2024-2025学年八年级数学湘教版数学第三章 三角形 ——探究“将军饮马”问题——怎样求路径最小值

探究“将军饮马”问题 ——怎样求最短路径 年 级：八年级 学 科：湘教版初中数学 学 校：沅陵县思源实验学校 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？ A B ① ② ③ ②最短，因为两点之间，线段最短 2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有 线段中，哪条最短？为什么？ PC最短，因为垂线段最短 P l A B C D 复习巩固 3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？ 三角形三边关系：两边之和大于第三边； 4.如图，如何作点A关于直线l的对称点？ l A A′ O 复习巩固 情境导入 探究新知 情境导入 模型一 直线型之两定一动异侧 如图，有一位将军骑着马从A点的军营出发返回到河对岸的B点家中，途中要经过河MN，让马去河里喝水，该如何选择路线，让将军回家的路程最短？ N M A B C 探究新知 如图，有一位将军骑着马从A点的军营出发，先到河MN边让马喝足水，再返回河岸同侧的B点家中，该如何选择路线，让将军回家的路程最短？ A B N M 作图问题：在直线MN上求作一点C,使AC+BC最短. 抽象 N M A B C 模型二 直线型之两定一动同侧 探究新知 如图，有一位将军骑着马从A点的军营出发，先到河MN边让马喝足水，再返回河岸同侧的B点家中，该如何选择路线，让将军回家的路程最短？ N M A B C 探究新知 情境导入 直线型 同侧转化成异侧 两定一动直线型 两定一动异侧 两定一动同侧 A' N M A B C 探究新知 1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ） D 课堂练习 2.在三角形ABC中，AB=3,AC=5,BC=7,EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则AP+BP的最小值为？ P C A B E F P 几何模型中， 1.找到图中某一定点关于可作为对称轴直线的对称点； 2.连接另一点和对称点，则连线段和对称轴的交点即为所需点。 3.如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点， AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为 . A B C E F D E' F' 5 方法总结：此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解. F' 课堂练习 模型三 夹角型之一定两动 如图，有一位将军骑着马从p点的军营出发，先到河OA边让马喝足水，再到草坪OB边让马儿吃草，最后返回P点军营，该如何选择路线，让将军走的路程最短？ P O A B 抽象 O A B P 作图问题：在直线OA、OB上分别作一点C、D,使PC+CD+PD最短问题. C D 探究新知 B O P A 如图，有一位将军骑着马从p点的军营出发，先到河OA边让马喝足水，再到草坪OB边让马儿吃草，最后返回P点军营，该如何选择路线，让将军走的路程最短？ P1 P2 C D 独立思考后完成， 把自己的想法说给同桌听 探究新知 4.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一 点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是 . A B O P P1 P2 Q R 10 课堂练习 课堂小结 如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B. 使四边形PAQB的周长最小. M N O Q1 P1 A B P Q 作业 模型四：二定直线，二定点 Lavf57.62.100 $$