2025年甘肃省九年级中考数学一轮复习考点突破课件：圆的基本性质

圆的基本性质 考点一　圆的有关概念及性质 1. 圆的定义 如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一 个端点A所形成的图形叫做圆，其中固定的端点O叫做圆心，线段OA 叫做半径. 2. 圆的确定 不在同一直线上的三个点确定一个圆. 【温馨提示】圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小. 3. 圆的有关概念 (1)同心圆：圆心相同、半径不相等的圆. (2)等圆：能够重合的两个圆. (3)半圆：圆的任意一条 的两个端点把圆分成两条弧，每一条 弧都叫做半圆. 直径　 (4)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧叫 做 ，小于半圆的弧叫做 ⁠. (5)弦：连接圆上任意两点的 ⁠. (6)直径：经过 的弦. (7)弦心距：圆心到 的距离. 优弧　 劣弧　 线段　 圆心　 弦　 4. 圆的对称性 (1)圆既是轴对称图形，又是 ，任意一条直径所在的 直线都是它的对称轴，圆心是它的对称中心. (2)圆绕圆心旋转任意角度都与自身重合. 中心对称图形　 ▼[练对点一] 1. 已知☉O中最长的弦为8，则☉O的半径是(　A　) A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 2. 以下说法中：①直径是圆中最长的弦；②半圆是圆中最长的弧；③面 积相等的圆是等圆.其中正确的是 (填序号). A ①③　 考点二　垂径定理及其推论 5. 垂径定理及其推论 定理 垂直于弦的直径 弦，并且平分弦所对的条 .如图，已知直径CD⊥弦AB，则CD平分AB， ＝ ， ＝ 平分　 弧　 推论 平分弦(不是直径)的直径 于弦，并且 ⁠弦所对的两条弧.如图，已知直径CD平分弦AB(不是直径)，则 CD⊥AB，且 ＝ ， ＝ 垂直　 平分　 推论 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.如图，弦AB的垂直平分线为直径CD，直径CD平分 和 平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 【温馨提示】1.如图1，根据圆的对称性，在以下5个结论中：① ＝ ；② ＝ ；③AE＝BE(AB不是直径)；④CD⊥AB；⑤CD是 直径，只要满足其中两个结论，另外三个结论就一定成立，即“知二推 三”；2.有关弦的问题，常作其弦心距，构造以半径、弦的一半、弦心 距为边的直角三角形，利用勾股定理求解.如图2，d2＋()2＝r2. ▼[练对点二] 3. (2024·凉州区二模)如图，已知☉O的直径CD＝8， AB是☉O的弦， AB⊥CD，垂足为M，OM＝2，则AB的长为(　D　) A. 2 B. 2 C. 4 D. 4 D 4. (2024·西和县模拟)某施工队在修建高铁时，需修建隧道，如图是高铁 隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝24 米，净高CD＝18米，则此圆的半径OA的长为 ⁠. 第4题图 13　 5. (2024·甘谷县一模)赵州桥是当今世界上建造最早、保存最完整的中国 古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37 m，拱高约 为7 m，则赵州桥主桥拱半径R约为(　B　) A. 20 m B. 28 m C. 35 m D. 40 m 第5题图 B 考点三　弧、弦、圆心角 6. 圆心角：顶点在 的角.如图中的∠AOB. 7. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦 也 .见右图，若∠AOB＝∠COD，则 ＝ ，AB ＝ ⁠. 圆心　 相等　 相等　 　 CD　 8. 推论：(1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心 角 ，所对的弦相等.如图，若 ＝ ，则∠AOB ＝ ，AB＝CD. (2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所 对的优弧和劣弧分别 .如图，若AB＝CD，则∠AOB＝ ∠COD， ＝ . (3)弧的度数等于它所对 的度数. 【温馨提示】同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 相等，它们所对应的其余各组量也相等. 相等　 ∠COD　 相等　 　 圆心角　 ▼[练对点三] 6. (2024·康县一模)如图， AB是☉O的直径， ＝ ， ∠COB＝ 40°，则∠A的度数是 ⁠°. 55　 7. (2024·武威二模)如图，在☉O中， ＝ ，∠BOC＝120°.求证 △ABC是等边三角形. 证明：∵ ＝ ，∴AB＝AC. ∵∠BOC＝120°，∴∠BAC＝60°， ∴△ABC是等边三角形. 考点四　圆周角定理及其推论 9. 定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角.如∠D和∠A. 10. 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 ，如 图，∠A＝ ∠BOC. 一半　 　 11. (1)推论1：同弧或等弧所对的圆周角 .如上图 ⁠＝ ∠A(同弧 )； ∠A＝ (等弧： 与 ). 用途：证明圆周角相等. (2)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦 是 ⁠. 