福建省漳州市2024—2025学年八年级上学期期末教学质量检测数学北师大版A卷

２０２４—２０２５ 学年上学期教学质量检测 八年级数学试卷 (北师大版 Ａ 卷) (考试时间: １２０ 分钟　 满分: １５０ 分) 友情提示: 请把所有答案填涂到答题纸上! 请不要错位、 越界答题! 注意: 在解答题中ꎬ 凡是涉及到画图ꎬ 可先用铅笔画在答题纸上ꎬ 然后必须用黑 ∙ 色签字笔 ∙∙∙∙ 重描确认ꎬ 否则无效 􀆰 一、 选择题: 本题共 １０ 小题ꎬ 每小题 ４ 分ꎬ 共 ４０ 分ꎮ 在每小题给出的四个选项中ꎬ 只有一项是符合题目要求的ꎬ 请在答题纸 ∙∙∙ 的相应位置填涂ꎮ １. 下列各数是无理数的是 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ. １０ Ｂ. ４ Ｃ. ０􀆰 ２ Ｄ. － １ ２. 在平面直角坐标系中ꎬ 点 Ａ( － １􀆯 － ２) 位于 Ａ. 第一象限 Ｂ. 第二象限 Ｃ. 第三象限 Ｄ. 第四象限 9 16 M ３. 如图ꎬ 两个较小正方形的面积分别为 ９􀆯 １６ꎬ 则字母 Ｍ 所代表的 正方形的面积为 Ａ. ５ Ｂ. ７ Ｃ. １０ Ｄ. ２５ ４. 下列运算中ꎬ 正确的是 Ａ. ２ ＋ ３ ＝ ５ Ｂ. － ２ ＝ ２ Ｃ. ( － ２) ２ ＝－ ２ Ｄ. ９ ＝ ± ３ 1 2 ５. 一把直尺与一块直角三角板如图方式摆放ꎬ 若 ∠２ ＝ ３７°ꎬ 则 ∠１ 的度数是 Ａ. ４３° Ｂ. ５３° Ｃ. ５７° Ｄ. ６３° ６. 如图ꎬ 在 Ｒｔ△ＯＡＢ 中ꎬ ∠ＯＡＢ ＝ ９０°ꎬ ＯＡ ＝ ２ꎬ ＡＢ ＝ １. 以点 Ｏ 为圆心ꎬ ＯＢ 为半径 作弧ꎬ 弧与数轴正半轴交于点 Ｐꎬ 则点 Ｐ 所表示的数是 B PA O-1 1 2 3 Ａ. ２􀆰 ２ Ｂ. ５ Ｃ. １ ＋ ２ Ｄ. ６ 八年级数学 (北师大版 Ａ 卷) 试题第 １ 页 (共 ８ 页) ７. 某中学评选先进班级ꎬ 主要从班级精神面貌、 学习风气、 遵守纪律、 清洁卫生四 个方面考核评分ꎬ 各项满分均为 １００ 分ꎬ 所占比例如下表: 项目 精神面貌 学习风气 遵守纪律 清洁卫生 所占比例 ２５％ ３０％ ２５％ ２０％ 八年(５) 班这四项得分依次为 ８０ 分、 ８０ 分、 ９０ 分、 ７０ 分ꎬ 则该班四项综合得分是 Ａ. ７５ 分 Ｂ. ８０ 分 Ｃ. ８０􀆰 ５ 分 Ｄ. ８５ 分 ８. 命题“若 ｘ２ > ｙ２ꎬ 则 ｘ > ｙ. ” 下列选项中 ｘꎬ ｙ的值ꎬ 能说明这个命题是假命题的是 Ａ. ｘ ＝ ４ꎬ ｙ ＝ ３ Ｂ. ｘ ＝ ３ꎬ ｙ ＝ ０ Ｃ. ｘ ＝ ２ꎬ ｙ ＝－ １ Ｄ. ｘ ＝－ ２ꎬ ｙ ＝－ １ ９. 如图ꎬ 若一次函数 ｙ ＝ ｋｘ ＋ ３ 与正比例函数 ｙ ＝ ２ｘ的图象交于点(１􀆯 ｍ)ꎬ 则关于 ｘ􀆯 ｙ O x y (1,m) 的方程组 ｋｘ － ｙ ＝－ ３ꎬ ２ｘ － ｙ ＝ ０{ 的解为 Ａ. ｘ ＝ １ꎬ ｙ ＝ ２{ Ｂ. ｘ ＝－ １ꎬ ｙ ＝ ２{ Ｃ. ｘ ＝－ １ꎬ ｙ ＝－ ２{ Ｄ. ｘ ＝ １ꎬ ｙ ＝－ ２{ １０. 一次函数 ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｂ 的 ｘ 与 ｙ 的部分对应值如下表所示ꎬ 根据表中数值分析ꎬ 下列 说法正确的是 ｘ 􀆺 － ２ － １ ０ １ ２ 􀆺 ｙ 􀆺 － ８ － ５ － ２ １ ４ 􀆺 Ａ. ｙ 的值随 ｘ 值的增大而减小 Ｂ. 该函数的图象不经过第四象限 Ｃ. 关于 ｘ 的方程 ｋｘ ＋ ｂ ＝ ２ 的解是 ｘ ＝ ４ Ｄ. 