精品解析：上海市闵行区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

闵行区高一期末数学区统考试卷 2025.01 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果． 1. 已知全集，集合，则______ 2. 若，用有理数指数幂的形式表示______ 3. 对任意的，幂函数的图象一定不经过第______象限 4. 已知，则函数的值域为______ 5. 命题“若，则”是真命题，则实数a的取值范围为______ 6. 若，对任意且，函数的图像必过定点______ 7. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，______ 8. 用函数的观点解关于x的不等式，可得解集为______ 9. 若，，则______ 10. 设，且函数是偶函数，若，则______ 11. 雅各布·伯努利（Jakob Bemoulli）是17世纪著名的数学家，他在概率论、数学分析及无穷级数等多个领域作出了重大的贡献，对后世数学的发展产生了深远的影响．1689年，他提出了一个著名的不等式称为伯努利不等式，其内容如下：设，且，n为大于1的正整数，则．由此可知，函数在区间上的最小值是______ 12. 若函数在区间上的最小值为，则实数a的取值范围为______ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只—个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 14. 小明同学在用二分法研究函数在区间的零点时，发现，，，那么他下一步应计算（ ） A. B. C. D. 15. 设、、、为实数，下列命题中成立的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，，那么 D. 如果，，那么 16. 已知m、n都是实数，，若函数的值域为R，且对任意的实数t，关于x的方程有且只有一个实数解，则满足题意的实数对的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根为、． （1）求实数m的取值范围； （2）若，求实数m的取值范围． 18. 已知，． （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）若，证明：在区间上是严格增函数． 19. 当某外来物种进入某地区时，种群数量会先缓慢增长，然后再加速增长，再然后增速减缓，最终与当地环境达到自然平衡（如图所示）．数学生物学研究表明，种群数量与时间t的关系可以用逻辑斯蒂方程（Logistic Equation）：来表示，其中K表示环境容量（特定环境能够稳定承载的最大种群数量），表示种群初始数量，r表示物种内禀增长率（没有环境限制时种群数量的固有增长率）．某环境保护组织计划对一个新建的池塘放养某鱼类F．已知池塘对鱼类F的环境容量为1000条，初始投入100条，鱼类F的年内禀增长率为30％． （1）预计放养5年后的同一天，该池塘里有鱼类F多少条? （结果保留整数） （2）如果某一天与它前一年的同一天相比，鱼类F的年增长率小于或等于5％，则称此时鱼类F与当地环境接近自然平衡．问至少需要经过多少年鱼类F才能与池塘环境接近自然平衡?（结果保留整数），其中，，， 20. 在平面直角坐标系中，若点，，称为A，B两点的绝对和，记为． （1）若，，求； （2）已点，点在直线上，证明； （3）已知点，，动点在函数，的图象上，记的最大值为，求函数的最小值． 21. 已知集合，n是正整数，，都是实数.若，则称A为n元“M集”，记作. （1）判断是否为真命题； （2）若，x、y均为正实数，求的取值范围； （3）若，，，且，.记，.证明：当时，对任意实数x恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 闵行区高一期末数学区统考试卷 2025.01 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果． 1. 已知全集，集合，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据补集概念进行求解. 【详解】. 故答案为： 2. 若，用有理数指数幂的形式表示______ 【答案】 【解析】 【分析】，结合指数幂运算法则进行求解. 【详解】，. 故答案为： 3. 对任意的，幂函数的图象一定不经过第______象限 【答案】四 【解析】 【分析】分和两种情况，得到图像一定不经过第四象限. 【详解】当时，若，则，此时幂函数经过第二象限， 若，则，此时幂函数经过第三象限， 当时，恒成立，此时幂函数经过第一象限， 故图象一定不经过第四象限. 故答案为：四 4. 已知，则函数的值域为______ 【答案】 【解析】 【分析】由指数函数性质得结论． 【详解】，值域是． 故答案为：． 5. 命题“若，则”是真命题，则实数a的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据命题的真假得出结论． 【详解】命题“若，则”是真命题，则， 故答案为：． 6. 