1.3  圆柱的体积（3个知识点+6类热点题型精讲+习题巩固）同步分层作业-2024-2025学年数学六年级下册（北师大版）

1.3 圆柱的体积 学习重难点 学习目标 1、重点：通过圆柱与长方体的“类比”，经历“猜想与验证”探索圆柱体积计算方法的过程，体会“类比”的数学思想方法。 2、难点：（1）通过具体情境观察，实物感知等活动，感受物体体积的大小，发展空间观念； （2）掌握圆柱体积的计算方法，能正确计算圆柱的体积，能运用圆柱的体积计算方法解决简单的实际问题。 1、经历“类比猜想一验证说明”来探索圆柱体积计算方法的过程，渗透转化的思想方法。 2、掌握圆柱体积的计算方法，能正确计算圆柱的体积，并会解决一些简单的实际问题。 知识点一圆柱的体积计算公式 1、圆柱体积计算公式的推导。 圆柱的体积和拼成的长方体的体积相等，长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高。 长方体的体积=底面积×高 圆柱的体积=底面积×高 如果V表示圆柱的体积，S表示圆柱的底面积，h表示圆柱的高，那么圆柱的体积计算公式用字母表示是V=Sh。 知识点二圆柱型容器的容积 1、圆柱形容器的容积=圆柱形容器内部的底面积×内部的高，当容器壁的厚度忽略不计时，容器的体积等于容积。 知识点三圆柱的体积计算公式的应用 1、圆柱体积的求法：①已知底面积和高，圆柱的体积V=Sh；②已知底面半径和高，圆柱的体积 V=πr2h；③已知底面直径和高，圆柱的体积 V=π()2h；④已知底面周长和高，圆柱的体积 V=π()2h。 题型一圆柱的体积 1．一个面积为16平方分米的正方形，以一条边为轴旋转一周得到一个圆柱，这个圆柱的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 【分析】正方形的面积＝边长×边长，因为16＝4×4，则这个正方形的边长是4分米。以正方形的一条边为轴旋转一周得到一个圆柱，这个圆柱的底面半径是4分米，高是4分米。圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2＝2πrh＋2πr2，圆柱的体积＝πr2h，据此代入数据计算。最后需换算单位。 【解答】16＝4×4，则这个正方形的边长是4分米。 表面积：4×2×3.14×4＋3.14×42×2 ＝25.12×4＋3.14×16×2 ＝100.48＋100.48 ＝200.96（平方分米） ＝20096平方厘米 体积：3.14×42×4 ＝3.14×16×4 ＝200.96（立方分米） ＝200960立方厘米 则这个圆柱的表面积是20096平方厘米，体积是200960立方厘米。 2．把一个棱长是4分米的正方体削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是（ ）立方分米，削去部分的体积是（ ）立方分米。 【分析】（1）把一个棱长是4分米的正方体削成一个最大的圆柱，这个圆柱的底面直径和高都等于正方体的棱长4分米。圆柱体积：先求出圆柱底面半径，半径＝直径÷2＝4÷2＝2分米，根据圆柱体积公式：圆柱体积＝底面积×高，底面积＝3.14×半径2，据此解答。 （2）削去部分体积：用正方体体积－圆柱体积，。据此解答。 【解答】（1）圆柱体积： 底面半径＝4÷2＝2（分米） 底面积＝3.14×22＝12.56（平方分米） 圆柱体积＝12.56×4＝50.24（立方分米） 这个圆柱的体积是50.24立方分米。 （2）削去部分的体积： 正方体体积＝4×4×4＝64（立方分米） 削去部分体积＝64－50.24＝13.76（立方分米） 削去部分的体积是13.76立方分米。 3．一个圆柱高是8cm，如果它的高减少2cm，侧面积就减少25.12cm2，原来这个圆柱的体积是（ ）cm3。 【分析】表面积减少的是高为2cm圆柱体的侧面积，因为圆柱体的侧面展开是长方形，长方形的长等于圆柱体的底面周长，根据圆柱的侧面积公式：侧面积＝底面周长×高，底面周长＝侧面积÷高，用减少的面积除以减少的高就可求出圆柱体的底面周长，再根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出圆柱的底面半径，然后利用圆柱体的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【解答】25.12÷2＝12.56（cm） 12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（cm） 3.14×22×8 ＝3.14×4×8 ＝12.56×8 ＝100.48（cm3） 一个圆柱高是8cm，如果它的高减少2cm，侧面积就减少25.12cm2，原来这个圆柱的体积是100.48cm3。 4．把高15厘米的圆柱平行于底面切成两段，表面积增加了40平方厘米，原来圆柱体的体积是（ ）立方厘米。 【分析】圆柱平行于底面切成两段，表面积会增加两个底面的面积，用增加的总面积除以2即可求出一个底面积，用底面积乘圆柱的高即可求出圆柱的体积。 【解答】40÷2＝20（平方厘米） 20×15＝300（立方厘米） 则原来圆柱体的体积是300立方厘米。 题型二圆柱的容积 5．做一个无盖的圆柱形铁皮水桶，底面周长是12.56分米，高是4分米，至少需要铁皮（ ）平方分米，这个水桶的容积是（ ）升。 【分析】将底面周长除以3.14再除以2，求出底面半径。根据“圆面积＝πr2”求出圆柱形水桶的底面积，根据“圆柱侧面积＝底面周长×高”求出圆柱的侧面积。将底面积和侧面积相加，求出需要的铁皮面积。圆柱容积＝底面积×高，据此列式求出这个水桶的容积。 【解答】12.56÷3.14÷2＝2（分米） 3.14×22＋12.56×4 ＝3.14×4＋50.24 ＝12.56＋50.24 ＝62.8（平方分米） 3.14×22×4 ＝3.14×4×4 ＝50.24（立方分米） 50.24立方分米＝50.24升 所以，至少需要铁皮62.8平方分米，这个水桶的容积是50.24升。 6．一个圆柱形木桶，底面内直径为4dm，桶口距底面最小高度为5dm，最大高度为7dm。这个木桶如右图放置时，最多能装（ ）L水。 【分析】从题意分析可得：木桶的水面高度由最小高度决定。先求木桶的底面积，再用底面积×最小高度，即求出木桶最多能装多少水。据此解答。 【解答】3.14×（4÷2）2×5 ＝3.14×4×5 ＝3.14×（4×5） ＝3.14×20 ＝62.8（dm3） ＝62.8（L） 这个木桶最多能装62.8L水。 7．有一个注满水的圆柱形蓄水池，底面半径是10米，用去部分水后，水面比注满时下降60厘米，剩下的水正好是这个水池容积的，这个水池的容积是（ ）升。 【分析】把这个圆柱形蓄水池的容积看作单位“1”，用去部分水后，剩下的水正好是这个水池容积的，用去（1－），它对应的容积就是高是60厘米的圆柱的容积，根据圆柱的容积公式：容积＝底面积×高，代入数据，求出用去部分的水的容积，再用用去部分水的容积÷（1－），即可求出这个水池的容积。 【解答】10米＝100分米；60厘米＝6分米 （3.14×1002×6）÷（1－） ＝（3.14×10000×6）÷ ＝（31400×6）÷ ＝188400× ＝439600（立方分米） 439600立方分米＝439600升 有一个注满水的圆柱形蓄水池，底面半径是10米，用去部分水后，水面比注满时下降60厘米，剩下的水正好是这个水池容积的，这个水池的容积是439600升。 【点评】解答本题的关键明确求出用去部分的容积占这个水池总容积的分率，再利用圆柱的体积公式进行解答，注意单位名数的换算。 8．爷爷要做一个底面直径为4分米、高为5分米的无盖圆柱形铁皮水桶，至少需要（ ）平方分米的铁皮，它最多能装（ ）升水。 【分析】求铁皮的面积即求圆柱的侧面积与底面积的和，根据圆柱的侧面积与底面积公式：S＝πdh＋πr2，再根据圆柱的容积公式：V＝πr2h，据此代入数值进行计算即可。 【解答】3.14×4×5＋3.14×（4÷2）2 ＝12.56×5＋3.14×4 ＝62.8＋12.56 ＝75.36（平方分米） 3.14×（4÷2）2×5 ＝3.14×4×5 ＝12.56×5 ＝62.8（平方分米） ＝62.8（升） 【点评】本题考查圆柱的侧面积和体积，熟记公式是解题的关键。 题型三含圆柱立体图形的切拼 9．如图所示，把一个高为10厘米的圆柱切成若干等分，拼成一个近似的长方体。表面积增加了60平方厘米，这个圆柱的体积是（ ）立方厘米。 