第10讲 离散型随机变量的均值与方差（寒假预科讲义）-2025年高二数学举一反三系列寒假精品讲义（人教A版2019）

第10讲 离散型随机变量的均值与方差 【人教A版2019】 模块一 离散型随机变量的均值 1．离散型随机变量的均值 (1)定义 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示： X x1 x2 xn P p1 p2 pn 则称E(X)=+++++为离散型随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称 期望，它反映了随机变量取值的平均水平. (2)对均值(期望)的理解 求离散型随机变量的期望应注意： ①期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均. ②E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是 不变的，它描述X取值的平均状态. ③均值与随机变量有相同的单位. 2．均值的性质 若离散型随机变量X的均值为E(X)，Y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是一个离散型随机变量，且 E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b. 特别地，当a=0时，E(b)=b； 当a=1时，E(X+b)=E(X)+b； 当b=0时，E(aX)=aE(X). 【题型1 均值的性质】 【例1.1】（23-24高二下·重庆·期末）已知随机变量的期望为，则（    ） A．9 B．11 C．27 D．29 【解题思路】根据期望的性质计算可得. 【解答过程】因为，所以. 故选：B. 【例1.2】（24-25高二下·河北保定·阶段练习）已知随机变量满足，则（    ） A．或4 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据均值的性质可得，则即为，解方程求得答案. 【解答过程】因为，所以， 解得或（舍去）, 故选：D. 【变式1.1】（23-24高二下·山东枣庄·期中）随机变量的概率分布为 1 2 4 0.4 0.3 则等于（    ） A．5 B．15 C．45 D．与有关 【解题思路】根据概率分步图求得，再根据期望运算可求得,再根据期望运算法则可求得. 【解答过程】根据题意知，， ， ， 故选：B. 【变式1.2】（23-24高二下·河北石家庄·期中）已知随机变量的分布列如下，随机变量满足，则随机变量的期望等于（   ） 0 1 2 A． B． C． D． 【解题思路】先由概率的性质求得，进而根据题意求期望即可. 【解答过程】由已知得， 则， 所以. 故选：C. 【题型2 求离散型随机变量的均值】 【例2.1】（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）盒子中有5个大小和形状均相同的小球，其中白球3个，红球2个，每次摸出2个球.若摸出的红球个数为，则（    ） A． B． C． D．2 【解题思路】由题意可知的可能取值为0，1，2，然后求出相应的概率，从而可求出期望. 【解答过程】由题意可知的可能取值为0，1，2，则 ，，， 所以. 故选：A. 【例2.2】（23-24高二下·天津·期中）随机变量的分布列如下：其中成等差数列，若，则（    ） 0 2 A． B． C． D．1 【解题思路】根据分布列的性质，以及概率公式，等差数列的性质，即可列式求解. 【解答过程】由题意可知，，得， 所以. 故选：C. 【变式2.1】（23-24高二下·广西·期中）近年来中国人工智能产业爆发式的增长，推动了AI电商行业的快速发展，已知2020—2023年中国AI解决方案提供商企业数量分别为1617，2106，2329，2896，从这4个数字中任取2个数字，当所取两个数字差的绝对值小于500时，随机变量；当所取两个数字差的绝对值不小于500时，随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据已知求出分布列的概率，再求出数学期望即可. 【解答过程】从这4个数字中任取2个数字，结果有6种， 所取两个数字差的绝对值小于500的结果有2种，故， 不小于500的结果有4种，故. 所以. 故选：D. 【变式2.2】（23-24高二下·甘肃天水·阶段练习）为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位学生在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游､民俗人文游､自然风光游三种类型，并在该旅行社前几年接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下： 研学游类型 科技体验游 民俗人文游 自然风光游 学校数 40 40 20 该实习生在省内有意向明年组织高一“研学游”的学校中，随机抽取3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率（假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响）.设这3所学校中，选择“科技体验游”的学校数为随机变量，则的数学期望是（    ） A． B． C．1 D．2 【解题思路】由题意，先得到选择“科技体验游”的概率与其它选择的概率，则可以写出选择“科技体验游”的学校数为随机变量X可能取值为0，1，2，3的概率，即可得到分布列，再根据数学期望定义计算出数学期望. 【解答过程】依题意知，学校选择“科技体验游”的概率为，选择“民俗人文游”的概率为，选择“自然风光游”的概率为． X可能的取值为0，1，2，3． 则， ， ， ． X的分布列为： X 0 1 2 3 P . 故选：A. 