第02讲 等差数列及等差数列前n项和（6大考点&题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（北师大版2019选择性必修第二册）

第02讲 等差数列及等差数列前n项和 课程标准 学习目标 ①等差数列的概念 ②通项公式及等差数列的性质 ③数列的前n项和 1. 通过生活实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义。 2. 对于等差数列的前n项和公式推导，介绍倒序相加，让学生体会这种方法巧妙之处。 3. 通过函数图像来直观地展示等差数列的一些特征，如单调性等，培养学生的数形结合思想。 知识点01 等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）． 【即学即练1】已知等差数列中，，公差，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得， 故选：B. 知识点02 等差中项 若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有． 【即学即练1】在等差数列中，若和是方程的两实数根，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【详解】由和是方程的两实数根，则， 由等差数列性质可得，故. 故选：C. 知识点03 等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． 【即学即练1】数列为等差数列，若，，则公差 . 【答案】 【详解】由题设. 故答案为： 知识点04 等差数列的性质 1、通项公式的推广：． 2、在等差数列中，当时，． 特别地，若，则． 3、，…仍是等差数列，公差为． 【即学即练1】若等差数列满足，，则 ． 【答案】 【详解】因为数列为等差数列， 则，即， 且，可得， 即，解得 故答案为：. 知识点05 等差数列前n项和 设等差数列的公差为，其前项和． 【即学即练1】已知为等差数列，为其前项和.若，则 . 【答案】 【详解】设为公差，由，得， 解得，则. 故答案为：. 知识点06 等差数列前n项和的性质 1、，…也成等差数列，公差为． 2、若，是等差数列，则也是等差数列． 3、若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的． 4、若项数为偶数，则；；． 5、若项数为奇数，则；；． 6、在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值． 【即学即练1】已知等差数列的前n项和为，若，则（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【详解】由等差数列的性质可得：仍成等差数列， 所以， 代入，得：，得， 故选：B. 题型01 等差数列基本量的运算 【变式1】《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列.若冬至、大寒、雨水的日影子长的和是40.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立春的日影子长为（   ） A．10.5尺 B．11.5尺 C．12.5尺 D．13.5尺 【答案】C 【详解】因为从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列， 故可设该等差数列为，冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种的日影子长分别计为，，， ，，公差为，由题可得： ，即，解之得：， 所以立春的日影子长为：（尺）. 故选：C 【变式2】已知数列中，，若，则（   ） A． B． C． D．19 【答案】B 【详解】∵，∴数列是等差数列，公差为， 又，∴，∴， 故选：B． 【变式3】已知数列的首项，则（    ） A．48 B．80 C．63 D．65 【答案】C 【详解】数列的首项，则：， 整理得：，所以：， 即：（常数）， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列. 则：，整理得：（首项符合通项），则：， 所以：. 故选：C 【变式4】已知数列中，且，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ， 即， 两边同时除以得：， 即， 令，则， 则是首项为，公差为的等差数列， 则，即， 则，则. 故选：D 【变式5】在等差数列中，，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在等差数列中，由，，得公差， 所以的通项公式为. （2）由（1）得， 所以数列的前项和. 题型02 等差数列的判断及证明 【变式1】已知数列，则“”是“数列是等差数列”的（   ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【详解】先判断充分性：因为当时，，所以， 令，则， 所以数列的偶数项成等差数列， 令，则， 所以数列的奇数项成等差数列， 但数列不一定是等差数列，如，，，，，， 所以 “”不是“数列是等差数列”的充分条件； 再判断必要性：若数列是等差数列，当时， 则， 所以， 所以“”是“数列是等差数列”的必要条件， 综上，“”是“数列是等差数列”的必要不充分条件. 故选：D. 【变式2】已知数列的前n项和为，且满足，，则 . 【答案】 【详解】因为，所以， 所以，所以是等差数列，公差为3，又， 所以，即. 故答案为：. 【变式3】若数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)证明是等差数列. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）， 当时，； 当时，， 又符合上式，所以. （2）由（1）知，则， 所以，又， 所以数列是以2为首项，以2为公差的等差数列. 