相等　 ∠D　 ∠BCD　 直径　 如图，AB是直径⇔∠ACB＝90°. 用途：连直径，得直角或确定圆的直径. 【温馨提示】应用圆周角定理及其推论时，一定注意“在同圆或等圆 中”的条件，同时要注意：a.一条弦所对的弧有两条；b.一条弧只对 应一个圆心角，但却对应无数个圆周角. ▼[练对点四] 8. (2024·武威一模)如图， BC为直径，∠ABC＝35°，则∠D的度数为 (　C　) A. 35° B. 45° C. 55° D. 65° C 9. (2024·白银模拟)如图，☉O的直径AD＝6，∠BAC＝30°，则弦BC的 长为(　A　) A. 3 B. 3 C. 6 D. 2 A 命题点一　弧、弦、圆心角的相关计算 1. (2022·兰州)如图所示，△ABC内接于☉O，CD是☉O的直径，∠ACD ＝40°，则∠B＝(　C　) A. 70° B. 60° C. 50° D. 40° 第1题图 C 2. (2021·省卷)如图所示，点A，B，C，D，E在☉O上，AB＝CD， ∠AOB＝42°，则∠CED＝(　D　) A. 48° B. 24° C. 22° D. 21° 第2题图 D 3. (2024·兰州)“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国 时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分 的示意图，其中☉M，☉N的半径分别是1 cm和10 cm，当☉M顺时针转 动3周时，☉N上的点P随之旋转n°，则n＝ ⁠. 108　 命题点二　圆周角定理及其推论的相关计算 4. (2020·兰州)如图所示，AB是☉O的直径，若∠BAC＝20°，则 ∠ADC＝(　C　) A. 40° B. 60° C. 70° D. 80° 第4题图 C 5. (2020·省卷)如图所示，A是☉O上一点，BC是直径，AC＝2，AB＝ 4，点D在☉O上且平分 ，则DC的长为(　D　) A. 2 B. C. 2 D. 第5题图 D 6. (2024·省卷)如图，点A，B，C在☉O上，AC⊥OB，垂足为D，若∠A ＝35°，则∠C的度数是(　A　) A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 第6题图 A 7. (2024·临夏州)如图，AB是☉O的直径，∠E＝35°，则∠BOD＝ (　D　) A. 80° B. 100° C. 120° D. 110° 第7题图 D 8. (2023·兰州)我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图 法.如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却 去前表十步，以参望，日始出北廉，日直入，又树一表于东方，因西方 之表，以参望日方入北廉，则定东方.两表之中，与西方之表，则东西 之正也.”如图，用几何语言叙述作图方法；已知直线a和直线外一定点 O，过点O作直线与a平行，(1)以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线 a于点M，N；(2)分别在MO的延长线及ON上取点A，B，使OA＝OB； (3)连接AB，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线a∥b.按以上 作图顺序，若∠MNO＝35°，则∠AOC＝(　A　) A A. 35° B. 30° C. 25° D. 20° 第8题图 1. (2024·连云港)如图，AB是圆的直径，∠1，∠2，∠3，∠4的顶点均 在AB上方的圆弧上，∠1，∠4的一边分别经过点A，B，则∠1＋∠2＋ ∠3＋∠4＝ ⁠°. 90　 2. (2024·长春)如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是 的中点， DE⊥AB于点E，交AC于点F，DB交AC于点G，连接AD. 给出下面四个 结论： ①∠ABD＝∠DAC； ②AF＝FG； ③当DG＝2，GB＝3时，FG＝ ； ④当 ＝2 ，AB＝6时，△DFG的面积是 . 上述结论中，正确结论的序号有 ⁠. ①②③　 1. 已知AB是半径为2的圆的一条弦，则AB的长不可能是(　D　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 已知点C在☉O的弦AB上，AC＝6，BC＝2，OC＝ ，则AB的弦 心距为(　B　) A. B. 3 C. 2 D. 2 D B 3. 一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20 cm，弓形高CD为2 cm，则镜面半径是(　B　) A. 24 cm B. 26 cm C. 28 cm D. 30 cm B 4. 如图1，AB是☉O的弦，点C和点D是☉O上的点，AD和BC交于点P，AD＝BC. 图1 (1)求证：AP＝BP； 解：(1)∵AD＝BC， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴∠ABC＝∠BAD， ∴AP＝BP. (2)如图2，若AD⊥BC，点E是 上一点且 ＝ ，AE与BC交于点 F，求证：BE＝BF. 解：(2)如图2，连接AC. ∵ ＝ ，∴∠CAP＝∠FAP. ∵AD⊥BC，∴∠APC＝∠APF＝90°， ∴∠C＝∠AFC. 又∵∠AFC＝∠BFE，∠C＝∠E， ∴∠BFE＝∠E，∴BE＝BF. 图2 $$