【题型3 由离散型随机变量的均值求参数】 【例3.1】（23-24高二下·山东青岛·期中）已知随机变量的分布列如下所示，且，则（    ） 1 2 3 A． B． C． D． 【解题思路】利用分布列的性质及期望公式即可求解. 【解答过程】由分布列的性质可得，，所以， 又因为， 所以，即， 联立方程，解得， 所以. 故选：B. 【例3.2】（23-24高二下·广东广州·期末）已知随机变量 取所有的值是等可能的，且 ，则 （    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据随机变量的数学期望公式列出方程，求解方程即可. 【解答过程】因为取所有的值是等可能的， 所以， 所以， 解得. 故选：A. 【变式3.1】（23-24高二下·广东肇庆·阶段练习）下表是离散型随机变量的分布列，且满足，则，的值分别是（    ） 3 4 5 9 A．， B．， C．， D．， 【解题思路】运用离散型随机变量的分布列、期望计算即可. 【解答过程】由题意，得，所以①． 因为，所以②． 由①②解得：，． 故选：A. 【变式3.2】（24-25高二下·江苏·阶段练习）某实验测试的规则是：每位学生最多可做实验3次，一旦实验成功，则停止实验，否则一直做到3次为止.设某学生一次实验成功的概率为，实验次数为随机变量，若的数学期望，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先得到X的所有可能取值为1,2,3，再求出相应概率，计算得到X的数学期望，得到不等式后求解即可. 【解答过程】X的所有可能取值为1,2,3， ，，， 由， 解得或， 又因为，所以. 故选：A. 模块二 离散型随机变量的方差 1．离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 则称D(X)=+++=为随机变量X 的方差，并称为随机变量X的标准差，记为(X). (2)意义 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程 度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 2．方差的有关性质 当a，b均为常数时，随机变量Y=aX+b的方差D(Y)=D(aX+b)=D(X). 特别地，当a=0时，D(b)=0；当a=1时，D(X+b)=D(X)； 当b=0时，D(aX)=D(X). 3．两点分布的均值与方差 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p. 【题型4 方差的有关性质】 【例4.1】（23-24高二下·江苏淮安·期末）随机变量的概率分布为，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据题意求，再结合方差的性质运算求解. 【解答过程】由题意可得：， ， 所以. 故选：D. 【例4.2】（23-24高二下·吉林长春·期末）已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 P 且，则（    ） A．1 B． C． D． 【解题思路】根据分布列求出，，再根据条件得，计算答案即可. 【解答过程】由X的分布列得， ， 因为， 则 故选：D. 【变式4.1】（2024·四川自贡·三模）一组数据、、、、的方差为，则、、、、的方差为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【解题思路】根据新旧方差之间的关系计算即可. 【解答过程】设原数据随机变量为X，根据题可知原数据方差， 则新数据随机变量可表示为，根据方差公式可知. 故选：A. 【变式4.2】（24-25高二·全国·课后作业）设，若随机变量的分布列如下表： －1 0 2 P a 2a 3a 则下列方差中最大的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用期望和方差的计算公式及其方差的性质分别求解即可. 【解答过程】由题意，得，则， 所以，， 所以，， 所以，， 即最大， 故选：C. 【题型5 求离散型随机变量的方差、标准差】 【例5.1】（24-25高二下·江苏·课后作业）若离散型随机变量的标准差，则随机变量的标准差为（    ） A．8 B．15 C．16 D．32 【解题思路】根据方差的性质直接运算即可. 【解答过程】. 故选：C. 【例5.2】（23-24高二下·河北张家口·期末）设随机变量的分布列如下（其中），表示的方差，则当从0增大到1时（    ） 0 1 2 A．增大 B．减小 C．先减后增 D．先增后减 【解题思路】首先根据期望公式得，再根据方差计算公式得的表达式，最后利用二次函数的性质即可得到答案. 【解答过程】由分布列可得, 则， 因为，所以先增后减， 故选：D. 【变式5.1】（24-25高二下·江苏·课后作业）甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮；第一次由甲投篮，已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，．在前3次投篮中，乙投篮的次数为X，求X的概率分布、均值及标准差． 【解题思路】求出X的可能取值以及对应的概率，进而列出分布列，根据期望与标准差的概念即可求出结果. 【解答过程】由题意，得X的所有可能取值为0,1,2， 故X的概率分布为: X 0 1 2 P ， ，所以. 【变式5.2】（24-25高二·全国·课后作业）已知随机变量X的分布列为 X 0 1 x P p 若， (1)求的值; (2)若，求的值. 【解题思路】（1）根据分布列有关知识，概率和为1，以及均值方差计算； （2）利用，则可得解. 【解答过程】（1）由题意可得：，解得， 所以. （2）因为，则， 所以. 