【变式4】已知数列和都是等差数列，公差分别为，，数列满足. (1)数列是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由. (2)若的公差为，的公差为，，，求数列的通项公式. 【答案】(1)数列是等差数列，理由见解析(2) 【详解】（1）数列是等差数列，理由如下： 因为数列，都是等差数列，公差分别为，， 所以，， 因为， 所以 为常数， 所以数列是以为公差的等差数列； （2）因为，， 所以， 由（1）可知数列是等差数列，且公差为， 因为的公差为，的公差为， 所以数列的公差， 所以数列的通项公式为. 【变式5】已知非零数列满足：，． (1)求证：是等差数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）由题设，不为0， 则，且， 所以是首项为1、公差为2的等差数列. （2）由（1）知：，所以， 所以， 数列的前n项和为 ， 所以. 【变式6】已知数列满足. (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列； (3)令，如果对任意，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）， ，，，， ，， （2）证明：由题可知：①， ②， ②-①得，即：， 所以，， 即，又， ∴数列是以0为首项，以为公差的等差数列. （3）由（2）可得，，， 则， 由可得；由可得， ∴， 故有最大值，∴对任意，有，                如果对任意，都有成立， 则，∴ ，解得或， ∴实数的取值范围是 题型03 等差数列的性质 【变式1】已知各项均为正数的等差数列，，则的值为（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【详解】因为，可得， 因为，解得. 故选：C. 【变式2】已知是等差数列，且，则的值是（    ） A．24 B．27 C．30 D．33 【答案】B 【详解】因为是等差数列，所以也成等差数列， 则， 所以． 故选：B. 【变式3】已知数列为等差数列，且，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【详解】由等差数列的下角标性质可知 ，得， ，得， 设等差数列的公差为，则， 所以. 故选：D. 【变式4】已知为等差数列，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为数列为等差数列，所以， 解得， ， ， 故选：. 【变式5】已知实数满足，若下列四个数，b，，经过适当排序后构成公差为d的等差数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，当时，有，若能构成公差为d的等差数列， 则，解得，这与矛盾，则此时不能构成等差数列； 当时，有，若能构成公差为d的等差数列， 则，化简得，解得或（舍去）， 此时， 故选：D. 【变式6】在2和14之间插入个数，使得这个数成等差数列．若这个数中第1个为，第个为，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，令这个等差数列为，，， 则，因此 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故选：C 题型04 等差数列前n项和 【变式1】．记为等差数列的前n项和.若，，则（ ） A．4 B．24 C．29 D．30 【答案】D 【详解】由等差数列通项公式和前n项和公式，列方程组解出数列首项和公差，可求的值. 设等差数列公差为，则有，解得， 所以. 故选：D 【变式2】古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”锥垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示，从上到下，顶上一层1个球，第二层3个球，第三层6个球…），若一“落一形”三角锥垛有20层，则该锥垛第18层球的个数为（    ）    A．190 B．171 C．153 D．136 【答案】B 【详解】设“落一形”三角锥垛从顶上一层开始，依次往下的各层球的个数形成数列， ，，，，，…， 由此得，即，则， 所以若一“落一形”三角锥垛有20层，则该锥垛第18层球的个数为171. 故选：B. 【变式3】已知是各项均为正数的等差数列，为其前项和，且，则当取最大值时，（   ） A．10 B．20 C．25 D．50 【答案】D 【详解】是各项均为正数的等差数列， ， ， 又，， ，当且仅当时等号成立． 则公差，所以， 则. 故选：D． 【变式4】记为等差数列的前项和，若，则（   ） A．240 B．225 C．120 D．30 【答案】A 【详解】设等差数列的公差为．因为，，即 解得所以，所以． 故选：A． 【变式5】已知等差数列的前项和为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为数列为等差数列，则， 又，则，即， 设数列的公差为， 因为，所以， 故． 故选：C． 【变式6】已知等差数列和的前项和分别为，若，则（    ） A． B． C．28 D． 【答案】D 【详解】依题意，和是等差数列， 而，故可设， 其中，所以， ， . 故选：D 【变式7】（多选）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的取值为（    ） A．3 B．4 C．7 D．14 【答案】BD 【详解】因为， 所以 ， 因为，所以当或或时为整数. 故选：BD 【变式8】已知等差数列的前项和为，其中． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前10项的和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，则，公差， 所以等差数列首项，公差， ∴ （2）令，得， 则前2项为负数，从第3项起为正数， ∴ 题型05 等差数列前n项和的性质 【变式1】数列的前项和为，则（    ） A．存在最大值，且最大值为 B．存在最大值，且最大值为30 C．存在最小值，且最小值为 D．存在最小值，且最小值为30 【答案】B 【详解】根据题意，， 当时，， 两式相减得：， 即，所以数列为以首项，为公差的单调递减等差数列， 则，所以， 可知存在最大值，为. 故选：B 【变式2】若是等差数列，表示的前项和，，，则中最小的项是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由数列为等差数列， 则，且， 即，， 所以当时，取最小值， 即数列的最小项为， 故选：B. 【变式3】已知为等差数列的前项和，公差为.若，则（    ） A． B． C． D．无最大值 【答案】B 【详解】对于选项A：因为数列为等差数列，则，即， 可得，则，故A错误； 对于选项B：因为，则，所以，故B正确； 对于选项D：因为，且，可知，当时，； 当时，；可知当且仅当时，取到最大值，故D错误， 对于选项C：因为，所以，故C错误； 故选：B. 【变式4】设等差数列的前项和为，若，则等于（   ） A．9 B．11 C．13 D．25 【答案】B 【详解】设公差为， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式5】在等差数列中，，其前n项和为.若，则等于（    ） A．2021 B． C． D．4048 【答案】D 【详解】设数列为等差数列的公差为， 由，得，解得， 所以. 故选：D. 【变式5】（多选）首项为正数，公差的等差数列，其前项和为，则下列命题中正确的有（   ） A．若，则， B．若，，则中最大 C．若，则使的最大的为21 D．若（为常数），则 【答案】AC 【详解】对于A，由，得， 由题可得，，则， 所以， ，故A正确； 对于B，由，得， ，则； ，则，则， 则等差数列的首项，公差，即数列为递减数列， 当时，；当时，， 则中最大，故B错误； 对于C，由， 得且，故. 故等差数列首项，公差，等差数列为递减数列， 当时，；当时，， 则，， 故使的最大的为21，故C正确. 对于D，令时，，则，不满足，故D错误. 故选：AC. 【变式6】（多选）已知等差数列的首项为，公差为d，其前n项和为，若，则下列说法正确的是（    ） A．当时，最大 B．使得成立的最小自然数 C． D．数列中的最小项为 【答案】ACD 【详解】若，则，，故， 所以，即等差数列是递减数列， A：由上分析，数列前7项为正，其余项为负，故时，最大，对； B：由，，则，， 所以成立的最小自然数，错； C：，则，对； D：当或时，，当时，， 由，，所以数列中的最小项为，对. 故选：ACD 题型06 等差数列综合应用 【变式1】已知数列满足,则（    ） A．2024 B．2025 C． D． 【答案】C 【详解】因为，，则有， 故数列是以1为首项，公差的等差数列，故， 所以，则. 故选：C. 【变式2】设数列的前项之积为，满足，则（    ） A． B．4049 C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以，所以，所以是公差为的等差数列， 因为，所以， 所以，所以， 故选：C. 【变式3】（多选）已知等差数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（ ） A． B．是数列中的项 C．数列 成等差数列 D．数列前7项和最大 【答案】ACD 【详解】A：因为数列为等差数列，且， 则，解得，， 故A选项正确， B：由，得，故B错误， C：设等差数列的公差为，则， 故数列 成等差数列，故C正确， D：因为，故时，；当时，， 故数列前7项和最大，故D正确. 故选：ACD. 【变式4】（多选）等差数列，的前项和分别为，，，则下列说法正确的有（    ） A．数列是递增数列 B． C． D． 【答案】AB 【详解】A选项，， 由于， 所以是递增数列，A正确； B选项，， 令得，所以，B正确； C选项，由B选项，令得，故，C错误； D选项，当时，，D错误． 故选：AB 【变式5】（多选）已知数列，满足，为的前项和，且，则（   ） A．数列为等差数列 B． C． D．或时，取得最大值 【答案】ACD 【详解】对于选项A：因为，,则数列为等差数列，故A正确. 对于选项B：因为， 则，则， 则，解得， 即，故选项B错误. 对于选项C：，所以，故C正确. 对于选项D：因为，开口向下，对称轴为，又因为，故当或时，取得最大值，故D正确. 故选：ACD 【变式6】已知数列中，，则 ． 【答案】8097 【详解】由题设可得，又， 所以，所以，，即， 所以为等差数列，公差为4，首项为5， 所以． 故答案为：8097． 【变式7】已知数列，，…，，其中，，…，是首项为1，公差为1的等差数列；，，…，是公差为的等差数列；，，…，是公差为的等差数列，则a30的最小值为 【答案】 【详解】因为，，…，是首项为1，公差为1的等差数列， 所以， 因为，，…，是公差为的等差数列， 所以， 因为，，…，是公差为的等差数列， 所以， 因此，的取值范围为. 故答案为：. 【变式8】设为递增的等差数列，其前n项和为，已知，且. (1)求的通项公式； (2)求使成立的的最小值. 【答案】(1) (2)5 【详解】（1）设数列的公差为，因为，且， 所以，解得或（舍）， 故. （2）由（1）可得：， 若，则，解得：， 故的最小值为. 1.在等差数列中，，，则（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【详解】解：由等差数列的性质可知， 所以． 故选：A． 2.“数列 为等差数列” 是 “ ”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】如果数列是等差数列，根据等差中项的扩展可得一定有， 反之成立，不一定有数列是等差数列. 