星表面时的速度为16m/s，接着不反弹静止在火星表面。气囊和地面的接触时间为0.4秒。已知火星的半径为地球半径的0.5倍，不考虑火星表面空气阻力。地球表面重力加速度g=10m/s2。求： （1）火星表面的重力加速度； （2）火星质量与地球质量之比； （3）勇气号第一次与火星碰撞时所受到的平均冲力F。 【答案】（1）；  （2）；  （3） 【解析】（1）根据运动学公式 ，代入数据：，解得： （2）有万有引力定律 ，，可得： （3）加速度大小 ，根据牛顿第二定律 ，代入数据解得 22．某行星可视为质量均匀分布的球体。已知该行星表面重力加速度在两极的大小为g1，在“赤道”处的大小为g2；该星球的自转周期为T，引力常量为G。 （1）若有一质量为m的岩石静止于“赤道”上，求其向心力的大小； （2）求该行星的半径R； （3）将一物体从该星球表面沿地面方向水平抛出，若该物体不会落地，不计一切阻力，则该物体抛出时相对该行星中心的速度大小至少为？ 【答案】（1）mg1-mg2 （2） （3） 【解析】（1）在两极万有引力等于重力，即 在赤道，有向心力 （2）在赤道上的物体，根据 ，得该行星的半径： （3）将一物体从该星球表面沿地面方向水平抛出，若该物体不会落地， 则物体围绕星球做匀速圆周运动，万有引力全部用来提供向心，有 得该物体抛出时相对该行星中心的速度大小至少为 23．如图：2021年5月，“天问一号”着陆巡视器带着“祝融号”火星车软着陆火星时，在“降落伞减速”阶段，垂直火星表面速度由396m/s减至61m/s，用时168s。已知火星质量约为地球质量的，火星半径约为地球半径的，“天问一号”质量约为5.3吨。（g地取9.8m/s2） （1）“天问一号”在减速阶段的平均加速度大小是多少？ （2）“天问一号”在火星表面的重力加速度g’是多少? （3）“天问一号”在“降落伞减速”阶段受到的平均空气阻力约为多少？（本题答案保留2位有效数字） 【答案】（1）2.0m/s2；（2）4.4m/s2；（3）3.4×104N 【解析】（1）由加速度定义式可得 ，即平均加速度大小为2m/s2。 （2）物体在行星表面时 ，得 所以有 ，得g’=4.4m/s2 （3）由牛顿第二定律 F-mg=ma，代入数据可得：F=5300×(4.4+2)N=3.4×104N （23-24高一下·上海闵行·期中）空间站 2022年11月12日，我国空间站基本建成。如图所示，空间站绕地球的运动可视为匀速圆周运动，轨道半径为r。已知空间站的总质量为m，地球质量为M，地球半径为R，引力常量为G。 24．空间站绕地球做匀速圆周运动时受到地球的万有引力大小为 A． B． C． D． 25．关于做匀速圆周运动的人造地球卫星，轨道越高，下列说法中正确的是 A．周期越大 B．角速度越大 C．线速度越大 D．向心加速度越大 26．宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。（取地球表面重力加速度，空气阻力不计）。 （1）求该星球表面附近的重力加速度； （2）已知该星球的半径与地球半径之比为，求该星球的质量与地球质量之比。 【答案】24．B 25．A 26．（1）；（2） 【解析】24．根据万有引力定律，有 故选B。 25．根据 可知，轨道越高，轨道半径越大，周期越大，线速度越小，角速度越小，向心加速度越小。 故选A。 26．（1）竖直上抛运动，小球从抛出到落回抛出点的时间为 解得 有 解得 （2）根据 可得 所以有 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 万有引力定律 6．2 万有引力定律 课程标准 1.了解万有引力定律的内容，理解万有引力定律的适用适用条件。 2.理解万有引力和重力的区别和联系。 3.会用万有引力定律计算相关引力问题.。 物理素养 物理观念：建立万有引力是世间万物相互之间都具有的引力的概念。 科学思维：地球表面的物体和天体之间的万有引力的统一性思维。 科学探究：引力常量的测量方法。 科学态度与责任：认识发现万有引力的重要意义、实事求是地探索自然界客观规律。 一、万有引力定律 1．牛顿的思考： 地球对苹果的引力、地球对月亮的引力与太阳对行星的作用力本质上都完全相同。 无论天上、地上还是天地之间的任何两个物体之间全都存在这种引力。 牛顿把自然界这种所有物体之间都存在的相互吸引力叫做万有引力。 2．