【分析】根据题意，把一个圆柱切开后拼成一个近似的长方体，则圆柱的体积等于长方体的体积，拼成的长方体表面积比圆柱的表面积多了两个长方形的面积（即长方体的左右面）；这两个长方形的长等于圆柱的高，宽等于圆柱的底面半径； 已知表面积增加了60平方厘米，先除以2，求出一个长方形的面积，再除以高，即可求出圆柱的底面半径；然后根据公式V＝πr2h，求出这个圆柱的体积。 【解答】圆柱的底面半径： 60÷2÷10 ＝30÷10 ＝3（厘米） 圆柱的体积： 3.14×32×10 ＝3.14×9×10 ＝282.6（立方厘米） 这个圆柱的体积是282.6立方厘米。 10．把一个底面直径为4cm的圆柱切成两个半圆柱，表面积增加了48cm2，原来圆柱的表面积是（ ）cm2，体积是（ ）cm3。 【分析】一个圆柱切成两个半圆柱，增加了两个长方形的面积，长方形的宽是圆柱的底面直径，长方形的长是圆柱的高，圆柱的体积不变。原来圆柱的表面积＝2个底面面积＋圆柱的侧面积，圆柱的体积＝底面积×高，圆的面积＝圆周率×半径的平方，据此代入数据解答。 【解答】48÷2÷4＝6（cm） 3.14×22×2＋3.14×4×6 ＝3.14×4×2＋12.56×6 ＝25.12＋75.36 ＝100.48（cm2） 3.14×22×6 ＝3.14×4×6 ＝12.56×6 ＝75.36（cm3） 原来圆柱的表面积是100.48cm2，体积是75.36cm3。 11．把一个高5分米的圆柱沿底面直径切开，分成相等的两部分（两个半圆柱），表面积增加了60平方分米，原来圆柱的表面积是（ ）平方分米，体积是（ ）立方分米。 【分析】把一个高5分米的圆柱沿底面直径切开，表面增加了2个宽为5的长方形，增加面积是60平方分米，根据长方形面积＝长×宽，可以求出增加的长方形的长即底面的直径。根据圆柱的表面积等于2个底面积加一个侧面积求出圆柱表面积。圆柱的体积等于底面积乘高。 【解答】60÷2＝30（分米）， 30÷5＝6（分米）， S底＝ ＝ ＝28.26（平方分米） S侧＝ ＝94.2（平方分米） S表＝2 S底＋S侧 ＝2×28.26＋94.2 ＝150.72（平方分米） V＝28.26×5 ＝141.3（立方分米） 故圆柱的表面积是150.72平方分米，体积是141.3立方分米。 12．将两个完全相同且高度未知的圆柱体竖直对接在一起，形成一个新的圆柱体，其高度为18cm，对接过程中发现表面积减少了60cm2，原来每个圆柱的底面积是（ ）cm2，体积是（ ）cm3。 【分析】将两个完全相同的圆柱拼成一个新的圆柱，表面积和减少了2个底面积，减少的表面积÷2＝底面积，总高度÷2＝原来的高，根据圆柱体积＝底面积×高，列式计算即可。 【解答】60÷2＝30（cm2） 30×（18÷2） ＝30×9 ＝270（cm3） 原来每个圆柱的底面积是30cm2，体积是270cm3。 题型四不规则物体的体积（含圆柱） 13．把一块石头沉没在一个底面周长是62.8cm的圆柱形容器里，容器的水面上升了1.5cm，这个容器的底面积是（ ）cm2，这块石头的体积是（ ）cm3。 【分析】根据的逆运算，求出半径，再根据圆的面积公式，求出底面积，石头的体积等于上升的水的体积，即根据，代入数据计算即可得解。 【解答】 （cm） （cm2） （cm3） 这个容器的底面积是314cm2，这块石头的体积是471cm3。 14．有四个完全相同的圆柱体容器，先装入同样多的水，再分别往容器②、③、④中放入大小不同的两种钢球，水面高度变化如下图所示。现在容器④中的水面高度是（ ）厘米。 【分析】由容器、可知，放入1个大球，水面上升了（12－8）厘米，由容器、可知，放入4个小球，水面上升的高度相当于放入1个大球水面上升的高度，那么只放入1个小球，水面上升的高度是放入1个大球水面上升高度的，所以用放入1个大球水面上升的高度除以4就是放入1个小球水面上升的高度，据此用容器水面的高度加上放入1个大球水面上升的高度，再加上放入1个小球水面上升的高度即可求解。 【解答】12－8＝4（厘米） 4÷4＝1（厘米） 8＋4＋1 ＝12＋1 ＝13（厘米） 所以现在容器④中的水面高度是13厘米。 15．如图（单位：cm），图中一个小球的体积是（ ）cm3，一个大球的体积是（ ）cm3。 