【题型6 两点分布的均值与方差】 【例6.1】（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知随机变量服从两点分布，且，设，那么的值是（    ） A．0.84 B．0.7 C．0.4 D．0.3 【解题思路】由已知结合两点分布的方差公式和方差性质即可求解. 【解答过程】因为随机变量服从两点分布， 所以由题，又， 所以. 故选：A. 【例6.2】（23-24高二下·江西吉安·期末）随机变量X服从两点分布，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据分布列的性质求得，利用公式求得，，结合期望和方差的性质，即可求解. 【解答过程】由随机变量服从两点分布，若， 根据分布列的性质，可得，所以A正确； 又由，，所以B错误； 由，所以C错误； 由，所以D错误. 故选：A. 【变式6.1】（23-24高二下·山东青岛·期末）已知随机变量X的分布列如下表所示：随机变量，则下列选项正确的为（    ） X 0 1 P 0.2 0.8 A． B． C． D． 【解题思路】根据两点分布求，再根据期望、方差的性质求. 【解答过程】由题意可得：随机变量X服从两点分布，其中， 所以， 又因为，所以， 故A、B、C错误，D正确. 故选：D. 【变式6.2】（24-25高二下·重庆渝北·阶段练习）已知随机变量服从两点分布，且，则和分别为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意求得，，结合，，即可求解. 【解答过程】由随机变量服从两点分布，且， 可得，且， 所以，. 故选：B. 【题型7 均值与方差的综合应用】 【例7.1】（23-24高二下·江苏连云港·期中）袋中有形状、大小完全相同的4个球，编号分别为，从袋中取出2个球，以X表示取出的2个球中的最大号码． (1)写出X的分布列； (2)求X的均值与方差． 【解题思路】（1）根据离散型随机变量的分布列求解步骤，利用古典概型公式求相应概率可得； （2）利用期望与方差定义式求解即可. 【解答过程】（1）的所有可能取值为. ；；. 故的分布列为 2 3 4 （2）； . 故X的均值为为；方差为． 【例7.2】（23-24高二下·青海海东·阶段练习）甲､乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量，已知甲､乙两名射手在每次射击中射中的环数分别为，且甲射中环的概率分别为，乙射中环的概率分别为. (1)求的分布列； (2)请根据射击环数的期望及方差来分析甲､乙的射击技术. 【解题思路】（1）根据概率和为1求，进而可得分布列； （2）根据分布列分别为期望和方差，对比分析即可. 【解答过程】（1）由题意可得，解得； ，解得； 所以的分布列为 10 9 8 7 0.4 0.2 0.2 0.2 的分布列为 10 9 8 7 0.3 0.3 0.2 0.2 （2）由（1）得， ； ， . 由于，说明甲射击的环数的期望比乙高，但成绩没有乙稳定. 【变式7.1】（23-24高二下·广西河池·阶段练习）甲､乙两名同学在一次答题比赛中答对题数的概率分布分别如下表所示. 甲 答对题数 0 1 2 3 概率 0.1 0.2 0.4 0.3 乙 答对题数 0 1 2 3 概率 0.2 0.1 0.3 0.4 (1)求甲､乙两名同学答题答对题数的期望； (2)试分析甲､乙两名同学谁的成绩好一些. 【解题思路】（1）利用数学期望公式可计算两名同学成绩的数学期望； （2）利用方差公式计算两名同的学的成绩的方差，可得结论. 【解答过程】（1）甲､乙两人成绩的均值分别为 （2）方差分别为 由上面的数据，可知. 这表示甲､乙两人答对题目的均值相等，但两人答对题的稳定程度不同， 甲同学较稳定，乙同学波动较大，所以甲同学的成绩较好. 【变式7.2】（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）学生甲想加入校篮球队，篮球教练对其进行投篮测试.测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一球，则直接录取，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不予录取.已知学生甲在罚球线处投篮命中率为，在三分线处投篮命中率为.假设学生甲每次投进与否互不影响. (1)求学生甲被录取的概率； (2)在这次测试中，记学生甲投篮的次数为，求的分布列及期望与方差. 【解题思路】（1）根据甲被录取按投球次数分类，独立事件概率的乘法公式及互斥事件和的概率公式求解；. （2）由的可能取值，分别求出对应的概率即可得到分布列，公式法求期望与方差. 【解答过程】（1）记事件，表示“甲在罚球线处投篮，第次投进”，事件表示“甲在三分线处投篮，第次投进”.                                                                       则，， 设事件表示“学生甲被录取”，则， 所以， 所以学生甲被录取的概率为. （2）由题分析知，的可能取值为2，3，4. ， ， ， 所以的分布列为 2 3 4 . 一、单选题 1．（24-25高二下·全国·随堂练习）已知离散型随机变量的分布列为 1 2 3 则等于（    ） A． B．2 C． D． 【解题思路】根据分布列结合期望公式运算求解即可. 【解答过程】由题意可得：. 故选：A. 2．（24-25高二下·全国·课后作业）若随机变量满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D．10 【解题思路】根据题意，利用二项分布的方差公式，求得，由，得到，结合，即可求解. 【解答过程】由随机变量，可得， 因为，可得，所以， 所以． 故选：D. 3．（23-24高二下·北京怀柔·阶段练习）设随机变量X的概率分布如表所示，且，则等于（ ） X 0 1 2 3 P a b A． B． C． D． 