16.1 第1课时 二次根式的概念-【木牍教育】2024-2025学年八年级数学下册同步教学优质课件（沪科版）

数 学 HK 八年级 下册 木牍教育-教学设计中心 制作 ※ 建议使用WPS2019打开。 16.1 二次根式 沪科版八年级下册 第十六章 第一课时 二次根式的概念 课程讲授 课程导入 习题解析 课堂总结 前 言 学习目标及重难点 1.理解二次根式的概念.（重点） 2.掌握二次根式有意义的条件.（重点） 3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点） 课时A计划 1、什么叫平方根？ 一般地， 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做 二次方根 .( 如果 x2=a，那么x就叫做a的平方根. ) 练一练： ③ 3的平方根是 ； ① 16的平方根是 ； ② 0的平方根是 ； ④ -7有没有平方根？ 求一个数的平方根的运算叫开平方. ±4 0 没有 课程导入 ± 课时A计划 如何用符号表示非负数a(≥0)的平方根? ① 正数的平方根有两个，它们互为相反数； ② 0的平方根是0； ③ 负数没有平方根. 平方根的性质 课程导入 课时A计划 正数a的正的平方根 叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0. 2、什么叫算术平方根？ 一个非负数a(≥0)的算术平方根应表示为 . ① 正数的算术平方根只有一个； ② 0的算术平方根是0； ③ 负数没有算术平方根. 算术平方根的性质 课程导入 课时A计划 课程导入 由特殊到一般，我们先通过视频初步感受一下，在回顾了平方根的基础上二次根式的概念. 课时A计划 1.（1）若正方形菜地的面积为30 ，则它的边长为 . （2）若正方形菜地的面积为S ，则它的边长为 . 课程讲授 新课推进 探索1：二次根式的概念及有意义的条件 课时A计划 2.圆形花坛的面积为S ，则它的半径为 . 课程讲授 新课推进 课时A计划 3.一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，那么t为_____． 课程讲授 新课推进 课时A计划 课程讲授 新课推进 问题1 这些式子分别表示什么意义？ 分别表示30，S，， 的算术平方根． 上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ， ． ①根指数都为2; ②被开方数为非负数. 问题2 这些式子有什么共同特征？ 课时A计划 课程讲授 新课推进 一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号. 两个必备特征 ①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数 a ≥0 注意：a可以是数，也可以是式. 课时A计划 课程讲授 新课推进 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ 解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.（2)(3)(5)(7)均不是二次根式. 是否含二次根号 被开方数是 不是非负数 二次根式 不是二次根式 是 是 否 否 分析： 例1 课时A计划 不是，像 这类代数式 只能称为含有二次根式的代数式，不能称之为二次根式 . 是二次根式吗？ 课程讲授 新课推进 思考： 课时A计划 课程讲授 新课推进 当x是怎样的实数时, 在实数范围内有意义? 解：由x-2≥0，得 x≥2. 当x≥2时， 在实数范围内有意义. 解：由题意得 x-1＞0， ∴ x＞1. 例2 变式1：当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 课时A计划 课程讲授 新课推进 解：∵被开方数需大于或等于零， ∴3+x≥0，∴x≥-3. ∵分母不能等于零， ∴x-1≠0，∴x≠1. ∴x≥-3 且x≠1. 归纳：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零. 课时A计划 课程讲授 新课推进 解：(1)∵无论x为何实数， ∴当x=1时， 在实数范围内有意义. (2)∵无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0， ∴无论x为何实数， 在实数范围内都无意义. 归纳：被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论. 变式2：当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 课时A计划 课程讲授 新课推进 x为何值时，下列式子在实数范围内有意义？ 求二次根式中字母的取值范围的方法： ① 被开方数≥0； ② 分母中有字母时,要保证分母不为零. 解 :(1)要使 有意义，则必有x+3≥0， ∴ x≥-3 (2)要使 有意义，则必有x2≥0， ∴ x为全体实数 (3)要使有意义，则必有 ∴ x>- ≥0 3x+7≠0 例3 课时A计划 课程讲授 新课推进 1、x为何值时，下列式子在实数范围内有意义？ x≤-3，且x≠-5 2≤x≤5 x≥-4，且x≠±2 x＞3 随堂小练习 课时A计划 课程讲授 新课推进 (7) (8) 2、 x为何值时，下列式子在实数范围内有意义？ x≥1 x为全体实数 x≥0 x≤0 x＞0 x≠0 x≥-1，且x≠2 x＞0 x为全体实数 课时A计划 小结 课程讲授 (1)单个二次根式如 有意义的条件：A≥0； (2)多个二次根式相加如 有意义的条件： (3)二次根式作为分式的分母如 有意义的条件：A＞0； (4)二次根式与分式的和如 有意义的条件： A≥0且B≠0. 总结： 课时A计划 课程讲授 新课推进 探索2：二次根式的双重非负性 问题1 当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？ 前者x为全体实数；后者x为正数和0. 当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 ＞0；当a=0时， 表示0的算术平方根，因此 =0.这就是说，当a≥0时， ≥0. 问题2 二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？ 课时A计划 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道： （1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0； （2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0. 二次根式的被开方数非负 二次根式的值非负 二次根式的双重非负性 课程讲授 新课推进 课时A计划 课程讲授 新课推进 若 ，求a -b+c的值. 解： 由题意可知 a-2=0,b-3=0,c-4=0, 解得 a=2,b=3,c=4. ∴ a-b+c=2-3+4=3. 归纳：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式. 例4 课时A计划 课程讲授 新课推进 已知y= ,求3x+2y的算术平方根. 解：由题意得 ∴x=3，∴y=8， ∴3x+2y=3×3+2×8=25. ∵25的算术平方根为5， ∴3x+2y的算术平方根为5． 例5 课时A计划 解：由题意得 ∴a=3， ∴b=4. 当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10； 当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11． 归纳：若 ，则根据被开方数大于等于0，可得a=0. 课程讲授 新课推进 变式：已知a,b为等腰三角形的两条边长，且a,b满足 b=++4,求此三角形的周长. 课时A计划 已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根． 解：由题意得 ∴3x-y-1=0且2x+y-4=0． 解得x=1，y=2． ∴x+4y=1+2×4=9， ∴x+4y的平方根为±3. 课程讲授 新课推进 随堂小练习 课时A计划 习题解析 习题1 2.式子 有意义的条件是 （ ） A.x＞2 B.x≥2 C.x＜2 D.x≤2 3.当x=____时，二次根式 取最小值，其最小值 为______． 1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ） C A -1 0 课时A计划 习题解析 当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 习题2 (4)∵5-a>0,∴a<5. 课时A计划 习题解析 (1)若二次根式 有意义，求m的取值范围． 解：由题意得m-2≥0且m2-m-2≠0， 解得m≥2且m≠-1，m≠2， ∴m＞2． (2)无论x取任何实数，代数式 都有意义，求m的取值范围． 解：由题意得x2+6x+m≥0， 即(x+3)2+m-9≥0. ∵(x+3)2≥0， 则m-9≥0，即m≥9. 习题3 课时A计划 习题解析 习题4 若x，y是实数，且y＜ ,求 的值. 解：根据题意得 ∴x=1. ∵y＜ , ∴y＜ ， ∴ . 课时A计划 先阅读，后回答问题： 当x为何值时， 有意义？ 解：由题意得 x(x-1)≥0 由乘法法则得 解得x≥1 或x≤0 即当x≥1 或x≤0时， 有意义. 习题解析 拓展提升 课时A计划 体会解题思想后，试着解答：当x为何值时， 有意义？ 解：由题意得 则 解得x≥2或x＜ ， 即当x≥2或x＜ 时， 有意义． 习题解析 课时A计划 课程总结 小结 定义 二次根式 在有意义条件下求字母的取值范围 二次根式 中,a≥0且 ≥0 带有二次根号 被开方数为非负数 抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集. 二次根式的双重非负性 课时A计划 课后作业 课程总结 课时A计划对应章节. 课时A计划 $$