30.4 二次函数的应用（题型专练）数学冀教版九年级下册

30.4 二次函数的应用 题型1 简单图形问题 1．用一段20米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米，面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出矩形另一边长，根据矩形面积公式即可得到答案．读懂题意，正确列出函数关系式是解题的关键． 【详解】解：∵用一段20米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米， ∴矩形另一边长为米， ∴矩形的面积， 故选：B 2．如图，某中学把五育并举与减负延时服务相结合，劳动课准备在校园里利用校围墙的一段再围三面篱笆，形成一个矩形茶园，让学生在茶园里体验种茶活动．现已知校围墙长25米，篱笆40米长（篱笆用完），设长米，矩形茶园的面积为平方米．则的最大值是 平方米． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用．长可表示为，于是得到，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ，且， 自变量的取值范围为：， ， ∵， ∴当，S有最大值，最大值为， 答：长10米时，矩形茶园的面积有最大值为平方米． 故答案为：． 3．某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，如图所示，开了三扇宽为的门，已知计划中的材料可建围墙的总长为，那么这两间种牛饲养室所占面积最大是 ． 【答案】192 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是用二次函数表示出面积与矩形的长的函数关系式．分析题意，可设该饲养室的宽为，用表示饲养室的长，利用矩形的面积长宽表示出饲养室的面积；可建墙体的总长为，三处各留宽的门，根据图形可知则总长为，设该饲养室的宽为，则饲养室的长为，面积；观察可知面积是的二次函数，结合二次函数的性质，将改写为顶点式，即可求出的最大值． 【详解】解：可建墙体的总长为，三处各留宽的门，根据图形可知则总长为． 设该饲养室的宽为，则长为， 该饲养室的面积． 由二次函数的性质可知当时，取最大值，最大值为192． 故答案为：192． 4．如图，小明的爸爸要用一堵长为4m的墙和长为18m的篱笆围一个小型养鸡场，要求：①墙和篱笆全部利用；②围成的养鸡场的面积最大．图1是小明的爸爸把墙体全部利用起来围成的养鸡场，图2是小明把墙体向外用篱笆延伸了一段长，然后用剩余的篱笆围成一个矩形养鸡场． (1)请计算小明爸爸围成的养鸡场的面积； (2)请计算小明围成的养鸡场比爸爸围成的养鸡场面积大多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，正确地理解题意，列出函数解析式是解题的关键． （1）根据矩形的面积公式即可得到结论； （2）设小明围成的养鸡场的长为，则宽为，围成的养鸡场面积为，根据题意得到，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意得， 答：小明爸爸围成的养鸡场的面积为； （2）解：设小明围成的养鸡场的长为，则宽为，围成的养鸡场面积为， 根据题意得，， 小明围成的养鸡场的最大面积为， ∴， 答：小明围成的养鸡场比爸爸围成的养鸡场面积大． 题型2 拱桥问题 5．如图是抛物线形拱桥，以顶点建立平面直角坐标系满足，此时拱顶离水面，若再下降时，水面宽度增加 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实际问题与二次函数．根据二次函数的图象分别求得当或时，x的值，进而可求解． 【详解】解：依题意得： 当时，， 此时水面宽度为， 再下降，即当时，， 此时水面宽度为， 水面宽度增加：， 故答案为：． 6．中国的基建速度震惊世界，大大地激发了青少年对桥梁和道路建设的兴趣．如图，小宇利用计算机设计了一款桥梁，桥拱可以用抛物线的一部分表示，其函数解析式为，并利用计算机软件模拟水面情况．    (1)若桥拱与抛物线的形状相同，则 ． (2)在（1）的条件下，当水面的宽度为时，求桥拱顶点到水面的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确求出抛物线解析式是解题关键． （1）根据桥拱与抛物线形状相同，可直接确定a的值； （2）由题意可确定点B的横坐标为，从而可求出y的值，即得出的长． 【详解】（1）解：∵桥拱与抛物线的形状相同， ∴； （2）解：由（1）可知函数解析式为． ∵水面的宽度为， ∴点B的横坐标为． 将代入，得：， ∴桥拱顶点到水面的高度． 题型3 销售问题 7．某商店销售某种特产商品，以每千克12元购进，按每千克16元销售时，每天可售出100千克，经市场调查发现，单价每涨1元，每天的销售量就减少10千克． (1)若该商店销售这种特产商品想要每天获利480元，并且尽可能让利于顾客，那么每千克特产商品的售价应为多少元？ (2)通过计算说明，每千克特产商品售价为多少元时，每天销售这种特产商品获利最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)18元 (2)销售价格定为19时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是490元 【分析】（1）设每千克水果应涨价x元，根据题意列出一元二次方程即可求出结果； （2）设销售价格为x，用含x的式子表示所获利润，然后配方，利用平方的非负性即可求出最值． 【详解】（1）解：设每千克水果应涨价x元，根据题意，得：， 解得：，， ∵要尽可能让利于顾客，只能取， ∴售价应为（元）， 答：每千克特产商品的售价应为18元； （2）解：设每天获得的利润为W，销售价格为x，则 ∴销售价格定为19时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是490元． 