【解题思路】根据概率之和为1和期望值得到方程组，求出，得到答案. 【解答过程】由题意得，， 解得， 故. 故选：B. 4．（24-25高二下·全国·课后作业）已知离散型随机变量的分布列如下： 0 1 若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由随机变量的性质可得，再结合期望的公式，代入计算，即可求得，由方差的计算公式代入计算，即可得到结果. 【解答过程】由题可得，又，解得， 则． 故选：D. 5．（23-24高二下·河南濮阳·期末）已知随机变量的分布列为 0 1 2 设，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出值，求出随机变量X的均值，再根据其性质求解. 【解答过程】由题可知，解得. 所以， 所以. 故选：A. 6．（24-25高二下·全国·课后作业）已知甲盒子有6个相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从甲盒子中取出一个球，记随机变量X是取出球的编号，数学期望为；乙盒子有5个相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，从乙盒子中取出一个球，记随机变量Y是取出球的编号，数学期望为.则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【解题思路】根据古典概型的概率计算即可求出，再根据概率分布列的性质即可计算. 【解答过程】由题可得，， 所以， . 所以， 综上，. 故选：C. 7．（23-24高二下·河北承德·阶段练习）已知离散型随机变量X的分布列如下表，其中满足，则的最大值为（    ） X 0 1 2 P a b c A． B． C．1 D． 【解题思路】利用分布列的性质得，再利用期望、方差的性质列式求解即得. 【解答过程】依题意，，解得，则， ， 而，则当时，. 故选：C. 8．（24-25高二下·全国·课后作业）已知两个盒子中分别装有形状、大小、质量均相同的小球．其中，盒中有3个红球，1个白球；盒中有1个红球，3个白球，现从两个盒子中同时各取走一个小球，一共取三次，此时记盒中的红球个数为盒中的红球个数为，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】得到与的所有可能取值及其对应概率后即可得其分布列，借助分布列即可得其期望与方差. 【解答过程】由已知， ， ， 则的分布列为： 0 1 可得，； 由已知， ， ， 则的分布列为： 0 1 可得，； 所以. 故选：A. 二、多选题 9．（23-24高二下·安徽安庆·期末）已知两个离散型随机变量，，满足，其中的分布列如下： 1 2 3 P a b 其中a，b为非负数.若，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】AB选项，根据概率之和为1和期望值得到方程组，求出，；CD选项，根据期望和方差的性质得到，得到答案. 【解答过程】AB选项，由分布列的性质，可得①， 因为，所以②， 联立①②解得，，A正确，B错误； CD选项，因为， 所以，，C错误，D正确. 故选：AD. 10．（24-25高二下·全国·课后作业）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如表： 品牌 甲 乙 首次出现故障的时间（年） 轿车数量（辆） 2 3 45 5 45 每辆利润（万元） 1 2 3 1.8 2.9 将频率视为概率，则（    ） A．从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，其首次出现故障发生在保修期内的概率为 B．若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为，则 C．若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆乙品牌轿车的利润为，则 D．该厂预计今后这两种品牌轿车的销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，应生产甲品牌的轿车 【解题思路】由条件概率判断A，写出的分布列，求出它们的期望可判断BCD. 【解答过程】设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件，则 ， 依题意得，的分布列为 1 2 3 ， 的分布列为 1.8 2.9 ． 因为，所以应生产甲品牌轿车． 故选：BD. 11．（23-24高二下·浙江嘉兴·期末）2024年6月嘉兴市普通高中期末检测的数学试卷采用新结构，其中多选题计分标准如下：①每小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有选错的得0分；②部分选对得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）.若每道多选题有两个或三个正确选项等可能，在完成某道多选题时，甲同学在选定了一个正确选项后又在余下的三个选项中随机选择1个选项，乙同学在排除了一个错误选项后又在余下的三个选项中随机选择2个选项，甲、乙两位同学的得分分别记为和，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】对于甲同学得分和乙同学得分，分有两个正确选项和三个正确选项两种情况计算出，的概率，求得、的分布列，进而求得，，对四个选项进行判断. 【解答过程】 的分布列为 0 4 6 由此可得, . 的分布列为 0 4 6 由此可得， . 故AD正确，BC错误， 故选：AD. 三、填空题 12．（24-25高二下·全国·课后作业）若随机变量的分布列如下，则 ． 