第四讲 质数与合数、分解质因数（知识点＋经典讲练）-2024-2025学年五年级数学下册学习讲义（苏教版）

第四讲 质数与合数、分解质因数 【知识梳理】 1、按照一个数因数个数的多少可以把非 0 自然数分成三类 ①只有自己本身一个因数的 1 ②只有 1 和它本身两个因数的数叫作质数（素数）。最小的质数是 2。在所有的质数中，2 是唯一的一个偶数。 ③除了 1 和它本身两个因数还有别的因数的数叫作合数。（合数至少有 3 个因数）最小的合数是 4。 2、质因数：如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。 3、是 2 的倍数的数叫作偶数，不是 2 的倍数的数叫作奇数。相邻偶数（奇数）相差 2。 4、公因数只有1的两个数，叫做互质数。 5、100 以内质数： 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、 61、67、71、73、79、83、89、97。（25 个） 13 的倍数：26、39、52、65、78、91、104、117 …… 17 的倍数：34、51、68、85、102、119、136、153…… 19 的倍数：38、57、76、95、114、133、152、171…… 经典讲练1：质数和合数 新课导入：写出下面各数的所有因数。 2 的因数：__________； 3 的因数：___________；1、2； 1、3 5 的因数：__________； 6 的因数：___________；1、5； 1、2、3、6 8 的因数：__________； 9 的因数：___________。1、2、4、8； 1、3、9 在这些数中， 只有两个因数的有（ ）， 有两个以上因数的有（ ）。2、3、5； 6、8、9 2、3、5 这几个数只有 1 和它本身两个因数， 像这样的数叫作质数（或素数）。 6、8、9 这几个数除了 1 和它本身还有别的因数， 像这样的数叫作合数。 例1、从2－50的数中先划去2的倍数，再依次划去3、5、7的倍数（2、3、5、7不划掉），剩下的数是什么数？ 【答案】见详解 【分析】2的倍数个位上是0、2、4、6、8；5的倍数个位上是0或5；3的倍数各位上的和是3的倍数；50以内7的倍数有7、14、21、28、35、42、49。据此，先将表中2、5、3、7的倍数划去（2、3、5、7不划），再判断余下的数是什么类型的数即可。 【详解】如图： 剩下的数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43和47，这些数的因数只有1和本身，它们都是质数。 例2、下面的数，哪些是质数，哪些是合数？ 21   23   25   27   29   31   33  35  37   39   47 【答案】质数：23、29、31、37、47 合数：21、25、27、33、35、39 【分析】因数只有1和本身的数是质数；除了1和本身还有别的因数，这样的数是合数。根据这两个概念，对题中的数分类即可。 【详解】答：23、29、31、37、47是质数；21、25、27、33、35、39是合数。 例3、在括号里填合适的质数。 12＝( )＋( )  36＝( )＋( )    51＝( )×( ) 85＝( )×( )     24＝( )＋( )＝( )＋( ) 【答案】5 7 5 31 3 17 5 17 5 19 7 17 练习： 1、1～20的自然数中奇数有（ ）个，偶数有（ ）个，质数有（ ）个，合数有（ ）个。（ ）既不是质数，也不是合数。 答案：10；10；8；11；1 2、两个数都是质数，两数之和是15，两数之积是26。这两个数是（ ）和（ ）。 答案：2；13 3、有两个合数，它们的和是10，积是24，这两个数分别是（ ）和（ ）。 答案：4；6 4、最小的质数是（ ），最小的合数是（ ）；（ ）既不是质数，也不是合数。 答案：2；4；1 经典讲练2：分解质因数 例1、在3×9＝27中，( )和( )都是27的因数，其中( )是27的质因数。把18分解质因数( )。 【答案】 3 9 3 18＝2×3×3 【分析】一个整数（a）能被另一个整数（b）整除，此时，b就是a的因数。每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就都叫做这个合数的质因数。分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。据此解答。 【详解】在3×9＝27中，3和9都是27的因数，其中3是27的质因数。把18分解质因数18＝2×3×3。 例2、将下列各数分解质因数。 