【分析】从左往右，图一的长方体容器中没有水；图二，往装有水的圆柱体容器中放入4个小球，此时长方体容器中水深为4cm；则长方体容器中4cm高的水的体积就是4个小球的体积；根据长方体的体积＝长×宽×高，求出4个小球的体积，再除以4，即是一个小球的体积； 图三，继续往圆柱体容器中放入2个大球，此时长方体容器中水深为10cm；则长方体容器中（10－4）cm高的水的体积就是2个大球的体积；根据长方体的体积＝长×宽×高，求出2个大球的体积，再除以2，即是一个大球的体积。 【解答】4个小球的体积： 5×3×4＝60（cm3） 一个小球的体积： 60÷4＝15（cm3） 2个大球的体积： 5×3×10－60 ＝150－60 ＝90（cm3） 一个大球的体积： 90÷2＝45（cm3） 图中一个小球的体积是15cm3，一个大球的体积是45cm3。 16．程程借助一个盛有水的圆柱形水槽测量一个小铁球的体积，他先把一个棱长为3cm的正方体铁块浸没在水槽中，水面上升了1.5cm，接着他又把小铁球浸没在水槽中，水面又上升了2cm。这个小铁球的体积是（ ）cm3。（两次浸没过程中，水均没有溢出） 【分析】水面上升的体积就是铁块与铁球的体积，利用正方体的体积＝棱长×棱长×棱长计算出铁块的体积，然后铁块的体积除以第一次水面上升的高度来计算水槽的底面积，铁球的体积＝水槽的底面积×第二次水面上升的高度，由此解答本题。 【解答】3×3×3÷1.5×2 ＝18×2 ＝36（） 所以，这个小铁球的体积是36。 题型五组合立体图形的体积（含圆柱） 17．求图形的体积（单位：厘米）（π取3.14）。 【分析】观察图形可知，图形的体积＝圆柱的体积×＋长方体的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算即可求解。 【解答】3.14×22×10×＋6×10×2 ＝3.14×4×10×＋60×2 ＝94.2＋120 ＝214.2（立方厘米） 图形的体积是214.2立方厘米。 18．一个圆柱截掉一部分后如图所示，求图中立体图形的体积。（单位：厘米） 【分析】把这个图形看成底面直径为8厘米，高为厘米的圆柱的一半，根据圆柱体积＝底面积×高，求出这个立体图形的体积即可。 【解答】高：（厘米） 立体图形体积： （立方厘米） 立体图形的体积904.32立方厘米。 19．求下图的表面积和体积。 【分析】分析图形可知，所求图形的底面是环形，根据圆环的面积公式，求出图形的底面积，所求图形的表面积＝大圆柱的侧面积＋小圆柱的侧面积＋环形底面积×2，根据圆柱的侧面积公式，代入数据即可算出图形的表面积。所求图形的体积＝环形底面积×高，据此解答。 【解答】 （平方分米） （平方分米） （立方分米） 即图形的表面积是345.4平方分米，体积是157立方分米。 20．求下图中空心圆柱的体积和组合图形的表面积。（单位：厘米） 【分析】空心圆柱的体积＝底面直径是8厘米，高是10厘米的圆柱的体积－底面直径是5厘米，高是10厘米的圆柱的体积，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可求出空心圆柱的体积； 组合图形的表面积＝长是12厘米，宽是5厘米，高是8厘米的长方体的表面积＋底面直径是4厘米，高是10厘米的圆柱的侧面积；根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，圆柱侧面积公式：侧面积＝底面周长×高，代入数据，即可解答。 【解答】空心圆柱的体积： 3.14×（8÷2）2×10－3.14×（5÷2）2×10 ＝3.14×42×10－3.14×2.52×10 ＝3.14×16×10－3.14×6.25×10 ＝50.24×10－19.625×10 ＝502.4－196.25 ＝306.15（立方厘米） 空心圆柱的体积是306.15立方厘米。 组合图形的表面积： （12×5＋12×8＋5×8）×2＋3.14×4×10 ＝（60＋96＋40）×2＋12.56×10 ＝（156＋40）×2＋125.6 ＝196×2＋125.6 ＝392＋125.6 ＝517.6（平方厘米） 组合图形的表面积是517.6平方厘米。 题型六体积的等积变形（含圆柱） 21．有一个长方体铁块，长8分米，宽4分米，高3分米。把它完全铸成一个圆柱，圆柱的底面半径是5分米，高是多少分米？（保留一位小数） 【分析】铁块的体积不变，即熔铸成的圆柱的体积＝长方体体积，要求熔铸成的圆柱体的高，先要计算出长方体的体积，运用长方体的体积＝长×宽×高求出长方体的体积，然后根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，代入数据即可解答。 