当 ｘ < － １ 时ꎬ ｋｘ ＋ ｂ < － ５ 八年级数学 (北师大版 Ａ 卷) 试题第 ２ 页 (共 ８ 页) 二、 填空题: 本题共 ６ 小题ꎬ 每小题 ４ 分ꎬ 共 ２４ 分ꎮ 请将答案填入答题纸 ∙∙∙ 的相应位 置ꎮ １１. 比较大小: ３ ３ １ ３ . (填“ > ”ꎬ “ < ” 或“ ＝”) １２. 在平面直角坐标系中ꎬ 若点 Ａ( － １􀆯 １) 和点 Ｂ(３􀆯 ａ)ꎬ 且 ＡＢ ∥ ｘ 轴ꎬ 则 ａ 的值是 . １３. 已知一次函数 ｙ ＝ ｘ ＋ ｂ 的图象经过点(０􀆯 ５)ꎬ 则 ｂ 的值为 . １４. 一组数据的方差 ｓ２ ＝ １ ５ [(ｘ１ － ３)２ ＋ (ｘ２ － ３)２ ＋ (ｘ３ － ３)２ ＋ (ｘ４ － ３)２ ＋ (ｘ５ － ３)２]ꎬ 根据算式信息ꎬ 该组数据的平均数是 . A F B D G E C １５. 已知关于 ｘ􀆯 ｙ的方程组 ｙ ＝ ｍꎬ ２ｘ ＋ ｙ ＝ ３ｍ － ２{ ꎬ 若 ｘ ＋ ｙ ＝ ３ꎬ 则 ｍ 的值为 . １６. 如图ꎬ 在△ＡＢＣ中ꎬ ＡＢ ＝ ＡＣꎬ ＡＤ⊥ＢＣ于点Ｄꎬ ＤＥ平分 ∠ＡＤＣꎬ 交 ＡＣ 于点 Ｅꎬ ＥＦ ⊥ ＡＢ 于点 Ｆꎬ 交 ＡＤ 于点 Ｇ. 若 ＡＢ ＝ １０ꎬ ＢＣ ＝ １２ꎬ 则 ＡＧ 的长为 . 三、 解答题: 本题共 ９小题ꎬ 共 ８６分ꎮ 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤ꎮ 请在答题纸 ∙∙∙ 的相应位置解答ꎮ １７. (８ 分) 计算: (１) ２０ ＋ ５ ５ ＋ ３ ８ ꎻ 　 　 　 　 　 (２)( ２ － １)( ２ ＋ １) － ( ５ ＋ １) ０ . １８. (８ 分) 解方程组: ５ｘ ＋ ２ｙ ＝ １２ꎬ 　 ① ３ｘ － ２ｙ ＝ ４. 　 ②{ 八年级数学 (北师大版 Ａ 卷) 试题第 ３ 页 (共 ８ 页) １９. (８ 分) 如图ꎬ 在平面直角坐标系中ꎬ 点Ａ的坐标为( － ３􀆯 ４)ꎬ 点Ｂ的坐标为( － ２􀆯 １)ꎬ 点 Ｃ 的坐标为( － １􀆯 ２) . (１) 请画出 △ＡＢＣ 关于 ｙ 轴的对称图形 △Ａ１Ｂ１Ｃ１ꎻ (２) 直接写出点 Ａ１ꎬ Ｂ１ꎬ Ｃ１ 的坐标和 △ＡＢＣ 的面积. ２０. (８ 分) 抖空竹是我国的传统民间游艺活动ꎬ 也是国家级非物质文化遗产之一. 明代«帝 京景物略» 一书中就有空竹玩法和制作方法的记述ꎬ 明定陵亦有出土的文物为证ꎬ 可 见抖空竹在民间流行的历史至少在 ６００ 年以上. 通过观察抖空竹发现ꎬ 可以将某一时 刻的情形抽象成数学问题: 如图ꎬ ＡＢ ∥ ＣＤꎬ ∠ＢＡＥ ＝ ９４°ꎬ ∠Ｅ ＝ ２８°ꎬ 求 ∠ＤＣＥ 的 度数. 八年级数学 (北师大版 Ａ 卷) 试题第 ４ 页 (共 ８ 页) ２１. (８ 分) «孙子算经» 中有一道题ꎬ 原文是: 今有三人共车ꎬ 一车空ꎻ 二人共车ꎬ 九人 步ꎬ 问人与车各几何? 译文为: 今有若干人乘车ꎬ 每 ３ 人共乘一车ꎬ 最终剩余 １ 辆 车ꎻ 若每 ２ 人共乘一车ꎬ 最终剩余 ９ 个人无车可乘ꎬ 问共有多少人ꎬ 多少辆车? ２２. (１０ 分) 下列折线统计图是漳州市 ２０２３ 年、 ２０２４ 年 １１ 月上旬日最高气温. 阅读统计图并 回答以下问题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 32 31 30 29 28 27 26 25 O 2023! 2024! !"/! #$% &、 & ()*!+,-./01232023 2024 11 (１) 根据统计图中的信息ꎬ 填写下表: 漳州市 ２０２３ 年、 ２０２４ 年 １１ 月上旬日最高气温的统计表 年份 平均数 /℃ 中位数 / ℃ 众数 / ℃ 方差 ２０２３ ２８􀆰 ９ ３０ ２􀆰 ６９ ２０２４ ２８ １􀆰 ８４ 　 　 (２) 结合统计图、 统计表中的信息ꎬ 从不同的角度对漳州市 ２０２３ 年、 ２０２４ 年 １１ 月上旬日最高气温进行比较. (写出两种比较方法即可) 八年级数学 (北师大版 Ａ 卷) 试题第 ５ 页 (共 ８ 页) ２３. (１０ 分) 阅读材料ꎬ 回答问题. 