若，对任意且，函数的图像必过定点______ 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的性质求解． 【详解】令，则，，图象过定点， 故答案为：． 7. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，______ 【答案】 【解析】 【分析】根据条件得到时，，又，求出答案. 【详解】当时，，故， 又是定义在上的奇函数，故， 所以，故. 故答案为： 8. 用函数的观点解关于x的不等式，可得解集为______ 【答案】 【解析】 【分析】设函数，根据函数单调性，即可解所求不等式. 【详解】设函数，定义域为， 根据幂函数单调性可得，和都是上的增函数， 所以函数是上增函数， 又， 则不等式的解集为. 故答案为： 9. 若，，则______ 【答案】1 【解析】 【分析】指数式化为对数式，结合换底公式得到. 【详解】由，得，， 故，， 故. 故答案为：1 10. 设，且函数是偶函数，若，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数的性质列出方程求解即可. 【详解】因为函数是偶函数，所以，即， 又因为，所以， 故答案为：. 11. 雅各布·伯努利（Jakob Bemoulli）是17世纪著名的数学家，他在概率论、数学分析及无穷级数等多个领域作出了重大的贡献，对后世数学的发展产生了深远的影响．1689年，他提出了一个著名的不等式称为伯努利不等式，其内容如下：设，且，n为大于1的正整数，则．由此可知，函数在区间上的最小值是______ 【答案】1 【解析】 【分析】由题意得当且时，，并得到当时，，当时，，从而得到最小值. 【详解】由题意得，当且时，，故， 当时，，当时，， 综上，在上的最小值为1，此时. 故答案为：1 12. 若函数在区间上的最小值为，则实数a的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【分析】先得到在上恒成立，参变分离得到，求出，故，再由在上有根， 即在上有根，求出，需满足，故. 【详解】由题意得在上恒成立， 故， ， 故只需求出， 由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 且或2时，，故的最大值为3， 故， 故， 另外，在上有根， 即，， 故在上有根， 根据的单调性可知，在处取得最小值， 故，， 要想在上有根， 需满足， 综上，. 故答案为： 【点睛】方法点睛：分离参数法基本步骤为： 第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式， 第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用函数单调性或基本不等式进行求解. 第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只—个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，对应法则不同；BC选项，定义域不同，D选项，两函数定义域和对应法则均相同，为同一函数. 【详解】A选项，，，两函数对应法则不同，故不是同一函数，A错误； B选项，令，解得，的定义域为， 的定义域为R，两函数定义域不同，不是同一函数，B错误； C选项，的定义域为，的定义域为， 两函数定义域不同，不是同一函数，C错误； D选项，，， 两函数定义域和对应法则均相同，为同一函数，D正确. 故选：D 14. 小明同学在用二分法研究函数在区间的零点时，发现，，，那么他下一步应计算（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由二分法的概念判断． 【详解】由题意零点在区间上，因此应计算， 故选：C． 15. 设、、、为实数，下列命题中成立的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，，那么 D. 如果，，那么 【答案】A 【解析】 【分析】对于A、B选项，利用不等式的性质可判断原命题的真假；对于C、D选项，取特殊值可判断原命题的真假. 【详解】对于A，若，则，显然成立，选项A正确； 对于B，若，当时，，当时，，选项B错误； 对于C，令，满足，，但是， 不满足，选项C错误； 对于D，令，满足，，但是， 不满足，选项D错误， 故选：A. 16. 已知m、n都是实数，，若函数的值域为R，且对任意的实数t，关于x的方程有且只有一个实数解，则满足题意的实数对的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数 【答案】B 【解析】 【分析】再同一坐标系内画出和的图象，数形结合得到，且时满足题目中的两个条件，其他情况不合要求，得到答案. 【详解】定义域为，其在定义域内单调递减， 定义域为R，且，故为偶函数， 当时，单调递增，由复合函数单调性得单调递减， 同一坐标系内，画出和的图象，如下： 的值域为R， 显然， 若，此时不满足值域为R， 若，此时图象如下： 满足值域为R，但不满足关于x的方程有且只有一个实数解，不合要求， 若，此时图象如下： 满足值域为R，也满足关于x的方程有且只有一个实数解，满足要求， 若，此时的值域不为R，舍去， 综上，满足要求，即满足要求的只有1个，即. 