【解答】 （立方分米） （分米） 答：高是1.2分米。 22．李叔叔把一块长方体钢坯铸成一根底面半径为2分米的圆柱形钢材，求钢材的长度。 【分析】熔铸前后体积不变，即圆柱体的体积等于长方体的体积。根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，即可求出长方体的体积即圆柱体的体积，再根据圆柱的高＝圆柱体的体积÷圆柱的底面积，代入数据计算，即可求出钢材的长度。据此解答。 【解答】12.56×5×4÷（3.14×22） ＝12.56×5×4÷（3.14×4） ＝251.2÷12.56 ＝20（分米） 答：钢材的长度是20分米。 一、选择题 1．把一个20厘米高的圆柱沿着与底面平行的面切成3个小圆柱体，表面积比原来增加了240平方厘米，原来这个圆柱的体积是（    ）立方厘米。 A．1200 B．800 C．600 D．120 2．贝贝过生日时，收到一个圆锥形陀螺，陀螺的底面直径是6cm，高是5cm。如果把它装在一个圆柱体盒子中，这个盒子的容积至少是（    ）cm3。 A．125.6 B．141.3 C．150.72 D．226.08 3．把一铁块完全浸没在一个底面半径是20厘米的圆柱形水槽中，水面上升了3厘米但没溢出，这块铁块的体积是（    ）立方分米。（取3.14） A．3768 B．3.768 C．0.3768 D．376.8 4．把一个棱长是6分米的实心正方体木块削成一个最大的圆柱，削去部分的体积是（    ）立方分米。 A．46.44 B．100.48 C．102.96 D．169.56 5．如果一个圆柱的底面半径缩小到原来的，高扩大到原来的2倍，那么体积（    ）。 A．缩小到原来的 B．扩大到原来的2倍C．缩小到原来的 D．没有变化 二、填空题 6．如图是一种空心混凝土管道，从里面量得直径是6分米，从外面量得直径是12分米，长20分米，浇制一节这种管道需要（ ）立方分米混凝土。（单位：分米） 7．一根1米长圆柱形钢材，沿横截面截去2分米长的一段后。表面积减少了50.24平方分米。原来这根钢材的体积是（ ）立方分米。 8．把一个棱长是4分米的正方体削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是（ ）立方分米，削去部分的体积是（ ）立方分米。 9．一个高1分米的圆柱，如果高增加1厘米，它的表面积就增加了12.56平方厘米，原来这个圆柱的体积是（ ）立方厘米。 10．涝河公园有一个底面半径是20米的人工圆柱形小潮。沿湖边缘走一圈是（ ）米；这个小湖的面积是（ ）平方米；如果湖内水深2.5米，这个湖最多能蓄水（ ）吨（1立方米的水重1吨）。 三、计算题 11．求下面几何体的表面积和体积。（单位：厘米） 四、解答题 12．一根长方体木料，加工成了一根长是20分米，底面半径是1分米的圆柱，已知削去部分的体积是原木料的37.2%，这根长方体木料的体积是多少立方分米？ 13．一个圆柱形油桶，从里面量底面直径是40厘米，高是50厘米，如果每立方分米汽油重0.72千克，这个油桶最多可装汽油多少千克？ 14．一个圆柱形粮囤，底面半径是2米，高90厘米，每立方米稻谷的质量约是600千克，这个粮囤存放的稻谷质量约是多少千克？如果将它的侧面围成一周铁丝网，需要多少平方米？ 15．沿着圆柱体的直径自上而下锯成2部分，表面积增加36平方厘米，高与底面直径的比是2∶1，这个圆柱的体积是多少？ 参考答案 一、选择题 1．把一个20厘米高的圆柱沿着与底面平行的面切成3个小圆柱体，表面积比原来增加了240平方厘米，原来这个圆柱的体积是（    ）立方厘米。 A．1200 B．800 C．600 D．120 【分析】根据题意可知，把这个圆柱横截成3个小圆柱，表面积比原来增加4个截面的面积，据此可以求出圆柱的底面积，再根据圆柱的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答。 【解答】240÷4×20 ＝60×20 ＝1200（立方厘米） 原来这个圆柱的体积是1200立方厘米。 