0 1 2 3 0.1 0.2 0.3 0.1 【解题思路】根据分布列的性质，求得，利用期望的公式，求得，结合，即可求解. 【解答过程】由分布列的性质，可得，解得， 所以变量的期望为， 则． 故答案为：. 13．（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量的分布列为，，若，且，则的取值范围为 ． 【解题思路】根据概率和为1可得，进而可得，再根据数学期望与方差的公式，结合二次函数的范围求解即可. 【解答过程】由题可得，因为，所以， 因为，即，化简得， 则 ， 当时，此时有最小值为1（舍去）， 即的取值范围为． 故答案为：. 14．（23-24高二下·广西钦州·期中）如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用表示小球落入格子的号码，则下面结论中正确的是 ② .    ① ② ③ ④ 【解题思路】结合独立重复试验概率计算公式，计算出概率并求得方差，从而确定正确选项. 【解答过程】解：已知表示小球落入格子的号码，则的所有取值范围为，，，，，， 则，由对称性可知， 而， ， 所以， ， 综上得选项②正确． 故答案为：②. 四、解答题 15．（24-25高二下·全国·课堂例题）已知随机变量的分布列为 0 1 2 3 0.1 0.2 0.3 0.4 求其方差和标准差． 【解题思路】计算出期望，进而利用方差公式求出方差，得到标准差. 【解答过程】， 所以， ． 故方差和标准差均为1. 16．（24-25高二下·全国·课前预习）甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮．已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，，在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列、方差及标准差． 【解题思路】依题意，确定的所有可能值，计算出每个值对应的概率，列出分布列，运用均值、方差公式计算即得. 【解答过程】由题意得，的可能取值为0，1，2． ， ， ． 故的分布列为 0 1 2 ， ． ． 17．（24-25高二下·全国·课前预习）在某项目的选拔比赛中，，两个代表队进行对抗赛，每队三名队员，队队员是，队队员是，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下表，现按表中对阵方式出场进行三场比赛，每场胜队得1分，负队得0分（不存在平局），设队，队最后所得总分分别为，，且． 对阵队员 队队员胜 队队员负 (1)求队得分为1分的概率； (2)求的分布列，并用统计学的知识说明哪个队实力较强． 【解题思路】（1）队得分为1分，说明三场比赛中，队队员只赢了一次，根据表格即可求出概率； （2）由题意可得随机变量的可能取值为，根据表格逐一求出概率即可得到分布列,进而得到数学期望,根据数学期望判断实力强弱. 【解答过程】（1）设队得分为1分的事件为， 则． （2）随机变量的可能取值为, ， ， ． ． 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 因此随机变量的数学期望 ． 因为，所以， 则随机变量的数学期望 ， 所以，故队实力较强． 18．（24-25高二下·全国·课后作业）某外卖公司为提高外卖骑手的服务意识和服务水平，对骑手的服务水平进行了考核，并从中随机抽取了100名骑手，根据这100名骑手的服务水平评分制成如下的频率分布直方图，已知所有骑手的服务水平评分均在区间内． (1)求及服务水平评分的平均数和中位数（同一组中的数据用该组数据的中间值为代表，结果保留1位小数）； (2)从服务水平评分在区间内的骑手中用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取4人，记为4人中评分落在内的人数，求的分布列和期望． 【解题思路】（1）利用频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1可求出，再利用平均数和中位数的定义求解； （2）由题意可知，的所有可能取值为0，1，2，3，4，利用古典概型的概率公式求出相应的概率，进而得到的分布列，再结合期望公式求解． 【解答过程】（1）由频率分布直方图得，解得， 服务水平评分的平均数为 ， 由频率分布直方图，前三组的频率和为， 前两组的频率和为， 所以设中位数为，则，解得． （2）因为三组频率之比为， 所以从三组中分别抽取7人，4人，1人， 的所有可能取值为0，1，2，3，4， ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 3 4 ． 19．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某校举行知识竞赛，最后一个名额要在、两名同学中产生，测试方案如下：、两名学生各自从给定的个问题中随机抽取个问题作答，在这个问题中，已知能正确作答其中的个，能正确作答每个问题的概率是，、两名同学作答问题相互独立． (1)设答对的题数为，求的分布列； (2)设答对的题数为，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生，并说明理由． 【解题思路】（1）根据超几何分布的概率公式计算概率并列出分布列； （2）由已知可得满足二项分布，再分别计算期望与方差即可判断. 【解答过程】（1）设答对的题数，则的可能取值有，，且，， 则的分布列为： （2）设答对的题数，则， ，，，， 由（1）知：， ， 而， ， 所以，，故选择为参赛选手． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 离散型随机变量的均值与方差 【人教A版2019】 模块一 离散型随机变量的均值 1．