故选：A. 3.等差数列满足，则（    ） A．12 B．16 C．24 D．32 【答案】A 【详解】设等差数列的公差为，则， 则，解得， 则， 所以， 故选：A． 4.已知在等差数列中，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设等差数列公差为d， 由题意：，故，即，解得； 故等差数列的公差为，通项公式为； 故选：A. 5.已知递减等差数列，，是方程两个实根，当时，（    ） A．2026 B．2025 C．1012 D．2 【答案】B 【详解】方程的两个根是1和2024， 又等差数列递减，则，， 数列的公差为，所以，故． 故选：B． 6.已知等差数列，的前项和分别为，，，则使得为整数的正整数n的值为（ ） A．2 B．3 C．5 D．14 【答案】B 【详解】由题意可得， 则， 由于为整数，则为的正约数，则的可能取值有、、， 因此，正整数的可能取值有、、. 故选：B 7.数列是密码设置的常用手段，几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列0，2，4，6，8，11，14，17，20，23，27，31，35，39，43……其中第1至5项构成公差为2的等差数列，第5至10项构成公差为3的等差数列，第10至15项构成公差为4的等差数列，依此类推，求满足如下条件的最小整数，且该数列的第项为2的整数幂减1，那么该款软件的激活码是（   ） A．87 B．94 C．101 D．108 【答案】B 【详解】由题意可知： ， ， 所以 所以当时，，此时后5项和 848构成公差为的等差数列， 所以，不符合题意； 当时，，此时后5项和943构成公差为20的等差数列，所以，符合题意， 当时，，此时后5项和1148构成公差为22的等差数列，所以，不符合题意， 当时，，此时此时后5项和1258构成公差为23的等差数列，所以，不符合题意， 故选：B 8.已知等差数列的前项和为，若，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】是等差数列，则，， 要使得最大，则， 此时，当且仅当时取等号， 故选：B． 9．已知为等差数列的前项和，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设的公差为，因为，， 可得 ，解得，所以， 可得， 所以当时，取得最小值. 故选：D. 10.已知等差数列的前项和为，若，，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由题意得，因为，， 所以由等差数列的前n项和公式，， 解得， 所以， 故选：B. 11.已知等差数列的前n项和为，若，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】由，可得， 由. 故选：B 12.（多选）在数列中，已知，，且数列是等差数列，公差为d，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】根据题意，设，数列是等差数列， 则，， ，即，解得，故A正确； ，即，解得，故B正确； ，得，故C错误，D正确. 故选：ABD. 13.（多选）已知是等差数列的前项和，，且，则（   ） A．公差 B． C． D．当时，最大 【答案】ACD 【详解】设等差数列的公差为， 由，得， 整理得，即， 因为，则，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； 因为， ， 所以当时，；当时，， 所以当时，最大，故D正确. 故选：ACD． 14.已知首项为的数列，其前项和为，且数列是公差为的等差数列，则的通项公式 . 【答案】 【详解】依题意数列的首项为， 所以， 当时，， 经检验当时，也成立，所以. 故答案为： 15.记等差数列的公差为，前项和为，若，则 ． 【答案】 【详解】由题意可知，，， 因为，可得，所以，， 所以，， 所以，. 故答案为：. 16.设数列的前项和为，已知，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：由，得， ∴， 两式相减得，，则有， 两式相减得，， ∴数列是等差数列． （2）当时，，∴，又，∴， ∴． 17.已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式和前项和为； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)，. (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，所以， 又因为，所以，所以， 所以，. （2）由（1）知，，， 当，时，；当，时，， 当，时，； 当，时， ， 综上可得，数列的前项和. 18．已知数列的前n项和为S，且，．数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式及． 【答案】(1)； (2)；. 【详解】（1）因为，所以， 当时，，所以， 当时，， 作差得， 所以， 所以， 所以. （2）当时，因为， 所以，，， 所以累加法得出， 所以，所以， 当时，，所以， 所以， 所以. 19．记为等差数列的前项和，且，. (1)求的通项公式； (2)若，证明数列为等差数列，并求其前项和. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【详解】（1）设的公差为，由，，得, 解得.故的通项公式为. （2）由，，得， 所以， 由可得数列是等差数列， 因首项为1，公差为1 ，故. 20．已知是等差数列的前项和． (1)证明是等差数列； (2)设为数列的前项和，若，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为，， 所以，， 当时，，所以是等差数列． （2）（1）的结论得是等差数列，且 故这个数列的公差是， 则，得，数列是以为首项为，公差为的等差数列， 所以. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 等差数列及等差数列前n项和 课程标准 学习目标 ①等差数列的概念 ②通项公式及等差数列的性质 ③数列的前n项和 1. 通过生活实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义。 2. 对于等差数列的前n项和公式推导，介绍倒序相加，让学生体会这种方法巧妙之处。 3. 通过函数图像来直观地展示等差数列的一些特征，如单调性等，培养学生的数形结合思想。 知识点01 等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）． 【即学即练1】已知等差数列中，，公差，则等于（   ） A． B． C． D． 知识点02 等差中项 若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有． 【即学即练1】在等差数列中，若和是方程的两实数根，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 知识点03 等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． 【即学即练1】数列为等差数列，若，，则公差 . 知识点04 等差数列的性质 1、通项公式的推广：． 2、在等差数列中，当时，． 特别地，若，则． 3、，…仍是等差数列，公差为． 【即学即练1】若等差数列满足，，则 ． 知识点05 等差数列前n项和 设等差数列的公差为，其前项和． 【即学即练1】已知为等差数列，为其前项和.若，则 . 知识点06 等差数列前n项和的性质 1、，…也成等差数列，公差为． 2、若，是等差数列，则也是等差数列． 3、若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的． 4、若项数为偶数，则；；． 5、若项数为奇数，则；；． 6、在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值． 【即学即练1】已知等差数列的前n项和为，若，则（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 题型01 等差数列基本量的运算 【变式1】《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列.若冬至、大寒、雨水的日影子长的和是40.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立春的日影子长为（   ） A．10.5尺 B．11.5尺 C．12.5尺 D．13.5尺 【变式2】已知数列中，，若，则（   ） A． B． C． D．19 【变式3】已知数列的首项，则（    ） A．48 B．80 C．63 D．65 【变式4】已知数列中，且，则为（    ） A． B． C． D． 【变式5】在等差数列中，，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 题型02 等差数列的判断及证明 【变式1】已知数列，则“”是“数列是等差数列”的（   ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【变式2】已知数列的前n项和为，且满足，，则 . 【变式3】若数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)证明是等差数列. 【变式4】已知数列和都是等差数列，公差分别为，，数列满足. (1)数列是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由. (2)若的公差为，的公差为，，，求数列的通项公式. 【变式5】已知非零数列满足：，． (1)求证：是等差数列； (2)求数列的前项和. 【变式6】已知数列满足. (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列； (3)令，如果对任意，都有，求实数的取值范围. 题型03 等差数列的性质 【变式1】已知各项均为正数的等差数列，，则的值为（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 【变式2】已知是等差数列，且，则的值是（    ） A．24 B．27 C．30 D．33 【变式3】已知数列为等差数列，且，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式4】已知为等差数列，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5】已知实数满足，若下列四个数，b，，经过适当排序后构成公差为d的等差数列，则（    ） A． B． C． D． 【变式6】在2和14之间插入个数，使得这个数成等差数列．若这个数中第1个为，第个为，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 题型04 等差数列前n项和 【变式1】．记为等差数列的前n项和.若，，则（ ） A．4 B．24 C．29 D．30 【变式2】古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”锥垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示，从上到下，顶上一层1个球，第二层3个球，第三层6个球…），若一“落一形”三角锥垛有20层，则该锥垛第18层球的个数为（    ）    A．190 B．171 C．153 D．136 【变式3】已知是各项均为正数的等差数列，为其前项和，且，则当取最大值时，（   ） A．10 B．20 C．25 D．