第2章平面向量 单元练习-2024-2025学年高二上学期高教版(2021)中职数学拓展模块一上册

第2章平面向量（浙江） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 平面向量(浙江省单独招生考试数学考纲)要求 1.了解平面向量及有关概念。 2.会对平面向量进行加、减和数乘的运算。 一、平面向量的概念和线形运算 1. 向量定义：既有大小又有方向的量，向量的大小――长度称为向量的模，记作||. 2. 长度是0的向量叫做零向量，记作；长度是1的向量叫做单位向量. 相等向量是指两个向量大小相等且方向相同；相反向量是指两个向量大小相等且方向相反. 3.平行（共线）向量定义： （1）方向相同或相反的非零向量叫平行向量；（2）我们规定零向量与任一向量平行. 4. 向量的加法：三角形法则（“首尾相连，由始至终”） 5. 向量的减法：三角形法则（“首首相连，终点连线后指前”）： 6. 向量的数乘运算：实数λ与向量的积，记作：λ（向量λ与平行） 当λ>0时，λ与方向相同；λ<0时，λ与方向相反；λ＝0时， 二、平面向量的坐标运算： 1. 若，， 则，，. ，. 2. 若，，则， 中点坐标：， 三、平面向量的内积 1. 平面向量内积的定义：（其中为的夹角，且） 2．平面向量内积的性质： （1） （2） 3. 平面向量内积的坐标表示：若，， 则， 一、单项选择（共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量线性运算的坐标表示求值即可. 【详解】已知平面向量，， 则. 故选：C. 2．在三角形ABC中，三边长为3，4，5，则（    ） A．12 B．2 C． D．0 【答案】C 【分析】由向量的加法运算性质求解即可. 【详解】在三角形ABC中，. 故选：C. 3．化简的结果等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量加减法的运算法则进行化简． 【详解】. 故选：B. 4．平行四边形中，，，则的坐标为 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量加法的平行四边形法则解答即可. 【详解】根据向量加法的平行四边形法则可知， ， 故选：C. 5．下列等式成立的个数是（　　） ①； ②； ③； ④； ⑤. A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据向量的运算逐个选项判断即可. 【详解】由向量的线性运算可得，，， ，，，故①③④⑤正确. 故选：B 6．已知向量，，且，则实数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量平行的坐标表示求解即可. 【详解】因为向量.且. 所以，解得. 故选：D. 7．下列各对向量中，共线的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用向量平行的坐标表示可判断. 【详解】A选项，，故，不共线； B选项，，故，不共线； C选项，，故，不共线； D选项，，故，共线； 故选：D. 8．已知向量，，若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据向量坐标的运算和向量平行的坐标表示即可解得 【详解】由题，， 又知， 则， 解得， 故选：D 9．下列命题中正确的是（　　） A．若，，且为非零向量，则 B．若非零向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共线 C．若两向量相等，则它们的起点、终点相同 D．若， 都是单位向量，则 【答案】A 【分析】根据向量平行，共线向量，相等向量，单位向量等概念判断即可. 【详解】若，且为非零向量，则与方向相同或相反， 若，且为非零向量，则与方向相同或相反， 所以，与方向相同或相反，则，故A正确； 如图所示，是平行四边形，满足非零向量与是共线向量，但此时A，B，C，D四点不共线，故B错误； 根据相等向量的概念可知，当两向量相等时，它们的起点、终点不一定相同， 如上图，与是相等向量，但它们的起点、终点不相同，故C错误； 若，都是单位向量，则只有，方向相同时，故D错误． 故选：A． 10．四边形ABCD中，若，则四边形ABCD的形状是（    ） A．平行四边形 B．梯形 C．菱形 D．矩形 【答案】B 【分析】根据向量平行判断四边形形状. 【详解】由知， 即四边形对边平行且不相等， 故四边形ABCD为梯形． 故选:B. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知平面向量，向量，若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据向量的平行关系求解k的值即可. 【详解】，，且， ， . 故答案为：. 12．若三点共线，则的m值 ． 【答案】/ 【分析】因为A，B，C三点共线，则向量与共线，据此即可求解. 【详解】因为三点坐标， 则，， 因为A，B，C三点共线，则向量与共线， 则有， 故答案为：. 13．化简后为 . 【答案】 【分析】由向量的加法，减法和数乘运算计算即可. 【详解】. 故答案为：. 14．已知并且，那么 . 【答案】 【分析】根据向量平行的坐标表示列方程求解即可. 【详解】已知 由，得， 解得. 故答案为：. 15．下列说法中，正确的序号是 ． ①零向量都相等； ②任一向量与它的平行向量不相等； ③若 ＝ ，则 ＝ ； ④共线的向量，若始点不同，则终点一定不同． 【答案】①③ 【分析】根据零向量,平行和相等向量,相反向量易得答案. 【详解】因为,所以①零向量都相等是正确的； 因为任一向量与它的平行向量平行,大小和方向可以相等, 所以②任一向量与它的平行向量不相等是错误的； 因为,所以③是正确的； 因为当共线的向量的大小不一样时,始点不同，则终点可能会相同, 所以④共线的向量，若始点不同，则终点一定不同是错误． 故答案为:①③. 三、解答题（共3小题，每小题15分，共45分） 16．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的加减法和数乘运算法则进行逐步计算即可. （2）利用向量的加减法和数乘运算法则进行逐步计算即可. 【详解】（1）根据向量的加减法和数乘运算法则可得： （2）根据向量的加减法和数乘运算法则可得： 17．已知向量，，且与共线，求的值. 【答案】 【分析】根据向量的线性坐标运算及向量共线的坐标运算列式求解即可. 【详解】因为向量，，所以，， 又与共线，所以，解得. 18．如图，的对角线AC和BD交于点M，，，试用基底，表示，，和．      【答案】，，， 【分析】根据向量的加法、减法法则，以及数乘运算求解． 【详解】由向量加法的平行四边形法则． 因为平行四边形的对角线互相平分， 所以． 从而， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章平面向量（浙江） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 平面向量(浙江省单独招生考试数学考纲)要求 1.了解平面向量及有关概念。 2.会对平面向量进行加、减和数乘的运算。 一、平面向量的概念和线形运算 1. 向量定义：既有大小又有方向的量，向量的大小――长度称为向量的模，记作||. 2. 长度是0的向量叫做零向量，记作；长度是1的向量叫做单位向量. 相等向量是指两个向量大小相等且方向相同；相反向量是指两个向量大小相等且方向相反. 3.平行（共线）向量定义： （1）方向相同或相反的非零向量叫平行向量；（2）我们规定零向量与任一向量平行. 4. 向量的加法：三角形法则（“首尾相连，由始至终”） 5. 向量的减法：三角形法则（“首首相连，终点连线后指前”）： 6. 向量的数乘运算：实数λ与向量的积，记作：λ（向量λ与平行） 当λ>0时，λ与方向相同；λ<0时，λ与方向相反；λ＝0时， 二、平面向量的坐标运算： 1. 若，， 则，，. ，. 2. 若，，则， 中点坐标：， 三、平面向量的内积 1. 平面向量内积的定义：（其中为的夹角，且） 2．平面向量内积的性质： （1） （2） 3. 平面向量内积的坐标表示：若，， 则， 一、单项选择（共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 2．在三角形ABC中，三边长为3，4，5，则（    ） A．12 B．2 C． D．0 3．化简的结果等于（    ） A． B． C． D． 4．平行四边形中，，，则的坐标为 （     ） A． B． C． D． 5．下列等式成立的个数是（　　） ①； ②； ③； ④； ⑤. A．5 B．4 C．3 D．2 6．已知向量，，且，则实数等于（    ） A． B． C． D． 7．下列各对向量中，共线的是（    ） A．， B．， C．， D．， 8．已知向量，，若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．下列命题中正确的是（　　） A．若，，且为非零向量，则 B．若非零向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共线 C．若两向量相等，则它们的起点、终点相同 D．若， 都是单位向量，则 10．四边形ABCD中，若，则四边形ABCD的形状是（    ） A．平行四边形 B．梯形 C．菱形 D．矩形 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知平面向量，向量，若，则 ． 12．若三点共线，则的m值 ． 13．化简后为 . 14．已知并且，那么 . 15．下列说法中，正确的序号是 ． ①零向量都相等； ②任一向量与它的平行向量不相等； ③若 ＝ ，则 ＝ ； ④共线的向量，若始点不同，则终点一定不同． 三、解答题（共3小题，每小题15分，共45分） 16．化简： (1)； (2)． 17．已知向量，，且与共线，求的值. 18．如图，的对角线AC和BD交于点M，，，试用基底，表示，，和．      学科网（北京）股份有限公司 $$