【答案】见详解 【分析】每个合数都可以由几个质数相乘得到，其中每个质数都是这个合数的因数，叫作这个合数的质因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来叫作分解质因数。 【详解】 15＝3×5 18＝3×2×3 48＝2×3×2×2×2 例3、下面各数是由哪些质数相乘得到的？ 22＝( )×( )    130＝( )×( )×( ) 34＝( )×( )    27＝( )×( )×( ) 65＝( )×( )    98＝( )×( )×( ) 【答案】 2 11 2 5 13 2 17 3 3 3 5 13 2 7 7 【分析】根据分解质因数的意义，把一个合数写成几个质数连乘积的形式，叫做把这个合数分解质因数，由此解答。 【详解】22＝2×2    130＝2×5×13 34＝2×17    27＝3×3×3 65＝5×13    98＝2×7×7 练习： 1、84的质因数有（ ）；48的质因数有（ ）。 答案：2、3、7； 2、3 2、有三个小朋友，他们的年龄正好是三个连续的自然数，且他们年龄的积是210，这三个小朋友的年龄分别是（ ）岁、（ ）岁、（ ）岁。 答案：（ 5 ）岁、（ 6 ）岁、（ 7 ）岁 3、用短除法分解质因数。 48  51  132  1110  129  91 答案：48=2×2×2×2×3 51=3×17 132 =2×2×3×11 1110=2×3×5×37 129 =3×43 91 =7×13 4、在括号里填合适的质数。 20=（ ）×（ ）×（ ） 60=（ ）×（ ）×（ ）×（ ） 54=（ ）×（ ）×（ ）×（ ） 答案：2、2、5； 2、2、3、5； 2、3、3、3 巩固提优 1、判断题 （1）一个自然数不是质数，就是合数。（ ） （2）奇数都是质数，偶数都是合数。（ ） （3）7的倍数都是合数。（ ） （4）20以内最大的质数乘10以内最大的奇数,积是171。（ ） （5）一个数只有两个因数，这个数一定是质数。（ ） （6）两个质数的积，一定是质数。（ ） （7）2是偶数也是合数。（ ） （8）1是最小的自然数,也是最小的质数。（ ） （9）除2以外,所有的偶数都是合数。（ ） （10）最小的自然数、最小的质数、最小的合数的和是7。（ ） 答案：×××√√×××√× 2、下面的数中，哪些是合数，哪些是质数。 1、13、24、29、41、57、63、79、87。 合数有：（________________________）；质数有：（___________________________）。 答案：24，57，63，87    13，29，41，79 3、在4、5、9和17这四个数中，（______）是质数，（______）是合数，在合数中（______）和（______）是互质数。 答案：5、17 4、9 4 9 4、在括号里填入适当的质数。 10=（______）+（______） 10=（______）×（______） 20=（______）+（______）+（______） 8=（______）×（______）×（______） 答案：3    7    2    5    13    2    5    2    2    2 5、用短除法分解质因数。 65 56 94 76 135 105 87 93 答案： 6、用10以内的质数组成一个三位数，使它能同时被3、5整除，这个数最小是（______），最大是（______）。答案：375    735 7、三个质数的积是42，这三个质数分别是（ ）、（ ）和（ ）。 答案：2；3；7 8、菲菲家的电话号码是一个八位数，记为：ABCDEFGH．已知：A是最小的质数，B是最小的合数，C既不是质数也不是合数，D是比最小的质数小2的数，E是10以内最大的合数，F只有因数1和5，G是8的最大因数，H是6的最小倍数． 答案：【分析】 最小的质数是2，最小的合数是4，1既不是质数与不是合数，9是10以内最大的合数，5只有因数1和5，8的最大因数是8，6是6的最小倍数，据此分析。 【详解】根据分析可知：A是2，B是4，C是1，D是0，E是9，F是5，G是8，H是6，所以菲菲家的电话号码是24109586。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四讲 质数与合数、分解质因数 【知识梳理】 1、按照一个数因数个数的多少可以把非 0 自然数分成三类： ①只有自己本身一个因数的 1 ②只有 1 和它本身两个因数的数叫作质数（素数）。最小的质数是 2。在所有的质数中，2 是唯一的一个偶数。 ③除了 1 和它本身两个因数还有别的因数的数叫作合数。（合数至少有 3 个因数）最小的合数是 4。 