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。 3．表达式：F＝G，其中G叫作引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2 （类比库仑定律：，事实上万有引力先发现，库仑定律的发现受万有引力定律的启发） 4．万有引力定律公式适用的条件 (1)两个质点间的相互作用。 (2)一个均匀球体与球外一个质点间的相互作用，r为球心到质点的距离。 (3)两个质量均匀的球体间的相互作用，r为两球心间的距离。 ※5.万有引力定律的导出过程 行星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动.设行星的质量为m，速度为v，行星到太阳的距离为r。 天文观测测得行星公转周期为T，则 向心力F＝m＝mr① 根据开普勒第三定律：＝k② 由①②得：F＝4π2k③ 即太阳对行星的引力F∝ 根据牛顿第三定律，行星对太阳的引力F′∝ 则行星与太阳间的引力F∝ 写成等式F＝G ※6.月地检验 (1).猜想：地球与月球之间的引力F＝G，根据牛顿第二定律a月＝＝G 地面上苹果自由下落的加速度a苹＝＝G 由于r＝60R，所以＝ (2).验证： ①苹果自由落体加速度a苹＝g＝9.8 m/s2. ②月球中心距地球中心的距离r＝3.8×108 m. 月球公转周期T＝27.3 d≈2.36×106 s 则a月＝()2r＝2.7×10－3 m/s2(保留两位有效数字) a月,a苹)＝2.8×10－4(数值)≈(比例) (3).结论：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力，遵从相同的规律。 例1. 判断下列说法的正误。 (1)万有引力不仅存在于天体之间，也存在于普通物体之间。（ ） (2)牛顿发现了万有引力定律，并测出了引力常量。（ ） (3)质量一定的两个物体，若距离无限小，它们间的万有引力趋于无限大。（ ） (4)把物体放在地球中心处，物体受到的引力无穷大。（ ） (5)由于太阳质量大，太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力。（ ） 例2. (1)实验结果表明，地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律.一切物体都存在这样的引力，如图，那么，为什么通常两个人(假设两人可看成质点，质量均为100 kg，相距1 m)间的万有引力我们却感受不到？ (2)地球对人的万有引力与人对地球的万有引力大小相等吗？ (3)氢原子是由一个质子和一个电子组成的，质子的质量是 1.7×10-27kg，电子的质量是 9.1×10-31 kg。在氢原子中，电子和质子相距约 5.9×10-11m，试分别计算两者间的万有引力和库仑力的大小? 二、引力常量G的测量 牛顿没有测出引力常量G，英国物理学家卡文迪什在实验室里比较精确地测出了引力常量G的值。 卡文迪什扭秤的主要结构和原理如图所示，装有平面镜 M 和两个相同小球的T形架，用石英丝悬吊起来，当小球被大球吸引时，T形架和石英丝会发生极其微小的扭转，利用平面镜对光的反射能测出这个微小的扭转角，进而测量出大球与小球间极微小的万有引力。 G＝6.67×10－11 N·m2/kg2. 例3. （23-24·上海市洋泾中学高一下期末）如图所示为扭秤实验的装置图，下列说法正确的是（　　） A. 牛顿通过该装置测出了引力常量G B. 牛顿被称为第一个称量地球的人 C. 开普勒通过该装置提出了万有引力定律 D. 该实验巧妙地利用了微小量放大思想 三、重力和万有引力的关系 1．物体在地球表面上所受引力与重力的关系： 除两极以外，地面上其他点的物体，都围绕地轴做圆周运动，这就需要一个垂直于地轴的向心力。 万有引力表现为两个效果：一个分力F′提供向心力，另一个分力为重力G，如图所示： (1)当物体在两极时：G＝F引，重力达到最大值Gmax＝mgmax=G (2)当物体在赤道上时：F′＝mω2R最大，此时重力最小 Gmin＝mgmin=G－mω2R (3)从赤道到两极：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和 随着纬度增加，向心力F′＝mω2R′减小，F′与F引夹角增大， 所以重力G增大，重力加速度g增大。 