8．某超市销售一种商品，成本价为元千克，经市场调查，每天销售量千克与销售单价元千克之间的关系如图所示，假设每千克售价不能低于元，且不高于元． (1)求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)若每天的总利润为元，求出关于的函数关系式，并求出当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)，销售单价定为元时，该超市每天的利润最大，最大利润元 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合； （1）设与之间的函数关系式为，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意可得，进而根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 将点，代入得： ， 解得， 与之间的函数关系式为； （2）根据题意，得： ， ， 该函数图象开口向下，且其对称轴为， 又， 在此范围内，随的增大而增大， 当时，取最大值，此时， 即销售单价定为元时，该超市每天的利润最大，最大利润元． 题型4 抛投问题 9．某次羽毛球比赛中，羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分（如图），其中出球点离地面点的距离是米，球落地点到点的距离是（   ） 在 A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的应用，利用函数的性质是解题的关键．令求得的值即可求解． 【详解】解：令，则， 解得：，（舍去）， 球落地点到点的距离是米． 故选：D． 10．如图，小刚在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是（    ） A． B． C． D．都不对 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题意可得关于x的一元二次方程，求得方程的解并根据问题实际作出取舍，然后加上3即可得出答案． 【详解】解：由题意可得，当时，有： 整理得：， 解得：（舍），， ∴他与篮底的距离（米）， 故选：C． 11．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足二次函数解析式，当与O点的水平距离为6m时，达到最高点2.6m，已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m． (1)求y与x的解析式（不用写出自变量x的取值范围）； (2)排球能否越过球网？请说明理由． 【答案】(1) (2)球能越过球网，理由见解析 【分析】本题是二次函数的应用，考查了求函数解析式，图象与x轴的交点坐标，求函数值等知识；把实际问题抽象为数学模型、求出函数解析式是解题的关键． （1）由题意知，函数图象经过点A及点，利用待定系数法即可求解； （2）求出当时的函数值，与球网高度比较即可判断球能否越过球网． 【详解】（1）解：由题意知，点坐标为，抛物线最高点坐标为， 由抛物线知，； 把点坐标代入中，得， 解得：， ； （2）解：把代入中， 得， ， 球能越过球网 题型5 喷水问题 12．某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为，则两个水柱的最高点之间的距离为 m．    【答案】10 【分析】利用二次函数图象上顶点坐标特征可求出点N的坐标，利用对称性即可求出最高点之间的距离． 【详解】解：∵， ∴点, ∴水柱的最高点到y轴距离为， ∴两个水柱的最高点之间的距离为， 故答案为：10． 13．如图①，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线．图②是喷射出的水流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点O处，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）设置的是1米，当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度5米． (1)求水流运行轨迹的函数解析式； (2)若在距喷灌架12米处有一棵3米高的果树，问：水流是否会碰到这棵果树？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用． （1）由题可知，抛物线的顶点为．设水流形成的抛物线为，将点代入，可求，进而可得抛物线解析式； （2）当时，，进而可证水流不能碰到这棵果树． 【详解】（1）解：由题可知，抛物线的顶点为． 设水流形成的抛物线为， 将点代入，得， 解得，， ∴抛物线为； （2）不能，理由如下： 当时，， ∴水流不会碰到这棵果树． 题型6 增长率问题 14．某商店一月份销售额为万元，月平均增长率，一季度的销售额为万元，那么关于月平均增长率的函数解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求函数解析式，理解题意，找到变量之间的关系是解题的关键． 根据题意分别把二月份、三月份的销售额表示出来，由一季度的销售额为万元即可求出函数解析式． 【详解】一月份销售额为万元， 二月份销售额为万元， 三月份的销售额为万元， 根据题意可得，， 故答案为：． 15．某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同． (1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率； (2)2014年这种产品的产量应达到多少万件？ 【答案】(1)这种产品产量的年增长率为 (2)2014年这种产品的产量应达到110万件 【分析】（1）通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率； （2）依据求得的增长率，代入2014年产量的表达式即可解决． 【详解】（1）解：设这种产品产量的年增长率为x， 根据题意列方程得， 解得，（舍去）． 答：这种产品产量的年增长率为． （2）解：（万件）． 答：2014年这种产品的产量应达到110万件． 16．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【答案】(1) (2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元 【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可； ②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可． 【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴， 答： 第二、三天的日平均增长率为10%． （2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应张价5元； ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：每件涨价应为8元． 题型7 动点问题 17．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果P，Q分别从点A，B同时出发； (1)经过几秒的面积等于？ (2)在运动过程中，的面积有最 值（填“大”或“小”），是 ． 【答案】(1)秒或秒后,的面积等于； (2)大；9 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用和二次函数及其最值，根据题意，正确表示出线段长度及利用二次函数的性质求出最值，是解答本题的关键． （1）设秒后,的面积等于,分别表示出线段和线段的长，然后根据面积为列出方程求得时间即可； （2）根据，当时，即可取得最大值9． 【详解】（1）解：设秒后,的面积等于,则,,, 根据题意得： ， 解得:或， 答：秒或秒后,的面积等于； （2）解：∵ ， ，开口向下， ∴当时，取得最大值9， ∴经过3秒，的面积最大，最大值是9． 故答案为：大；9． 题型8 周长、面积问题 18．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴l与x轴交于点M． （1）求抛物线的函数关系式． （2）设点P是直线l上的一个动点，求△PAC周长的最小值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得； （2）作点关于对称轴对称的点，连接，先根据二次函数的解析式求出点的坐标，从而可得点的坐标，再根据二次函数的对称性可得，然后根据两点之间线段最短可得当点共线时，周长最小，最后利用两点之间的距离公式即可得． 【详解】解：（1）将点代入得：， 解得， 则抛物线的函数关系式为； （2）二次函数的对称轴为直线， 当时，，即， ， 如图，作点关于对称轴对称的点，连接，则，， 周长为， 当取得最小值时，周长最小， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，最小，最小值为， 由两点之间的距离公式得：， 则周长的最小值为． 19．在平面直角坐标系中，设二次函数的图象与x轴交于O，A两点，顶点为点B． (1)大致画出该二次函数的图象． (2)若点，连接，则四边形的面积为__________． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数与几何综合： （1）根据二次函数图象的画法画图即可； （2）先把解析式化为顶点式得到点B的坐标和对称轴，再求出点A的坐标，进而得到，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示函数图象即为所求； （2）解：∵二次函数解析式为， ∴顶点B的坐标为，对称轴为直线， ∵二次函数的图象与x轴交于O，A两点， ∴由对称性可知点A的坐标为， ∴， ∴ ． 20．如图，抛物线经过坐标原点和点，点在轴上． (1)求此抛物线的解析式，并求出顶点的坐标； (2)连接，，求； (3)若点在抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】(1)；顶点的坐标为 (2) (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． （1）把原点坐标代入中求出的值，从而得到抛物线解析式，然后把一般式配成顶点式得到点坐标； （2）先解方程得到，然后根据三角形面积公式求解； （3）设点坐标为，利用三角形面积公式得到，然后解方程求出，从而得到点坐标． 【详解】（1）解：把代入得， 抛物线解析式为， ， 顶点的坐标为； （2）解：当时，， 解，， ， ； （3）解：设点坐标为， ， ， 即或， 解方程得，， 点坐标为，或， 方程无实数解， 综上所述，点坐标为，或． 题型9 相似三角形问题 21．在平面直角坐标系中，已知抛物线F：经过点，与y轴交于点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)在直线上方抛物线上有一动点C，连接交于点D，求的最大值及此时点C的坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质： （1）用待定系数法求函数解析式即可； （2）过点C作x轴的垂线交于点M，交x轴于点H，则轴，可知，由此可得，设，且，则，所以，当时，有最大值，即可求出点C的坐标． 