某学校打算在一块空地上栽种三角梅ꎬ 美化校园环境. 要求栽种区域是周长为 ３０ 米的直角三角形ꎬ 且边长均为整数米. 该校八年级数学兴趣小组以此背景进行实践活 动ꎬ 绘制如下实践报告: 课题 探究如何用 ３０ 米长绳子围成一个直角三角形 (绳子无剩余ꎬ 且边长均为整数米) 查阅资料 　 据说古埃及人曾用下面的方法得到直角: 他们用 １３ 个等距的结把一根绳子分成等长的 １２ 段ꎬ 一个工匠同时 握住绳子的第 １ 个结和第 １３ 个结ꎬ 两个助手分别握住第 ４ 个结和第 ８ 个 结ꎬ 拉紧绳子ꎬ 就会得到一个直角三角形ꎬ 其直角在第 ４ 个结处. 工具 一根 ３０ 米长的绳子、 一支标记笔和 一根 １ 米长的细木条. 设计方案 　 (Ⅰ) 操作步骤: 首先ꎬ 用 １ 米长的细木条将绳子平均分成 　 　 ①　 　 等份ꎬ 并在等 分点处用标记笔画上标记ꎻ 其次ꎬ 一名同学握住绳子的两端ꎬ 另两名同学依次分别握住第 　 　 ②　 　 个标记处和第 　 　 ③　 　 个标记处ꎻ 最后ꎬ 三名同学同时用力拉紧绳子ꎬ 便得到一个符合要求的直角三 角形. (Ⅱ) 画出设计示意图ꎬ 并说明其中的道理. 　 　 (１) 补全操作步骤中 ①②③ 所缺的内容ꎻ (２) 完成设计方案中(Ⅱ) 的问题. 八年级数学 (北师大版 Ａ 卷) 试题第 ６ 页 (共 ８ 页) ２４. (１２ 分) 如图ꎬ 在△ＡＢＣ中ꎬ 点Ｄꎬ Ｅ分别是 ＡＢꎬ ＢＣ上的动点ꎬ 连接ＤＥꎬ 将△ＢＤＥ沿直 线 ＤＥ 折叠得到 △ＤＥＦꎬ 点 Ｆ 落在 ＡＣ 上. (１) 如图 １ꎬ 若点 Ｅ 是 ＢＣ 的中点. ① 求证: ＤＥ ∥ ＡＣꎻ ② 连接 ＢＦꎬ 求证: ＢＦ ⊥ ＡＣꎻ (２) 如图 ２ꎬ 若∠ＡＢＣ ＝ ９０°ꎬ 且点 Ｆ是 ＡＣ的中点ꎬ 判断线段 ＡＤꎬ ＣＥ与 ＤＥ之间 存在的数量关系ꎬ 并证明. 八年级数学 (北师大版 Ａ 卷) 试题第 ７ 页 (共 ８ 页) ２５. (１４ 分) 如图ꎬ 直线 ｌ: ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｂ经过点Ａ( － １􀆯 ０)ꎬ Ｂ(０􀆯 ３)ꎬ 点Ｃ在 ｘ轴上ꎬ 且ＯＢ ＝ＯＣꎬ 连接 ＢＣ. (１) 求直线 ｌ 的表达式ꎻ (２) 若 ＯＤ 平分 ∠ＢＯＣꎬ 交 ＢＣ 于点 Ｄꎬ 连接 ＡＤꎬ 求 △ＡＯＤ 的面积ꎻ (３) 在线段ＡＢ上是否存在点Ｅꎬ 使得∠ＡＢＯ ＋∠ＢＣＥ ＝ ４５°ꎬ 若存在ꎬ 求出点Ｅ的 坐标ꎬ 若不存在ꎬ 请说明理由. x y B A O D C 八年级数学 (北师大版 Ａ 卷) 试题第 ８ 页 (共 ８ 页) ２０２４－２０２５ 学年上学期教学质量检测 八年级数学参考答案及评分意见 (北师大版 Ａ 卷) 一、 选择题: 本题共 １０ 小题ꎬ 每小题 ４ 分ꎬ 共 ４０ 分ꎮ 题　 号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答　 案 Ａ Ｃ Ｄ Ｂ Ｂ Ｂ Ｃ Ｄ Ａ Ｄ 二、 填空题: 本题共 ６ 小题ꎬ 每小题 ４ 分ꎬ 共 ２４ 分ꎮ １１. > １２. １ １３. ５ １４. ３ １５. ２ １６. ２ 三、 解答题: 本题共 ９ 小题ꎬ 共 ８６ 分ꎮ １７. (８ 分) 解: (１) 原式＝ ２ ＋ １ ＋ ２ ３ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ＝ ５ꎻ ４ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (２) 原式＝ ( ２ ) ２ － １ － １ ６ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ＝ ２ － １ － １ ７ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ＝ ０. ８ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (其他解法参照给分) １８. (８ 分) 解: 方法一: ① ＋ ②ꎬ 得 ８ｘ ＝ １６ꎬ ２ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 　 　 　 　 ｘ ＝ ２. ４ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 将 ｘ ＝ ２ 代入 ①ꎬ 得 １０ ＋ ２ｙ ＝ １２ꎬ ５ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 　 　 　 　 ｙ ＝ １. ７ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 所以原方程组的解是 ｘ ＝ ２ꎬ ｙ ＝ １.{ ８ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 方法二: 由 ①ꎬ 得 ｙ ＝ １２ － ５ｘ ２ . ③ ２ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 将 ③ 代入 ②ꎬ 得 ３ｘ － ２ × １２ － ５ｘ ２ ＝ ４ꎬ ４ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 　 　 　 　 ｘ ＝ ２. ５ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 八年级数学参考答案 (北师大 Ａ 卷) 　 第 １ 页 (共 ６ 页) 将 ｘ ＝ ２ 代入 ③ꎬ 得 ｙ ＝ １２ － １０ ２ ꎬ ６ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 　 　 　 　 ｙ ＝ １. ７ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 所以原方程组的解是 ｘ ＝ ２ꎬ ｙ ＝ １.{ ８ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (其他解法参照给分) １９. (８ 分) 解: (１) 如图所示. ３ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (２) Ａ１(３ꎬ ４)ꎬ Ｂ１(２ꎬ １)ꎬ Ｃ１(１ꎬ ２)ꎬ ６ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 △ＡＢＣ 的面积为 ２. ８ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ２０. (８ 分) 解: 延长 ＤＣ 交 ＡＥ 于点 Ｆꎬ 如图. １ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 A B F C D E ∵ ＡＢ ∥ ＣＤꎬ ∴ ∠ＣＦＥ ＝ ∠ＢＡＥ. ３ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ∵ ∠ＢＡＥ ＝ ９４°ꎬ ∴ ∠ＣＦＥ ＝ ９４°. ４ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ∵ ∠ＤＣＥ 是 △ＣＥＦ 的一个外角ꎬ ∴ ∠ＤＣＥ ＝ ∠Ｅ ＋ ∠ＣＦＥ. ６ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ∵ ∠Ｅ ＝ ２８°ꎬ ∴ ∠ＤＣＥ ＝ ２８° ＋ ９４° ＝ １２２°. ８ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (其他解法参照给分) 八年级数学参考答案 (北师大 Ａ 卷) 　 第 ２ 页 (共 ６ 页) ２１. (８ 分) 解: 设共有 ｘ 人ꎬ ｙ 辆车ꎬ １ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 根据题意ꎬ 得 ３(ｙ － １) ＝ ｘꎬ ２ｙ ＋ ９ ＝ ｘ.{ ５ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 解这个方程组ꎬ 得 ｘ ＝ ３３ꎬ ｙ ＝ １２.{ ７ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 答: 共有 ３３ 人ꎬ １２ 辆车. ８ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (其他解法参照给分) ２２. (１０ 分) 解: (１) 中位数 ２９ꎬ 平均数 ２７􀆰 ６ꎬ 众数 ２８. ６ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (２) 从平均数角度看ꎬ ２０２３ 年 １１ 月上旬日最高气温的平均值更高ꎬ 从中位数角度看ꎬ ２０２３ 年 １１ 月上旬日最高气温的中位数更高ꎬ 从众数角度看ꎬ ２０２３ 年 １１ 月上旬日最高气温的众数更高ꎬ 从方差角度看ꎬ ２０２４ 年 １１ 月上旬日最高气温的方差较小ꎬ 温度变化较稳定. (答对两个角度即可ꎬ 答对一个给 ２ 分) １０ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (其他解法参照给分) ２３. (１０ 分) 解: (１)①３０ꎬ ②５ꎬ ③１２. (或 ①３０ꎬ ②１２ꎬ ③５. ) ３ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (２) 设计示意图ꎬ 如图所示 ＡＣ ＝ ５ꎬ ＢＣ ＝ １２ꎬ ＡＢ ＝ １３. ５ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 A C B 13 12 5 理由如下: 在 △ＡＢＣ 中ꎬ ＡＢ２ ＝ １３２ ＝ １６９ꎬ ＢＣ２ ＝ １２２ ＝ １４４ꎬ ＡＣ２ ＝ ５２ ＝ ２５ꎬ ８ 分􀆺􀆺 ∴ ＡＣ２ ＋ ＢＣ２ ＝ ＡＢ２ꎬ ９ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ∴ △ＡＢＣ 为直角三角形. １０ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (其他解法参照给分) 八年级数学参考答案 (北师大 Ａ 卷) 　 第 ３ 页 (共 ６ 页) ２４. (１２ 分) 解: (１) ①∵ 点 Ｅ 是 ＢＣ 的中点ꎬ ∴ ＢＥ ＝ ＣＥ. 