因为F′、F引、G不在一条直线上，重力G与万有引力F引方向有偏差，重力大小mg<G。 2．重力与高度的关系 若距离地面的高度为h，则mg′＝G(R为地球半径，g′为离地面h高度处的重力加速度)。 在同一纬度，距地面越高，重力加速度越小。 3．特别说明 (1)重力是物体由于地球吸引产生的，但重力并不是地球对物体的引力。 (2)在忽略地球自转的情况下，认为mg＝G，也称“黄金替换式”。 (3)由此推得两个不同天体表面重力加速度的关系为＝· 例4.（23-24·上海市上师大附中高一下期中）若地球表面处的重力加速度为g，而物体在距地面3R（R为地球半径）处，由于地球作用而产生的加速度为g′，则为（　　） A. 1 B. C. D. 例5.（24-25高三上·上海浦东新·期中）“中国天眼”发现距离地球17光年的地方有一颗“超级地球”，据科学家测算，这颗星球具有和地球一样的自转特征。如图，OE连线与其赤道平面的夹角为30°，A位置的重力加速速度为g，D位置的向心加速度为，则E位置的向心加速度为（　　） A． B． C． D． 考点01　万有引力定律的理解 例6. （2023年·上海市松江一中高一下期中）下列关于万有引力定律的说法中，正确的是（　　） A. 万有引力定律是卡文迪许在实验室中发现的 B. 对于相距很远、可以看成质点的两个物体，万有引力定律中的r是两质点间的距离 C. 对于任意两个球体，万有引力定律中的r是两球心间的距离 D. 质量大的物体对质量小的物体的引力大于质量小的物体对质量大的物体的引力 例7.（多选）关于引力常量G，下列说法中正确的是（ ） A.在国际单位制中，引力常量G的单位是N·m2/kg2 B.引力常量G的大小与两物体质量的乘积成反比，与两物体间距离的平方成正比 C.引力常量G在数值上等于两个质量都是1 kg的可视为质点的物体相距1 m时的相互吸引力 D.引力常量G是不变的，其数值大小由卡文迪什测出，与单位制的选择无关 考点02　万有引力的计算 例8. 地球质量大约是月球质量的81倍，一飞行器位于地球与月球之间，当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，飞行器距月球球心的距离与月球球心距地球球心的距离之比为（ ） A.1∶9 B.9∶1 C.1∶10 D.10∶1 例9.（多选）如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R，下列说法正确的是（ ） A.地球对一颗卫星的引力大小为 B.一颗卫星对地球的引力大小为 C.两颗卫星之间的引力大小为 D.三颗卫星对地球引力的合力大小为 考点03　重力加速度的计算 例10. 据报道，在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，设其质量为地球质量的k倍，其半径为地球半径的p倍，由此可推知该行星表面的重力加速度与地球表面重力加速度之比为（ ） A. B. C. D. 例11.（23-24·上海市松江一中高一下期中）某星球的质量为地球的倍，半径为地球的一半，若从地球上高处平抛一物体，物体射程为，地球表面重力加速度，不考虑天体的自转，根据以上信息，求： （1）该星球表面的重力加速度； （2）在该星球上，从同样的高度以同样的初速度平抛同一物体，物体的水平射程。 考点04　填补法计算万有引力大小 例12. 一个质量均匀分布的球体，半径为2r，在其内部挖去一个半径为r的球形空穴，其表面与球面相切，如图所示.已知挖去小球的质量为m，在球心和空穴中心连线上，距球心d＝6r处有一质量为m2的质点，求： (1)被挖去的小球挖去前对m2的万有引力为多大？ (2)剩余部分对m2的万有引力为多大？ ~A组~ 1． （多选）根据开普勒行星运动定律和圆周运动的知识知：太阳对行星的引力F∝，行星对太阳的引力F′∝，其中M、m、r分别为太阳质量、行星质量和太阳与行星间的距离，下列说法正确的是（ ） A.由F′∝和F∝，得F∶F′＝m∶M B.F和F′大小相等，是作用力与反作用力 C.F和F′大小相等，是同一个力 D.太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力 2． 关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是（ ） A.不能看作质点的两物体间不存在相互作用的引力 B.