2、质因数：如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。 3、是 2 的倍数的数叫作偶数，不是 2 的倍数的数叫作奇数。相邻偶数（奇数）相差 2。 4、公因数只有1的两个数，叫做互质数。 5、100 以内质数： 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、 61、67、71、73、79、83、89、97。（25 个） 13 的倍数：26、39、52、65、78、91、104、117 …… 17 的倍数：34、51、68、85、102、119、136、153…… 19 的倍数：38、57、76、95、114、133、152、171…… 经典讲练1：质数和合数 新课导入：写出下面各数的所有因数。 2 的因数：__________； 3 的因数：___________； 5 的因数：__________； 6 的因数：___________； 8 的因数：__________； 9 的因数：___________。 在这些数中， 只有两个因数的有（ ）， 有两个以上因数的有（ ）。 例1、从2－50的数中先划去2的倍数，再依次划去3、5、7的倍数（2、3、5、7不划掉），剩下的数是什么数？ 例2、下面的数，哪些是质数，哪些是合数？ 21   23   25   27   29   31   33  35  37   39   47 例3、在括号里填合适的质数。 12＝( )＋( )  36＝( )＋( )    51＝( )×( ) 85＝( )×( )     24＝( )＋( )＝( )＋( ) 练习： 1、1～20的自然数中奇数有（ ）个，偶数有（ ）个，质数有（ ）个，合数有（ ）个。（ ）既不是质数，也不是合数。 2、两个数都是质数，两数之和是15，两数之积是26。这两个数是（ ）和（ ）。 3、有两个合数，它们的和是10，积是24，这两个数分别是（ ）和（ ）。 4、最小的质数是（ ），最小的合数是（ ）；（ ）既不是质数，也不是合数。 经典讲练2：分解质因数 例1、在3×9＝27中，( )和( )都是27的因数，其中( )是27的质因数。把18分解质因数( )。 例2、将下列各数分解质因数。 例3、下面各数是由哪些质数相乘得到的？ 22＝( )×( )    130＝( )×( )×( ) 34＝( )×( )    27＝( )×( )×( ) 65＝( )×( )    98＝( )×( )×( ) 练习： 1、84的质因数有（ ）；48的质因数有（ ）。 2、有三个小朋友，他们的年龄正好是三个连续的自然数，且他们年龄的积是210，这三个小朋友的年龄分别是（ ）岁、（ ）岁、（ ）岁。 3、用短除法分解质因数。 48  51  132  1110  129  91 4、在括号里填合适的质数。 20=（ ）×（ ）×（ ） 60=（ ）×（ ）×（ ）×（ ） 54=（ ）×（ ）×（ ）×（ ） 巩固提优 1、判断题 （1）一个自然数不是质数，就是合数。（ ） （2）奇数都是质数，偶数都是合数。（ ） （3）7的倍数都是合数。（ ） （4）20以内最大的质数乘10以内最大的奇数,积是171。（ ） （5）一个数只有两个因数，这个数一定是质数。（ ） （6）两个质数的积，一定是质数。（ ） （7）2是偶数也是合数。（ ） （8）1是最小的自然数,也是最小的质数。（ ） 2、下面的数中，哪些是合数，哪些是质数。 1、13、24、29、41、57、63、79、87。 合数有：（________________________）；质数有：（___________________________）。 3、在4、5、9和17这四个数中，（______）是质数，（______）是合数，在合数中（______）和（______）是互质数。 4、在括号里填入适当的质数。 10=（______）+（______） 10=（______）×（______） 20=（______）+（______）+（______） 8=（______）×（______）×（______） 5、用短除法分解质因数。 65 56 94 76 135 105 87 93 6、用10以内的质数组成一个三位数，使它能同时被3、5整除，这个数最小是（______），最大是（______）。 7、三个质数的积是42，这三个质数分别是（ ）、（ ）和（ ）。 8、菲菲家的电话号码是一个八位数，记为：ABCDEFGH．已知：A是最小的质数，B是最小的合数，C既不是质数也不是合数，D是比最小的质数小2的数，E是10以内最大的合数，F只有因数1和5，G是8的最大因数，H是6的最小倍数． 学科网（北京）股份有限公司 $$