离散型随机变量的均值 (1)定义 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示： X x1 x2 xn P p1 p2 pn 则称E(X)=+++++为离散型随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称 期望，它反映了随机变量取值的平均水平. (2)对均值(期望)的理解 求离散型随机变量的期望应注意： ①期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均. ②E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是 不变的，它描述X取值的平均状态. ③均值与随机变量有相同的单位. 2．均值的性质 若离散型随机变量X的均值为E(X)，Y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是一个离散型随机变量，且 E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b. 特别地，当a=0时，E(b)=b； 当a=1时，E(X+b)=E(X)+b； 当b=0时，E(aX)=aE(X). 【题型1 均值的性质】 【例1.1】（23-24高二下·重庆·期末）已知随机变量的期望为，则（    ） A．9 B．11 C．27 D．29 【例1.2】（24-25高二下·河北保定·阶段练习）已知随机变量满足，则（    ） A．或4 B．2 C．3 D．4 【变式1.1】（23-24高二下·山东枣庄·期中）随机变量的概率分布为 1 2 4 0.4 0.3 则等于（    ） A．5 B．15 C．45 D．与有关 【变式1.2】（23-24高二下·河北石家庄·期中）已知随机变量的分布列如下，随机变量满足，则随机变量的期望等于（   ） 0 1 2 A． B． C． D． 【题型2 求离散型随机变量的均值】 【例2.1】（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）盒子中有5个大小和形状均相同的小球，其中白球3个，红球2个，每次摸出2个球.若摸出的红球个数为，则（    ） A． B． C． D．2 【例2.2】（23-24高二下·天津·期中）随机变量的分布列如下：其中成等差数列，若，则（    ） 0 2 A． B． C． D．1 【变式2.1】（23-24高二下·广西·期中）近年来中国人工智能产业爆发式的增长，推动了AI电商行业的快速发展，已知2020—2023年中国AI解决方案提供商企业数量分别为1617，2106，2329，2896，从这4个数字中任取2个数字，当所取两个数字差的绝对值小于500时，随机变量；当所取两个数字差的绝对值不小于500时，随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（23-24高二下·甘肃天水·阶段练习）为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位学生在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游､民俗人文游､自然风光游三种类型，并在该旅行社前几年接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下： 研学游类型 科技体验游 民俗人文游 自然风光游 学校数 40 40 20 该实习生在省内有意向明年组织高一“研学游”的学校中，随机抽取3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率（假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响）.设这3所学校中，选择“科技体验游”的学校数为随机变量，则的数学期望是（    ） A． B． C．1 D．2 【题型3 由离散型随机变量的均值求参数】 【例3.1】（23-24高二下·山东青岛·期中）已知随机变量的分布列如下所示，且，则（    ） 1 2 3 A． B． C． D． 【例3.2】（23-24高二下·广东广州·期末）已知随机变量 取所有的值是等可能的，且 ，则 （    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（23-24高二下·广东肇庆·阶段练习）下表是离散型随机变量的分布列，且满足，则，的值分别是（    ） 3 4 5 9 A．， B．， C．， D．， 【变式3.2】（24-25高二下·江苏·阶段练习）某实验测试的规则是：每位学生最多可做实验3次，一旦实验成功，则停止实验，否则一直做到3次为止.设某学生一次实验成功的概率为，实验次数为随机变量，若的数学期望，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 模块二 离散型随机变量的方差 1．离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 则称D(X)=+++=为随机变量X 的方差，并称为随机变量X的标准差，记为(X). (2)意义 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程 度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 2．方差的有关性质 当a，b均为常数时，随机变量Y=aX+b的方差D(Y)=D(aX+b)=D(X). 特别地，当a=0时，D(b)=0；当a=1时，D(X+b)=D(X)； 当b=0时，D(aX)=D(X). 3．两点分布的均值与方差 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p. 