只有能看作质点的两物体间的引力才能用F＝计算 C.由F＝知，两物体间距离r减小时(没有无限靠近)，它们之间的引力增大 D.引力常量的大小是牛顿首先测出来的，且约等于6.67×10－11 N·m2/kg2 3． 下列与重力相关的叙述正确的是（　　） A．同一物体所处纬度越高，重力越小 B．同一物体所处海拔越高，重力越大 C．重力中的g就是自由落体运动中的加速度g D．重力不一定作用于重心上 4． 某物体在地面上受到地球对它的万有引力为F。若此物体受到的引力减小到，则此物体距离地面的高度应为(R为地球半径) （ ） A.2R B.4R C.R D.8R 5． 宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为（ ） A．0 B． C． D． 6． 两个完全相同的实心均质小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F。若将两个用同种材料制成的半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则两个大铁球之间的万有引力为（ ） A.2F B.4F C.8F D.16F 7． 如图所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P(图中未画出)的万有引力为F.如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且r＝，则原球体剩余部分对质点P的万有引力变为（ ） A. B. C. D. 8． 一颗人造卫星在地球引力作用下，绕地球做匀速圆周运动，已知地球的质量为M，地球的半径为R，卫星的质量为m，卫星离地面高度为h，引力常量为G，则地球对卫星的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 9． 如图所示，空间有三个质量均为m的物体A、B、C（均可看做质点）恰好固定在等边三角形的三个顶点上，物体A、B之间的距离为l，G为引力常量，则物体C受到的引力大小为（    ） A． B． C． D． 10. 为了实现登陆火星的梦想，中国宇航员王跃与俄罗斯、法国和意大利的5名志愿者一起进行了长达520天的“火星之旅”，模拟了人类在火星登陆。已知火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，假设王跃的质量为70kg，重力加速度g取10m/s2，则他在火星表面的质量和重力分别为（　） A．70kg，280N B．70kg，1750N C．28kg，280N D．28kg，1750N 11．（23-24高一下·上海长宁·阶段练习）一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重力加速度为g，行星的质量M与卫星的质量m之比，行星的半径与卫星的半径之比为，行星与卫星之间的距离r与行星的半径之比为。卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度之比为（    ） A． B． C． D． 12．假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（ ） A. B. C. D. 13.（多选）宇宙飞船绕地心做半径为r的匀速圆周运动，飞船舱内有一质量为m的人站在可称体重的台秤上，用R表示地球的半径，g0表示地球表面处的重力加速度，g′表示宇宙飞船所在处的重力加速度，FN表示人对台秤的压力，下列说法正确的是（ ） A．g′＝0 B．g′＝g0 C．FN＝0 D．FN＝mg0 14．（23-24高二下·上海·阶段练习）科学家发现距离地球17光年的地方有一颗“超级地球”，据测算，这颗星球具有和地球一样的自转特征。如图，若把这颗星球看成质量分布均匀的球体，OE连线与其“赤道”平面的夹角为30°，A位置的重力加速度为g，D位置的向心加速度为，如果未来的某天，第一个在D点登陆该星球质量为m1的宇航员1所受到的万有引力为 ；第一个在E点登陆该星球质量为m2的宇航员2所受到的重力为 。 ~B组~ 15．含某物理量X的表达式为，其中是角速度，V是体积，G是万有引力常量。历史上第一次测出万有引力常量G的科学家是___________；据上式可判断X是___________（填写物理量名称）。 