故答案为：A 【点评】此题主要考查圆柱的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 2．贝贝过生日时，收到一个圆锥形陀螺，陀螺的底面直径是6cm，高是5cm。如果把它装在一个圆柱体盒子中，这个盒子的容积至少是（    ）cm3。 A．125.6 B．141.3 C．150.72 D．226.08 【分析】根据题意可知，圆柱体盒子与圆锥等底等高，根据圆柱的体积（容积）公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。 【解答】3.14×（6÷2）2×5 ＝3.14×9×5 ＝28.26×5 ＝141.3（cm3） 这个盒子的容积至少是141.3cm3。 故答案为：B 【点评】此题主要考查圆柱体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 3．把一铁块完全浸没在一个底面半径是20厘米的圆柱形水槽中，水面上升了3厘米但没溢出，这块铁块的体积是（    ）立方分米。（取3.14） A．3768 B．3.768 C．0.3768 D．376.8 【分析】根据题意，可得这块铁块的体积等于底面半径是20厘米、高是3厘米的圆柱的体积，然后根据圆柱的体积＝底面积×高，求出这块铁块的体积是多少即可。 【解答】3.14×202×3 ＝3.14×400×3 ＝1256×3 ＝3768（立方厘米） ＝3.768（立方分米） 这块铁块的体积是3.768立方分米。 故答案为：B 【点评】此题主要考查了探索某些实物体积的测量方法，解答此题的关键是熟练掌握圆柱的体积的求法。 4．把一个棱长是6分米的实心正方体木块削成一个最大的圆柱，削去部分的体积是（    ）立方分米。 A．46.44 B．100.48 C．102.96 D．169.56 【分析】根据题意可知，削成一个最大的圆柱体，圆柱的底面直径等于正方体的棱长，圆柱的高等于正方体的棱长，求削去部分的体积，用正方体的体积－圆柱的体积；根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长；圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【解答】6×6×6－3.14×（6÷2）2×6 ＝36×6－3.14×32×6 ＝216－3.14×9×6 ＝216－28.26×6 ＝216－169.56 ＝46.44（立方分米） 把一个棱长是6分米的实心正方体木块削成一个最大的圆柱，削去部分的体积是46.44立方分米。 故答案为：A 【点评】解答本题的关键明确正方体削成一个最大的圆柱，圆柱的底面直径和高等于正方体的棱长。 5．如果一个圆柱的底面半径缩小到原来的，高扩大到原来的2倍，那么体积（    ）。 A．缩小到原来的 B．扩大到原来的2倍C．缩小到原来的 D．没有变化 【分析】根据圆柱的体积公式V＝πr2h，以及积的变化规律可知，圆柱的底面半径缩小到原来的，则圆柱的底面积缩小到原来的（）2，那么圆柱的体积也缩小到原来的（）2； 圆柱的高扩大到原来的2倍，那么圆柱的体积也扩大到原来的2倍； 最终圆柱的体积乘（）2，再乘2，据此得出圆柱体积的变化。 积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘（或除以）几。 【解答】（）2×2 ＝×2 ＝ 那么体积缩小到原来的。 故答案为：C 二、填空题 6．如图是一种空心混凝土管道，从里面量得直径是6分米，从外面量得直径是12分米，长20分米，浇制一节这种管道需要（ ）立方分米混凝土。（单位：分米） 【分析】根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，分别求出直径是12分米，直径是6分米的圆柱的体积，再用直径是12分米圆柱的体积减去直径是6分米圆柱的体积，即可解答。 【解答】3.14×（12÷2）2×20－3.14×（6÷2）2×20 ＝3.14×36×20－3.14×9×20 ＝113.04×20－28.26×20 ＝2260.8－565.2 ＝1695.6（立方分米） 如图是一种空心混凝土管道，从里面量得直径是6分米，从外面量得直径是12分米，长20分米，浇制一节这种管道需要1695.6立方分米混凝土。 