【题型4 方差的有关性质】 【例4.1】（23-24高二下·江苏淮安·期末）随机变量的概率分布为，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例4.2】（23-24高二下·吉林长春·期末）已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 P 且，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式4.1】（2024·四川自贡·三模）一组数据、、、、的方差为，则、、、、的方差为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【变式4.2】（24-25高二·全国·课后作业）设，若随机变量的分布列如下表： －1 0 2 P a 2a 3a 则下列方差中最大的是（    ） A． B． C． D． 【题型5 求离散型随机变量的方差、标准差】 【例5.1】（24-25高二下·江苏·课后作业）若离散型随机变量的标准差，则随机变量的标准差为（    ） A．8 B．15 C．16 D．32 【例5.2】（23-24高二下·河北张家口·期末）设随机变量的分布列如下（其中），表示的方差，则当从0增大到1时（    ） 0 1 2 A．增大 B．减小 C．先减后增 D．先增后减 【变式5.1】（24-25高二下·江苏·课后作业）甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮；第一次由甲投篮，已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，．在前3次投篮中，乙投篮的次数为X，求X的概率分布、均值及标准差． 【变式5.2】（24-25高二·全国·课后作业）已知随机变量X的分布列为 X 0 1 x P p 若， (1)求的值; (2)若，求的值. 【题型6 两点分布的均值与方差】 【例6.1】（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知随机变量服从两点分布，且，设，那么的值是（    ） A．0.84 B．0.7 C．0.4 D．0.3 【例6.2】（23-24高二下·江西吉安·期末）随机变量X服从两点分布，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（23-24高二下·山东青岛·期末）已知随机变量X的分布列如下表所示：随机变量，则下列选项正确的为（    ） X 0 1 P 0.2 0.8 A． B． C． D． 【变式6.2】（24-25高二下·重庆渝北·阶段练习）已知随机变量服从两点分布，且，则和分别为（    ） A． B． C． D． 【题型7 均值与方差的综合应用】 【例7.1】（23-24高二下·江苏连云港·期中）袋中有形状、大小完全相同的4个球，编号分别为，从袋中取出2个球，以X表示取出的2个球中的最大号码． (1)写出X的分布列； (2)求X的均值与方差． 【例7.2】（23-24高二下·青海海东·阶段练习）甲､乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量，已知甲､乙两名射手在每次射击中射中的环数分别为，且甲射中环的概率分别为，乙射中环的概率分别为. (1)求的分布列； (2)请根据射击环数的期望及方差来分析甲､乙的射击技术. 【变式7.1】（23-24高二下·广西河池·阶段练习）甲､乙两名同学在一次答题比赛中答对题数的概率分布分别如下表所示. 甲 答对题数 0 1 2 3 概率 0.1 0.2 0.4 0.3 乙 答对题数 0 1 2 3 概率 0.2 0.1 0.3 0.4 (1)求甲､乙两名同学答题答对题数的期望； (2)试分析甲､乙两名同学谁的成绩好一些. 【变式7.2】（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）学生甲想加入校篮球队，篮球教练对其进行投篮测试.测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一球，则直接录取，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不予录取.已知学生甲在罚球线处投篮命中率为，在三分线处投篮命中率为.假设学生甲每次投进与否互不影响. (1)求学生甲被录取的概率； (2)在这次测试中，记学生甲投篮的次数为，求的分布列及期望与方差. 一、单选题 1．（24-25高二下·全国·随堂练习）已知离散型随机变量的分布列为 1 2 3 则等于（    ） A． B．2 C． D． 2．（24-25高二下·全国·课后作业）若随机变量满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D．10 3．（23-24高二下·北京怀柔·阶段练习）设随机变量X的概率分布如表所示，且，则等于（ ） X 0 1 2 3 P a b A． B． C． D． 4．（24-25高二下·全国·课后作业）已知离散型随机变量的分布列如下： 0 1 若，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·河南濮阳·期末）已知随机变量的分布列为 0 1 2 设，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·全国·课后作业）已知甲盒子有6个相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从甲盒子中取出一个球，记随机变量X是取出球的编号，数学期望为；乙盒子有5个相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，从乙盒子中取出一个球，记随机变量Y是取出球的编号，数学期望为.