【详解】（1）解：将，代入， 得   解得 ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：如图，过点C作x轴的垂线交于点M，交x轴于点H，则轴，    ∴， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入表达式得，   解得 ∴直线的表达式为． 设，且，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， ∴的最大值为，此时点C的坐标为． 题型10 综合问题 22.如图1，二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点．点P是y轴左侧抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交y轴于点D，交抛物线于另一点E． (1)求点A，B，C的坐标． (2)如图2，当点P在第二象限时，连接，交直线于点F．当时，求m的值． (3)当点P在第三象限时，以为边作正方形，当点C在正方形的边上时，直接写出点D的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)或 【分析】（1）在中，分别令，，计算即可得出答案； （2）利用待定系数法求出直线的解析式为，由题意得，则，求出，得到，计算即可得解； （3）设，且，则，分两种情况：当点在正方形的边上时，设边交轴于；当点在正方形的边上时；分别计算即可得出答案． 【详解】（1）解：在中，令，则， 解得：，， ∴，， 令，则，即； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式得， ∴， ∴直线的解析式为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 由题意得：，则， ∵轴， ∴点、关于抛物线的对称轴直线对称，即直线经过线段的中点， 如图， ， ∵交直线于点F，且， ∴当时，，即， ∴， 解得：， ∵点在第二象限， ∴， ∴； （3）解：设，且，则， ∵，， ∴，， 如图，当点在正方形的边上时，设边交轴于， ， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去），， ∴； 如图，当点在正方形的边上时， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 综上所述，点的坐标为或． 23．跳跳杆是一种常见儿童玩具，结构如图甲所示，劲度系数较大的轻弹簧下端固定在支杆上，上端与脚踏相连，脚踏可以沿杆上下移动，儿童玩耍情境如图乙所示．已知自然状态下，弹簧的初始长度为，当儿童刚接触到脚踏将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到儿童的下落速度和弹簧被压缩的长度之间的关系图象如图1所示． (1)该儿童下落过程中，速度变化为_____________； (2)求出与的函数关系式； (3)当儿童的下落停止时，此时的弹簧长度是多少？ 【答案】(1)先增大后减小 (2) (3)此时的弹簧长度是48米 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求出函数解析式． （1）根据图1速度变化得出结论； （2）根据图象用待定系数法求出函数解析式； （3）当时，解方程求出弹簧长度的值即可． 【详解】（1）该儿童下落过程中，速度变化为先增大后减小 （2）设， 把代入得， 解得：， ， （3）当时， 解得：  （舍）， ， 答：此时的弹簧长度是48米． 24．如图，巴黎奥运会中某跳水运动员进行10米跳台跳水，水面边缘点，运动员（可视为一点）在空中运动的路线为经过原点O的抛物线，运动员在空中最高处点． (1)求运动员在空中运动时所对应抛物线的解析式； (2)若运动员在距水面高度5米前完成规定的动作，并调整好入水姿势为动作成功，否则为失误，若运动员在空中调整好入水姿势后，恰好距点E的水平距离为5米，该运动员此次跳水是否失误？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)该运动员此次跳水失误了，理由见解析 【分析】本题主要考查二次函数应用，读懂题意，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决问题的关键． （1）利用待定系数法求出抛物线解析式； （2）当距点E水平距离为5时，对应的横坐标为，将代入解析式求出y后即可判断． 【详解】（1）解：由题意知：为抛物线的顶点， ∴设抛物线的解析式为， 把代入解析式得， ， 抛物线的解析式为； （2）解：由题意，当距点E水平距离为5时，对应的横坐标为， 将代入，得， ， 该运动员此次跳水失误了． 25．如图1，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴负半轴交于点，若且．    (1)求该抛物线的函数解析式； (2)如图1，点在第四象限内的抛物线上且平分，求点的坐标； (3)如图2，直线与线段交于点，与抛物线交于点，动点在B、G两点之间的抛物线上，直线、与直线分别交于、两点， 若恒为定值，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数综合，涉及二次函数的图象的性质，待定系数法求二次函数解析式，一次函数与二次函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． （1）利用二次函数的对称性及对称轴求出、的坐标，再求出的坐标，待定系数法求解析式即可； （2）利用角平分线及构造全等三角形，求出点坐标，即可求出直线解析式，联立二次函数即可求解； （3）设，求出直线和直线的解析式，当时，求出和，表示出，利用恒为定值即可求解． 