50 【变式4】记为等差数列的前项和，若，则（   ） A．240 B．225 C．120 D．30 【变式5】已知等差数列的前项和为，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式6】已知等差数列和的前项和分别为，若，则（    ） A． B． C．28 D． 【变式7】（多选）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的取值为（    ） A．3 B．4 C．7 D．14 【变式8】已知等差数列的前项和为，其中． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前10项的和． 题型05 等差数列前n项和的性质 【变式1】数列的前项和为，则（    ） A．存在最大值，且最大值为 B．存在最大值，且最大值为30 C．存在最小值，且最小值为 D．存在最小值，且最小值为30 【变式2】若是等差数列，表示的前项和，，，则中最小的项是（     ） A． B． C． D． 【变式3】已知为等差数列的前项和，公差为.若，则（    ） A． B． C． D．无最大值 【变式4】设等差数列的前项和为，若，则等于（   ） A．9 B．11 C．13 D．25 【变式5】在等差数列中，，其前n项和为.若，则等于（    ） A．2021 B． C． D．4048 【变式5】（多选）首项为正数，公差的等差数列，其前项和为，则下列命题中正确的有（   ） A．若，则， B．若，，则中最大 C．若，则使的最大的为21 D．若（为常数），则 【变式6】（多选）已知等差数列的首项为，公差为d，其前n项和为，若，则下列说法正确的是（    ） A．当时，最大 B．使得成立的最小自然数 C． D．数列中的最小项为 题型06 等差数列综合应用 【变式1】已知数列满足,则（    ） A．2024 B．2025 C． D． 【变式2】设数列的前项之积为，满足，则（    ） A． B．4049 C． D． 【变式3】（多选）已知等差数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（ ） A． B．是数列中的项 C．数列 成等差数列 D．数列前7项和最大 【变式4】（多选）等差数列，的前项和分别为，，，则下列说法正确的有（    ） A．数列是递增数列 B． C． D． 【变式5】（多选）已知数列，满足，为的前项和，且，则（   ） A．数列为等差数列 B． C． D．或时，取得最大值 【变式6】已知数列中，，则 ． 【变式7】已知数列，，…，，其中，，…，是首项为1，公差为1的等差数列；，，…，是公差为的等差数列；，，…，是公差为的等差数列，则a30的最小值为 【变式8】设为递增的等差数列，其前n项和为，已知，且. (1)求的通项公式； (2)求使成立的的最小值. 1.在等差数列中，，，则（   ） A．1 B．0 C． D． 2.“数列 为等差数列” 是 “ ”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3.等差数列满足，则（    ） A．12 B．16 C．24 D．32 4.已知在等差数列中，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 5.已知递减等差数列，，是方程两个实根，当时，（    ） A．2026 B．2025 C．1012 D．2 6.已知等差数列，的前项和分别为，，，则使得为整数的正整数n的值为（ ） A．2 B．3 C．5 D．14 7.数列是密码设置的常用手段，几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列0，2，4，6，8，11，14，17，20，23，27，31，35，39，43……其中第1至5项构成公差为2的等差数列，第5至10项构成公差为3的等差数列，第10至15项构成公差为4的等差数列，依此类推，求满足如下条件的最小整数，且该数列的第项为2的整数幂减1，那么该款软件的激活码是（   ） A．87 B．94 C．101 D．108 8.已知等差数列的前项和为，若，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 9．已知为等差数列的前项和，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 10.已知等差数列的前项和为，若，，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11.已知等差数列的前n项和为，若，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 12.（多选）在数列中，已知，，且数列是等差数列，公差为d，则（    ） A． B． C． D． 13.（多选）已知是等差数列的前项和，，且，则（   ） A．公差 B． C． D．当时，最大 14.已知首项为的数列，其前项和为，且数列是公差为的等差数列，则的通项公式 . 15.记等差数列的公差为，前项和为，若，则 ． 16.设数列的前项和为，已知，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 17.已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式和前项和为； (2)设，求数列的前项和. 18．已知数列的前n项和为S，且，．数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式及． 19．记为等差数列的前项和，且，. (1)求的通项公式； (2)若，证明数列为等差数列，并求其前项和. 20．已知是等差数列的前项和． (1)证明是等差数列； (2)设为数列的前项和，若，求． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$