第06讲数学归纳法（3大知识点+7大题型+分层练习）-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019选修二）

第06讲 数学归纳法 目录 题型归纳 1 题型01 数学归纳法的证明步骤 2 题型02 数学归纳法证明恒等式 3 题型03 数学归纳法证明数列问题 4 题型04 数学归纳法证明整除问题 4 题型05用数学归纳法证明不等式 5 题型06 数学归纳法证明几何问题 6 题型07 用归纳法解决与递推公式有关的数列问题 7 分层练习 8 夯实基础 10 知识点01归纳法 由一系列有限的特殊事件得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，它是人们发现规律，产生猜想 的一种方法. 归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法. 知识点02数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 第一步(归纳莫基)，证明当n取第一个值()时命题成立； 第二步(归纳递推)，以当n=k(k≥,k)时命题成立为条件，推出当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立. 上述证明方法称为数学归纳法. 知识点03数学归纳法的重要结论及适用范围 数学归纳法的重要结论 适用范围 只适用于证明与正整数有关的数学命题 题型01 数学归纳法的证明步骤 【例1】（2022高二·上海·专题练习）用数学归纳法证明（），在验证成立时，左边计算所得的项是（    ） A．1 B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·上海·期中）用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22高一上·上海杨浦·期末）用数学归纳法证明等式“”，当时，等式左边应在的基础上加上（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高二上·上海静安·期中）用数学归纳法证明（，）的过程中，当时，左端应在时的左端上加上 题型02 数学归纳法证明恒等式 【例2】（20-21高二上·上海·课后作业）在用数学归纳法求证：，（为正整数）的过程中，从“到”左边需增乘的代数式为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（21-22高二·全国·课后作业）用数学归纳法证明“”时，当时，应证明的等式为 ． 【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：． 【变式3】（24-25高二上·上海·课堂例题）是否存在常数a、b，使等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a、b的值并用数学归纳法证明你的结论．若不存在，请说明理由． 题型03 数学归纳法证明数列问题 【例3】（22-23高二上·上海松江·期中）已知n为正偶数，用数学归纳法证：时，若已假设（且k为偶数）时等式成立，则还需要再证（    ） A．时等式成立 B．时等式成立 C．时等式成立 D．时等式成立 【变式1】（24-25高二上·全国·单元测试）用数学归纳法证明能被14整除的过程中，当时，应变形为 . 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的首项，且，试猜想出这个数列的通项公式，并用数学归纳法证明． 【变式3】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知数列的每一项均为正数，记的前项和为，，尝试通过计算数列的前四项，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 题型04 数学归纳法证明整除问题 【例4】（20-21高二上·上海·课后作业）用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为 . 【变式1】（22-23高二·全国·随堂练习）设，用数学归纳法证明：是64的倍数． 【变式2】（20-21高二·全国·课后作业）求证：对任意正整数，都能被整除． 【变式3】（20-21高二·全国·课后作业）已知，存在自然数，使得对任意正整数，被整除，请猜测出的最大值，并用数学归纳法证明你的猜测是正确的． 题型05 用数学归纳法证明不等式 【例5】若为大于1的自然数，求证： 【变式1】（20-21高二·全国·课后作业）用数学归纳法证明1+++…+≤+n(n∈N*). 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：对任意的正整数． 【变式3】（20-21高二上·全国·课后作业）证明不等式1＋＋＋…＋<2 (n∈N*)． 题型06 数学归纳法证明几何问题 【例6】（20-21高二上·上海·课后作业）凸n边形的对角线的条数为，则凸边形有对角线条数为 . 【变式1】（20-21高二·全国·课后作业）用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f(n)部分，则f(n)＝1＋.”证明第二步归纳递推时，用到f(k＋1)＝f(k)＋ . 【变式2】（20-21高二上·上海·课后作业）利用数学归纳法证明凸多边形的对角线的条数是时，第一个可以取到的自然数 . 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：凸边形的内角和． 题型07 用归纳法解决与递推公式有关的数列问题 【例7】（23-24高二上·上海·课后作业）已知数列满足尝试通过计算数列的前四项，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 【变式1】（2023高二上·江苏·专题练习）设数列满足，． (1)计算，猜想的通项公式； (2)用数学归纳法证明上述猜想，并求的前项和． 【变式2】（21-22高二·全国·课后作业）已知数列中，，其中，且．从条件①与条件②，且中选择一个，结合上面的已知条件，完成下面的问题． (1)求，，，并猜想的通项公式； (2)证明（1）中的猜想． 【变式3】（23-24高二上·上海·课后作业）设数列的各项均为正整数，且．记．如果对于所有的正整数均有． (1)求，，，，； (2)猜想的通项公式，并加以证明． 【夯实基础】 一、单选题 1．（高二上·山东青岛·期末）用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，不等式左边需增加的项数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海青浦·阶段练习）利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 二、多选题 3．（20-21高二·全国·课后作业）如果命题对成立，则它对也成立.则下列结论正确的是（    ） A．若对成立，则对所有正整数都成立 B．若对成立，则对所有正偶数都成立 C．若对成立，则对所有正奇数都成立 D．若对成立，则对所有自然数都成立 三、填空题 4．（20-21高二上·上海浦东新·阶段练习）用数学归纳法证明：，从到，等式左边需增加的代数式为 5．（20-21高二上·江苏苏州·期中）在数列中，a1=1，，则a3= ，an= . 6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，用数学归法证明时， . 7．（20-21高二上·上海·课后作业）在证明是的倍数时，时验证的表达式是 ；到增加的表达式是 ． 四、解答题 8．（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除. 9．（21-22高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明，首项为，公比为q的等比数列的通项公式是，前n项和公式是． 10．（21-22高二·全国·课后作业）观察下面三个等式： 第1个：， 第2个：， 第3个： (1)按照以上各式的规律，写出第4个等式； (2)按照以上各式的规律，猜想第个等式（为正整数）； (3)用数学归纳法证明你的猜想成立． 【能力提升】 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）数列满足：，则除以7的余数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．以上都不对 2．（23-24高二上·江苏盐城·期中）若正项数列中，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．k项 D．1项 4．（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2除后的余数构成一个新数列，则数列的前2023项的和为（    ） A．1348 B．675 C．1349 D．1350 二、多选题 5．（20-21高二·全国·课后作业）设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当成立时，总有成立.则下列命题总成立的是（    ） A．若成立，则成立 B．若成立，则当时，均有成立 C．若成立，则成立 D．若成立，则当时，均有成立 6．（2023高二上·江苏·专题练习）以下四个命题，其中满足“假设当时命题成立，则当时命题也成立”，但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（ ） A． B． C．凸n边形的内角和为 D．凸n边形的对角线条数 三、填空题 7．（21-22高二·全国·课后作业）已知数列满足，其中是的前n项和，则，，，的值分别是 、 、 、 ，由此推测出 ． 8．（21-22高二·全国·课后作业）已知函数，若，，…，，猜想的函数表达式为 ． 四、解答题 9．（24-25高二上·上海·课堂例题）猜测使对任意正整数n恒成立的最小正整数a的值，并用数学归纳法证明． 10．（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：，． 11．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）用数学归纳法证明： 12．（24-25高二上·上海·期中）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为.若，用数学归纳法证明：. 13．（23-24高二上·上海黄浦·阶段练习）数列满足为正整数. (1)试确定实数的值，使得数列为等差数列； (2)当数列为等差数列时，等比数列的通项公式为，对每个正整数，在和之间插入个2，得到一个新数列，设是数列的前项和，试求满足的所有正整数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 数学归纳法 目录 题型归纳 1 题型01 数学归纳法的证明步骤 2 题型02 数学归纳法证明恒等式 4 题型03 数学归纳法证明数列问题 7 题型04 数学归纳法证明整除问题 9 题型05用数学归纳法证明不等式 11 题型06 数学归纳法证明几何问题 13 题型07 用归纳法解决与递推公式有关的数列问题 16 分层练习 20 夯实基础 20 能力提升 27 知识点01归纳法 由一系列有限的特殊事件得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，它是人们发现规律，产生猜想 的一种方法. 归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法. 知识点02数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 第一步(归纳莫基)，证明当n取第一个值()时命题成立； 第二步(归纳递推)，以当n=k(k≥,k)时命题成立为条件，推出当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立. 上述证明方法称为数学归纳法. 知识点03数学归纳法的重要结论及适用范围 数学归纳法的重要结论 适用范围 只适用于证明与正整数有关的数学命题 题型01 数学归纳法的证明步骤 【例1】（2022高二·上海·专题练习）用数学归纳法证明（），在验证成立时，左边计算所得的项是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【知识点】数学归纳法 【分析】根据题意代入即可得结果. 【详解】因为， 当时，左边，故C正确. 故选：C. 【变式1】（24-25高二上·上海·期中）用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数学归纳法 【分析】只须求出当时，左边的代数式，当时，左边的代数式，相减可得结果． 【详解】当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： 故选：D． 【变式2】（21-22高一上·上海杨浦·期末）用数学归纳法证明等式“”，当时，等式左边应在的基础上加上（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数学归纳法 【分析】由数学归纳法可知时，左端为，到时，左端，从而可得答案． 【详解】解：用数学归纳法证明等式时， 当左边所得的项是； 假设时，命题成立，左端为； 则当时，左端为， 当时，等式左边应在的基础上加上． 故选：C. 【变式3】（23-24高二上·上海静安·期中）用数学归纳法证明（，）的过程中，当时，左端应在时的左端上加上 【答案】 【知识点】数学归纳法 【分析】由题意，整理取不同值时的式子，对比可得答案. 【详解】由题意，当时，所得等式左端为； 当时，所得等式左端为； 所以当时，左端应在时的左端上加上. 故答案为：. 题型02 数学归纳法证明恒等式 【例2】（20-21高二上·上海·课后作业）在用数学归纳法求证：，（为正整数）的过程中，从“到”左边需增乘的代数式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数学归纳法证明恒等式、数学归纳法 【分析】根据题意，分别得到和时，左边对应的式子，两式作商，即可得出结果. 【详解】当时，左边， 当时，左边， 则. 故选：D. 【变式1】（21-22高二·全国·课后作业）用数学归纳法证明“”时，当时，应证明的等式为 ． 【答案】 【知识点】数学归纳法证明恒等式、数学归纳法 【分析】根据给定条件，利用数学归纳法的定义及证明命题的方法步骤直接写出结论作答. 【详解】依题意，当时，应证明的等式为： . 故答案为： 【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：． 【答案】证明见解析 【知识点】数学归纳法证明恒等式 【分析】当时，验证等式成立；假设当时，等式成立，利用复数的运算以及两角和的正弦、余弦公式证明出当时，等式也成立，再由归纳原理可知，结论成立. 【详解】证明：当时，等式显然成立， 假设当时，等式成立，， 则当时， ， 这说明当时，等式成立， 因此，对任意的，. 【变式3】（24-25高二上·上海·课堂例题）是否存在常数a、b，使等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a、b的值并用数学归纳法证明你的结论．若不存在，请说明理由． 【答案】存在，或证明见解析 【知识点】数学归纳法证明恒等式 【分析】由数学归纳法证明即可. 【详解】存在．将，分别代入等式，得， 即，所以或. 猜测对一切正整数都成立． 证明：（1）当时，显然成立； （2）假设时，成立； 则当时， 左边 右边，所以时，等式也成立． 综合（1）（2），由数学归纳法就可以断定等式对一切正整数都成立． 题型03 数学归纳法证明数列问题 【例3】（22-23高二上·上海松江·期中）已知n为正偶数，用数学归纳法证：时，若已假设（且k为偶数）时等式成立，则还需要再证（    ） A．时等式成立 B．时等式成立 C．时等式成立 D．时等式成立 【答案】B 【知识点】数学归纳法证明数列问题 【分析】首先因为n为正偶数，用数学归纳法证明的时候，若已假设（，k为偶数）时命题为真，因为n只能取偶数，则代入无意义，故需证明成立． 【详解】解：若已假设（，k为偶数）时命题为真， 因为n只能取偶数， 所以还需要证明成立． 故选：B． 【变式1】（24-25高二上·全国·单元测试）用数学归纳法证明能被14整除的过程中，当时，应变形为 . 【答案】 【知识点】数学归纳法证明数列问题、数学归纳法 【分析】根据数学归纳法规则计算即可. 【详解】当时，. 故答案为：  . 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的首项，且，试猜想出这个数列的通项公式，并用数学归纳法证明． 【答案】猜想：，证明见解析 【知识点】数学归纳法证明数列问题 【分析】先猜想，然后根据数学归纳法的证明方法来证得猜想成立. 【详解】，，，，…， 猜想：． 证明如下：（1）当时，，猜想成立； （2）假设当时，猜想成立， 即， 则当时，， 所以当时，猜想也成立． 综合（1）（2），可知猜想对于任意都成立 【变式3】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知数列的每一项均为正数，记的前项和为，，尝试通过计算数列的前四项，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 【答案】；证明见解析 【知识点】数学归纳法证明数列问题、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据递推关系先求前四项，再猜想数列的通项，验证基础成立，证明递推成立即可. 【详解】因，当时，由可得，因，故； 当时，，即，即，故； 当时，即，即，故； 当时，，即， 即，故. 由，，，，可猜测. 证明如下： 当时，猜想成立； 设当（）时，猜想成立，即； 则当时，依题意，①，② 由①-②，可得，，即， 即，因，故得，即猜想也成立. 综上，由数学归纳法就可以断定对任何正整数都成立，这就是该数列的通项公式． 题型04 数学归纳法证明整除问题 【例4】（20-21高二上·上海·课后作业）用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为 . 【答案】25(34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋2 【知识点】数学归纳法证明整除问题 【分析】证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，将n＝k＋1代入，化简可得答案． 【详解】当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81×34k＋2＋25×52k＋1＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋2. 故答案为：25(34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋2 【变式1】（22-23高二·全国·随堂练习）设，用数学归纳法证明：是64的倍数． 【答案】证明见解析 【知识点】数学归纳法证明整除问题 【分析】利用数学归纳法来证明，当时，命题成立，再假设当时，能够被64整除，证明当时，命题也成立． 【详解】（1）当时， 能被64整除，命题成立． （2）假设当时，能够被64整除． 当时，， 能够被64整除， 能够被64整除． 即当时，命题也成立． 由（1）（2）可知，能被64整除， 即是64的倍数 【变式2】（20-21高二·全国·课后作业）求证：对任意正整数，都能被整除． 【答案】证明见解析 【知识点】数学归纳法证明整除问题 【分析】验证当时结论成立，然后利用数学归纳法可证得结论成立. 【详解】证明：当时，，则能被整除， 假设当时，能被整除， 则当时，即 , 因为、都能被整除，故能被整除， 即能被整除， 所以，当时，命题也成立， 因此，对任意正整数，都能被整除. 【变式3】（20-21高二·全国·课后作业）已知，存在自然数，使得对任意正整数，被整除，请猜测出的最大值，并用数学归纳法证明你的猜测是正确的． 【答案】36，证明见解析 【知识点】数与式中的归纳推理、数学归纳法证明整除问题 【分析】猜想的最大值为36，再利用数学归纳法证明. 【详解】∵、，， ∴，，均能被36整除，猜想的最大值为36． 证明如下： 当，2时，已得证； 假设当时，能被36整除， 则当时，， ∴能被36整除． ∵不能被大于36的数整除， ∴的最大值为36． 题型05 用数学归纳法证明不等式 【例5】若为大于1的自然数，求证： 【答案】证明见解析 【知识点】数学归纳法证明其他问题 【详解】当时，，不等式成立 假定时，不等式成立，即 当时， ，其中 由数学归纳法得命题成立 【变式1】（20-21高二·全国·课后作业）用数学归纳法证明1+++…+≤+n(n∈N*). 【答案】证明见解析 【知识点】数学归纳法、数学归纳法证明其他问题 【分析】按数学归纳法证明命题的步骤直接证明即可. 【详解】(1)当n＝1时，左边右边， 即当n＝1时，原不等式成立， (2)假设当n=k(k∈N*)时，原不等式成立， 即1+++…+≤+ k， 则当n=k+1时， 1+++…++++…+<+k+=+(k+1)， 即当n=k+1时，不等式成立， 综合(1)和(2)得，原不等式对所有的n∈N*都成立. 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：对任意的正整数． 【答案】证明见解析 【知识点】数学归纳法证明其他问题 【分析】运用数学归纳法的步骤进行证明即可. 【详解】当时，不等式成立， 假设时原不等式成立，即， 则时，左边， 当时，， 即， 因此时原不等式也成立． 综上，对任意的正整数． 【变式3】（20-21高二上·全国·课后作业）证明不等式1＋＋＋…＋<2 (n∈N*)． 【答案】证明见解析 【知识点】数学归纳法证明数列问题 【分析】利用数学归纳法可证明，先假设n＝k时成立，再证明n＝k＋1时成立即可. 【详解】当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立． 假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即， 当n＝k＋1时， ， 所以当n＝k＋1时，不等式成立． 综上，原不等式对任意n∈N*都成立． 题型06 数学归纳法证明几何问题 【例6】（20-21高二上·上海·课后作业）凸n边形的对角线的条数为，则凸边形有对角线条数为 . 【答案】 【知识点】数学归纳法证明几何问题 【解析】在凸n边形的一边外加一点，此点与该边的两点连接可得到凸边形，由此可得对称线增加的情形． 【详解】在凸n边形的一边外加一点，此点与该边的两点连接可得到凸边形，因此原凸n边形的这条边变为对角线，增加的第个顶点与原来凸n边形的顶点的连线也是增加的对角线，共增加了条，所以． 故答案为：． 【点睛】本题考查数学归纳法，掌握数学归纳法中从到的变化是解题关键 【变式1】（20-21高二·全国·课后作业）用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f(n)部分，则f(n)＝1＋.”证明第二步归纳递推时，用到f(k＋1)＝f(k)＋ . 【答案】k＋1 【知识点】数学归纳法、数学归纳法证明几何问题 【分析】从目标f(n)＝1＋分析，的结果，便可知第二步归纳递推时需要要证明的结论. 【详解】f(k)＝1＋， f(k＋1)＝1＋， ∴f(k＋1)－f(k) ＝ ＝k＋1， ∴f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)． 故答案为：k＋1. 【变式2】（20-21高二上·上海·课后作业）利用数学归纳法证明凸多边形的对角线的条数是时，第一个可以取到的自然数 . 【答案】3 【知识点】数学归纳法证明几何问题 【解析】凸多边形至少是三角形，由此确定． 【详解】多边形中三角形的对角线条数可认为是0，四边形有两条对角线，因此第一个自然数可以是． 故答案为：3 【点睛】本题考查数学归纳法，掌握数学归纳法的证明步骤是解题基础． 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：凸边形的内角和． 【答案】证明见解析 【知识点】数学归纳法证明几何问题 【分析】验证当时，结论成立；假设当时，结论成立，分析可知凸边形边形可以在以为边的与凸边形拼接而成，即可得出成立，这说明当时，结论成立，再由归纳原理可证得结论成立. 【详解】证明：当时，三角形的内角和为，即，结论成立； 假设当时，结论成立，即， 假设凸边形，如下图所示： 则凸边形边形可以在以为边的与凸边形拼接而成， 所以，， 这说明当时，结论成立， 故凸边形的内角和 题型07 用归纳法解决与递推公式有关的数列问题 【例7】（23-24高二上·上海·课后作业）已知数列满足尝试通过计算数列的前四项，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 【答案】，证明见解析 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数学归纳法证明数列问题 【分析】根据递推关系先求前四项，再猜想，再作基础成立与递推成立两步的证明. 【详解】已知，利用递推公式计算得，，， 由此猜想，对任何正整数，都有． 下面用数学归纳法证明这一猜想． （1）当时，，所以猜想成立； （2）假设（，为正整数）时，猜想成立，即有． 那么当时，就有，猜想也成立． 根据（1）和（2），由数学归纳法就可以断定对任何正整数都成立，这就是该数列的通项公式． 【变式1】（2023高二上·江苏·专题练习）设数列满足，． (1)计算，猜想的通项公式； (2)用数学归纳法证明上述猜想，并求的前项和． 【答案】(1)，， (2)证明见解析， 【知识点】判断等差数列、根据数列递推公式写出数列的项、数学归纳法证明数列问题、求等差数列前n项和 【分析】（1）根据递推公式求，进而猜想通项公式； （2）利用数学归纳法证明，结合等差数列的定义和求和公式分析求解. 【详解】（1）因为数列满足，， 可得，， 由此可猜想. （2）证明：①当时，显然成立； ②假设当时，成立，即； 当时，， 所以时也成立， 综合①②可得：. 因为， 可知数列是以3为首项，2为公差的等差数列， 所以. 【变式2】（21-22高二·全国·课后作业）已知数列中，，其中，且．从条件①与条件②，且中选择一个，结合上面的已知条件，完成下面的问题． (1)求，，，并猜想的通项公式； (2)证明（1）中的猜想． 【答案】(1)，，，； (2)证明见解析. 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、观察法求数列通项、数学归纳法证明数列问题 【分析】(1)分别取①②代入计算出，，，并根据计算的结果猜想数列的通项公式； （2）用数学归纳法证明即可. 【详解】（1）选条件①， 由题意可得，同理可得，， 猜想()． 选条件②， 由题意可得，∵，，∴，， ∴，同理可得， 猜想（）． （2）显然当时，猜想成立， 假设当时，猜想成立，即（）， 当时，由，可得= （）， 即当时，猜想成立， 综上所述，（）． 【变式3】（23-24高二上·上海·课后作业）设数列的各项均为正整数，且．记．如果对于所有的正整数均有． (1)求，，，，； (2)猜想的通项公式，并加以证明． 【答案】(1)，，，， (2)，证明见解析 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数学归纳法证明数列问题 【分析】（1）利用代入法进行求解即可； （2）根据前五项的特点进行猜想，然后利用数学归纳法进行证明即可. 【详解】（1）因为数列的各项均为正整数， 所以数列是递增数列， 因为，， 所以舍去， 同理可得：舍去，舍去，舍去， 所以，，，，； （2）猜想：，证明过程如下： 当时，显然成立， 假设当时成立，即， 当时，， 解得：，或， 因为数列的各项均为正整数， 所以数列是递增数列， 显然， 所以，舍去， 所以当时，成立， 综上所述： 【夯实基础】 一、单选题 1．（高二上·山东青岛·期末）用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，不等式左边需增加的项数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当成立，写出左侧的表达式，当时，写出对应的关系式，观察计算即可． 【详解】从到成立时，左边增加的项为， 因此增加的项数是， 故选：C 2．（24-25高二上·上海青浦·阶段练习）利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 【答案】B 【分析】根据给定条件，探讨从变到不等式左边增加的部分即可得解. 【详解】当时，不等式左边为， 当时，不等式左边为， 增加的项为，共有项. 故选：B 二、多选题 3．（20-21高二·全国·课后作业）如果命题对成立，则它对也成立.则下列结论正确的是（    ） A．若对成立，则对所有正整数都成立 B．若对成立，则对所有正偶数都成立 C．若对成立，则对所有正奇数都成立 D．若对成立，则对所有自然数都成立 【答案】BC 【分析】由推理关系，可知需分为奇数和偶数两种情况讨论，再结合首项成立，即可判断选项. 【详解】由题意可知，若对成立，则对所有正奇数都成立；若对成立，则对所有正偶数都成立. 故选：BC 三、填空题 4．（20-21高二上·上海浦东新·阶段练习）用数学归纳法证明：，从到，等式左边需增加的代数式为 【答案】 【解析】根据等式的结构，分别写出和时，等式的左边，对比即可求解. 【详解】当时，等式的左边为：， 当，等式的左边为：， 所以从到，等式左边需增加的代数式为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了数学归纳法及其应用，其中根据等式的结构，分别写出和时，等式的左边是解答的关键，着重考查运算能力. 5．（20-21高二上·江苏苏州·期中）在数列中，a1=1，，则a3= ，an= . 【答案】 【解析】第一空：运用代入法先求出，然后再求出即可； 第二空：根据递推公式再求出的值，可以猜想出数列的通项公式，最后利用数学归纳法进行证明即可. 【详解】第一空：因为，，所以，； 第二空：由第一空可知：，所以可得， 因为，，， ，所以猜想，数学归纳法证明如下： （1）当时，显然； （2）假设当时成立，即， 当时， 综合（1）（2），所以， 故答案为：； 6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，用数学归法证明时， . 【答案】 【分析】根据已知写出，从而可求得结果. 【详解】因为 ， ∴. 故答案为： 7．（20-21高二上·上海·课后作业）在证明是的倍数时，时验证的表达式是 ；到增加的表达式是 ． 【答案】 【分析】从式子，观察时的表达式及当从到的变化情况，从而解决问题. 【详解】解：当时，原式， 当时，原式， 当时，原式. 则从到增加的表达式是. 故答案为：；. 【点睛】本题主要考查数学归纳法，考查分析能力，属于基础题. 四、解答题 8．（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除. 【答案】证明见解析 【分析】利用数学归纳法证明整除问题，首先证明时结论成立，再假设时结论成立，利用假设证明时结论也成立即可得出结论成立. 【详解】①当时，能被整除，所以当时结论成立. ②假设当时，能被整除， 那么当时， ， 由假设可知能被整除，即能被整除， 所以当时结论也成立. 综上，能被整除. 9．（21-22高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明，首项为，公比为q的等比数列的通项公式是，前n项和公式是． 【答案】证明见解析 【分析】根据数学归纳法的证明方法，即可作出证明. 【详解】由题意，等比数列的首项为，公比为， ①当时，，显然满足； ②假设时，成立， 则当时，成立， 由①②可知，对于任意，都有成立. 证明：前项和公式， ③当时，成立； ④假设时，成立， 则当时，成立， 由③④可知，对于任意，都有成立. 10．（21-22高二·全国·课后作业）观察下面三个等式： 第1个：， 第2个：， 第3个： (1)按照以上各式的规律，写出第4个等式； (2)按照以上各式的规律，猜想第个等式（为正整数）； (3)用数学归纳法证明你的猜想成立． 【答案】(1) (2)， (3)证明见解析 【分析】（1）（2）根据前个式子归纳出第与第个式子； （3）利用数学归纳法证明，首先说明时成立，再假设时成立，通过计算说明时也成立，即可得证； 【详解】（1）解：由第1个：， 第2个：， 第3个：， 第4个：， （2）解：由（1）可猜想，第个等式：，； （3）数学归纳法证明： 当时，，，等式成立； 假设时，，． 当时， ， 可得时，，也成立， 综上可得，对一切的，均成立． 【能力提升】 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）数列满足：，则除以7的余数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．以上都不对 【答案】B 【分析】构造数列满足，由猜测并运用数学归纳法证得；再由利用累乘法求得，从而得到，由结合为3的倍数、为7的倍数可求除以7的余数. 【详解】设数列满足，则， 当时，若，则， 因此，对任意，均有. 由，两边取对数，可得， 则有，即， 可得，此时也符合，所以. 因为，故若为3的倍数，则必有为3的倍数， 而时，为3的倍数，故为3的倍数，依次有为3的倍数， 因为且时，为7的倍数， 故同理可得为7的倍数. 又， 故被7除余数为1，故除以7的余数为2. 故选：B. 2．（23-24高二上·江苏盐城·期中）若正项数列中，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数列的递推式, 可得 ,, 猜想,利用数学归纳法可证明结论，即可得出答案. 【详解】, 在正项数列 中, 当 时, , 解得 , 当 时, , 解得 , 猜想 , 证明: 当 时, 显然成立; 假设 时, , 则当 时, . 故 时, 结论也成立. 故 , 故选: C. 3．（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．k项 D．1项 【答案】B 【分析】根据数学归纳法的知识即可判断出增加的项数. 【详解】当时，不等式左边为， 当时，不等式左边为， 故增加的项数为：. 故选：B. 4．（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2除后的余数构成一个新数列，则数列的前2023项的和为（    ） A．1348 B．675 C．1349 D．1350 【答案】C 【分析】由已知条件写出数列的前若干项，观察发现此数列周期为3，从而可求得答案. 【详解】依题意，若，等价于为偶数，若，等价于为奇数， 显然， 猜想：，当时，成立； 假设当时，成立，则为奇数，为偶数； 当时，则为奇数，为奇数，为偶数， 故符合猜想，因此， ，所以数列的前2023项的和为. 故选：C 【点睛】方法点睛：本题主要考查数列的周期性以及应用，考查了递推关系求数列各项的和，利用递推关系求数列中的项或求数列的和： （1）项的序号较小时，逐步递推求出即可； （2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列. 二、多选题 5．（20-21高二·全国·课后作业）设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当成立时，总有成立.则下列命题总成立的是（    ） A．若成立，则成立 B．若成立，则当时，均有成立 C．若成立，则成立 D．若成立，则当时，均有成立 【答案】AD 【分析】由逆否命题与原命题为等价命题可判断AC，再根据题意可得若成立，则当时，均有成立，据此可对B作出判断；同理判断出D的正误. 【详解】对于A：当成立时，总有成立. 则逆否命题：当成立时，总有成立. 若成立，则成立，故A正确； 对于B：若成立，则当时，均有成立，故B错误； 对于C：当成立时，总有成立. 则逆否命题：当成立时，总有成立. 故若成立，则成立，所以C错误； 对于D：根据题意，若成立，则成立， 即成立，结合， 所以当时，均有成立，故D正确. 故选：AD 6．（2023高二上·江苏·专题练习）以下四个命题，其中满足“假设当时命题成立，则当时命题也成立”，但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（ ） A． B． C．凸n边形的内角和为 D．凸n边形的对角线条数 【答案】AB 【分析】首先根据数学归纳法逐一验证，并注意检验初始值是否成立即可求解. 【详解】A：假设当，时，命题成立，即， 当时有，故当时命题也成立， 当时有，故当n为给定的初始值时命题不成立； B：假设当，时，命题成立，即， 当时有，故当时命题也成立， 当时，等号左边为2，右边为，，所以当时命题不成立； C：假设当，时，命题成立，即， 当时有，故当时命题也成立， 当时内角和为命题成立； D：假设当，时，命题成立，即， 当时有，故当时命题不成立. 综上可知，满足条件的选项为AB. 故选：AB. 三、填空题 7．（21-22高二·全国·课后作业）已知数列满足，其中是的前n项和，则，，，的值分别是 、 、 、 ，由此推测出 ． 【答案】 【分析】由递推公式可求得，由数学归纳法证得. 【详解】时，，解得，时，，可解得， 同理，， 假设即成立， 则① ② 得：， 解得：，即对也成立， 所以. 故答案为：；；；； 8．（21-22高二·全国·课后作业）已知函数，若，，…，，猜想的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】根据数学归纳法证明即可. 【详解】， ， 假设，即成立， 则，对于也成立. 所以一定有： 故答案为： 四、解答题 9．（24-25高二上·上海·课堂例题）猜测使对任意正整数n恒成立的最小正整数a的值，并用数学归纳法证明． 【答案】3，证明见解析 【分析】先验证当时，不等式即，再结合数学归纳法求证． 【详解】解：当，时，不成立，则不合题意； 当，时，不成立，则不合题意； 当时，不等式即， 当时，不等式即， 当时，不等式即， 下面用数学归纳法证明该式对于正整数n，成立，当时，不等式即，明显成立， 假设（，k为正整数）时，不等式成立，即， 则当时，， 而（k为正整数），结合二次函数的性质可知， 当时，， 故当，k为正整数时，，， 即当时，成立． 综上可得，对任意的正整数均成立则最小正整数的值为3． 10．（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：，． 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，先证时，命题成立，假设时，命题也成立，当时，由，即可证明. 【详解】当时，左边， 右边，命题成立； 假设时，命题成立，即， 则当时， ， 所以时命题成立， 综上，． 11．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）用数学归纳法证明： 【答案】证明见解析 【分析】利用数学归纳法的证明步骤进行证明即可. 【详解】①当时，左边，左边右边，不等式成立； ②假设时不等式成立，即， 则当时，左边 ， 即当时，不等式也成立. 由①②可知，原不等式成立. 12．（24-25高二上·上海·期中）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为.若，用数学归纳法证明：. 【答案】证明见解析. 【分析】根据给定条件，求出等差数列的通项，前项和为，再利用数学归纳法证明. 【详解】等差数列中，，， 当时，，，原等式成立； 假设当时，原等式成立，即，， 则 ， 即当时，原等式成立， 所以对一切，等式成立. 13．（23-24高二上·上海黄浦·阶段练习）数列满足为正整数. (1)试确定实数的值，使得数列为等差数列； (2)当数列为等差数列时，等比数列的通项公式为，对每个正整数，在和之间插入个2，得到一个新数列，设是数列的前项和，试求满足的所有正整数. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由已知有，写出前3项并利用等差中项的性质列方程求t即可. （2）根据（2）和题设列举数列，易判断不合题意，适合题意，要使时成立，必为中一项得整理化简有，结合数学归纳法判断上述等式恒不成立，即可得结果. 【详解】（1）由，得，于是， 由，可得，此时， 由知：此时数列为等差数列. （2）由（2）及题设知：为， 则，显然不合题意，适合题意， 当时，若后添入，则，不合题意， 从而必是数列中的某一项，则， 则 即，整理， 显然k=1，2，3，4不是该方程的解，而当时，成立，证明如下： 当n = 5时，，左边大于右边，不等式成立； 假设时，成立， 当时， 因此当时，不等式成立， 所以恒成立，即无正整数解． 所以满足题意的正整数仅有. 【点睛】关键点睛：涉及给出递推公式探求数列规律的问题，按条件写出变量的前几个取值对应数列，认真分析每个变量对应的数列，找准变化规律是解决问题的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$