【详解】（1）解：如图，设抛物线对称轴与轴交于点，    ∵的对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，，， 将，代入抛物线解析式， 得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图，过点作轴，交延长线于点，    ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 代入，， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立与， 得， 解得：，， 当时，， 则； （3）解：设， 由，， 设直线解析式为：， 则， 解得：， ∴直线解析式为：， 设直线解析式为：， 则， 解得：， 直线解析式为：， 当时，，， ∴， ∵恒为定值， ∴． 26．某同学将广场上不断变换的灯光秀抽象为线段和抛物线，并将其一部分描画在如图所示的平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，抛物线经过点A．    (1)求抛物线的解析式及顶点坐标，并判断点B是否在该抛物线上； (2)若线段以每秒2个单位长度的速度向下平移，设平移的时间为t秒． 当线段平移到点B落在抛物线上时，求t的值； 若抛物线同时以每秒3个单位长度的速度向下平移，抛物线在y轴及其右侧的部分与所在的直线总有两个公共点，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标，点B不在抛物线上 (2)； 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数图象的性质与平移规律是解题的关键． （1）将A代入抛物线，求出k值，即可得到解析式及顶点坐标，再将点B的横坐标代入解析式看结果与点B纵坐标是否相等，即可判断点B是否在抛物线上； （2）根据平移的性质得到平移后点B的坐标为，将其代入抛物线，解方程即可；求出平移后点C的坐标为，抛物线的顶点坐标为，直线为，找到临界点，即直线在抛物线顶点（不包含顶点）到过点C（包含点C）之间时，抛物线在y轴及其右侧的部分与所在的直线总有两个公共点，据此列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点代入中，得， 解得， ， ， ∴顶点坐标为， 将代入，得， ∴点B不在抛物线上； （2）解：①平移后点B的坐标为， 当抛物线经过点B时，有， 解得； ② 平移后点C的坐标为，抛物线的顶点坐标为， 直线为， 当点C落在直线上时，， 解得：，此时有2个公共点； 当顶点落在直线上时，， 解得：，此时有1个公共点． ∴抛物线在y轴及其右侧的部分与所在的直线总有两个公共点时，t的取值范围为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 30.4 二次函数的应用 题型1 简单图形问题 1．用一段20米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米，面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 2．如图，某中学把五育并举与减负延时服务相结合，劳动课准备在校园里利用校围墙的一段再围三面篱笆，形成一个矩形茶园，让学生在茶园里体验种茶活动．现已知校围墙长25米，篱笆40米长（篱笆用完），设长米，矩形茶园的面积为平方米．则的最大值是 平方米． 4．如图，小明的爸爸要用一堵长为4m的墙和长为18m的篱笆围一个小型养鸡场，要求：①墙和篱笆全部利用；②围成的养鸡场的面积最大．图1是小明的爸爸把墙体全部利用起来围成的养鸡场，图2是小明把墙体向外用篱笆延伸了一段长，然后用剩余的篱笆围成一个矩形养鸡场． (1)请计算小明爸爸围成的养鸡场的面积； (2)请计算小明围成的养鸡场比爸爸围成的养鸡场面积大多少？ 题型2 拱桥问题 5．如图是抛物线形拱桥，以顶点建立平面直角坐标系满足，此时拱顶离水面，若再下降时，水面宽度增加 ． 6．中国的基建速度震惊世界，大大地激发了青少年对桥梁和道路建设的兴趣．如图，小宇利用计算机设计了一款桥梁，桥拱可以用抛物线的一部分表示，其函数解析式为，并利用计算机软件模拟水面情况．    (1)若桥拱与抛物线的形状相同，则 ． (2)在（1）的条件下，当水面的宽度为时，求桥拱顶点到水面的高度． 题型3 销售问题 7．某商店销售某种特产商品，以每千克12元购进，按每千克16元销售时，每天可售出100千克，经市场调查发现，单价每涨1元，每天的销售量就减少10千克． (1)若该商店销售这种特产商品想要每天获利480元，并且尽可能让利于顾客，那么每千克特产商品的售价应为多少元？ (2)通过计算说明，每千克特产商品售价为多少元时，每天销售这种特产商品获利最大，最大利润是多少元？ 8．某超市销售一种商品，成本价为元千克，经市场调查，每天销售量千克与销售单价元千克之间的关系如图所示，假设每千克售价不能低于元，且不高于元． (1)求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)若每天的总利润为元，求出关于的函数关系式，并求出当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 题型4 抛投问题 9．某次羽毛球比赛中，羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分（如图），其中出球点离地面点的距离是米，球落地点到点的距离是（   ） 在 A．米 B．