【点评】熟练掌握圆柱的体积公式是解答本题的关键。 7．一根1米长圆柱形钢材，沿横截面截去2分米长的一段后。表面积减少了50.24平方分米。原来这根钢材的体积是（ ）立方分米。 【分析】截去2分米的一段后，表面积减少的部分正好是这段2分米钢材的侧面积，用侧面积除以高，求出底面圆的周长，利用圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，求出底面半径，再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，计算出体积。 【解答】1米＝10分米 50.24÷2÷3.14÷2＝4（分米） 3.14×4×4×10＝502.4（立方分米） 原来这根钢材的体积是502.4立方分米。 【点评】本题考查圆柱表面积及体积的计算方法，根据表面积减少情况计算出原钢材的底面半径，再结合钢材的长进一步计算出体积，注意单位名数的换算。 8．把一个棱长是4分米的正方体削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是（ ）立方分米，削去部分的体积是（ ）立方分米。 【分析】（1）把一个棱长是4分米的正方体削成一个最大的圆柱，这个圆柱的底面直径和高都等于正方体的棱长4分米。圆柱体积：先求出圆柱底面半径，半径＝直径÷2＝4÷2＝2分米，根据圆柱体积公式：圆柱体积＝底面积×高，底面积＝3.14×半径2，据此解答。 （2）削去部分体积：用正方体体积－圆柱体积，。据此解答。 【解答】（1）圆柱体积： 底面半径＝4÷2＝2（分米） 底面积＝3.14×22＝12.56（平方分米） 圆柱体积＝12.56×4＝50.24（立方分米） 这个圆柱的体积是50.24立方分米。 （2）削去部分的体积： 正方体体积＝4×4×4＝64（立方分米） 削去部分体积＝64－50.24＝13.76（立方分米） 削去部分的体积是13.76立方分米。 9．一个高1分米的圆柱，如果高增加1厘米，它的表面积就增加了12.56平方厘米，原来这个圆柱的体积是（ ）立方厘米。 【分析】根据题意，一个圆柱的高增加1厘米，底面积不变，那么增加的表面积等于高为1厘米的圆柱的侧面积；根据圆柱的侧面积公式：侧面积＝底面周长×高，底面周长＝侧面积÷高，代入数据，求出底面周长；再根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝底面周长÷π÷2，代入数据，求出底面半径；再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，求出高1分米的圆柱的体积，注意单位名数的统一。 【解答】12.56÷1÷3.14÷2 ＝12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（厘米） 1分米＝10厘米 3.14×22×10 ＝3.14×4×10 ＝12.56×10 ＝125.6（立方厘米） 一个高1分米的圆柱，如果高增加1厘米，它的表面积就增加了12.56平方厘米，原来这个圆柱的体积是125.6立方厘米。 10．涝河公园有一个底面半径是20米的人工圆柱形小潮。沿湖边缘走一圈是（ ）米；这个小湖的面积是（ ）平方米；如果湖内水深2.5米，这个湖最多能蓄水（ ）吨（1立方米的水重1吨）。 【分析】根据圆的周长公式：π×半径×2，代入数据，求出沿湖边走一圈多少米；再根据圆的面积公式：π×半径2，代入数据，求出这个小湖的面积；再根据圆柱的体积公式：底面积×高，代入数据，求出这个圆柱形湖水的体积，再乘1，即可求出这个湖最多能蓄水多少吨。 【解答】3.14×20×2 ＝62.8×2 ＝125.6（米） 3.14×202 ＝3.14×400 ＝1256（平方米） 1256×2.5×1 ＝3140×1 ＝3140（吨） 【点评】利用圆的周长公式、面积公式以及圆柱的体积公式进行解答。 三、计算题 11．求下面几何体的表面积和体积。（单位：厘米） 【分析】虽然上面的圆柱挡住了下面大的圆柱的底面的一部分，但是通过平移可以将上面的圆柱的底面平移到下面圆柱的底面，最后立体图形的表面积＝大圆柱的表面积＋小圆柱的侧面积。圆柱的侧面积：S＝Ch＝πdh，圆柱的表面积：S＝2πr2＋πdh。