由折叠ꎬ 得 ＢＥ ＝ ＦＥꎬ ∠ＢＥＤ ＝ ∠ＤＥＦ. １ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ∴ ＣＥ ＝ ＦＥꎬ ∴ ∠ＥＦＣ ＝ ∠Ｃ. ２ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 A D B E C F G ∵ ∠ＢＥＦ 是 △ＣＥＦ 的一个外角ꎬ ∴ ∠ＢＥＦ ＝ ∠ＥＦＣ ＋ ∠Ｃ ＝ ２∠Ｃ. ∵ ∠ＢＥＦ ＝ ∠ＢＥＤ ＋ ∠ＤＥＦ ＝ ２∠ＢＥＤꎬ ∴ ∠ＢＥＤ ＝ ∠Ｃꎬ ３ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ∴ ＤＥ ∥ ＡＣ. ４ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ② 如图ꎬ 连接 ＢＦꎬ 记 ＢＦ 与 ＤＥ 的交点为 Ｇꎬ 由折叠ꎬ 得 ＢＦ ⊥ ＤＥꎬ ∴ ∠ＢＧＥ ＝ ９０°. ５ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 由 ①ꎬ 得 ＤＥ ∥ ＡＣꎬ ∴ ∠ＢＦＣ ＝ ∠ＢＧＥ ＝ ９０°ꎬ ６ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ∴ ＢＦ ⊥ ＡＣ. ７ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (２) ＡＤ２ ＋ ＣＥ２ ＝ ＤＥ２ꎬ 理由如下: ８ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 方法一: 如图ꎬ 过点 Ｃ 作 ＣＨ ∥ ＡＢ 交 ＤＦ 延长线于点 Ｈꎬ 连接 ＥＨ. ９ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ∴ ∠Ａ ＝ ∠ＦＣＨꎬ ∠ＡＤＦ ＝ ∠ＣＨＦꎬ ∠ＢＣＨ ＝ １８０° －∠ＡＢＣ ＝ １８０° － ９０° ＝ ９０°. A D B E C F H ∵ 点 Ｆ 是 ＡＣ 的中点ꎬ ∴ ＡＦ ＝ ＣＦ. ∴ △ＡＤＦ ≌ △ＣＨＦ(ＡＡＳ)ꎬ ∴ ＤＦ ＝ ＨＦꎬ ＡＤ ＝ ＣＨ. １０ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 由折叠ꎬ 得 ∠ＤＦＥ ＝ ∠ＡＢＣ ＝ ９０°ꎬ ∴ ＥＦ ⊥ ＤＨꎬ ∴ ＤＥ ＝ ＨＥ. 在 Ｒｔ△ＥＣＨ 中ꎬ 由勾股定理ꎬ 得 ＣＨ２ ＋ ＣＥ２ ＝ ＥＨ２ . １１ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ∴ ＡＤ２ ＋ ＣＥ２ ＝ ＤＥ２ . １２ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 八年级数学参考答案 (北师大 Ａ 卷) 　 第 ４ 页 (共 ６ 页) 方法二: 延长 ＤＦ 使得 ＦＨ ＝ ＤＦꎬ 连接 ＣＨꎬ ＥＨ. ９ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ∵ 点 Ｆ 是 ＡＣ 的中点ꎬ A D B E C F H ∴ ＡＦ ＝ ＣＦ. ∵ ∠ＡＦＤ ＝ ∠ＣＦＨꎬ ∴ △ＡＤＦ ≌ △ＣＨＦ(ＳＡＳ) . ∴ ∠Ａ ＝ ∠ＦＣＨꎬ ＡＤ ＝ ＣＨ. １０ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 由折叠ꎬ 得 ∠ＤＦＥ ＝ ∠ＡＢＣ ＝ ９０°ꎬ ∴ ＥＦ ⊥ ＤＨꎬ ∴ ＤＥ ＝ ＨＥ. ∵ ∠Ａ ＋ ∠ＡＣＢ ＝ ９０°ꎬ ∴ ∠ＥＣＨ ＝ ∠ＦＣＨ ＋ ∠ＡＣＢ ＝ ∠Ａ ＋ ∠ＡＣＢ ＝ ９０°ꎬ 在 Ｒｔ△ＥＣＨ 中ꎬ 由勾股定理ꎬ 得 ＣＨ２ ＋ ＣＥ２ ＝ ＥＨ２ . １１ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ∴ ＡＤ２ ＋ ＣＥ２ ＝ ＤＥ２ . １２ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (其他解法参照给分) ２５. (１４ 分) 解: (１) ∵ 直线 ｌ 经过点 Ａ( － １ꎬ ０)ꎬ Ｂ(０ꎬ ３)ꎬ ∴ － ｋ ＋ ｂ ＝ ０ꎬ ｂ ＝ ３.{ ２ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 解这个方程组ꎬ 得 ｋ ＝ ３ꎬ ｂ ＝ ３.{ ３ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 x y B A O D CM ∴ 直线 ｌ 的表达式为 ｙ ＝ ３ｘ ＋ ３. ４ 分􀆺􀆺􀆺􀆺 (２) ∵ Ａ( － １ꎬ ０)ꎬ Ｂ(０ꎬ ３)ꎬ ∴ ＯＡ ＝ １ꎬ ＯＣ ＝ ＯＢ ＝ ３. ５ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ∵ ∠ＢＯＣ ＝ ９０°ꎬ ∴ ∠ＯＢＣ ＝ ∠ＢＣＯ ＝ ４５°. 过点 Ｄ 作 ＤＭ ⊥ ｘ 轴ꎬ 垂足为点 Ｍꎬ 如图. 八年级数学参考答案 (北师大 Ａ 卷) 　 第 ５ 页 (共 ６ 页) ∴ △ＯＤＭꎬ △ＣＤＭ 均为等腰直角三角形ꎬ ６ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ∴ ＯＭ ＝ ＤＭ ＝ ＣＭ ＝ １ ２ ＯＣ ＝ ３ ２ ꎬ ７ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ∴ Ｓ△ ＡＯＤ ＝ １ ２ ＯＡ􀅰ＤＭ ＝ ３ ４ . ８ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (３) 存在点 Ｅꎬ 使得 ∠ＡＢＯ ＋ ∠ＢＣＥ ＝ ４５°ꎬ 理由如下: ９ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 取点 Ｆ(０ꎬ １)ꎬ 连接 ＣＦꎬ 并延长与线段 ＡＢ 交于点 Ｅꎬ x y B A O D CM E F ∴ ＯＦ ＝ ＯＡ ＝ １. ∵ ∠ＡＯＢ ＝ ∠ＦＯＣ ＝ ９０°ꎬ ＯＣ ＝ ＯＢ ＝ ３ꎬ ∴ △ＡＢＯ ≌ △ＦＣＯ(ＳＡＳ)ꎬ ∴ ∠ＡＢＯ ＝ ∠ＦＣＯ. １０ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ∵ ∠ＢＣＯ ＝ ∠ＦＣＯ ＋ ∠ＢＣＥ ＝ ４５°ꎬ ∴ ∠ＡＢＯ ＋ ∠ＢＣＥ ＝ ４５°. １１ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ∵ 点 Ｃ 在 ｘ 轴的正半轴上ꎬ ∴ Ｃ(３ꎬ ０)ꎬ ∴ 直线 ＣＦ 的表达式为 ｙ ＝－ １ ３ ｘ ＋ １. １２ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 联立 ｙ ＝ ３ｘ ＋ ３ꎬ ｙ ＝－ １ ３ ｘ ＋ １. ì î í ï ï ï ï 解得 ｘ ＝－ ３ ５ ꎬ ｙ ＝ ６ ５ . ì î í ï ï ï ï ïï １３ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ∴ Ｅ( － ３ ５ ꎬ ６ ５ ) . ∴ 在线段 ＡＢ 上存在点 Ｅ( － ３ ５ ꎬ ６ ５ )ꎬ 使得 ∠ＡＢＯ ＋ ∠ＢＣＥ ＝ ４５°. １４ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (其他解法参照给分) 八年级数学参考答案 (北师大 Ａ 卷) 　 第 ６ 页 (共 ６ 页)