故选：B 【点睛】方法点睛：方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根为、． （1）求实数m的取值范围； （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】（1）由判别式大于0可得； （2）由韦达定理求解． 【小问1详解】 由题意，解得或， 的范围是． 【小问2详解】 由题意，， 所以，解得， 又，所以，即． 18. 已知，． （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）若，证明：在区间上是严格增函数． 【答案】（1）奇函数，理由见解析； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先判断定义域是否关于原点对称，再根据与的关系判断即可； （2）根据函数单调性定义证明即可. 【小问1详解】 是奇函数，理由如下： 当时，的定义域为，关于原点对称， ， 根据函数奇偶性定义知，为奇函数； 当时，的定义域为，关于原点对称，， 根据函数奇偶性定义知，为奇函数； 综上，为奇函数. 【小问2详解】 时，，设，则 因为，所以，， 所以，即，即， 根据函数单调性定义知，在区间上是严格增函数． 19. 当某外来物种进入某地区时，种群数量会先缓慢增长，然后再加速增长，再然后增速减缓，最终与当地环境达到自然平衡（如图所示）．数学生物学研究表明，种群数量与时间t的关系可以用逻辑斯蒂方程（Logistic Equation）：来表示，其中K表示环境容量（特定环境能够稳定承载的最大种群数量），表示种群初始数量，r表示物种内禀增长率（没有环境限制时种群数量的固有增长率）．某环境保护组织计划对一个新建的池塘放养某鱼类F．已知池塘对鱼类F的环境容量为1000条，初始投入100条，鱼类F的年内禀增长率为30％． （1）预计放养5年后的同一天，该池塘里有鱼类F多少条? （结果保留整数） （2）如果某一天与它前一年的同一天相比，鱼类F的年增长率小于或等于5％，则称此时鱼类F与当地环境接近自然平衡．问至少需要经过多少年鱼类F才能与池塘环境接近自然平衡?（结果保留整数），其中，，， 【答案】（1）333 （2）14 【解析】 【分析】（1）代入数据，得到，计算出，得到答案； （2）得到不等式，求出，故至少14年鱼类F才能与池塘环境接近自然平衡. 【小问1详解】 由题意得， 当时，， 预计放养5年后的同一天，该池塘里有鱼类F条数为333； 【小问2详解】 由题意得， 化简得， 其中，，， 由于单调递减， 当时，， 当时，， 解得，故至少14年鱼类F才能与池塘环境接近自然平衡. 20. 在平面直角坐标系中，若点，，称为A，B两点的绝对和，记为． （1）若，，求； （2）已点，点在直线上，证明； （3）已知点，，动点在函数，的图象上，记的最大值为，求函数的最小值． 【答案】（1） （2）证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）由，两点绝对和的定义即可求解； （2）根据点在直线上，设点，代入两点绝对和公式，再利用绝对值不等式即可证明； （3）易知，设，.根据函数的奇偶性，只需讨论在的最大值.对参数进行分类讨论，去绝对值，研究二次函数单调性与最值即可求得，再根据分段函数单调性即可求解. 【小问1详解】 ，，∴由题知. 【小问2详解】 ∵点在直线上，∴设. ，. 由绝对值不等式可知：， 当且仅当，即时等号成立. . 【小问3详解】 ∵动点在函数，的图象上，∴设，. ，. 设，. 则的定义域关于原点对称，且， ∴函数，为偶函数， 故只需研究函数在的最大值即可. 当时，，， 由二次函数性质可知：图象开口向上，对称轴为， 故函数在上单调递增，； 当时，，， 由二次函数性质可知：图象开口向下，对称轴为， 故函数在上单调递增，在上单调递减，； 当时，令得，， 由二次函数性质可知：开口向下，对称轴为； 开口向上，对称轴为，故在上单调递增. ①当，即时，在上单调递增，此时，，； ②当，即时，在上单调递增，在上单调递减，此时，，. 综上，. 当时，在上单调递减，； 当时，在上单调递增，. ∴函数的最小值为. 【点睛】本题为新定义题型，在理解题意的基础上写出函数，再利用分类讨论和数形结合思想研究二次函数最值即可. 21. 已知集合，n是正整数，，都是实数.若，则称A为n元“M集”，记作. （1）判断是否为真命题； （2）若，x、y均为正实数，求的取值范围； （3）若，，，且，.记，.证明：当时，对任意实数x恒成立. 【答案】（1）为真命题 （2）； （3） ， 同理， 由于，故， 所以，同理可得， 又， 所以 ， 因为，，，所以， ， 故， 即恒成立. 【解析】 【分析】（1）验证满足，故为真命题； （2）由题意得到，变形得到，结合，求出，进而得到的取值范围； （3）首先得到，，又，作差变形得到，从而得到. 【小问1详解】 为真命题，理由如下： ，， 所以满足，为真命题； 【小问2详解】 由题意得，故，， ， 因为x、y均为正实数，故，所以， 令，， 则时，取得最大值， 且，则值域为， 所以取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $