5.6二次函数的图像与一元二次方程（7大题型提分练）（题型专练）数学青岛版九年级下册

5.6二次函数的图象与一元二次方程 题型一 求抛物线与x轴的交点坐标 1．如图，抛物线与轴交于，，则关于的方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，由题意可得方程的解为或，令，则关于的方程可变为，即可得方程的解为或，进而即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与轴交于，， ∴方程的解为或， 令， 则关于的方程可变为， ∴方程的解为或， ∴或， 解得，， 故选：． 2．抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表． x 0 1 2 y 0 4 6 6 4 从表中数据可知，下列说法中正确的是（  ） A．抛物线的对称轴是直线 B．方程的解为， C．函数的最大值为6 D．在抛物线对称轴右侧，y随x的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线的性质：抛物线是轴对称图形，它与x轴的两个交点是对称点，对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点；时，函数有最大值，在对称轴左侧，y随x增大而增大．根据表格信息结合二次函数性质，逐项判断即可． 【详解】解：A、由表格可知函数经过，， 所以对称轴，故选项不符合题意； B、根据图表，当时，，根据抛物线的对称性，当时，， ∴抛物线与x轴的交点为和， ∴方程的解为，，故选项正确，符合题意； C、根据表中数据得到抛物线的开口向下， ∴当时，函数有最大值，而不是，或1对应的函数值6，故选项错误，不符合题意； D、根据表中数据得到抛物线的开口向下，并且在直线的右侧，y随x增大而减小，故选项错误，不符合题意； 故选：B． 3．抛物线与轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，把代入函数解析式求出的值即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为， 故选：． 4．关于抛物线，下列说法错误的是（   ） A．图象开口向上 B．对称轴为直线 C．图象与x轴有两个交点 D．y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，根据抛物线的解析式得出顶点坐标是，对称轴是直线，根据，得出开口向上，当时，y随x的增大而增大，根据结论即可判断选项． 【详解】解：∵抛物线， A、因为，开口向上，故说法正确，不符合题意； B、因为对称轴是直线，故说法正确，不符合题意； C、因为顶点坐标是，开口向上， 所以图象与x轴有两个交点，故说法正确，不符合题意； D、当时，y随x的增大而增大，故说法不正确，符合题意． 故选：D． 5．抛物线的对称轴是直线，如果此抛物线与轴的一个交点的坐标是，那么抛物线与轴的另一个交点的坐标是 ． 【答案】 【分析】结合对称轴和抛物线与轴的一个交点的坐标是即可解答． 本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 交点到对称轴的距离是2， 根据对称性可得另一交点到对称轴的距离等于2， 抛物线与轴的另一个交点的坐标是． 故答案为：． 6．已知函数． (1)求它的顶点坐标，与轴的交点坐标； (2)在平面直角坐标系中画出它的简图； (3)根据图象回答：取什么值时，． 【答案】(1)顶点坐标；轴的交点坐标 (2)见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与轴有交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，掌握三个知识点的综合应用是解题关键． （1）根据一般式的顶点公式求出，解即可得到与轴的交点坐标； （2）根据题意画出函数图象； （3）根据图象确定自变量的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意，得此抛物线的对称轴：，顶点坐标， 当时，可得，解得， 故图象与轴的交点坐标为； （2）解：简图如下： （3）解：根据图象可知：或时，． 7．已知抛物线． (1)用配方法将化成的形式； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)分别求出抛物线与轴、轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 (3)抛物线与轴的交点坐标为：，；抛物线与轴的交点坐标为： 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与坐标轴的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）等号右边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，进行配方即可； （2）根据二次函数的图象与性质求解； （3）分别令进行求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：由（1）知：， ， 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； （3）解：令，则，解得，， 抛物线与轴的交点坐标为：，， 令，则， 抛物线与轴的交点坐标为：． 8．已知：二次函数表达式为．求该二次函数图象的顶点坐标以及与x轴的交点坐标． 【答案】顶点坐标，与x轴的交点坐标为或 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质等知识点，将与x轴交点的问题转化为一元二次方程是解答本题的关键． 把二次函数解析式化为顶点式，即可确定顶点坐标；再令得到，然后解出方程即可确定与x轴的交点的坐标． 【详解】解： ∴顶点坐标． 令得到，解得，． ∴与x轴的交点坐标为或． 9．已知函数的图象如图所示，请根据函数图象回答下列问题． (1)方程的解为______； (2)方程有四个不同的实数根，则的取值范围为______； (3)若函数的图象与直线有三个交点，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数图象与一元二次方程，二次函数图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）根据图象即可求得； （2）求得直线经过点以及直线经过点时的的值即可； （3）求得直线经过点以及直线与函数相切时的的值即可． 【详解】（1）解：通过观察图象可得的解为， 故答案为：； （2）解：当时，直线与函数有三个交点，即有三个不同的实数根， 当 时，直线与函数有两个交点，即有两个不同的实数根， 当方程有四个不同的实数根时，， 故答案为：； （3）解：把点代入得，， 令，整理得， 则，解得， 当函数的图象与直线有三个交点时，的值为或． 10．在平面直角坐标系中，抛物线（为常数，且）．求证：该抛物线与轴总有两个公共点． 【答案】见解析 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题．令，则，转化成一元二次方程，利用根的判别式解答即可． 【详解】证明：令，则， 即，，， ∴， ∴该一元二次方程总有两个不相等的实数根， ∴该抛物线与轴总有两个公共点． 11． 函数与坐标轴有两个交点，求常数m的值． 【答案】m的值为或或0 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，注意分类讨论思想是解题的关键． 分当时，当时，当函数图象过原点和当函数图象不过原点进行求解即可． 【详解】解：当时，此时， 函数图象与x轴交于，与轴交于，满足题意． 当时，分两种情况： ①当函数图象过原点时，则有，解得， 此时函数为， ∵， 该函数图象与坐标轴有2个交点，满足条件； ②当函数图象不过原点时，因其与轴有一个交点， ，即， 整理可得， 解得， 综上可知m的值为或或0． 题型二 求抛物线与y轴的交点坐标 1．将抛物线与坐标轴的交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，先令，得，可知抛物线与x轴有两个交点，当时，，可知抛物线与y轴有1个交点，故可得结论． 【详解】解：对于 当时，得，即， 此时， 所以，抛物线与x轴有两个交点； 当时，， 所以，抛物线与y轴有1个交点， 所以抛物线与坐标轴有3个交点． 故选：D． 2．抛物线在直线下方的图像上恰好有五个横坐标为整数的点，则k的值不可能是（    ） A． B． C．13 D． 【答案】C 【分析】首先将抛物线和直线联立，解出两个解和，然后根据抛物线在直线下方图象上有五个横坐标为整数的点这一条件，列出不等式组，求出的范围，再检验选项是否符合题意即可作出判断． 【详解】解：将抛物线和直线联立， 得，即：， ， 化简，得， 解得：，， 当时， ∵抛物线在直线下方的图象上恰好有五个横坐标为整数的点， ∴这五个点的横坐标为，，，，， ∴， 解得， ∴的值可以是，， 故选项A，B不符合题意； 当时， ∵抛物线在直线下方的图象上恰好有五个横坐标为整数的点， ∴这五个点的横坐标为，，，，， ， 解得 ∴的值不可以是，可以是， 故选项C符合题意，选项D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图象，一元二次方程解法的应用，一元一次不等式组的解法和应用，无理数大小估计，掌握相关知识的应用是解题的关键． 3．抛物线与x轴只有一个交点，则c的值为（   ） A．9 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象与坐标轴交点问题、根的判别式等知识点，掌握一元二次方程根的判别式成为解题的关键． 根据题意可得方程有两个相等的实数根，再根据根的判别式列方程计算即可． 【详解】解：∵与x轴只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴，解得：． 故答案为：A． 4．抛物线与y轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，代入求出值是解题的关键． 代入，求出值，进而可得出抛物线与轴的交点坐标． 【详解】把时代入， 解得：， ∴抛物线与轴的交点坐标是． 故答案为：． 5．二次函数与轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解答本题的关键．轴上的点纵坐标为0，轴上的点横坐标为0． 本题根据，求出的值，得到轴交点坐标． 【详解】当时，， ∴与轴交点坐标为， 故答案为：． 6．将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后，所得到的新抛物线与y轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移，二次函数与y轴的交点，熟练掌握平移的规律是解题的关键． 根据“左加右减、上加下减”的原则得到新抛物线析式为，然后根据将代入求解即可． 【详解】解：将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后， 所得抛物线析式为：， 当时， ∴所得到的新抛物线与y轴的交点坐标为． 故答案为：． 7．抛物线与y轴交点是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的知识，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．求二次函数与y轴的交点， 令，求出y的值．再根据在y轴上的点的坐标特征写出交点坐标即可． 【详解】解：令，得． 抛物线与y轴交点是． 故答案为：． 8．将抛物线向下平移个单位后与轴只有一个交点，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，解题的关键是理解由与轴只有一个交点可得平移后的顶点纵坐标为0；根据二次函数平移的规律“上加下减，左加右减”写出平移后表达式，再由顶点纵坐标为0即可求解． 【详解】解：将抛物线向下平移个单位可得， 平移后的抛物线的顶点为：， 向下平移个单位后与轴只有一个交点， ， ， 故答案为：3． 题型三 函数求值 1．如图，已知抛物线的顶点为，矩形的顶点C、F在抛物线上，点D、E在x轴上，交y轴于点，且矩形面积为8． (1)求此抛物线的解析式； (2)求当时，y的取值范围； (3)直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)时，或 【分析】（1），由矩形面积及长度，求出点F坐标，根据顶点设抛物线顶点式，然后将点F坐标代入解析式求解； （2），抛物线开口向上，对称轴为直线，离对称轴越远的点，y值越大； （3），先求出时一元二次方程的解，然后根据抛物线开口方向求解． 【详解】（1）解：∵为抛物线顶点， ∴抛物线对称轴为y轴. ∵点C，F在抛物线上， ∴. ∵矩形面积为， ∴， ∴， ∴点F坐标为. 设抛物线解析式为， 把代入解析式得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线开口向上，对称轴为y轴， ∴当时，y取最小值为1. ∵， ∴时y取最大值. 把代入， 得． ∴； （3）解：把代入， 得， 解得或， ∴时，或． 【点睛】本题主要考查了求二次函数关系式，矩形的性质，二次函数图象的性质，二次函数与一元二次方程，灵活选择二次函数的关系式是解题的关键． 2．已知二次函数（、为常数）的图象经过点，． (1)求该二次函数的表达式和顶点坐标； (2)当时，求的值． 【答案】(1)，顶点坐标 (2)，． 【分析】本题考查求二次函数的解析式，求自变量的值： （1）直接利用两点式，写出函数解析式，转化为顶点式，求出顶点坐标即可； （2）把代入二次函数解析式，解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵二次函数（、为常数）的图象经过点，， ∴， ∴顶点坐标为； （2）当时，， 解得：，． 3．如图，抛物线与轴正半轴交于点，交轴于点，交轴负半轴于点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)点是第一象限内抛物线上的一点，过点作垂直轴于点，若，求点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为， (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，求二次函数于x轴的交点坐标，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出抛物线解析式，再令，得到，解方程即可求出点的坐标； （2）首先根据题意得到点D的纵坐标为4，然后代入抛物线得到，解方程求出，然后根据点是第一象限内抛物线上的一点得到点E的横坐标为，即可得到点E的坐标． 【详解】（1）解：将代入 得， 解得 ∴抛物线的解析式为 当时， 解得或 ∴； （2）解：∵，轴 ∴点D的纵坐标为4 令 解得 ∵点是第一象限内抛物线上的一点， ∴点D的横坐标为 ∴点E的横坐标为 ∴． 题型四 抛物线与x轴的交点问题和截线长 1．如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线与坐标轴的交点、三角形的面积，根据抛物线，可以求得点、、的坐标，然后即可得到和的长度，最后计算的面积即可．解题的关键是求出点、、的坐标． 【详解】解：∵抛物线， ∴当时，；当时，或， ∴，，， ∴，， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 2．如图，抛物线（其中a为常数）的对称轴为直线，与x轴交于点A，点B，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求抛物线与坐标轴的交点，待定系数法求解析式，根据对称轴求得的值，解方程，即可求解． 【详解】解：∵抛物线（其中a为常数）的对称轴为直线， ∴ 解得：， ∴抛物线解析式为：， 令，即， 解得：， ∴, ∴， ∴, 故答案为：． 3．如果抛物线与直线交于A、B两点，则点A与点B两点之间的距离 ． 【答案】6 【分析】本题考查了抛物线与直线交点间距离计算，熟练掌握解方程组是解题的关键．联立抛物线表达式和直线表达式得到方程组，解出两个交点为，继而即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得：或， ∴抛物线与直线的两个交点为， ∴， 故答案为：6． 4．当一个函数的图像关于轴成轴对称图形时，我们称这个函数为偶函数．若二次函数是偶函数，该函数的图像与轴交于点，（点在点的左边），顶点为，则的面积是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了二次函数的性质，与坐标轴的交点问题，正确求出与坐标轴交点是解题的关键．根据题意先确定，求出，，即可求解面积． 【详解】解：由题意得：， ∴， 当，则， ∴， 当，则， 解得：或， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 题型五 根据二次函数的图象确定方程的根的情况 1．下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 y 0.48 1.28 2.12 根据此表，可以判断方程的一个解x可能的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键．利用二次函数和一元二次方程的关系求解即可． 【详解】解：观察表格，可知：当时 ，，当时，， ∴方程的一个解x可能的取值范围是． 故选：B． 2．二次函数中，与的部分对应值如下，则一元二次方程的一个解满足条件（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同学们的估算能力，对题目的正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的． 仔细看表，可发现的值和最接近0，再看对应的的值即可得． 【详解】解：由表可以看出，当取1.4与1.5之间的某个数时，，即这个数是的一个根． 故的一个解的取值范围为． 故选：C． 3．根据表格对应值： x 1.1 1.2 1.3 1.4 －0.59 0.84 2.29 3.76 判断关于x的方程的一个解x的范围是（   ） A． B． C． D．无法判定 【答案】A 【分析】本题主要考查利用二次函数的图象估算一元二次方程的近似解，根据抛物线与x轴的交点的左右两边的函数值的符号为一正一负，即可得出结果． 【详解】解：令， 由表格可知：时，，当时，， ∴当，存在一个x的值使， ∴关于x的方程的一个解x的范围是； 故选：A． 4．已知二次函数的y与x的部分对应值如下表： x …… 0 1 3 …… y …… 1 3 1 …… 则下列判断中正确的是（     ） A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线与y轴交于负半轴 C．当时， D．方程正根在3与4之间 【答案】D 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．根据题意和表格中的数据可以得到该函数的对称轴，从而可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图表可得，当和时，， ∴该函数的对称轴是直线，故选项A错误，不合题意； 当时，， 抛物线与轴的交点为，在y轴的正半轴，故选项B错误，不合题意； ∵该函数的对称轴是直线， ∴和时的函数值相等， ∴当时，，故选项C错误，不合题意； ∵当时，，当时，， ∴方程的正根在3与4之间，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 5．如表给出了二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值，那么方程的一个根的近似值可能是（　　） x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … 0.04 0.59 1.16 … A．1.09 B． C．1.29 D．1.39 【答案】B 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，观察表中数据得到抛物线与x轴的一个交点在和点之间，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程一个根的近似值． 【详解】解：∵时，； 时，； ∴抛物线与x轴的一个交点在和点之间， ∴方程有一个根约为． 故选：B． 6．根据表格，判断方程的解在下面哪个范围之间（   ） x的值 2 2.1 2.2 2.3 2.4 的值 3 3.31 3.64 3.99 4.36 的值 3.5 3.48 3.45 3.43 3.42 A．2~2.1之间 B．2.1~2.2之间 C．2.2~2.3之间 D．2.3~2.4之间 【答案】B 【分析】本题考查估算方程的解，掌握二次函数和反比例函数的性质是解题的关键．由表格可知，当时，，当时，，进而即可得出答案． 【详解】解：由表格可知，当时，， 当时，， 当时，存在一个x的值，使， 故答案为：B． 题型六 图象法解一元二次不等式 1．如图，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，则关于的不等式的解集为（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】C 【分析】本考查了一次函数与二次函数图象交点问题，利用交点求不等式的解集，熟练掌握图象在下方的部分对应的函数值较小是解题的关键．找到二次函数的图象在一次函数的图象下方的部分对应的的值即可． 【详解】解：与的图象相交于，， 当时，由图象可知的图像在的图象的下方， 关于的不等式的解集为． 故选：C． 2．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查利用图象的交点解决不等式的解集问题．解题的关键是：利用数形结合的思想确定图象的位置关系． 利用图象找到抛物线在直线上方时的的取值范围，即可得解． 【详解】解：∵， ∴化为抛物线在直线上方， 由图可知： 当或时，抛物线在直线上方，即：； ∴不等式的解集是：或； 故答案为：或． 3．如图抛物线与直线交于点，，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查利用图象解不等式，抛物线的性质，利用数形结合的思想是解题关键．根据题意可得出，设，即求抛物线位于一次函数的图象下方时，x的取值范围即可．根据抛物线的对称性，结合题意可得出抛物线与直线交于点，，进而即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 设， ∵抛物线与直线交于点，，直线与直线关于y轴对称，抛物线关于y轴对称， ∴抛物线与直线交于点，， ∴当或时，抛物线位于直线的下方，即此时， ∴不等式的解集是或． 故答案为：或． 4．已知抛物线、直线，若对于任意的x的值，恒成立，则m的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查二次函数与不等式（组），掌握二次函数的性质是解题关键．由题意可得出，设，改为顶点式为，即可得出，则说明恒成立，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 整理，得：． 设， ∴． ∵恒成立， ∴恒成立， 解得：． 故答案为：0． 5．如图，二次函数的图象经过点且与y轴交点C，点B和点C关于该二次函数图象的对称轴对称，一次函数的图象经过点A及点B，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，先求出点C的坐标，根据点B和点C关于该二次函数图象的对称轴对称，得到点B的坐标，再根据图象即可解答． 【详解】解：∵二次函数的图象与y轴交点C， ∴， ， 点和点关于该二次函数图象的对称轴直线对称， ， ∵二次函数与一次函数的图象经过点和点， ∴不等式的解集为二次函数在一次函数的图象下方时，自变量x的取值范围，即， 故答案为：． 6．如图所示：抛物线与x轴相交于，两点，与直线相交于，两点． (1)求，两点坐标． (2)求，两点坐标． (3)写出当时的取值范围    【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴交点问题，根据抛物线与直线的交点解不等式； （1）令解方程，即可求解； （2）联立直线与抛物线解析式，解方程组即可求解； （3）根据抛物线开口向下，以及与直线的交点坐标，写出直线在抛物线下方的部分的自变量的取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：当时， 解得：， ∴ （2）解：解方程组，得 或， ∴ （3）解：∵抛物线开口向下，与直线相交于两点． ∴当时， 题型七 求函数值的范围 1．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线与轴的交点坐标； (2)若，当时，求的取值范围； (3)已知点，，都在该抛物线上，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）令，求出，即可得出该抛物线与轴的交点坐标； （2）将代入解析式，得出，可得对称轴为直线，进而分别求得最大值与最小值，即可求解； （3）根据题意分，两种情况讨论，根据二次函数的性质结合题意列出关于的不等式，解不等式，即可求解； 【详解】（1）解：当时，， 该抛物线与轴的交点坐标； （2）解：当时，抛物线的解析式为， ， 抛物线开口向上，且对称轴为直线， 抛物线上的点离对称轴越远，值越大， 当时，为函数最小值， 当时，为函数最大值， 当时，； （3）解：抛物线， 对称轴为直线， 当时，抛物线开口向上， 函数有最小值， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：或， ， ； 当时，抛物线开口向下， 函数有最大值， ， ， ， ， ， 整理得， 解得，或， ， ， 综上所述，的取值范围是或； 2．如图，抛物线与直线交于点，，且点在轴上． (1)求和的值； (2)结合图像写出关于的不等式的解集； (3)已知点在抛物线上，若针对的不同取值，点的个数始终为2，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式，求一次函数与二次函数的交点坐标，图象法解不等式，二次函数综合等等，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式，进而利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先联立抛物线解析式和一次函数解析式求出点B的坐标，再根据图象法找到抛物线图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可； （2）首先将二次函数转化为顶点式，然后得到二次函数的最小值为，进而求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， 把代入，得， 解得； （2）解：由（1）知，抛物线解析式为，直线解析式为， 联立，解得或， ∴， ∵由函数图象可知，当抛物线在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或； （3）解：∵，， ∴二次函数开口向上， ∴二次函数的最小值为， 观察图象，若P的个数为2，则． 3．抛物线的图像与x轴交于A，B两点，A在B左侧，与y轴交于点C． (1)点C坐标为 ，顶点坐标为 ； (2)不等式的解集是 ； (3)当x满足时，y的取值范围是 ． (4)当y满足时，x的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与两坐标轴的交点及与不等式的关系，利用数形结合的思想解答是解题的关键． （1）把代入可得点坐标，把函数解析转化为顶点式可得顶点坐标； （2）把代入求出点、坐标，再结合图象解答即可求解； （3）分别求出的函数值，再结合函数的性质即可求解； （4）把代入求出对应的的值，再结合图象解答即可求解； 【详解】（1）解：把代入得，， ∴点坐标为， ∵， ∴顶点坐标为， 故答案为：； （2）解：把代入得，， 解得：， ， 由图象可得，当或时，，即， ∴不等式的解集是或， 故答案为：或； （3）解：当时，， 当时，， 顶点为，开口向上， ∴当时，， 故答案为：； （4）解：把代入得，， 解得：， ∴当时，或， 故答案为：或． 4．如图，二次函数的图象的对称轴为，与直线 相交于点和点，其中A点轴上． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，根据图象写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数解析式的求法，二次函数的图象和性质，理解相关知识是解答关键． （1）先求出点的坐标，再把点的坐标代入二次函数求出，根据二次函数的对称轴求出即可求解． （2）根据抛物线与直线相交于点，，观察图形来求解． 【详解】（1）解：在中，令，得， ． 把代入二次函数， 得， ． 二次函数的图象的对称轴为， ， 解得， 该二次函数的解析式为． （2）解：抛物线与直线相交于点，， 由图象可得，当时，的取值范围是或． 5．如图，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点． (1)求A、B两点的坐标； (2)当时，函数值y的取值范围为 ；（直接写出答案即可） (3)若为二次函数图象上一点，求m的值． 【答案】(1)，； (2) (3)m的值为0或1 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点∶把求二次函数 (a，b，c是常数，)与x轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程，也考查了二次函数图象上点的坐标特征． （1）通过解方程得的坐标； （2）当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值，进而求解； （3）把代入得，然后解关于的方程即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得，， ，； （2）解：抛物线的对称轴为直线， ， 当时，函数取得最大值，， 当时，函数取得最小值，， 函数值的取值范围为∶ ； 故答案为：； （3）解：把代入得， 解得，， 的值为0或1． 6．已知二次函数． (1)用配方法将化成的形式； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)结合图象，当时，y的取值范围________． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，求抛物线与坐标轴的交点，二次函数与不等式，画二次函数图象，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． （1）利用配方法把函数解析式化为顶点式即可； （2）列表、描点、连线画出函数图象即可； （3）计算出，的值，再结合二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）解：列表： 描点、连线画出函数图象如图： （3）解：由（2）知函数图象过点， 当时，， 当时，有最小值， 根据函数图象可得：当时，y的取值范围． 7．已知抛物线图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值，如下表： (1)画出其图象； (2)结合图象，直接写出不等式的解集； (3)结合图象，直接写出当时，的取值范围． 【答案】(1)见详解 (2)或 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，描点法画函数图像，根据图像求函数值范围，熟练掌握待定系数法和描点法画函数图像是解题关键． （1）描点连线即可画图； （2）观察图象可得不等式的解集； （3）观察图象得出当时，的取值范围； 【详解】（1）解：描点画图如下： （2）解：不等式的解集，即为函数图象在函数下方时的取值范围， 观察图象可得函数和的交点为， 故不等式的解集为或； （3）解：当时，即当时， 观察图象可得． 8．在平面直角坐标系中，点，，在抛物线上． (1)当时，求的值； (2)若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与不等式组，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． （1）当时，，将代入抛物线中即可求解； （2）先求出抛物线的对称轴为直线，则关于对称轴的对称点为，由，，分两种情况：当点在对称轴的左侧时，当点在对称轴的右侧时，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 将代入抛物线中， 得：， 解得：； （2）抛物线的对称轴为直线， 关于对称轴的对称点为，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ，， 当点在对称轴的左侧时，，， 即， 解得：， 当点在对称轴的右侧时，，， 即，无解， 综上所述，． 9．在平面直角坐标系中，已知抛物线对称轴为直线，点，在抛物线上． (1)当时，，直接写出的取值范围； (2)若，且，当时都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．解题的关键是学会分类讨论的思想及数形结合思想． （1）依据题意，当时，，得到，即，再根据抛物线对称轴为直线即可解答； （2）由，，分三种情况：情况1：当都位于对称轴右侧时，情况2：当都位于对称轴左侧时，情况3：当位于对称轴两侧时，讨论即可． 【详解】（1）解：根据题意：当时，， ∵， ∴，即， ∵抛物线对称轴为直线， ∴； （2）解：由题意知，， ∴抛物线开口向上 ∵抛物线的对称轴为直线， ，， ∴， ； ∴情况1：当都位于对称轴右侧时，即当时，恒成立，此时，； 情况2：当都位于对称轴左侧时，即当时，，这与题意矛盾，此时t值不存在； 情况3：当位于对称轴两侧时，即当时，要使，必有，即， ∴， ， ∴， ； 综上，的取值范围为：． 1．如图，已知抛物线与直线，当任取一值时，对应的函数值分别为，．若，取，中较小值并记为；若，记，例如：当时，，，，此时；当时，，此时．设，当分别等于，，时，对应的值分别记为，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数值、一次函数值的运算，新定义，将，，分别代入函数求出函数值比较大小，再根据新定义表示出，，代入求解即可得到答案； 【详解】解：当时， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．已知函数的图象如图所示，若关于的方程有4个不相等的实数根，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象的性质，理解图示，掌握函数图象的性质是解题的关键． 根据图示，函数的对称轴直线为，此时最大值为，结合图形即可求解． 【详解】解：∵函数的对称轴直线为，此时最大值为，函数的最小值为0， ∴当时，函数与直线有4个不相等的实数根， 故选：A ． 3．如图，二次函数的图象经过点，点，给出下列结论： ①对称轴为直线；②、3是的根； ③；④对于任意实数m，一定有． 其中正确的结论是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图像性质，学会将函数解析式化为顶点式是解题的重点． 根据二次函数的图像性质．即可判断①②，将点的坐标代入函数，得出，故可得出之间的比例关系，即可判断③；根据函数最值即可判断④． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，点， ∴抛物线对称轴为：直线，、3是的根；故①②正确； 解析式为，即， ， ∴，故③错误； ∵， ∴顶点坐标为，抛物线开口向下， ∴当时，取得最大值， ∴对于任意实数m，一定有，即，故④正确； 故选：C． 4．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为（  ） A．无解 B．， C． D．， 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，由图象结合抛物线的对称性可求出与轴的一个交点为、，即可求解；理解二次函数与一元二次方程的关系，能熟练利用图象进行求解是解题的关键． 【详解】解：由图象得：抛物线与轴的一个交点为， 对称轴为直线， 设抛物线与轴的一个交点为 ， 解得：， ， 关于的一元二次方程的解为： ，， 故选：D． 5．已知抛物线（a，b，c为常数，且）的对称轴为直线，其与x轴的一个交点为，与y轴的交点C在点之间（不含端点），有下列结论： ①； ②； ③； ④若方程的两根分别为，则． 其中，正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象和系数之间的关系，根据对称性求出抛物线与轴的另一个交点坐标，结合点的位置，判断抛物线的开口方向，进行判断的符号，对称轴判断的符号，进而判断①，特殊点判断②和③，图象法判断方程的根的情况，判断④． 【详解】解：∵抛物线（a，b，c为常数，且）的对称轴为直线，其与x轴的一个交点为， ∴，抛物线与轴的另一个交点坐标为：， ∴， ∵抛物线与y轴的交点C在点之间， ∴，抛物线的开口向上， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； ∴，故②错误； ∵， ∴， ∴的根可以看作抛物线与直线的交点的横坐标， ∵直线过点和，如图， ∴由图可知：方程的两个根的范围为：；故④正确； 故选B 6．已知二次函数图象的顶点坐标为，关于的一元二次方程的一个根为，则该方程的另外一个根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与x轴的交点问题． 利用抛物线与x轴的交点的横坐标即为方程的根求解即可． 【详解】解：由题意得对称轴为直线，抛物线与x轴一个交点为 ∴另一个交点为，即， ∴的另一个根为， 故答案为：． 7．抛物线（，，为常数，且）开口向下且过点，，其中，下列结论： ①；②；③；④若方程有两个不相等的实数根，则，其中结论正确的是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数的系数，二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质，并根据题意画出大致图象是解题的关键．利用开口向下，得出，利用二次函数的对称性得出，结合，得出，则，画出大致图象，即可得，则可判断①；由图可知当时，，代入则可判断②；利用，其中，，则可判断③；利用 有两个不相等的实数根，即二次函数的图象与直线的图象有两个不同的交点，结合图象则可判断④． 【详解】解：∵（，，为常数，且）开口向下， ∴， ∵抛物线过点，， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据抛物线开口向下且过点，，其中，画出大致图象，如图， ∴， ∴， 故①正确； 由图可知当时，， ∴， 故②正确； ∵，， ∴， 又∵， ∴， 故③正确； ∵有两个不相等的实数根， 则有两个不相等的实数根， 即二次函数的图象与直线的图象有两个不同的交点，如图， 只需满足二次函数的顶点纵坐标大于即可， ∴， ∵， ∴， 故④错误． 综上，正确的有①②③． 故答案为：①②③． 8．已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：；；；若方程有四个根，则这四个根的和为4．其中正确结论的序号为 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的图象与系数之间的关系，根据开口方向，对称轴和与轴的交点，判断①，对称轴结合特殊点，判断②，最值判断③，图象法确定方程的根的情况，判断④． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，与轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确； 由图象可知：当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴，无法得到，故②错误； ∵当时，函数有最大值为：， ∴当时，， ∴，故③正确； ∵方程有四个根， ∴抛物线，与直线和分别有两个交点，且相对应的两个交点关于对称轴对称， ∴这四个根的和为；故④正确； 故答案为：①③④． 9．已知关于x的二次函数，当取互为相反数的任意两个实数时，对应的函数值总相等，则关于的一元二次方程的两根之积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征．根据二次函数，当取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值总相等，可以得到该函数的对称轴为轴，从而可以得到的值，然后即可求得该函数与轴的交点，即可得到一元二次方程的两根，再将这两个根相乘，即可解答本题． 【详解】解：二次函数，当取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值总相等， ∴该函数的对称轴为直线， 解得， ∴二次函数， ∴当时，，解得，， ∴一元二次方程的两根是，， ∴一元二次方程的两根之积是， 故答案为：． 10．抛物线交轴于点，，交轴于点，经过的直线交轴于． (1)求抛物线解析式． (2)D为第三象限上一点，轴交抛物线另外一点E，设E点横坐标为，正切值为，求与的函数关系． (3)在（2）条件下，，连接并延长交轴于，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一次函数先求得，将代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）过点作轴于点，设，进而表示出，得出，根据，正切值为，即可求解． （3）过点作交于点，交的延长线于点，设交于点，交轴于点，根据（2）的结论得出，进而证明得出，令，解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：由，当时， ∴， 将代入得， 解得： ∴抛物线解析式为 （2）如图所示，过点作轴于点， 设 ∵， ∴， ∴ ∵轴， ∴ ∴ ∵正切值为， ∴即 （3）如图所示，过点作交于点，交的延长线于点，设交于点，交轴于点， ∵ 当时，， 解得： ∴ ∴， ∵ ∴， ∵， 设 由，当时，，则 ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ 又∵轴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴， 延长交于点， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线, ∵和分别关于抛物线对称轴直线对称， ∴ ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ ∴ 当时， 解得： ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，二次函数综合应用，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 11．已知二次函数（a，b，c是常数，）． (1)当时， ①若该函数图象的对称轴为直线，且过点，求该函数的表达式． ②若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求证：． (2)当时，若该函数的图象经过点且满足，请比较n与p的大小． 【答案】(1)①；②证明过程详见解析； (2) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与轴的交点问题，整式的加减，分解因式等知识．掌握二次函数图象上的点满足其解析式是解题关键． （1）①根据二次函数的对称轴公式即可求出b的值，再将代入该二次函数的解析式即可求出c的值，即得出该函数的表达式； ②根据该函数的图象与x轴有且只有一个交点，即说明其相关一元二次方程有且只有一个实数解，再利用其根的判别式即得出，整理为，进而可求出，再配方，结合二次函数的性质即可求解； （2）先将m、n、p用a、b、c表示出来，然后根据得到，比较大小用作差法，所以得到，再进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴该函数解析式为． ∵该函数图象的对称轴为直线， ∴， 解得：． ∵该函数图象过点， ∴， 解得：， ∴该函数解析式为； ②∵该函数解析式为，且其图象与x轴有且只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数解， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由题可知，，，， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 12．定义：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点为“完美点”，顶点是“完美点”的二次函数为“完美函数”． (1)若点是“完美点”，求a的值． (2)已知某“完美函数”的顶点在直线上，且与y轴的交点到原点的距离为4，求该“完美函数”的解析式． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，正确理解“完美函数”的定义是解题关键． （1）根据“完美点”的定义解答即可； （2）先根据顶点的位置设点的坐标，再根据“完美点”的定义求出顶点，可设顶点式，再令得出关于a的方程，求出解即可． 【详解】（1）解：∵点是“完美点”， ∴，即， 解得 ； （2）∵某“完美函数”的顶点在直线上， ∴设函数的顶点为． ∵该函数为“完美函数”， ∴， 解得， ∴， ∴该函数的顶点为． 设二次函数的解析式为， 令，则． ∵该函数图象与y轴的交点到原点的距离为4， ∴， 解得或， ∴或， ∴该“完美函数”的解析式为或． 13．已知抛物线 (1)求证：抛物线与x轴有两个不同的交点； (2)当时，抛物线与x轴交于点A，B，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查的是抛物线和x轴的交点问题，涉及一元二次方程解法与根的判别式． （1）证明，即可求解； （2）将代入抛物线表达式，令，求出点A，B的坐标，根据两点间距离公式进而求解． 【详解】（1）证明： ， 故此抛物线与x轴有两个不同的交点； （2）解：当时，， 令，则， 解得：或， ∴． 14．已知二次函数（m是常数）． (1)求证：无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； (2)已知该二次函数的图象与x轴交于A，B两点，且，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，二次函数性质； （1）令，可得关于的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式可证得结论； （2）令，可得关于的一元二次方程，表示出方程的根，即可得到、两点的横坐标值，然后根据，列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ， ∴一元二次方程有实数根， ∴无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； （2）解：当时，， 得， ，， ， 或． 15．已知二次函数的图象经过点、、，且与x轴交于A、B两点． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)判断点是否在这个二次函数的图象上，如果在，请求出的面积；如果不在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点在函数图象上，的面积为6． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象与轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）待定系数法求解析式即可求解； （2）将代入解析式，得，即可得点在函数图象上，令，求得的坐标，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）设二次函数为，把、、代入二次函数解析式， 得：， 解得． ∴二次函数的解析式为：； （2）把代入解析式，可得：， ∴点在函数图象上． 当，， 解得：， ∴ ∴． 16．已知二次函数． (1)补全表格，在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象； ... 0 1 2 3 4 ... ... 3 0 ____ ____ ... (2)根据图象回答：当时，的取值范围是_____． 【答案】(1)0，3，画出函数图象见解析 (2) 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，二次函数的性质， （1）根据题目中的函数解析式可以将表格中补充完整，然后描点、连线作出图象即可； （2）根据函数图象写出y的取值范围即可． 【详解】（1）解：补全表格： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 3 … 描点、连线画出函数图象如图： （2）解：由图象可知：当时，的取值范围是． 故答案为：． 17．如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，直线的解析式为． (1)请直接写出：_______，_______，顶点_______； (2)当时，的取值范围是_______； (3)当时，x的取值范围是_______． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式（组），待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与轴的交点，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由待定系数法求出函数表达式，即可求解； （2）当时求出，再结合顶点坐标得出函数最大值，即可得出答案； （3）分三种情况讨论，可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，函数的表达式为：， 故， 顶点为：， 故答案为：； （2）解：根据题意可得函数的对称轴为直线， 当时，，当时，， 当时，函数值随着的增大而增大，最大值为4， 当时，函数值随着的增大而减小， ∴， 故答案为：； （3）解：当和时，， ∴当时，； 当时，， 当时，． 所以当，即时，的取值范围是或， 故答案为：或． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.6二次函数的图象与一元二次方程 题型一 求抛物线与x轴的交点坐标 1．如图，抛物线与轴交于，，则关于的方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表． x 0 1 2 y 0 4 6 6 4 从表中数据可知，下列说法中正确的是（  ） A．抛物线的对称轴是直线 B．方程的解为， C．函数的最大值为6 D．在抛物线对称轴右侧，y随x的增大而增大 3．抛物线与轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 4．关于抛物线，下列说法错误的是（   ） A．图象开口向上 B．对称轴为直线 C．图象与x轴有两个交点 D．y随x的增大而增大 5．抛物线的对称轴是直线，如果此抛物线与轴的一个交点的坐标是，那么抛物线与轴的另一个交点的坐标是 ． 6．已知函数． (1)求它的顶点坐标，与轴的交点坐标； (2)在平面直角坐标系中画出它的简图； (3)根据图象回答：取什么值时，． 7．已知抛物线． (1)用配方法将化成的形式； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)分别求出抛物线与轴、轴的交点坐标． 8．已知：二次函数表达式为．求该二次函数图象的顶点坐标以及与x轴的交点坐标． 9．已知函数的图象如图所示，请根据函数图象回答下列问题． (1)方程的解为______； (2)方程有四个不同的实数根，则的取值范围为______； (3)若函数的图象与直线有三个交点，求的值． 10．在平面直角坐标系中，抛物线（为常数，且）．求证：该抛物线与轴总有两个公共点． 11． 函数与坐标轴有两个交点，求常数m的值． 题型二 求抛物线与y轴的交点坐标 1．将抛物线与坐标轴的交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．抛物线在直线下方的图像上恰好有五个横坐标为整数的点，则k的值不可能是（    ） A． B． C．13 D． 3．抛物线与x轴只有一个交点，则c的值为（   ） A．9 B． C． D． 4．抛物线与y轴的交点坐标是 ． 5．二次函数与轴的交点坐标是 ． 6．将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后，所得到的新抛物线与y轴的交点坐标为 ． 7．抛物线与y轴交点是 ． 8．将抛物线向下平移个单位后与轴只有一个交点，则 ． 题型三 函数求值 1．如图，已知抛物线的顶点为，矩形的顶点C、F在抛物线上，点D、E在x轴上，交y轴于点，且矩形面积为8． (1)求此抛物线的解析式； (2)求当时，y的取值范围； (3)直接写出当时，x的取值范围． 2．已知二次函数（、为常数）的图象经过点，． (1)求该二次函数的表达式和顶点坐标； (2)当时，求的值． 3．如图，抛物线与轴正半轴交于点，交轴于点，交轴负半轴于点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)点是第一象限内抛物线上的一点，过点作垂直轴于点，若，求点的坐标． 题型四 抛物线与x轴的交点问题和截线长 1．如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，则的面积为 ． 2．如图，抛物线（其中a为常数）的对称轴为直线，与x轴交于点A，点B，则的长度为 ． 3．如果抛物线与直线交于A、B两点，则点A与点B两点之间的距离 ． 4．当一个函数的图像关于轴成轴对称图形时，我们称这个函数为偶函数．若二次函数是偶函数，该函数的图像与轴交于点，（点在点的左边），顶点为，则的面积是 ． 题型五 根据二次函数的图象确定方程的根的情况 1．下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 y 0.48 1.28 2.12 根据此表，可以判断方程的一个解x可能的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．二次函数中，与的部分对应值如下，则一元二次方程的一个解满足条件（   ） A． B． C． D． 3．根据表格对应值： x 1.1 1.2 1.3 1.4 －0.59 0.84 2.29 3.76 判断关于x的方程的一个解x的范围是（   ） A． B． C． D．无法判定 4．