米 C．米 D．米 10．如图，小刚在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是（    ） A． B． C． D．都不对 11．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足二次函数解析式，当与O点的水平距离为6m时，达到最高点2.6m，已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m． (1)求y与x的解析式（不用写出自变量x的取值范围）； (2)排球能否越过球网？请说明理由． 题型5 喷水问题 12．某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为，则两个水柱的最高点之间的距离为 m．    13．如图①，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线．图②是喷射出的水流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点O处，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）设置的是1米，当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度5米． (1)求水流运行轨迹的函数解析式； (2)若在距喷灌架12米处有一棵3米高的果树，问：水流是否会碰到这棵果树？请通过计算说明． 题型6 增长率问题 14．某商店一月份销售额为万元，月平均增长率，一季度的销售额为万元，那么关于月平均增长率的函数解析式是 ． 16．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 题型7 动点问题 17．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果P，Q分别从点A，B同时出发； (1)经过几秒的面积等于？ (2)在运动过程中，的面积有最 值（填“大”或“小”），是 ． 题型8 周长、面积问题 18．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴l与x轴交于点M． （1）求抛物线的函数关系式． （2）设点P是直线l上的一个动点，求△PAC周长的最小值． 19．在平面直角坐标系中，设二次函数的图象与x轴交于O，A两点，顶点为点B． (1)大致画出该二次函数的图象． (2)若点，连接，则四边形的面积为__________． 20．如图，抛物线经过坐标原点和点，点在轴上． (1)求此抛物线的解析式，并求出顶点的坐标； (2)连接，，求； (3)若点在抛物线上，且，求点的坐标． 题型9 相似三角形问题 21．在平面直角坐标系中，已知抛物线F：经过点，与y轴交于点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)在直线上方抛物线上有一动点C，连接交于点D，求的最大值及此时点C的坐标． 题型10 综合问题 22.如图1，二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点．点P是y轴左侧抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交y轴于点D，交抛物线于另一点E． (1)求点A，B，C的坐标． (2)如图2，当点P在第二象限时，连接，交直线于点F．当时，求m的值． (3)当点P在第三象限时，以为边作正方形，当点C在正方形的边上时，直接写出点D的坐标． 23．跳跳杆是一种常见儿童玩具，结构如图甲所示，劲度系数较大的轻弹簧下端固定在支杆上，上端与脚踏相连，脚踏可以沿杆上下移动，儿童玩耍情境如图乙所示．已知自然状态下，弹簧的初始长度为，当儿童刚接触到脚踏将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到儿童的下落速度和弹簧被压缩的长度之间的关系图象如图1所示． (1)该儿童下落过程中，速度变化为_____________； (2)求出与的函数关系式； (3)当儿童的下落停止时，此时的弹簧长度是多少？ 24．如图，巴黎奥运会中某跳水运动员进行10米跳台跳水，水面边缘点，运动员（可视为一点）在空中运动的路线为经过原点O的抛物线，运动员在空中最高处点． (1)求运动员在空中运动时所对应抛物线的解析式； (2)若运动员在距水面高度5米前完成规定的动作，并调整好入水姿势为动作成功，否则为失误，若运动员在空中调整好入水姿势后，恰好距点E的水平距离为5米，该运动员此次跳水是否失误？请通过计算说明理由． 25．如图1，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴负半轴交于点，若且．    (1)求该抛物线的函数解析式； (2)如图1，点在第四象限内的抛物线上且平分，求点的坐标； (3)如图2，直线与线段交于点，与抛物线交于点，动点在B、G两点之间的抛物线上，直线、与直线分别交于、两点， 若恒为定值，求的值． 26．某同学将广场上不断变换的灯光秀抽象为线段和抛物线，并将其一部分描画在如图所示的平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，抛物线经过点A．    (1)求抛物线的解析式及顶点坐标，并判断点B是否在该抛物线上； (2)若线段以每秒2个单位长度的速度向下平移，设平移的时间为t秒． 当线段平移到点B落在抛物线上时，求t的值； 若抛物线同时以每秒3个单位长度的速度向下平移，抛物线在y轴及其右侧的部分与所在的直线总有两个公共点，直接写出t的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$