立体图形的体积等于两个圆柱体积之和，圆柱的体积：V＝Sh＝πr2h。据此解答。 【解答】（10÷2）2×3.14×2＋10×3.14×4＋6×3.14×3 ＝52×3.14×2＋125.6＋56.52 ＝25×2×3.14＋125.6＋56.52 ＝157＋125.6＋56.52 ＝339.12（平方厘米） 这个几何体的表面积是339.12平方厘米。 （6÷2）2×3.14×3＋（10÷2）2×3.14×4 ＝32×3.14×3＋52×3.14×4 ＝9×3.14×3＋25×3.14×4 ＝84.78＋314 ＝398.78（立方厘米） 这个几何体的体积是398.78立方厘米。 四、解答题 12．一根长方体木料，加工成了一根长是20分米，底面半径是1分米的圆柱，已知削去部分的体积是原木料的37.2%，这根长方体木料的体积是多少立方分米？ 【分析】削去部分的体积是原木料的37.2%，那么圆柱的体积是木料体积的（1－37.2%）。先根据V＝πr2h，求出圆柱的体积，再根据“已知一个数的百分之几是多少求这个数，用这个数除以百分数”列除法解答。 【解答】 （立方分米） 答：这根长方体木料的体积是100立方分米。 13．一个圆柱形油桶，从里面量底面直径是40厘米，高是50厘米，如果每立方分米汽油重0.72千克，这个油桶最多可装汽油多少千克？ 【分析】根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，求出圆柱形油桶的体积，再乘0.72，即可解答。 【解答】3.14×（40÷2）2×50 ＝3.14×202×50 ＝3.14×400×50 ＝1256×50 ＝62800（立方厘米） 62800立方厘米＝62.8立方分米 62.8×0.72＝45.216（千克） 答：这个油桶最多可装汽油45.216千克。 【点评】熟练掌握圆柱的体积公式是解答本题的关键，注意单位名数的换算。 14．一个圆柱形粮囤，底面半径是2米，高90厘米，每立方米稻谷的质量约是600千克，这个粮囤存放的稻谷质量约是多少千克？如果将它的侧面围成一周铁丝网，需要多少平方米？ 【分析】根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，求出圆柱形粮囤的体积，再乘600，即可求出这个粮囤存放的稻谷的质量是多少千克；求需要多少平方米的铁丝网，就是求圆柱形粮囤的侧面积，根据圆柱的侧面积公式：侧面积＝底面周长×高，代入数据，即可解答。 【解答】90厘米＝0.9米 3.14×22×0.9×600 ＝3.14×4×0.9×600 ＝12.56×0.9×600 ＝11.304×600 ＝6782.4（千克） 3.14×2×2×0.9 ＝6.28×2×0.9 ＝12.56×0.9 ＝11.304（平方厘米） 答：这个粮囤存放的稻谷质量约是6782.4千克，如果将它的侧面围成一周铁丝网，需要11.304平方米。 【点评】熟练掌握圆柱的体积公式和侧面积公式是解答本题的关键，注意单位名数的统一。 15．沿着圆柱体的直径自上而下锯成2部分，表面积增加36平方厘米，高与底面直径的比是2∶1，这个圆柱的体积是多少？ 【分析】根据题意，表面积增加36平方厘米，是增加两个长方形的面积，这两个长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径，用36÷2＝18（平方厘米），求出一个长方形面积；根据长方形面积公式：长×宽，即圆柱底面直径×圆柱的高；圆柱高与底面直径的比是2∶1，即圆柱的高是底面直径的2倍，18＝18×1＝9×2＝6×3；即圆柱的高是6厘米，底面直径是3厘米，再根据圆柱的体积公式：圆柱体积＝底面积×高，即可求出圆柱的体积。 【解答】36÷2＝18（平方厘米） 圆柱的高∶底面直径＝2∶1 圆柱的高×底面直径＝18（平方厘米） 圆柱的高是6厘米，底面直径3厘米 圆柱体积：3.14×（3÷2）2×6 ＝3.14×2.25×6 ＝7.065×6 ＝42.39（立方厘米） 答：这个圆柱的体积是42.39立方厘米。 【点评】解答本题的关键是明确圆柱体的直径自上而下锯成2部分，增加的面积是两个长方形面积，再利用比的意义，求出圆柱的底面直径与高，进而求出体积。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$