已知二次函数的y与x的部分对应值如下表： x …… 0 1 3 …… y …… 1 3 1 …… 则下列判断中正确的是（     ） A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线与y轴交于负半轴 C．当时， D．方程正根在3与4之间 5．如表给出了二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值，那么方程的一个根的近似值可能是（　　） x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … 0.04 0.59 1.16 … A．1.09 B． C．1.29 D．1.39 6．根据表格，判断方程的解在下面哪个范围之间（   ） x的值 2 2.1 2.2 2.3 2.4 的值 3 3.31 3.64 3.99 4.36 的值 3.5 3.48 3.45 3.43 3.42 A．2~2.1之间 B．2.1~2.2之间 C．2.2~2.3之间 D．2.3~2.4之间 题型六 图象法解一元二次不等式 1．如图，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，则关于的不等式的解集为（   ） A．或 B． C． D．或 2．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是 ． 3．如图抛物线与直线交于点，，则关于的不等式的解集是 ． 4．已知抛物线、直线，若对于任意的x的值，恒成立，则m的值为 ． 5．如图，二次函数的图象经过点且与y轴交点C，点B和点C关于该二次函数图象的对称轴对称，一次函数的图象经过点A及点B，则不等式的解集为 ． 6．如图所示：抛物线与x轴相交于，两点，与直线相交于，两点． (1)求，两点坐标． (2)求，两点坐标． (3)写出当时的取值范围    题型七 求函数值的范围 1．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线与轴的交点坐标； (2)若，当时，求的取值范围； (3)已知点，，都在该抛物线上，若，求的取值范围． 2．如图，抛物线与直线交于点，，且点在轴上． (1)求和的值； (2)结合图像写出关于的不等式的解集； (3)已知点在抛物线上，若针对的不同取值，点的个数始终为2，求的取值范围． 3．抛物线的图像与x轴交于A，B两点，A在B左侧，与y轴交于点C． (1)点C坐标为 ，顶点坐标为 ； (2)不等式的解集是 ； (3)当x满足时，y的取值范围是 ． (4)当y满足时，x的取值范围是 ． 4．如图，二次函数的图象的对称轴为，与直线 相交于点和点，其中A点轴上． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，根据图象写出的取值范围． 5．如图，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点． (1)求A、B两点的坐标； (2)当时，函数值y的取值范围为 ；（直接写出答案即可） (3)若为二次函数图象上一点，求m的值． 6．已知二次函数． (1)用配方法将化成的形式； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)结合图象，当时，y的取值范围________． 7．已知抛物线图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值，如下表： (1)画出其图象； (2)结合图象，直接写出不等式的解集； (3)结合图象，直接写出当时，的取值范围． 8．在平面直角坐标系中，点，，在抛物线上． (1)当时，求的值； (2)若对于，都有，求的取值范围． 9．在平面直角坐标系中，已知抛物线对称轴为直线，点，在抛物线上． (1)当时，，直接写出的取值范围； (2)若，且，当时都有，求的取值范围． 1．如图，已知抛物线与直线，当任取一值时，对应的函数值分别为，．若，取，中较小值并记为；若，记，例如：当时，，，，此时；当时，，此时．设，当分别等于，，时，对应的值分别记为，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数的图象如图所示，若关于的方程有4个不相等的实数根，则的范围是（    ） A． B． C． D． 3．如图，二次函数的图象经过点，点，给出下列结论： ①对称轴为直线；②、3是的根； ③；④对于任意实数m，一定有． 其中正确的结论是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 4．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为（  ） A．无解 B．， C． D．， 5．已知抛物线（a，b，c为常数，且）的对称轴为直线，其与x轴的一个交点为，与y轴的交点C在点之间（不含端点），有下列结论： ①； ②； ③； ④若方程的两根分别为，则． 其中，正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知二次函数图象的顶点坐标为，关于的一元二次方程的一个根为，则该方程的另外一个根为 ． 7．抛物线（，，为常数，且）开口向下且过点，，其中，下列结论： ①；②；③；④若方程有两个不相等的实数根，则，其中结论正确的是 ． 8．已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：；；；若方程有四个根，则这四个根的和为4．其中正确结论的序号为 ． 9．已知关于x的二次函数，当取互为相反数的任意两个实数时，对应的函数值总相等，则关于的一元二次方程的两根之积为 ． 10．抛物线交轴于点，，交轴于点，经过的直线交轴于． (1)求抛物线解析式． (2)D为第三象限上一点，轴交抛物线另外一点E，设E点横坐标为，正切值为，求与的函数关系． (3)在（2）条件下，，连接并延长交轴于，求点坐标． 11．已知二次函数（a，b，c是常数，）． (1)当时， ①若该函数图象的对称轴为直线，且过点，求该函数的表达式． ②若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求证：． (2)当时，若该函数的图象经过点且满足，请比较n与p的大小． 12．定义：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点为“完美点”，顶点是“完美点”的二次函数为“完美函数”． (1)若点是“完美点”，求a的值． (2)已知某“完美函数”的顶点在直线上，且与y轴的交点到原点的距离为4，求该“完美函数”的解析式． 13．已知抛物线 (1)求证：抛物线与x轴有两个不同的交点； (2)当时，抛物线与x轴交于点A，B，求的长． 14．已知二次函数（m是常数）． (1)求证：无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； (2)已知该二次函数的图象与x轴交于A，B两点，且，求m的值． 15．已知二次函数的图象经过点、、，且与x轴交于A、B两点． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)判断点是否在这个二次函数的图象上，如果在，请求出的面积；如果不在，请说明理由． 16．已知二次函数． (1)补全表格，在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象； ... 0 1 2 3 4 ... ... 3 0 ____ ____ ... (2)根据图象回答：当时，的取值范围是_____． 17．如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，直线的解析式为． (1)请直接写出：_______，_______，顶点_______； (2)当时，的取值范围是_______； (3)当时，x的取值范围是_______． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$