则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 7．（23-24高二下·河北承德·阶段练习）已知离散型随机变量X的分布列如下表，其中满足，则的最大值为（    ） X 0 1 2 P a b c A． B． C．1 D． 8．（24-25高二下·全国·课后作业）已知两个盒子中分别装有形状、大小、质量均相同的小球．其中，盒中有3个红球，1个白球；盒中有1个红球，3个白球，现从两个盒子中同时各取走一个小球，一共取三次，此时记盒中的红球个数为盒中的红球个数为，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二下·安徽安庆·期末）已知两个离散型随机变量，，满足，其中的分布列如下： 1 2 3 P a b 其中a，b为非负数.若，，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·全国·课后作业）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如表： 品牌 甲 乙 首次出现故障的时间（年） 轿车数量（辆） 2 3 45 5 45 每辆利润（万元） 1 2 3 1.8 2.9 将频率视为概率，则（    ） A．从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，其首次出现故障发生在保修期内的概率为 B．若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为，则 C．若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆乙品牌轿车的利润为，则 D．该厂预计今后这两种品牌轿车的销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，应生产甲品牌的轿车 11．（23-24高二下·浙江嘉兴·期末）2024年6月嘉兴市普通高中期末检测的数学试卷采用新结构，其中多选题计分标准如下：①每小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有选错的得0分；②部分选对得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）.若每道多选题有两个或三个正确选项等可能，在完成某道多选题时，甲同学在选定了一个正确选项后又在余下的三个选项中随机选择1个选项，乙同学在排除了一个错误选项后又在余下的三个选项中随机选择2个选项，甲、乙两位同学的得分分别记为和，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高二下·全国·课后作业）若随机变量的分布列如下，则 ． 0 1 2 3 0.1 0.2 0.3 0.1 13．（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量的分布列为，，若，且，则的取值范围为 ． 14．（23-24高二下·广西钦州·期中）如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用表示小球落入格子的号码，则下面结论中正确的是 .    ① ② ③ ④ 四、解答题 15．（24-25高二下·全国·课堂例题）已知随机变量的分布列为 0 1 2 3 0.1 0.2 0.3 0.4 求其方差和标准差． 16．（24-25高二下·全国·课前预习）甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮．已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，，在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列、方差及标准差． 17．（24-25高二下·全国·课前预习）在某项目的选拔比赛中，，两个代表队进行对抗赛，每队三名队员，队队员是，队队员是，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下表，现按表中对阵方式出场进行三场比赛，每场胜队得1分，负队得0分（不存在平局），设队，队最后所得总分分别为，，且． 对阵队员 队队员胜 队队员负 (1)求队得分为1分的概率； (2)求的分布列，并用统计学的知识说明哪个队实力较强． 18．（24-25高二下·全国·课后作业）某外卖公司为提高外卖骑手的服务意识和服务水平，对骑手的服务水平进行了考核，并从中随机抽取了100名骑手，根据这100名骑手的服务水平评分制成如下的频率分布直方图，已知所有骑手的服务水平评分均在区间内． (1)求及服务水平评分的平均数和中位数（同一组中的数据用该组数据的中间值为代表，结果保留1位小数）； (2)从服务水平评分在区间内的骑手中用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取4人，记为4人中评分落在内的人数，求的分布列和期望． 19．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某校举行知识竞赛，最后一个名额要在、两名同学中产生，测试方案如下：、两名学生各自从给定的个问题中随机抽取个问题作答，在这个问题中，已知能正确作答其中的个，能正确作答每个问题的概率是，、两名同学作答问题相互独立． (1)设答对的题数为，求的分布列； (2)设答对的题数为，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生，并说明理由． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$