16．（23-24高一上·上海徐汇·期末）从平原到高原过程中，地球对汽车的引力F随高度h的变化关系图像可能是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一上·上海浦东新·期末）一物体从一行星表面某高处自由下落（不计表层大气阻力），自开始下落计时，得到物体离该行星表面的高度h随时间t变化的图像如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．物体作匀速直线运动 B．行星表面重力加速度的大小为 C．物体落到行星表面时的速度大小为 D．物体下落到行星表面的过程中，平均速度的大小为 18．（22-23高三上·上海宝山·期中）假设宇宙中有两颗相距无限远的行星A和B，半径分别为和。两颗行星周围卫星的轨道半径的三次方（）与运行周期的平方（）的关系如图所示。若两颗行星自转可以忽略，则与行星A相比，行星B的（　　）    A．密度大 B．表面重力加速度大 C．密度小 D．表面重力加速度小 19．某地区的地下发现了天然气资源，如图所示，在水平地面P点的正下方有一球形空腔区域内储藏有天然气。假设该地区岩石均匀分布且密度为ρ，天然气的密度远小于ρ，可忽略不计。如果没有该空腔，地球表面正常的重力加速度大小为g；由于空腔的存在，现测得P点处的重力加速度大小为kg(k<1)。已知引力常量为G，球形空腔的球心深度为d，则此球形空腔的体积是（ ） A. B. C. D. 20．在半径为R1的K星球表面竖直向上提起一质量为m1的物体，拉力F与物体加速度a的关系如图线1所示。在半径为R2的T星球表面竖直向上提起一质量为m2的物体，拉力F与物体加速度a的关系如图线2所示。设两星球密度相等，质量分布均匀。则（　　） A．m1：m2＝3：1，R1：R2＝1：2 B．m1：m2＝3：2，R1：R2＝3：1 C．m1：m2＝3：1，R1：R2＝2：3 D．m1：m2＝3：2，R1：R2＝2：1 21．质量为100kg的勇气号火星车成功登陆在火星表面。若勇气号在离火星表面12m时与降落伞自动脱离，此时它的速度是4m/s。被气囊包裹的勇气号刚降落到火星表面时的速度为16m/s，接着不反弹静止在火星表面。气囊和地面的接触时间为0.4秒。已知火星的半径为地球半径的0.5倍，不考虑火星表面空气阻力。地球表面重力加速度g=10m/s2。求： （1）火星表面的重力加速度； （2）火星质量与地球质量之比； （3）勇气号第一次与火星碰撞时所受到的平均冲力F。 22．某行星可视为质量均匀分布的球体。已知该行星表面重力加速度在两极的大小为g1，在“赤道”处的大小为g2；该星球的自转周期为T，引力常量为G。 （1）若有一质量为m的岩石静止于“赤道”上，求其向心力的大小； （2）求该行星的半径R； （3）将一物体从该星球表面沿地面方向水平抛出，若该物体不会落地，不计一切阻力，则该物体抛出时相对该行星中心的速度大小至少为？ 23．如图：2021年5月，“天问一号”着陆巡视器带着“祝融号”火星车软着陆火星时，在“降落伞减速”阶段，垂直火星表面速度由396m/s减至61m/s，用时168s。已知火星质量约为地球质量的，火星半径约为地球半径的，“天问一号”质量约为5.3吨。（g地取9.8m/s2） （1）“天问一号”在减速阶段的平均加速度大小是多少？ （2）“天问一号”在火星表面的重力加速度g’是多少? （3）“天问一号”在“降落伞减速”阶段受到的平均空气阻力约为多少？（本题答案保留2位有效数字） （23-24高一下·上海闵行·期中）空间站 2022年11月12日，我国空间站基本建成。如图所示，空间站绕地球的运动可视为匀速圆周运动，轨道半径为r。已知空间站的总质量为m，地球质量为M，地球半径为R，引力常量为G。 24．空间站绕地球做匀速圆周运动时受到地球的万有引力大小为 A． B． C． D． 25．关于做匀速圆周运动的人造地球卫星，轨道越高，下列说法中正确的是 A．周期越大 B．角速度越大 C．线速度越大 D．向心加速度越大 26．宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。（取地球表面重力加速度，空气阻力不计）。 （1）求该星球表面附近的重力加速度； （2）已知该星球的半径与地球半径之比为，求该星球的质量与地球质量之比。 / 学科网（北京）股份有限公司 $$